2022年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編專題13相似三角形(共46題)(原卷版+解析)

/專題13相似三角形一．選擇題1．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖，相交于點E，，則的長為（

）A． B．4 C． D．62．（2022·廣西賀州）如圖，在中，，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·廣西梧州）如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．184．（2022·四川雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．5．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，與相交于點E，連接，則與的周長比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：16．（2022·黑龍江綏化）如圖，在矩形中，P是邊上的一個動點，連接，，過點B作射線，交線段的延長線于點E，交邊于點M，且使得，如果，，，，其中．則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（

）（1）y與x的關(guān)系式為；（2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．（2022·湖北鄂州）如圖，定直線MNPQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC=12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ=60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當(dāng)線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（

）A．24 B．24 C．12 D．128．（2022·廣西貴港）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為9．（2022·貴州貴陽）如圖，在中，是邊上的點，，，則與的周長比是（

）A． B． C． D．10．（2022·廣西）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：111．（2022·山東臨沂）如圖，在中，，，若，則（

）A． B． C． D．12．（2022·山東威海）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6二．填空題13．（2022·貴州黔東南）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則______cm．14．（2022·上海）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，，則_____．15．（2022·北京）如圖，在矩形中，若，則的長為_______．16．（2022·江蘇常州）如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點與點重合）平移至終止位置（點與點重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是______．17．（2022·廣西）數(shù)學(xué)興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標(biāo)桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．18．（2022·廣東深圳）已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點，連接和且則長為______．19．（2022·廣西河池）如圖，把邊長為1：2的矩形ABCD沿長邊BC，AD的中點E，F(xiàn)對折，得到四邊形ABEF，點G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點O，N為AF的中點，連接ON，作OM⊥ON交AB于點M，連接MN，則tan∠AMN＝_____．20．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測量：把鏡子放在點O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α=60°，觀測者眼睛與地面距離CD=1.7m，BD=11m，則旗桿AB的高度約為_________m．（結(jié)果取整數(shù)，）21．（2022·湖北鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD=CE=2，則△ABP的周長為_____．22．（2022·山東濰坊）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為4，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長為___________．23．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在中，，，D為邊上一點，且，連接，以點D為圓心，的長為半徑作弧，交于點E（異于點C），連接，則的長為___________．24．（2022·江蘇泰州）如圖上，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長為__________.25．（2022·黑龍江綏化）如圖，，點在射線上，且，過點作交射線于，在射線上截取，使；過點作交射線于，在射線上截取，使.按照此規(guī)律，線段的長為________．26．（2022·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過點，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．27．（2022·廣西）如圖，在正方形ABCD中，，對角線相交于點O．點E是對角線AC上一點，連接BE，過點E作，分別交于點F、G，連接BF，交AC于點H，將沿EF翻折，點H的對應(yīng)點恰好落在BD上，得到若點F為CD的中點，則的周長是_________．28．（2022·遼寧）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．29．（2022·貴州貴陽）如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，，．若，則的面積是_______，_______度．三．解答題30．（2022·河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．(1)求∠C的大小及AB的長；(2)請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）31．（2022·吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設(shè)與之間的距離為，則，．∴．【探究】(1)如圖②，當(dāng)點在，之間時，設(shè)點，到直線的距離分別為，，則．證明：∵(2)如圖③，當(dāng)點在，之間時，連接并延長交于點，則．證明：過點作，垂足為，過點作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．(3)如圖④，當(dāng)點在下方時，連接交于點．若點，，所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．32．（2022·山東青島）如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點P從點B出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．交于點F，連接．設(shè)運動時間為．解答下列問題：(1)當(dāng)時，求t的值；(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．33．（2022·江蘇泰州）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.34．（2022·山東威海）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點（不與點A，C重合）．對于點D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應(yīng)的點E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點D，E分別運動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．(3)探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點（不與點A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．35．（2022·山東煙臺）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．36．（2022·黑龍江綏化）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點A與點C重合，點B落在處，點G為折痕上一點，過點G作于M，于N.若，，求的長．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點，，，連接，且，，，，求的長．37．（2022·黑龍江齊齊哈爾）綜合與實踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實踐活動帶給我們的樂趣．如圖①，在矩形ABCD中，點E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點，連接EF、DF，H為DF的中點，連接GH．將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°時，請解決下列問題：(1)圖②中，AB=BC，此時點E落在AB的延長線上，點F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則；(3)當(dāng)AB=m,BC=n時．．(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC，并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點C的對應(yīng)點P落在AB的延長線上，若PM平分∠APN，則CM長為．38．（2022·湖南郴州）如圖1，在矩形ABCD中，，．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作，交AB于點F．(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點B作，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時，求線段DE的長．39．（2022·山東濰坊）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過證明，可得．請你證明：．【遷移應(yīng)用】延長分別交所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明與的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．40．（2022·廣西貴港）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當(dāng)時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．41．（2022·遼寧）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點G，射線交于點N時，連接并延長交射線于點M，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，求的長．42．（2022·遼寧營口）如圖1，在正方形中，點M為邊上一點，過點M作且，連接，點P，Q分別為的中點，連接．(1)證明：；(2)將圖1中的繞正方形的頂點D順時針旋轉(zhuǎn)．①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；②若，在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)B，M，N三點共線時，請直接寫出線段的長．43．（2022·四川內(nèi)江）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．(1)當(dāng)F為BE的中點時，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．44．（2022·貴州銅仁）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，記的面積為，的面積為．（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點E，使，過點E作交于點F，點H為的中點，交于點G，且，若，求值．45．（2022·湖南）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是直徑，點是的中點，延長交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．46．（2022·吉林長春）如圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)網(wǎng)格中的形狀是________；(2)在圖①中確定一點D，連結(jié)、，使與全等：(3)在圖②中的邊上確定一點E，連結(jié)，使：(4)在圖③中的邊上確定一點P，在邊BC上確定一點Q，連結(jié)，使，且相似比為1：2．/

