2025年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)（全解全析）

2025年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，又因?yàn)椋傻?故選：B.2．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、除法運(yùn)算法則及幾何意義計(jì)算即可.【詳解】易知，所以，即對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D3．已知平面向量與的夾角為，則（

）A． B． C．4 D．12【答案】B【解析】由題得，所以.故選：B.4．袋中有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè)．在第一次取得白球前提下，則第二次取得紅球的概率為（

）A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】B【分析】分別設(shè)事件“第一次取得白球”和“第二次取得紅球”，由條件概率計(jì)算公式求解即可求解.【詳解】設(shè)第一次取得白球?yàn)槭录嗀，第二次取得紅球?yàn)槭录﨎，所以在第一次取得紅球前提下，則第二次取得白球的概率為：P(B|A)=P(AB)故選：B.5．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為上一點(diǎn)，，，則的離心率為A． B． C． D．【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，且，所以，設(shè)，則，所以的離心率．故選：．6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層10個(gè)…，則第二十層球的個(gè)數(shù)為（

）A．210 B．220 C．230 D．240【答案】A【分析】依據(jù)規(guī)律找出每一層小球數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項(xiàng)，從而求出第20項(xiàng)即可．【詳解】設(shè)第層的小球個(gè)數(shù)為依次構(gòu)成數(shù)列，由題：從而有規(guī)律：所以所以．即第20層有210個(gè)小球，故選：A．7．已知四面體ABCD的各頂點(diǎn)均在球的球面上，平面平面，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先找和的外接圓的圓心，過(guò)圓心分別作兩個(gè)三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)就是球心.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)為E，BD的中點(diǎn)為，所以為的外心，連接AE，EF，設(shè)的外心為，因?yàn)?，即為等邊三角形，所以點(diǎn)在AE上，且設(shè)球心為，連接OG，OF，則平面平面BCD，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，面，所以平面BCD，則，又平面BCD，所以，同理平面ABC，所以，故四邊形OGEF是矩形.由，可得，故，又，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積.故選：C.8．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．254 D．2025【答案】B【解析】由是偶函數(shù)推出的性質(zhì)，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，即，對(duì)于任意都成立，那么.用代替，可得，即.又因?yàn)?，則關(guān)于直線對(duì)稱，所以.由和可得，再用代替，得到，即，而，所以，進(jìn)而，所以函數(shù)的周期是.已知當(dāng)時(shí)，...因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，...，，.則.因?yàn)?，其中是余?shù).所以.，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)A函數(shù)為奇函數(shù).且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在上也單調(diào)遞增，∴fx在R上為增函數(shù)，故A正確；對(duì)B函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D為奇函數(shù)，且均隨的增大而增大，即在R上為增函數(shù)，故D正確.故選：AD10．已知橢圓，A，B為左右兩個(gè)頂點(diǎn)，，為左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則（

）．A．B．的范圍是C．若直線l過(guò)點(diǎn)與橢圓交于M，N，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)斜率公式即可化簡(jiǎn)求解A；根據(jù)橢圓定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解B；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解C；根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式，結(jié)合余弦定理即可求解D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，故A正確，對(duì)于B，由于又，即，所以，故當(dāng)時(shí)，取最大值9，當(dāng)或時(shí)，取最小值6，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，設(shè)方程為，所以，其中為到直線的距離，故C正確，對(duì)于D，由余弦定理可得,因此，又，，故，故選：ACD11．點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的（）A．當(dāng)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積發(fā)生變化．B．當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．若F是的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是D．使直線與平面所成的角為的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求異面直線所成的角、已知線面角求其他量、立體幾何中的軌跡問(wèn)題【分析】A選項(xiàng)，正方形的面積不變，P到平面的距離不變，由體積公式可知，體積為定值；B選項(xiàng)，與所成角即為與所成角，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)P在端點(diǎn)A，時(shí)，所成角最小，最小角為，當(dāng)P在中點(diǎn)時(shí)，所成角最大為，B正確；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C正確；D選項(xiàng)，分別考慮點(diǎn)在各個(gè)平面內(nèi)的情況，得到軌跡長(zhǎng)度，相加得到答案.【詳解】對(duì)于A，底面正方形的面積不變，當(dāng)P在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P到平面的距離不變，即四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)，故四棱錐的體積不變，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以與所成角即為與所成角，因?yàn)?，所以為等邊三角形，顯然，當(dāng)P在端點(diǎn)A，時(shí)，所成角最小，最小角為，當(dāng)P在中點(diǎn)時(shí)，由三線合一可知，⊥，此時(shí)所成角最大為，所以與所成角的取值范圍是，故B正確；對(duì)于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，故平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C正確.對(duì)于D，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，若點(diǎn)在平面內(nèi)，此時(shí)當(dāng)與重合時(shí)，直線與平面所成角最大，最大值為，其他位置均不合要求，同理，若點(diǎn)在平面內(nèi)，此時(shí)當(dāng)與重合時(shí)，直線與平面所成角最大，最大值為，其他位置不合要求，若點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；若點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；若點(diǎn)在平面時(shí)，作平面，如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以1為半徑的四分之一圓，其弧長(zhǎng)為，故的軌跡長(zhǎng)度為，故D錯(cuò)誤；故選：BC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在等比數(shù)列中，若，，則___________.【答案】32【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，則得到，則.【詳解】設(shè)公比為，即，即，得，所以.故答案為：32.13．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均值是1，且的平均值是3，則數(shù)據(jù)的方差是.【答案】【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差的定義，代入公式計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以數(shù)據(jù)的方差.故答案為：.14．已知若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時(shí)，.畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，由圖可知或.所以m的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)若為銳角三角形，，D是線段AC的中點(diǎn)，求BD的長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，由余弦定理得，又，所以；?）因?yàn)椋裕驗(yàn)镈是線段AC的中點(diǎn)，所以，所以，由正弦定理得，所以，，所以

