2021高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試卷及答案

絕密★啟用前

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.已知集合4={小<1},8={x[3'<1}，則

A.Ar\B={x\x<0}B.AU8=RC.AU3={X|X>1}D.Ap|B=0

2.如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形

的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

9

D)1_

3.設(shè)有下面四個(gè)命題

四：若芨數(shù)2滿足"!~￡]<,則zeR；

z

生：若復(fù)數(shù)z滿足Z2$R,則zeR；

p3：若復(fù)數(shù)Z],z2滿足zxz2eR,則Zj=z2；

外：若攵數(shù)zeR,則彳eR.

其中的真命題為

A.P\,B.〃1,p4C.〃2，P3D.〃2，P4

4.記為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若%+/=24,S4=8,則｛%｝的公差為

A.IB.2C.4D.8

5.函數(shù)/(x)在(-8,+8)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若/(1)=一1,則滿足一14/(.1一2)工1的.r的取值范圍

是

A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]

6.(1+-4)(1+幻6展開式中x2的系數(shù)為

廠

A.I5B.20C.30D.35

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2,

俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為

A.10B.12C.14D.16

8.右面程序框圖是為了求出滿足3"-2">1()00的最小偶數(shù)〃，那么在和匚一1兩個(gè)空白框中，可以分別

填入

AJ1>1000和n=n+1

B./l>1(X)0和n=n+2

C.441000和〃二〃+1

D/K1000和E+2

9.已知曲線C：y=cosxfC2：產(chǎn)sin(2x+—),則下面結(jié)正確的是

3

A.BG上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲

6

線。2

B.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲

12

線。2

C.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的‘倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲

26

線C2

1TT

D.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的一倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移△個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

212

曲線C2

10.已知產(chǎn)為拋物線。)，2=標(biāo)的焦點(diǎn)，過尸作兩條互相垂直的直線八，卜,直線人與C交于小B兩點(diǎn)、,直

線b與。交于。、七兩點(diǎn)，則IA冏+|。園的最小值為

A.16B.14C.12D.10

11.設(shè)秘為正數(shù),且2、=3,=5數(shù)則

A.2x<3y<5zB.5Z<2A<3VC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

12.幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)/一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們退出了“解數(shù)

學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,

2,4,8,1,2,4,8,16，…,其中第一項(xiàng)是2。，接下來的兩頊?zhǔn)?。,21,再接下來的三項(xiàng)是2。，21,22,

依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>1(X)且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)案.那么該款軟件的激活碼

是

A.440B.330C.220D.110

解析：對(duì)原數(shù)列進(jìn)行如下圖數(shù)陣排列，

第I行：2°

第2行：2°21

第3行:2°2'22

第4行：2°2'2223

第〃行：2°2122...2n-|

可以求出第〃行的和為2〃一1,

前〃行總和為2-1+22-1+23-1+2-1+…+2”-1

=214-22+23+24+...+2,,-/?=2向一(〃+2)

第〃+1行前i項(xiàng)的和為2°+2J22+...+21-1=2*-1

因?yàn)樵摂?shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)耗，所以存在〃和"使得〃+2=2'—1,

因?yàn)镹>100,所以前〃+1行總項(xiàng)數(shù)4(〃+1)(〃+2)>100,即〃213,〃wZ

2

取〃=13,可得1=4,

所以N=,〃("+l)+i+l='x13x(13+1)+4+1=110.

22

答案：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知向量ab的夾角為60。，|a|=2,\b\=\,則|〃+2bl二.

x+2y<\

14.設(shè)x,y滿足約束條件則z=3x-2y的最小值為.

x-y<0

22

15.己知雙曲線C：3?-2=1(eO,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，人為半徑做圓A,圓A與雙曲線C

a-b-

的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若NM4260。，則。的崗心率為。

16.如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形A8C的中心為0。D、E、r為圓O

上的點(diǎn)，ADBC,AECA,分別是以3C,CA,A3為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以4C,

CA,"為折痕折起△O8C,AECA,AE\B,使得。、E、〃重合，得到三楂錐。當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，所

得三棱錐體積(單位：cn?)的最大值為。

E

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（一）必考題：60分。

17.（12分）

2

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,已知的面積為‘一

3sinA

(1)求sinfisinC;

(2)若6cos氏osC=l,a=3,求ZkABC的周長(zhǎng)

18.(12分)

如圖，在四棱錐AMBC。中，AB//CD,且NEAP=NC。尸=90°

（1）證明：平面以BL平面必。；

（2）若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,^-ffiftA-PB-C的余弦值.

19.（12分）

為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸

（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布M/S）.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在3?4+3。）之外的零件數(shù)，求尸（X

21）及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3%,+3。）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過

程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（i）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（ii）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116l~i~^6n16

經(jīng)計(jì)算得元=772%=9-97,5=,一￡（%-君2=_（￡￥一］6胃）2=0.212,其中方為抽取的第

161=1\16M

i個(gè)零件的尺寸，i=12…,16.

用樣本平均數(shù)元作為"的估計(jì)值。，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值3,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的

生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除3-33,。+36）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)"和〃（精確到0.5）.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布收，,〃），則尸（〃-3。<2<4+3。）=0.9974,0.997416^0.9592,J0.008言0.09.

20.（12分）

已知橢圓C：±7+■^■7=1（a>b>（））,四點(diǎn)Pi（1,1）,「2（0』），P3（-1>~~），尸4（1，~~）中恰有三點(diǎn)

a~b~22

在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線/不經(jīng)過上點(diǎn)且與C相交于4,4兩點(diǎn).若直線乃4與直線24的