專題13相似三角形一．選擇題1．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖，相交于點E，，則的長為（

）A． B．4 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊長成比例可求得BE的長，即可求得BD的長．【詳解】∵∴∴∵，∴∵∴故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的對應(yīng)邊長成比例，解題的關(guān)鍵在于找到對應(yīng)邊長．2．（2022·廣西賀州）如圖，在中，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．【詳解】解：∴，∴，故選：B．【點睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣西梧州）如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】兩圖形位似必相似，再由相似的圖形面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：由題意可知，四邊形與四邊形相似，由兩圖形相似面積比等于相似比的平方可知：，又四邊形的面積是2，∴四邊形的面積為18，故選：D．【點睛】本題考察相似多邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·四川雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解再證明可得【詳解】解：＝，DE∥BC，故選D【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個點均在格點上，與相交于點E，連接，則與的周長比為（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】運用網(wǎng)格圖中隱藏的條件證明四邊形DCBM為平行四邊形，接著證明，最后利相似三角形周長的比等于相似比即可求出．【詳解】如圖：由題意可知，，，∴，而，∴四邊形DCBM為平行四邊形，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識并正確計算是解題關(guān)鍵．6．（2022·黑龍江綏化）如圖，在矩形中，P是邊上的一個動點，連接，，過點B作射線，交線段的延長線于點E，交邊于點M，且使得，如果，，，，其中．則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（

）（1）y與x的關(guān)系式為；（2）當(dāng)時，；（3）當(dāng)時，．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】（1）證明，得，將，，代入，即可得y與x的關(guān)系式；（2）利用兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等，判定；（3）過點M作垂足為F，在中，由勾股定理得BP的長，證明，求出，，BF的長，在中，求出的值即可．【詳解】解：（1）∵在矩形中，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，解得：，故（1）正確；（2）當(dāng)時，，∴，又∵，∴，故（2）正確；（3）過點M作垂足為F，∴，∵當(dāng)時，此時，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴故（3）不正確；故選：C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確找出相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·湖北鄂州）如圖，定直線MNPQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC=12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ=60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當(dāng)線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（

