甘肅省白銀市2025-2025學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷

甘肅省白銀市2025-2025學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試卷考試時間：120分鐘?總分：100分?年級/班級：高二〔1〕班一、選擇題〔每題5分，共30分〕要求：在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1.假設函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極小值，那么以下結論正確的選項是〔〕A.a>0，b>0B.a<0，b<0C.a>0，b<0D.a<0，b>02.知曉數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an-1，那么數(shù)列{an+1}的通項公式為〔〕A.an=2^n-1B.an=2^n+1C.an=2^nD.an=2^n-23.知曉等差數(shù)列{an}的首項a1=3，公差d=2，那么該數(shù)列的前n項和Sn為〔〕A.Sn=n^2+2nB.Sn=n^2+3nC.Sn=3n^2+2nD.Sn=3n^2+3n4.知曉函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，那么f(x)的圖像大致形狀是〔〕A.單峰B.雙峰C.拋物線D.無峰5.假設向量a=(2,3)，向量b=(3,-2)，那么向量a與向量b的點積為〔〕A.6B.-6C.9D.-96.假設平面α的法向量n=(2,3,4)，點P(1,2,3)在平面α上的投影點為Q，那么向量PQ與向量n的點積為〔〕A.17B.-17C.9D.-9二、填空題〔每題5分，共20分〕要求：直接寫出答案。1.假設函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的圖像與x軸的交點坐標為〔1，0〕，那么該函數(shù)的圖像還與x軸的交點坐標為〔〕。2.知曉等差數(shù)列{an}的首項a1=3，公差d=2，那么該數(shù)列的第10項an為〔〕。3.假設向量a=(2,3)，向量b=(3,-2)，那么向量a與向量b的模長分別為〔〕和〔〕。4.假設平面α的法向量n=(2,3,4)，點P(1,2,3)在平面α上的投影點為Q，那么向量PQ的模長為〔〕。5.假設函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，那么a的取值范圍為〔〕。6.假設向量a=(2,3)，向量b=(3,-2)，那么向量a與向量b的夾角θ的余弦值為〔〕。三、解答題〔每題10分，共40分〕要求：解答以下各題。3.知曉數(shù)列{an}滿足an=3^n-2^n，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出該數(shù)列的公比。4.知曉函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。五、解答題〔每題10分，共20分〕要求：解答以下各題。5.知曉函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)f(x)的圖像的頂點坐標，并判斷該函數(shù)的圖像是開口向上還是開口向下。六、解答題〔每題10分，共20分〕要求：解答以下各題。6.知曉三角形ABC的邊長分別為a=5，b=7，c=8，求三角形ABC的內角A、B、C的正弦值。本次試卷答案如下：一、選擇題〔每題5分，共30分〕1.C.a>0，b<0解析：函數(shù)在x=1處取得極小值，意味著導數(shù)在x=1處為0，且二階導數(shù)大于0。對于二次函數(shù)，a決定了開口方向，a>0時開口向上，a<0時開口向下。由于取得極小值，故a>0。而b決定了函數(shù)圖像的對稱軸，對稱軸x=-b/2a，由于在x=1處取得極小值，對稱軸應該在x=1的左側，即b<0。2.A.an=2^n-1解析：由遞推關系an+1=2an-1，可以觀察到每一項都是前一項的兩倍再減去1。因此，這是一個等比數(shù)列，首項a1=1，公比q=2，所以通項公式為an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)=2^n-1。3.A.Sn=n^2+2n解析：等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=n/2*(a1+an)，其中an是第n項。知曉首項a1=3，公差d=2，所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1。代入公式得Sn=n/2*(3+2n+1)=n/2*(2n+4)=n^2+2n。4.A.單峰解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x+2是一個三次函數(shù)，其導數(shù)f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。由于導數(shù)在x=-1處由負變正，在x=1處由正變負，因此函數(shù)在x=-1處取得局部最小值，在x=1處取得局部最大值，所以圖像是單峰的。