專題62平面向量的運(yùn)算（舉一反三）（人教A版2019）

專題6.2平面向量的運(yùn)算【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1向量的加減運(yùn)算】 3【題型2平面向量的混合運(yùn)算】 4【題型3由平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】 5【題型4向量共線定理的應(yīng)用】 7【題型5根據(jù)向量關(guān)系判斷三角形的心】 9【題型6向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用】 12【知識(shí)點(diǎn)1平面向量的線性運(yùn)算】1．向量的加法運(yùn)算(1)向量加法的定義及兩個(gè)重要法則定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.向量

加法

的三

角形

法則前提已知非零向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A.作法作，連接AC.結(jié)論向量叫做與的和，記作，即.圖形向量

加法

的平

行四

邊形

法則前提已知兩個(gè)不共線的向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O.作法作，以O(shè)A,OB為鄰邊作四邊形OACB.結(jié)論以O(shè)為起點(diǎn)的向量就是向量與的和，即.圖形規(guī)定對于零向量與任一向量，我們規(guī)定. (2)多個(gè)向量相加為了得到有限個(gè)向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：；(2)結(jié)合律：.3．向量的減法運(yùn)算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即=+().求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=，=，則==.即可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：①；

②當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反.(2)向量的數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè),為實(shí)數(shù)，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特別地，我們有()=()=()，()=.

(3)向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對于任意向量,，以及任意實(shí)數(shù),,，恒有()=.【題型1向量的加減運(yùn)算】【例1】（2023·云南·高二學(xué)業(yè)考試）化簡AC?BD+CD?AB得（

）A．AB B．DA C．BC D．0【解題思路】利用向量的加減運(yùn)算法則化簡即可.【解答過程】AC?BD+CD?AB故選：D.【變式11】（2023·全國·高一專題練習(xí)）OM?A．MB B．BA C．AB D．BM【解題思路】利用平面向量的線性運(yùn)算化簡，求解即可．【解答過程】由題意可得：OM?故選：C．【變式12】（2022下·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）如圖所示，在△ABC中，BD=6DC，則AD=

A．17AB+C．16AB+【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【解答過程】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：AD=故選：A.【變式13】（2023上·廣西南寧·高二?？奸_學(xué)考試）下列各式中，化簡后不是零向量的是（

）A．AB+BC+C．OA?OD+【解題思路】根據(jù)向量的加法、減法運(yùn)算化簡即可得解.【解答過程】因?yàn)锳B+因?yàn)锳B+因?yàn)镺A?因?yàn)镹Q+故選：B.【題型2平面向量的混合運(yùn)算】【例2】（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡6a?bA．6a+2bC．?2a?14b【解題思路】利用平面向量的數(shù)乘及加減運(yùn)算即可求得結(jié)果.【解答過程】根據(jù)向量的四則運(yùn)算可知，6a故選：D.【變式21】（2023上·北京·高二校考階段練習(xí)）設(shè)i,j,k是兩兩不共線的向量，且向量a=?i+2A．11i?2j+5k B．?11i【解題思路】根據(jù)向量基底運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【解答過程】因?yàn)閍=?i+2所以2a故選：C.【變式22】（2023下·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，則2MA+3MBA．AB B．BC C．CD D．5【解題思路】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算化簡得解.【解答過程】如圖，

2=MB+MC故選：A．【變式23】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若a=2b+cA．?a B．C．?c 【解題思路】先化簡3a+2b【解答過程】因?yàn)閍=2所以3a+2b?2=2b+c故選：C.【題型3由平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】【例3】（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正六邊形ABCDEF中，CH=2HD，若AH=xAB+yA．83 B．3 C．103 【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律求解即可.【解答過程】AH=AB所以x=2,y=53，所以故選：D.【變式31】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若DA=2BD,3CD=A．2 B．１C．2 D．－1【解題思路】由DA=2BD可得D為線段AB的三等分點(diǎn)中靠近B的點(diǎn)，由向量的加(減)法及數(shù)乘運(yùn)算可得3CD【解答過程】解：如圖所示：因?yàn)镈A=2所以D為線段AB的三等分點(diǎn)中靠近B的點(diǎn)，所以CD=CA+所以3CD所以λ=?2.故選：C.【變式32】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知△ABC的邊BC的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E在△ABC所在平面內(nèi)，且BD=2BE?BA，若mCEA．7 B．6 C．3 D．2【解題思路】利用平面向量的線性運(yùn)算可求出4CE+3AC=AB【解答過程】因?yàn)锽D=2BE?因?yàn)锽E=BC+所以2CE所以4CE因?yàn)閙CE所以m=4，n=3，故m+n=7.故選：A．【變式33】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段AC上，且AE=2EC，點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)，記EF=λAB+μADλ,μ∈A．?56 B．?16 C．【解題思路】通過向量的線性運(yùn)算化簡向量即可求解.【解答過程】EF=EA+AF=?所以λ+μ=?5故選：A.【知識(shí)點(diǎn)2向量共線定理】1．向量共線定理(1)向量共線定理向量(≠0)與共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使=.