）A．24 B．24 C．12 D．12【答案】C【分析】如圖所示，過點F作交BC于H，連接EH，可證明四邊形CDFH是平行四邊形，得到CH=DF=8，CD=FH，則BH=4，從而可證四邊形ABHE是平行四邊形，得到AB=HE，即可推出當(dāng)E、F、H三點共線時，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延長AE交PQ于G，過點E作ET⊥PQ于T，過點A作AL⊥PQ于L，過點D作DK⊥PQ于K，證明四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通過勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點F作交BC于H，連接EH，∵，∴四邊形CDFH是平行四邊形，∴CH=DF=8，CD=FH，∴BH=4，∴BH=AE=4，

又∵，∴四邊形ABHE是平行四邊形，∴AB=HE，∵，∴當(dāng)E、F、H三點共線時，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延長AE交PQ于G，過點E作ET⊥PQ于T，過點A作AL⊥PQ于L，過點D作DK⊥PQ于K，∵，∴四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，∴EG=BC=12，∴，同理可求得，，∴，

∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，∴，∴△ALO∽△DKO，∴，∴，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正確作出輔助線推出當(dāng)E、F、H三點共線時，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF是解題的關(guān)鍵．8．（2022·廣西貴港）如圖，在邊長為1的菱形中，，動點E在邊上（與點A、B均不重合），點F在對角線上，與相交于點G，連接，若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為【答案】D【分析】先證明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，得DF=CE，判斷A項答案正確，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判斷B項答案正確，證△BEG△CEB得，即可判斷C項答案正確，由，BC=1，得點G在以線段BC為弦的弧BC上，易得當(dāng)點G在等邊△ABC的內(nèi)心處時，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判斷D項錯誤．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，故A項答案正確，∠ABF=∠BCE，∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B項答案正確，∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，∴，∴，∵，∴，故C項答案正確，∵，BC=1，點G在以線段BC為弦的弧BC上，∴當(dāng)點G在等邊△ABC的內(nèi)心處時，AG取最小值，如下圖，

∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，∴解得AG=，故D項錯誤，故應(yīng)選：D【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·貴州貴陽）如圖，在中，是邊上的點，，，則與的周長比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明△ACD∽△ABC，即有，則可得，問題得解．【詳解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∴△ADC與△ACB的周長比1:2，故選：B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ACD∽△ABC是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022·廣西）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方，即可得到答案．【詳解】∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，∴△ABC與△A1B1C1的面積比為1：9，故選：C．【點睛】本題考查位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．11．（2022·山東臨沂）如圖，在中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，，可得再建立方程即可．【詳解】解：，，，解得：經(jīng)檢驗符合題意故選C【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，證明“”是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·山東威海）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6【答案】C【分析】根據(jù)題意得出A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，確定與△AOB位似的三角形為△GOH，利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出OG=，再由相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，∴A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，∴與△AOB位似的三角形為△GOH，設(shè)OA=x，則OB=，∴OC=，∴OD=，…∴OG=，∴，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解三角形，找規(guī)律問題，相似三角形的性質(zhì)等，理解題意，找出相應(yīng)邊的比值規(guī)律是解題關(guān)鍵．二．填空題13．（2022·貴州黔東南）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點落在點處，分別延長、交于點、，若點是邊的中點，則______cm．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DE=DC=4，EM=CM=2，連接DF，設(shè)FE=x，由勾股定理得BF，DF，從而求出x的值，得出FB，再證明，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可求出FG．【詳解】解：連接如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∵點M為BC的中點，∴由折疊得，∠∴∠，設(shè)則有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴故答案為：【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022·上海）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，，則_____．【答案】或【分析】由題意可求出，取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足，進(jìn)而可求此時，然后在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則，證明△DE1E2是等邊三角形，求出E1E2＝，即可得到，問題得解．【詳解】解：∵D為AB中點，∴，即，取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時DE1∥BC，，∴，在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則，∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝，∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等邊三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝，∴E1E2＝，∵，∴，即，綜上，的值為：或，故答案為：或．【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)進(jìn)行分情況求解是解題的關(guān)鍵．15．（2022·北京）如圖，在矩形中，若，則的長為_______．【答案】1【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，以及平行線分線段成比例進(jìn)行解答即可．【詳解】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案為：1．【點睛】此題考查了勾股定理以及平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．16．（2022·江蘇常州）如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點與點重合）平移至終止位置（點與點重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是______．【答案】28【分析】過點作的垂線交于，同時在圖上標(biāo)出如圖，需要知道的是的被染色的區(qū)域面積是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì)，求出相應(yīng)邊長，即可求解．【詳解】解：過點作的垂線交于，同時在圖上標(biāo)出如下圖：，，，，在中，，，．，，，四邊形為平行四邊形，，，解得：，