,又為銳角三角形，所以，解得，所以，即，則，所以，即，則BD的長(zhǎng)的取值范圍是．16．（15分）在三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、證明面面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，通過(guò)證明平面，即可解決問(wèn)題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，代入夾角公式即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，在直角三角形中，，為中點(diǎn)，所以，又，所以，所以°，即，又∵，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則．所以平面與平面的夾角的余弦值為．17．（15分）某市對(duì)高三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)能檢測(cè)（簡(jiǎn)稱檢測(cè)），現(xiàn)隨機(jī)抽取了1600名學(xué)生的檢測(cè)結(jié)果等級(jí)（“良好以下”或“良好及以上”）進(jìn)行分析，并制成下圖所示的列聯(lián)表.良好以下良好及以上合計(jì)男8001100女100合計(jì)12001600(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；計(jì)算并判斷是否有95%的把握認(rèn)為本次檢測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)；(2)將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，若從全市高三所有學(xué)生中，采取隨機(jī)抽樣的方法抽取1名學(xué)生成績(jī)進(jìn)行具體指標(biāo)分析，連續(xù)抽取4次，且每次抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記被抽取的4名學(xué)生的檢測(cè)等級(jí)為“良好及以上”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ附表及公式：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中K2=n【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有95%的把握認(rèn)為本次檢測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)(2)分布列見(jiàn)解析，E【分析】（1）根據(jù)條件可完善表格，然后計(jì)算出K2（2）由條件可得ξ～B4,1【詳解】（1）由題中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充列聯(lián)表可得：良好以下良好及以上合計(jì)男8003001100女400100500合計(jì)12004001600K2=故有95%的把握認(rèn)為本次體測(cè)結(jié)果等級(jí)與性別有關(guān)系（2）根據(jù)題意，體測(cè)結(jié)果等級(jí)為“良好及以上”的頻率為14可知ξ的取值有0，1，2，3，4，ξ～B4,14，記P(ξ=i)則P(ξ=0)=CP(ξ=1)=C4P(ξ=2)=CP(ξ=3)=C4P(ξ=4)=C4則ξ的分布列為：ξ01234P8110854121所以ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=4×118．（17分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：且）(3)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論的取值范圍，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）首先時(shí)，函數(shù)為，根據(jù)（1）的結(jié)論，得時(shí)，，再賦值且，代入不等式，利用累加法，即可證明；（3）由所證明的不等式，構(gòu)造函數(shù)，，再討論得到取值，通過(guò)放縮法得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即在上恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，令且，則，即，，…，，所以累加得，故當(dāng)且時(shí)，.（3）由題對(duì)任意，都有恒成立，即在上恒成立，令，，即在上恒成立，①當(dāng)時(shí)，由于，則有，令，所以，令，得，所以當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，令，則，令，所以，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立，符合題意，②當(dāng)時(shí)，由于在上單調(diào)遞增且，，故存在唯一，使得，即，即，即，此時(shí)這與在上恒成立不符，綜上，實(shí)數(shù)得到取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是賦值且，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題，證明不等式，第三問(wèn)的關(guān)鍵是討論不同的的取值，從而討論不同的函數(shù)是否滿足條件.19．（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為上任意一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為3．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與分別交于點(diǎn)與點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，線段與的中點(diǎn)分別為．①證明：點(diǎn)在定直線上；②若直線，直線的斜率分別為，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)①證明見(jiàn)解析；②.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，把到的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離為和到點(diǎn)的距離之和的最小值，在根據(jù)平面幾何