湖北省2025年春“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(pdf版含答案)

2025年春“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高二期中聯(lián)考考試時(shí)間：2025年4月23日考試用時(shí)：120分鐘試卷滿分：150分★祝考試順利★1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.2.各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,若S?=7,a?=4,3展開式中含的項(xiàng)是A.第8項(xiàng)B.第9項(xiàng)C.第10項(xiàng)D.第11項(xiàng)4.由1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，其中大于21300的正整數(shù)個(gè)數(shù)為A.81B.87C.965.如圖，在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，若∠A?AB=∠A?AD=60°,且A?A=3,則A?C的長(zhǎng)為A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b7.已知點(diǎn)A(1,2)在拋物線C:y2=2px上，過焦點(diǎn)F且斜率為√3的直線與C相交于P,Q兩點(diǎn)，過P,Q8.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),當(dāng)x≥0時(shí)，恒有.則不等式A的解集為D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是A.由甲地到乙地有3條不同的道路，由乙地到丙地有2條不同的道路，則由甲地經(jīng)乙地到丙地共有6種不同的道路選擇方式B.在3張獎(jiǎng)券中僅有1張能中獎(jiǎng)，3人依次抽取一張，則排在第2的人抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率為C.某地預(yù)測(cè)明天下雨的概率為50%,連續(xù)兩天下雨的概率為20%,則在明天下雨的條件下后天也下雨的概率為40%D.同時(shí)投擲質(zhì)地均勻的2枚骰子，點(diǎn)數(shù)和有2～12共11種可能，則擲出點(diǎn)數(shù)和為7的概率為10.歷史上，許多數(shù)學(xué)家研究過圓錐的截口曲線.如圖，在圓錐中，母線與旋轉(zhuǎn)軸夾角為30°,現(xiàn)有一截面與圓錐的一條母線垂直，與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)O距離圓錐頂點(diǎn)M長(zhǎng)度為1,則以下關(guān)于該截口曲線描述正確的命題有B.點(diǎn)O為該曲線的一個(gè)焦點(diǎn)C.該曲線上任意兩點(diǎn)之間的最大距離為D.該曲線的離心率11.已知三次函數(shù)f(x)=ax(x—b)2在區(qū)間[a,b]上的值域也為[a,b],那么下列說法正確的是A.a≠0且b≠0B.當(dāng)b<0時(shí)，滿足要求的a,b不存在三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量a=(-1,2,1),b=(2,—2,0),則a在b方向上的投影向量為.(填坐標(biāo)表示)13.已知反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，則這個(gè)雙曲線的焦距長(zhǎng)為_14.已知遞增數(shù)列{a?}的各項(xiàng)均是正整數(shù)，且滿足aa=3n,則a?=._,ag+a10=.·2025年春“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)2025年春“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知函數(shù)f(x)=1-x2.(1)求曲線y=f(x)的斜率等于-2的切線方程；(2)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,f(t))(t>0)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S(t),求S(t)的最小值.16.(15分)已知等差數(shù)列{a,}中a?=8,前10項(xiàng)和S??=185.(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式an;(2)若從數(shù)列{an}中依次取出第2,4,8,…,2”,…項(xiàng)，按原來的順序排列成一個(gè)新的數(shù)列{b,},若cπ=(an—2)b?,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和T,.17.(15分)如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD,且P在底面正投影點(diǎn)在線段AC上，BC=(2)若AP=√5,AP與BC所成角的余弦值,求鈍二面角A—BP-C的余弦值.18.(17分)已知f(x)=sinx,g(x)=ln(x+1),π≈3.142,e≈2.718(2)若h(x)=f(x)-g(x),試說明y=h(x)在(0,π)內(nèi)有唯一零點(diǎn).19.(17分)(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O:x2+y2=4上有動(dòng)點(diǎn)P(x,y),已知定點(diǎn)A為(1,0).在研究為兩直線的夾角,試求出用P點(diǎn)橫坐標(biāo)x表示tan∠OPA的函數(shù)f(x),并求出其最大值及取得最大值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為2,試求出該橢圓中心點(diǎn)P的軌跡方程.2025年春“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分細(xì)則123456789AABCADCB由題可),所以在區(qū)間[0,+∞]上為增函數(shù).又x3f(x)—(1+2x)3f(1+2x)<0,即x3f(x)<(1+2x)3f(1+2x),即g(x)<g(1+2x).又g(x)為開口向上的偶函數(shù)，所以|xl<|1+2x|,故選B.解得x<-1或易知該截口曲線為橢圓，設(shè)與截面垂直的母線垂足點(diǎn)為A.平面MOA交橢圓曲線的另一交點(diǎn)為B,由對(duì)稱性知AB為該橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn).由已知O點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)半徑 則,B(3,),過O作OP垂直于x軸，交橢圓于點(diǎn)P,則圖1圖2圖3故選ABD.由a?=2,有a?=aa?=3,a?=aa?=6,所以a?=aa?=9,ag=a?=18;又a?<a?≤as<a?,則6<a?<as<9,所以a?=7,a則由a?<a10<a≤a12,即18<a10<a1<21,知a10=19,故a,+a10=37.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).(2)由t>0,曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,1—t2)處則,……………………(9分)故最小值為…………………(13分)則cn=(a?—2)b?=3n·(3·2"+2)=9n·2"+6n,(8又因?yàn)?S,=1×22+2×23+…+n·2”+1,所以T,=9(n-1)2"+1+3n(n+1)+18.∵平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,(2)作PE⊥AC于E,則PE⊥底面ABCD,∴PE⊥BD又,故A(0,-3,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(一√3,0,0)………………(8分)設(shè)P(0,y,z)(z>0),由AP=√5②設(shè)平面ABP的法向量為n=(x1,y?,≈1))即取y?=-1得n=(√3,-1,2)………(12)即故鈍二面角A-BP-C的余弦值…………………(15分)設(shè)t=√x>1,將證明……………………(1分),則………(3分)考察不等式、…………………(6分)其等價(jià)即證明,由tanx∈(0,1)知，該式顯然成立.………(9分)(2)由已知h(x)=sinx—1n(x+1),,易知h(x)單調(diào)遞減，……………………(10分),……………(11分)Z,………(13分)故存在唯一實(shí)數(shù),使得φ'(ξ)=0,即,…………(15分)則存在唯一實(shí)數(shù),使得φ(η)=0,故h(x)>0在上恒成立.……………(17分),k2=k,所以………………(3分)圖1圖2則故點(diǎn)A在半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，,與i中結(jié)果一致.……………(9分)圖3讓橢圓長(zhǎng)軸落在新x軸，短軸落在新y軸，易知橢圓方程………………(10分)此時(shí)A點(diǎn)(原坐標(biāo)原點(diǎn))為與該橢圓相切的兩條相互垂直切線l?,l2的交點(diǎn)，設(shè)A為(xo,yo),當(dāng)l?,l2斜率均存在時(shí)，設(shè)兩斜率為k?,k2,故l?的方程為y=k?(x-x。)+y?,聯(lián)立消y有其△=4k?2(y?—k?xo)2—(1+4k?2)[(y?—k1xo)2-1]=0,上式整理為關(guān)于k1的二次三項(xiàng)式：(4—