，，，

，，，同理可證：，

，，，的外部被染色的區(qū)域面積為，故答案為：28．【點睛】本題考查了直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積．17．（2022·廣西）數(shù)學(xué)興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標(biāo)桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．【答案】12【分析】根據(jù)同時、同地物高和影長的比不變，構(gòu)造相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：設(shè)旗桿為AB，如圖所示：根據(jù)題意得：，∴∵米，米，米，∴解得：AB=12米．故答案為：12．【點睛】本題考查了中心投影、相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．18．（2022·廣東深圳）已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點，連接和且則長為______．【答案】【分析】將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，利用證明，得，，從而得出，則，即可解決問題．【詳解】解：將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，是等腰直角三角形，又是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．19．（2022·廣西河池）如圖，把邊長為1：2的矩形ABCD沿長邊BC，AD的中點E，F(xiàn)對折，得到四邊形ABEF，點G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG與BH交于點O，N為AF的中點，連接ON，作OM⊥ON交AB于點M，連接MN，則tan∠AMN＝_____．【答案】##0.625【分析】先判斷出四邊形ABEF是正方形，進(jìn)而判斷出△ABG≌△BEH，得出∠BAG=∠EBH，進(jìn)而求出∠AOB=90°，再判斷出△AOB~△ABG，求出，再判斷出△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．【詳解】解：∵點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，∴，∴四邊形ABEF是矩形，由題意知，AD=2AB，∴AF=AB，∴矩形ABEF是正方形，∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，∵BG=EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴，∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴，即，∴，∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴，∵點N是AF的中點，∴，∴，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴．故答案為：【點睛】此題主要考查了矩形性質(zhì)，正方形性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出BM是解本題的關(guān)鍵．20．（2022·內(nèi)蒙古赤峰）如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組，根據(jù)光的反射定律，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進(jìn)行測量：把鏡子放在點O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角α=60°，觀測者眼睛與地面距離CD=1.7m，BD=11m，則旗桿AB的高度約為_________m．（結(jié)果取整數(shù)，）【答案】17【分析】如圖容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，這樣可以得到△COD∽△AOB，然后利用對應(yīng)邊成比例就可以求出AB．【詳解】解：由題意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，∵CD=1.7m，∴OD=≈1(m)，∴OB=11-1=10(m)，∴△COD∽△AOB．∴，即，∴AB=17(m)，答：旗桿AB的高度約為17m．故答案為：17．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的應(yīng)用，本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)果．21．（2022·湖北鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD=CE=2，則△ABP的周長為_____．【答案】【分析】如圖所示，過點E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，從而求出BF，利用勾股定理求出BE的長，證明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再證明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，從而求出AP，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點E作EF⊥AB于F，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，AB=AC=6，∴AE=4，∴，∴BF=4，∴，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∵∠BDP=∠ADB，∴△BDP∽△ADB，∴，∴，∴，∴，∴△ABP的周長，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2022·山東濰坊）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為4，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長為___________．