(2)向量共線定理的應(yīng)用——求參

一般地，解決向量,共線求參問題，可用兩個(gè)不共線向量(如,)表示向量,，設(shè)=(≠0)，化成關(guān)于,的方程()=()，由于,不共線，則解方程組即可.【題型4向量共線定理的應(yīng)用】【例4】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·高三?？茧A段練習(xí)）已知向量a,b不共線，AB=a+3b，A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，C，D三點(diǎn)共線C．A，B，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【解題思路】根據(jù)向量共線定理進(jìn)行判斷即可.【解答過程】因?yàn)閍,b不共線，AB=a+3易得AB,BC,CD互不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，B，又AC=AB+BC=6a+6b，易得而BD=BC+CD=2a+6故選：C.【變式41】（2023下·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB=4e1+2e2，BC=?e1+λeA．12 B．2 C．4 D．【解題思路】根據(jù)已知求出AC=3e1+λ+2e2【解答過程】由已知可得，AC=AB+因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以AC,則?μ∈R，使得AC即3e整理可得3?μe因?yàn)閑1，e所以有3?μ=0λ+2?μ+μλ=0，解得λ=故選：D.【變式42】（2023下·山東泰安·高一泰安一中?？计谥校┤鐖D所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若AB=mAM,AC=n

A．2 B．3 C．92 【解題思路】根據(jù)AO=12AB+【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，所以AO=又因?yàn)锳B所以AO=因?yàn)镺,M,N三點(diǎn)共線，所以m2所以m+n=2.故選：A.【變式43】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且DC=2BD，CE=2EA，A．AD+BE+CF與BC反向平行 B．C．3BE+3CF?BC與CA反向平行 【解題思路】將AD、BE、CF用AB和AC表示，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及平行的概念判斷可得答案.【解答過程】因?yàn)镈C=2BD，所以因?yàn)镃E=2EA，所以因?yàn)锳F=2FB，所以AD=AB+BDBE=AE?CF=AF?所以AD+BE+CF所以AD+BE+3BE+3=?2AC所以3BE+3CF故選：A.【題型5根據(jù)向量關(guān)系判斷三角形的心】【例5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，△ABC的三邊為a,b,c，若aOA→+bOB→+cOCA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，即可得到四邊形ADFE是菱形，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及共線定理得到A，【解答過程】在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得AD→=AB→c以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，如圖，

則四邊形ADFE是菱形，且AF→∴AF為∠BAC的平分線．

∵∴a?OA→即(a+b+c)OA∴AO→∴A，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即O在∠BAC的平分線上．同理可得O在其它兩角的平分線上，∴O是△ABC的內(nèi)心．故選：B．【變式51】（2023·全國·高三對口高考）O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+A．外心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．重心【解題思路】根據(jù)向量線性關(guān)系可得λ(AB+AC【解答過程】由題設(shè)λ(AB而AB+AC所在直線過BC中點(diǎn)，即與BC邊上的中線重合，且所以P的軌跡一定通過△ABC的重心.故選：D.【變式52】（2023下·上海奉賢·高一?？计谥校┰O(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA+2OB+2OC=0，則A．6 B．83 C．127 【解題思路】延長OB到D，使OB=BD，延長OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，則由已知條件可得O為△ADE的重心，由重心的性質(zhì)可得S△AOD=S△AOE=【解答過程】解：延長OB到D，使OB=BD，延長OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，因?yàn)镺A+2OB+2所以O(shè)為△ADE的重心，所以設(shè)S△AOD=S△AOE=所以S△ABC所以S△ABC故選：D.【變式53】（2022上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)O,P在△ABC所在平面內(nèi)，滿OA+OB+OC=0，PA=A．重心，外心 B．內(nèi)心，外心 C．重心，內(nèi)心 D．垂心，外心【解題思路】設(shè)AB中點(diǎn)為D，進(jìn)而結(jié)合向量加法法則與共線定理得O,D,C三點(diǎn)共線，O在△ABC的中線CD，進(jìn)而得O為△ABC的重心，根據(jù)題意得點(diǎn)P為△ABC的外接圓圓心，進(jìn)而可得答案.【解答過程】解：設(shè)AB中點(diǎn)為D，因?yàn)镺A+所以O(shè)A+OB+因?yàn)镺D,OC有公共點(diǎn)所以，O,D,C三點(diǎn)共線，即O在△ABC的中線CD，同理可得O在△ABC的三條中線上，即為△ABC的重心；因?yàn)镻A=所以，點(diǎn)P為△ABC的外接圓圓心，即為△ABC的外心綜上，點(diǎn)O,P依次是△ABC的重心，外心.故選：A.【題型6向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用】【例6】（2023·全國·高二課堂例題）如圖，在空間四邊形ABCD中，已知點(diǎn)G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為CD，AD，BC的中點(diǎn)，化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果．

(1)AG+(2)12(3)13【解題思路】（1）利用重心的特點(diǎn)和平面向量的加法法則計(jì)算即可；（2）利用向量加法的平行四邊形法則和減法法則計(jì)算即可；（3）利用向量的加法法則和減法法則計(jì)算即可.【解答過程】（1）如圖，連接EF，∵G是△BCD的重心，∴GE=

又12AG+1（2）連接AH，如圖，因?yàn)镋，F(xiàn)，H分別為CD，AD，BC的中點(diǎn)，所以12AB+（3）1=AB在圖中標(biāo)出AG，如圖所示．【變式61】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AC的中點(diǎn)，求證：MN=【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算將MN,BC分別用【解答過程】在△ABC中，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AC的中點(diǎn)，則BC=MN=所以MN=【變式62】（2023·全國·高一課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點(diǎn)，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算分析證明.【解答過程】由題意可得：AN+NB=所以AN+由于AN與NC，NB與FN分別共線，但NC與FN不共線，所以NB=2FN，AN=2NC，因此同理可證MC=2AM，因此M也是【變式63】（2023