兩點(diǎn)間的距離公式（重難點(diǎn)突破）

專題2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式知識點(diǎn)一：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為.知識點(diǎn)詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決.另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握.例1．（1）、（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，則為（

）A．5 B． C． D．4【答案】A【分析】由距離公式求解.【詳解】.故選：A（2）、（2022春·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)且線段的垂直平分線的方程是，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C．3 D．1【答案】C【分析】由題知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入方程即可得答案.【詳解】解：由題知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)且線段的垂直平分線的方程是所以，將代入直線中，得，解得.故選：C【變式訓(xùn)練11】、（2023春·江西·高二江西省清江中學(xué)?？计谀┮阎c(diǎn)，，則．【答案】【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式計算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：【變式訓(xùn)練12】、（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則．【答案】9或【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可.【詳解】由，得，即，解得或．故答案為：9或.例2．（1）、（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得，結(jié)合結(jié)論兩點(diǎn)之間線段最短可求的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時等號成立，所以的最小值是4，故選：B.（2）、（2022秋·高二單元測試）（多選題）已知直線：，：，，以下結(jié)論正確的是（

）A．不論為何值時，與都互相垂直B．當(dāng)變化時，與分別經(jīng)過定點(diǎn)和C．不論為何值時，與都關(guān)于直線對稱D．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果與交于點(diǎn)，則的最大值是【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，利用兩條直線垂直的充要條件即可求解；B選項(xiàng)，求出兩直線恒過的點(diǎn)的坐標(biāo)；C選項(xiàng)，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，即可求解；D選項(xiàng)，先求出兩直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式，即可求解.【詳解】由于1×a+?a×1=0，所以與互相垂直，故不論為何值時，與都互相垂直；A正確；直線：，當(dāng)時，，所以恒過點(diǎn)，：，當(dāng)時，，所以恒過點(diǎn)，故B正確；設(shè)直線：上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，將點(diǎn)代入直線，可得：，與在直線：上矛盾，故C錯誤；聯(lián)立方程組：x?ay+2=0ax+y?2=0，解得：x=2a?2a2+1MO=2a?2a2+1故選：ABD【變式訓(xùn)練21】、（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出關(guān)于的對稱點(diǎn)和它關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),則就是所求的路程長.【詳解】易知直線AB的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為，則解得即．又點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為，由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過的路程長．故選：.【變式訓(xùn)練22】、（2022秋·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，點(diǎn)在直線上移動，則的最小值為.【答案】9【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)在直線上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)求最值即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，所以，故當(dāng)時，取得最小值9.故答案為：9.【變式訓(xùn)練23】、（2022秋·甘肅嘉峪關(guān)·高二?？计谥校┖瘮?shù)的最小值是.【答案】5【分析】依題意可得，設(shè)，，，則問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離之和的最小值，求出關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則，再根據(jù)距離公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，設(shè)，，，則表示點(diǎn)到點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離之和，即，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則，所以，所以的最小值是.故答案為：例3．（2022秋·浙江杭州·高二校考期中）若的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求AB邊上中線所在的直線方程；(2)求角AOB的內(nèi)角平分線所在的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得斜率，根據(jù)斜截式求直線方程；（2）先求三邊的長度，進(jìn)而可判斷為等邊三角形，根據(jù)三線合一求直線方程.【詳解】（1）由題意可得：線段AB的中點(diǎn)，則AB邊上中線所在的直線的斜率，故AB邊上中線所在的直線方程為.（2）由題意可得：，即，則為等邊三角形，∴角AOB的內(nèi)角平分線所在的直線即為AB邊上中線所在的直線，故角AOB的內(nèi)角平分線所在的直線方程為.【變式訓(xùn)練31】、（2022秋·北京·高二北京市第三中學(xué)校考期中）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，M是BC邊上的中點(diǎn).(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求中線AM的長；(3)求過M且以為方向向量的直線方程.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線AB的斜率，再由點(diǎn)斜式得直線方程；（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計算可得；（3）由(1)知直線AB的斜率