【答案】【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積為4，求出，根據(jù)位似比求出，周長即可得出；【詳解】解：正方形ABCD的面積為4，，，，，所求周長；故答案為：．【點睛】本題考查位似圖形，涉及知識點：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解題關(guān)鍵求出正方形ABCD的邊長．23．（2022·內(nèi)蒙古包頭）如圖，在中，，，D為邊上一點，且，連接，以點D為圓心，的長為半徑作弧，交于點E（異于點C），連接，則的長為___________．【答案】##【分析】過點D作DF⊥BC于點F，根據(jù)題意得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)，，得出，設(shè)，則，證明，得出，列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，即可得出．【詳解】解：過點D作DF⊥BC于點F，如圖所示：根據(jù)作圖可知，，∵DF⊥BC，∴，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行線分線段成比例定理，平行線的判定，作出輔助線，根據(jù)題意求出CF的長，是解題的關(guān)鍵．24．（2022·江蘇泰州）如圖上，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長為__________.【答案】2或##或2【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作，，連接OB，則OD⊥AC，∵，∴∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE，∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴∴②如圖，作，由①知，，，∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：2或．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應(yīng)用性質(zhì)定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．25．（2022·黑龍江綏化）如圖，，點在射線上，且，過點作交射線于，在射線上截取，使；過點作交射線于，在射線上截取，使.按照此規(guī)律，線段的長為________．【答案】【分析】解直角三角形分別求得，，，……，探究出規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：，是直角三角形，在中，，，，，，，，，，，同理可得：，，……，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形的規(guī)律，解直角三角形，平行線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法．26．（2022·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過點，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．【答案】【分析】先求出，可得，再根據(jù)題意可得，從而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得∶∶∶∶……∶=，即可求解．【詳解】解：當(dāng)x=1時，，∴點，∴，∴，∵根據(jù)題意得：，∴∽∽∽∽……∽，∴∶∶∶：……∶=OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，∵，，，，……，∴，，，……，，∴∶∶∶∶……∶=，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圖形與坐標(biāo)的規(guī)律題，相似三角形的判定和性質(zhì)，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．27．（2022·廣西）如圖，在正方形ABCD中，，對角線相交于點O．點E是對角線AC上一點，連接BE，過點E作，分別交于點F、G，連接BF，交AC于點H，將沿EF翻折，點H的對應(yīng)點恰好落在BD上，得到若點F為CD的中點，則的周長是_________．【答案】##【分析】過點E作PQAD交AB于點P，交DC于點Q，得到BP=CQ，從而證得≌，得到BE=EF，再利用，F(xiàn)為中點，求得，從而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，，從而得到EH=AH-AE=，再求得得到，求得EG=，OG=1，過點F作FM⊥AC于點M，作FN⊥OD于點N，求得FM=2，MH=，F(xiàn)N=2，證得Rt≌Rt得到，從而得到ON=2，NG=1，，從而得到答案．【詳解】解：過點E作PQAD交AB于點P，交DC于點Q，∵ADPQ，∴AP=DQ，，∴BP=CQ，∵，∴BP=CQ=EQ，∵EF⊥BE，∴∵∴，在與中