5.A.6解析：向量a與向量b的點積定義為a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分別是向量a和向量b的模長，θ是兩個向量之間的夾角。對于向量a=(2,3)和向量b=(3,-2)，|a|=√(2^2+3^2)=√13，|b|=√(3^2+(-2)^2)=√13，cosθ=(2*3+3*(-2))/(√13*√13)=6/13。因此，a·b=|a||b|cosθ=6。6.B.-17解析：向量PQ與向量n的點積定義為PQ·n=|PQ||n|cosθ，其中|PQ|和|n|分別是向量PQ和向量n的模長，θ是兩個向量之間的夾角。由于點Q是點P在平面α上的投影，向量PQ垂直于平面α，因此θ=90°，cosθ=0。所以PQ·n=|PQ||n|cosθ=0，但由于向量n與向量PQ的夾角是180°，所以實際上PQ·n=-|PQ||n|=-17。二、填空題〔每題5分，共20分〕1.〔-1，0〕解析：由于函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的圖像與x軸的交點坐標為〔1，0〕，且函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，因此另一個交點坐標為〔-1，0〕。2.19解析：等差數(shù)列的第n項公式為an=a1+(n-1)d，代入知曉的首項a1=3和公差d=2，得到an=3+(n-1)*2=2n+1，所以第10項an=2*10+1=21。3.2√13，2√13解析：向量a的模長|a|=√(2^2+3^2)=√13，向量b的模長|b|=√(3^2+(-2)^2)=√13。4.√2解析：點P到平面α的距離等于向量PQ的模長，由于點P在平面α上，向量PQ就是向量OP，即點P到原點的向量。|OP|=√(1^2+2^2+3^2)=√14。5.a>0解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，意味著二次項系數(shù)a必須大于0。6.3/5解析：向量a與向量b的夾角θ的余弦值可以通過點積公式計算，cosθ=(a·b)/(|a||b|)。代入向量a和向量b的坐標，得到cosθ=(2*3+3*(-2))/(√13*√13)=3/5。本次試卷答案如下：三、解答題〔每題10分，共40分〕3.知曉數(shù)列{an}滿足an=3^n-2^n，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出該數(shù)列的公比。解析：要證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列，需要證明相鄰兩項的比值是常數(shù)。計算相鄰兩項的比值：an+1/an=(3^(n+1)-2^(n+1))/(3^n-2^n)=(3*3^n-2*2^n)/(3^n-2^n)=(3^n*3-2^n*2)/(3^n-2^n)=3*(3^n/3^n)-2*(2^n/2^n)=3-2=1由于比值是一個常數(shù)，因此數(shù)列{an}是等比數(shù)列。公比q=1。4.知曉函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+4，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。解析：首先求導數(shù)f'(x)=6x^2-6x。令f'(x)=0，解得x=0或x=1。在區(qū)間[1,3]內，x=1是可能的極值點。計算f(1)=2*1^3-3*1^2+4=3，f(3)=2*3^3-3*3^2+4=14。因此，函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最大值為14，最小值為3。五、解答題〔每題10分，共20分〕5.知曉函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)f(x)的圖像的頂點坐標，并判斷該函數(shù)的圖像是開口向上還是開口向下。解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3是一個二次函數(shù)，其頂點坐標可以通過公式(-b/2a,f(-b/2a))求得。在這個例子中，a=1，b=-4，所以頂點x坐標為-x/2a=-(-4)/(2*1)=2。將x=2代入函數(shù)得f(2)=2^2-4*2+3=-1。因此，頂點坐標為(2,-1)。由于二次項系數(shù)a=1大于0，函數(shù)的圖像開口向上。六、解答題〔每題10分，共20分〕6.知曉三角形ABC的邊長分別為a=5，b=7，c=8，求三角形ABC的內角A、B、C的正弦值。解析：可以使用余弦定理來求出三角形ABC的內角。余弦定理公式為：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)計算得到：cosA=(7^2+8^2-5^2)/(2*7*8)=1cosB=(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=1/4cosC=(5^2+7^2-8^2)/(2*5*7)