三年級(jí)奧數(shù)-周期問題（剖析版）

第09講周期問題

教學(xué)目標(biāo)篌

引學(xué)會(huì)對(duì)一個(gè)周期問題進(jìn)行分析、推理；

/利用我們的規(guī)律來解決一些較簡單的問題；

a通過學(xué)生解決問題的過程，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和堅(jiān)韌不拔、

勇于探索的意志品質(zhì)。

知識(shí)梳理

一

一、周期問題

在日常生活中，有一些按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)的現(xiàn)象，如：人的十二生肖，一年有春夏

秋冬四個(gè)季節(jié)，一個(gè)星期七天等等。像這樣日常生活中曾碰到的有一定周期的問題，我們稱為

簡單周期問題。這類問題一般要利用余數(shù)的知識(shí)來解答。

二、解題策略

在研究這些簡單周期問題時(shí)，我們首先要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，也就

是找出循環(huán)的固定數(shù)，然后利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結(jié)果。

典例分析“

考點(diǎn)一：一般周期問題

例1、小丁把同樣大小的紅、白、黑珠子按先2個(gè)紅的、后1個(gè)白的、再3個(gè)黑的的規(guī)律排列

（如下圖），請(qǐng)你算一算，第32個(gè)珠子是什么顏色？

??C?????：???……

【解析】從上圖可以看出，珠子是按“兩紅一白三黑”的規(guī)律重復(fù)排列，即6個(gè)珠子為一周

期。324-6=5（組）……2（個(gè)），32個(gè)珠子中含有5個(gè)周期多2個(gè)，所以第32個(gè)珠子就是

重復(fù)5個(gè)周期后的第2個(gè)珠子，應(yīng)為紅色。

例2、你能找出下面每組圖形的排列規(guī)律嗎？根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，算出每組第20個(gè)圖形分別是

什么。

（1）……

（2）..........

【解析】第（1）題排列規(guī)律是“口△”兩個(gè)圖形重復(fù)出現(xiàn)，204-2=10,即“口△”重復(fù)出現(xiàn)

10次，所以第20個(gè)圖形是第（2）題的排列規(guī)律是“口△△”三個(gè)圖形重復(fù)出現(xiàn)，20-

3=6-2,即“口△△”重復(fù)出現(xiàn)6次后又出現(xiàn)了兩個(gè)圖形“口△”，所以第20個(gè)圖形是

例3、100個(gè)3相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？

【解析】這道題我們只考慮積的個(gè)位數(shù)字的排列規(guī)律。1個(gè)3.積的個(gè)位是3；2個(gè)3相乘積的

個(gè)位數(shù)字是9；3個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是7；4個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是1；5個(gè)3相乘積的

個(gè)位數(shù)字是3……可以發(fā)現(xiàn)，積的個(gè)位數(shù)字分別以3、9、7、1不斷重復(fù)出現(xiàn)，即每4個(gè)3積

的個(gè)位數(shù)字為一周期。100+4=25（個(gè)），因此100個(gè)3相乘積的個(gè)位數(shù)字是第25個(gè)周期中

的最后一個(gè)，即是1。

例4、有一列數(shù)按M432791864327918643279186……”排列,那么前54個(gè)數(shù)字之和是多少?

【解析】上面一列數(shù)中，從第1個(gè)數(shù)字開始重復(fù)出現(xiàn)的部分是“43279186”，周期數(shù)是8。

要求出這列數(shù)字的和，就要先求出這列數(shù)里共有多少組“43279186”.

544-8=6（組）6（個(gè)）

因此，前6組數(shù)字和是（4+3+2+7+9+1+8+6）X6=240,余下6個(gè)數(shù)字之和是4+

3+2+7+9+1=26。所以，這列數(shù)中前54個(gè)數(shù)字之和是240+26=266。

例5、小紅買了一本童話書，每兩頁文字之間有3頁插圖，也就是說3頁插圖前后各有1頁

文字。如果這本書有128頁，而第1頁是文字，這本童話書共有插圖多少頁？

【解析】已知這本童話書3頁插圖前后各有1頁文字，也就是說這本書是按“1頁文字3頁

插圖”的規(guī)律重復(fù)排列的，把“1頁文字3頁插圖”看作一周期，128頁中含有128+（1+

3）=32個(gè)周期，所以這本童話書共有插圖3X32=96頁。

考點(diǎn)二：較復(fù)雜周期問題

例1、有一列數(shù)，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。

（1）第129個(gè)數(shù)是多少？（2）這129個(gè)數(shù)相加的和是多少？

【解析】（1）從排列可以看出，這組數(shù)是按“5、6、4、2”一個(gè)循環(huán)依次重復(fù)出現(xiàn)進(jìn)行排

列,那么一個(gè)循環(huán)就是4個(gè)數(shù),則129+4=32—1,可知有32個(gè)“5、6、4、2”還剩一個(gè)。

所以第129個(gè)數(shù)是5o（2）每組四個(gè)數(shù)之和是5+6+4+2=17,所以，這129個(gè)數(shù)相加的和是

17X32+5=549。

例2、假設(shè)所有的自然數(shù)排列起來，如下所示39應(yīng)該排在哪個(gè)字母下面？88應(yīng)該排在哪個(gè)字

母下面？

ABCD

1234

5678

9???