∴≌，∴BE=EF，又∵，F(xiàn)為中點，∴，∴，∴，又∵，

∴，∴AE=AO-EO=4-2=2，∵ABFC，∴，∴，∴，∵，

∴，，∴EH=AH-AE=，∵，，∴，又∵，

∴∴，，∴EG=，OG=1，過點F作FM⊥AC于點M，∴FM=MC==，∴MH=CH-MC=，

作FN⊥OD于點N，，在Rt與Rt中∴Rt≌Rt∴，∴ON=2，NG=1，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)應(yīng)用，重點是與三角形相似和三角形全等的結(jié)合，熟練掌握做輔助線是解題的關(guān)鍵．28．（2022·遼寧）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．【答案】3【分析】由正方形的性質(zhì)可知，，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴，，∴，∴，∵E為的中點，∴，∴，，∴，∴；故答案為3．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．29．（2022·貴州貴陽）如圖，在四邊形中，對角線，相交于點，，．若，則的面積是_______，_______度．【答案】

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【分析】通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，再利用勾股定理求出其長度，即可求三角形ABE的面積，過點E作EF⊥AB，垂足為F，證明是等腰直角三角形，再求出，繼而證明，可知，利用外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】，，，，設(shè)，，，，在中，由勾股定理得，，解得或，對角線，相交于點，，，，，過點E作EF⊥AB，垂足為F，，，，，，，，故答案為：，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．三．解答題30．（2022·河北）如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓O，其中水面截線．嘉琪在A處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14°，點M的俯角為7°．已知爸爸的身高為1.7m．(1)求∠C的大小及AB的長；(2)請在圖中畫出線段DH，用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）．（參考數(shù)據(jù)：取4，取4.1）【答案】(1)，(2)見詳解，約米【分析】（1）由水面截線可得，從而可求得，利用銳角三角形的正切值即可求解．（2）過點作，交MN于D點，交半圓于H點，連接OM，過點M作MG⊥OB于G，水面截線，即可得DH即為所求，由圓周角定理可得，進(jìn)而可得，利用相似三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理即可求得的值，從而可求解．(1)解：∵水面截線，，，在中，，，，解得．(2)過點作，交MN于D點，交半圓于H點，連接OM，過點M作MG⊥OB于G，如圖所示：水面截線，，，，為最大水深，，，，且，，，即，即，在中，，，，即，解得，，最大水深約為米．【點睛】本題考查了解直角三角形，主要考查了銳角三角函數(shù)的正切值、圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．31．（2022·吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設(shè)與之間的距離為，則，．∴．【探究】(1)如圖②，當(dāng)點在，之間時，設(shè)點，到直線的距離分別為，，則．證明：∵(2)如圖③，當(dāng)點在，之間時，連接并延長交于點，則．證明：過點作，垂足為，過點作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．(3)如圖④，當(dāng)點在下方時，連接交于點．若點，，所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得，由此即可得證；（2）過點作，垂足為，過點作，垂足為，先根據(jù)平行線的判定可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后結(jié)合【探究】（1）的結(jié)論即可得證；（3）過點作于點，過點作于點，先根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得，，由此即可得出答案．(1)證明：，，．(2)證明：過點作，垂足為，過點作，垂足為，則，．．．由【探究】（1）可知，．(3)解：過點作于點，過點作于點，則，，，，點所對應(yīng)的刻度值分別為5，，0，，，，又，，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．32．（2022·山東青島）如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點P從點B出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．交于點F，連接．設(shè)運動時間為．解答下列問題：(1)當(dāng)時，求t的值；(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用得，即，進(jìn)而求解；（2）分別過點C，P作，垂足分別為M，N，證得，，求得，再證得，得出，根據(jù)即可求出表達(dá)式；（3）當(dāng)時，易證，得出，則，進(jìn)而求出t值．(1)解：在中，由勾股定理得，∵繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到∴∵∴又∴∴∴∴答：當(dāng)時，t的值為．(2)解：分別過點C，P作，垂足分別為M，N∵∴又∴∴∴∴∵∴∴∴∴∴∴∴(3)解：假設(shè)存在某一時刻t，使∵∴∵∴又∴∴∴∴∴存在時刻，使．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與相似，利用勾股定理求線段長，平行線的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到相似圖形是解決問題的關(guān)鍵，是中考中的?？碱}．33．（2022·江蘇泰州）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)2(2)圖見詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解；（2）作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問題可求解．(1)解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；(2)解：作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；如圖所示：點F即為所求，(3)解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵．34．（2022·山東威海）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點D，E分別是邊AC，AB的中點，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點（不與點A，C重合）．對于點D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應(yīng)的點E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點D，E分別運動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．(3)探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點（不與點A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．【答案】(1)見解析(2)添加條件CD=BE，見解析(3)能，0＜CF＜【分析】（1）①利用ASA證明△ABD≌△ACE．②利用SAS證明△ABD≌△ACE．（2）添加條件CD=BE，證明AC+CD=AB+BE，從而利用SAS證明△ABD≌△ACE．（3）在AC上取一點D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當(dāng)BD=BF=BA時，可證△CBF∽△BAF，運用相似性質(zhì)，求得CF的長即可．(1)①如圖1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．②如圖1，∵AB=AC，點D，E分別是邊AC，AB的中點，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．(2)添加條件CD=BE，證明如下：∵AB=AC，CD=BE，∴AC+CD=AB+BE，∴AD=AE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．(3)能在AC上取一點D，使得BD=CE，根據(jù)BF=CE，得到BD=BF，當(dāng)BD=BF=BA時，E與A重合，∵∠A＝36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，∴△CBF∽△BAF，∴，∵AB＝AC＝2=BF，設(shè)CF=x，∴，整理，得，解得x=，x=（舍去），故CF=x=，∴0＜CF＜．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形相似的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．35．（2022·山東煙臺）(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．【答案】(1)見解析(2)(3)①；②【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，從而得出結(jié)論；（2）證明△BAD∽△CAE，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）①先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進(jìn)而得出結(jié)果；②在①的基礎(chǔ)上得出∠ACE＝∠ABD，進(jìn)而∠BFC＝∠BAC，進(jìn)一步得出結(jié)果．(1)證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，；(3)解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，；②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．36．（2022·黑龍江綏化）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點A與點C重合，點B落在處，點G為折痕上一點，過點G作于M，于N.若，，求的長．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點，，，連接，且，，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，利用等面積法，根據(jù)等腰中，，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到，結(jié)合矩形中得到，從而有，從而確定是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到，結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）延長交于，連接，過點作于，根據(jù)，，，得到是等腰三角形，從而由（1）知，在中，，在中，，，聯(lián)立方程求解得，從而得到結(jié)論．(1)證明：連接，如圖所示：在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G，由得，；(2)解：連接，過點作于，如圖所示：根據(jù)折疊可知，在矩形中，，則，，即是等腰三角形，在等腰中，，邊上有一點G，過點G作于M，于N，過點作于，由（1）可得，在中，，，則，在四邊形中，，則四邊形為矩形，，即；(3)解：延長交于，連接，過點作于，在四邊形中，E為線段上的一點，，，則，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，解得，，即．【點睛】本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，讀懂題意，掌握（1）中的證明過程與結(jié)論并運用到其他情境中是解決問題的關(guān)鍵．37．（2022·黑龍江齊齊哈爾）綜合與實踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們在學(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會數(shù)學(xué)實踐活動帶給我們的樂趣．如圖①，在矩形ABCD中，點E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點，連接EF、DF，H為DF的中點，連接GH．將△BEF繞點B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°時，請解決下列問題：(1)圖②中，AB=BC，此時點E落在AB的延長線上，點F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則；(3)當(dāng)AB=m,BC=n時．．(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC，并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④)．點M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CMN沿MN翻折，使點C的對應(yīng)點P落在AB的延長線上，若PM平分∠APN，則CM長為．【答案】(1)，證明見解析(2)(3)(4)【分析】（1）先證明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=，等量代換即可；（2）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=，等量代換即可；（3）連接AF，先證明△ABF∽△CBE，用含m、n的代數(shù)式表達(dá)出AF：CE的比值，再根據(jù)中位線性質(zhì)得GH=，等量代換即可；（4）過M作MH⊥AB于H，根據(jù)折疊性質(zhì)得∠C=∠MPN，根據(jù)角平分線證明出∠C=∠PMH，設(shè)CM=PM=x，HM=y，根據(jù)三角函數(shù)定義找到x、y之間的關(guān)系，再利用△AHM∽△ABC，得到，代入解方程即可．(1)解：，理由如下：∵AB=BC，四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=∠CBE=90°，∵E、F為BC，AB中點，∴BE=BF，∴△ABF≌△CBE，∴AF=CE，∵H為DF中點，G為AD中點，∴GH=，∴．(2)解：，連接AF，如圖所示，由題意知，BF==1，BE==，∴，由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，∠ABC=∠CBE=90°，∴△ABF∽△CBE，∴AF：CE=2:3，∵G為AD中點，H為DF中點，∴GH=，∴．故答案為：．(3)解：，連接AF，如圖所示，由題意知，BF==，BE==，∴，由矩形ABCD性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)知，∠ABC=∠CBE=90°，∴△ABF∽△CBE，∴AF：CE=m：n，∵G為AD中點，H為DF中點，∴GH=，∴．故答案為：．(4)解：過M作MH⊥AB于H，如圖所示，由折疊知，CM=PM，∠C=∠MPN，∵PM平分∠APN，∴∠APM=∠MPN，∴∠C=∠APM，∵AB=2，BC=3，∴AC=，設(shè)CM=PM=x，HM=y，由知，，即，，