【解析】從排列情況可以知道，這些自然數(shù)是按從小到大4個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)，我們可以根據(jù)這

些數(shù)除以4所得的余數(shù)來分析。

39+4=9…388+4=22

所以，39應(yīng)排在第10個(gè)循環(huán)的第三個(gè)字母C下面，88應(yīng)排在第22個(gè)循環(huán)的第四個(gè)字母

D下面。

例3、1991年1月1日是星期二，（1）該月的22日是星期幾？該月28日是星期幾？（2）

1994年1月1日是星期幾？

【解析】（1）一個(gè)星期是7天，因此，7天為一個(gè)循環(huán)，這類題在計(jì)算天數(shù)時(shí)，可以采用“算

尾不算頭”的方法。（22—1）4-7=3,沒有余數(shù)，該月22日仍是星期二；（28—1）?7二3…

6,從星期三開始（包括星期三）往后數(shù)6天，28日是星期一。

（2）1991年、1993年是平年，1992年是閏年，從1991年1月2日至I]1994年1月1日共1096

天，1096+7=156…4,從星期三開始往后數(shù)4天，1994年1月1日是星期六。

例4、我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動(dòng)物按順序輪流代

表年號(hào)，例如，第一年如果屬鼠年，第二年就屬牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年屬雞

年，那么公元2001年屬什么年？

【解析】一共有12種動(dòng)物，因此12為一個(gè)循環(huán)，為了便于思考，我們把“狗、豬、鼠、

牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞”看作一個(gè)循環(huán)，從公元2年到公元2001年共經(jīng)歷了

2000年（算頭不算尾），2000?12=166…8,從狗年開始往后數(shù)8年，公元2001年是蛇年。

【解析】每3個(gè)人循環(huán)一次，依次按照女生，男生，男生的順序循環(huán)排列，36+3=12,

所以36人一共有12個(gè)循環(huán)周期；一共有男生：12X2=24（人）。

7、我國農(nóng)歷用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬12種動(dòng)物按順序輪流代

表年號(hào)。

（1）如果公元3年屬豬年，那么公元2000年屬什么年？

（2）如果公元6年屬虎年，那么公元21世紀(jì)的第一個(gè)虎年是哪一年？

（3）公元2001年屬蛇年，公元2年屬什么年？

【解析】（1）龍年；（2）2000是龍年，第一個(gè)虎年是2010年；（3）狗年。

8、有a、b、c三條直線，從a線開始，從1起依次在三條直線上寫數(shù)（如下圖），22、59、

2001各在哪一條線上？

【解析】用22,59,2001,分別除3,22除3余1,所以和1在一條線上,59余2所以和2在一條

線上,2001剛好除盡,所以和3在一條線上,所以是a,b,co

＞課后反擊

1、把38面小三角旗按下圖排列，其中有多少面白旗?

PPP沖沖沖沖……

【解析】27+2=29。

2、公園門口掛了一排彩燈泡按“二紅三黃四藍(lán)”重復(fù)排列，第63只燈泡是什么顏色？第112

只呢？

【解析】9個(gè)一組，一共7組。所以第63個(gè)是藍(lán)色的。

3、2001年6月1日是星期五，9月1日是星期幾？

【解析】2001年6月1日到9月1日有92天，92除以7余數(shù)是1,9月1日是星期六。

4、50個(gè)7相乘，積的個(gè)位數(shù)字是幾？

【解析】7的一次方尾數(shù)是7,二次方尾數(shù)是9,三次方尾數(shù)是3,四次方是1,五次方是7,

然后再是9,

依次循環(huán)50個(gè)7相乘，應(yīng)該是7的50次方，個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是9

5、有一列數(shù)“7231652316523165……”，請(qǐng)問從左起第2個(gè)數(shù)字到第25個(gè)數(shù)字之間（含第

2個(gè)與第25個(gè)數(shù)字）所有數(shù)字的和是多少？

【解析】7231652316523165,2+3+1+6+5=17,17X5=85從左起第2個(gè)數(shù)字到第25個(gè)數(shù)字

之間所有數(shù)字的和是85-5=80。第二個(gè)數(shù)是2,第25個(gè)數(shù)是6。

6、一個(gè)圓形花輔周圍長30米，沿周圍每隔3米插一面紅旗，每兩面紅旗中間插兩面黃旗。

花埔周圍共插了多少面黃旗？

【解析】30?3X2=10X2=20（面）。

7、河岸上種了100棵桃樹，第一棵是蟠桃，后面兩棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下

去一直這樣排列。問：第100棵是什么桃樹？三種樹各有多少棵？

【解析】1+2+3=6,每6棵一輪回,96共可有16個(gè)回次，100-96=4,余下的是1+2+1,就是1棵蟠

桃,2棵水蜜桃，1棵大青桃，16+1=17,16X2+2=34,16X3+1=49,有17棵蟠桃,34棵水蜜桃,49

棵大青桃,第100棵是大青桃

8、2001個(gè)學(xué)生按下列方法編號(hào)排成五列:

一二二四五

12345

9876

10111213

17161514

問：最后一個(gè)學(xué)生應(yīng)該排在第幾列？

【解析】根據(jù)給出的排列方式找出一下規(guī)律：1.奇數(shù)行的最后一個(gè)數(shù)字是（該奇數(shù)*4+1）得到；

2.偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)字是（該偶數(shù)*4+1）得到；而2001=500*4+1。500為偶數(shù)，根據(jù)規(guī)律就可

以得到2001是在第500行的第一列

直擊賽場

A

1、?表示實(shí)心圓，O表示空心圓，若干個(gè)實(shí)心圓與空心圓