∵HM∥BC，∴△AHM∽△ABC，∴，即，，∴，解得：x=，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)、三角形中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)定義等知識點，找到相似三角形是解題關(guān)鍵．38．（2022·湖南郴州）如圖1，在矩形ABCD中，，．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作，交AB于點F．(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點B作，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時，求線段DE的長．【答案】(1)見解析(2)①5；②或【分析】（1）證明出即可求解；（2）①連接AM．先證明．確定出點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點共線時，．此時，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，則問題得解．②先求出AF，求AF的第一種方法：過點M作交FC于點N，即有，進(jìn)而有．設(shè)，則，．再根據(jù)，得到，得到，則有，解方程即可求出AF；求AF的第二種方法：過點G作交BC于點H．即有．則有，根據(jù)，可得，進(jìn)而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，即有，解得解方程即可求出DE．(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴．∵，∴，∴，∴；(2)①解：如圖2-1，連接AM．∵，∴是直角二角形．∴．∴點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點不共線時，由三角形兩邊之和大于箒三邊得：，當(dāng)A，G，M三點共線時，．此時，取最小值．在中，．∴的最小值為5．②（求AF的方法一）如圖2-2，過點M作交FC于點N，∴．∴．設(shè)，則，∴．∵，∴，∴，由①知的最小值為5、即，又∵，∴．∴，解得，即．（求AF的方法二）如圖2-3，過點G作交BC于點H．∴．∴，由①知的最小值為5，即，又∵，∴．∴，．由得，∴，即，解得．∴．由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，∴，解得或．∵，，∴或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)、勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．39．（2022·山東濰坊）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過證明，可得．請你證明：．【遷移應(yīng)用】延長分別交所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明與的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系．【答案】證明見解析；垂直；【分析】證明，即可得出結(jié)論；通過，可以求出，得出結(jié)論；證明，得出，得出結(jié)論；【詳解】證明：，，，，，，；遷移應(yīng)用：，證明：，，，，，，，；拓展延伸：，證明：在中，，在中，，，由上一問題可知，，，，．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識點：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等角的余角相等，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應(yīng)用相關(guān)的判定與性質(zhì)．40．（2022·廣西貴港）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當(dāng)時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②見解析【分析】（1）過點C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進(jìn)而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．（2）①過點E作于點H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可求解．②連接，根據(jù)，得，即是等邊三角形，把旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論．(1)解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案為：等腰三角形，．(2)①過點E作于點H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴，∵是等邊三角形，且與重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，又，∴，又由（1）知，∴，則，∴在中，由勾股定理得：．②連接，如圖3所示：∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等邊三角形，又∵是等邊三角形，∴繞點D順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，巧妙借助輔助線是解題的關(guān)鍵．41．（2022·遼寧）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，當(dāng)射線交于點G，射線交于點N時，連接并延長交射線于點M，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，求的長．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）連接，可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線定理可得，即可得證；（2）證明，根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；（3）連接，過點作于，證明，可得，勾股定理求得，根據(jù)，，可得，進(jìn)而求得，根據(jù)求得，根據(jù)（2）的結(jié)論，即可求解．(1)證明：如圖，連接，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，，，，，(2)，理由如下，連接，如圖，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，，，，，，，(3)如圖，連接，過點作于，中，,，，，，，，，中，，中，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．42．（2022·遼寧營口）如圖1，在正方形中，點M為邊上一點，過點M作且，連接，點P，Q分別為的中點，連接．(1)證明：；(2)將圖1中的繞正方形的頂點D順時針旋轉(zhuǎn)．①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請結(jié)合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；②若，在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)B，M，N三點共線時，請直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)①成立，見