2025年中考數(shù)學(xué)壓軸專題匯編(江蘇專用)壓軸專題16阿基米德折弦定理與婆羅摩笈多模型(原卷版+解析)

/壓軸專題16阿基米德折弦定理與婆羅摩笈多模型知識考點與解題策略模型1.阿基米德折弦模型折弦:從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。條件：如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，結(jié)論：CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4證明：法1（垂線法）：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接，AC；∵M(jìn)是的中點，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．法2（截長法）：如圖3，在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，AC；∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M(jìn)是的中點，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵M(jìn)B=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．法3（補(bǔ)短法）：如圖4，如圖，延長DB至F，使BF=BA；連接MA、MB、MC、MF、AC，∵M(jìn)是的中點，∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，，∴∠MBA=∠MBF，在△MBF和△MBA中，，∴△MBF≌△MBA（SAS），∴MF=MA=MC，又∵M(jìn)D⊥BC，∴FD=CD，∴DC=BF+BD=BA+BD；模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型婆羅摩笈多定理：如果一個圓內(nèi)接四邊形（即對角互補(bǔ)的四邊形）的對角線互相垂直且相交，那么從交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經(jīng)過這條邊對邊的中點（反之亦能成立）。1）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線，垂足為點M，直線，垂足為點E，并且交直線AD于點F．結(jié)論：．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD2）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點，直線FM交BC于點E，F(xiàn)A=FD．結(jié)論：FE⊥BC．證明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．例題1（24-25九年級上·江蘇無錫·期中）（1）【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和，是的中點，∴，∴①，又∵②，，，又，，，即，根據(jù)證明過程，完成下列步驟：①，②．（2）【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，點是的中點，于點，則的長為_____．（3）【變式探究】如圖3，若點是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．（4）【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，是的直徑，點圓上一定點，點圓上一動點，且滿足，若，的半徑為10，求長．

例題2（2021·江蘇宿遷·二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點的等腰直角三角形，，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點．證明：點是的中點；（2）如圖3，和為共頂點的等腰直角三角形，點是的中點，連接交于點，若，求的長．1．阿基米德折弦定理：如圖1，與是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，于點N，則點N是折弦的中點，即．如圖2，半徑為4的圓中有一個內(nèi)接矩形，，點M是的中點，于點N，若矩形的面積為20，則線段的長為（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級下·江蘇徐州·自主招生）已知圓的圓心在函數(shù)圖象上，若圓與軸和直線都相切，則點的坐標(biāo)為．4．（23-24九年級上·江蘇常州·期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，作了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn)．如圖，在中，是的中點，直線于點，則可以得到＝，請證明此結(jié)論．

(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，稱為該圓的一條折弦．如圖，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，若、是的折弦，是的中點，于點．則．這就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何來證明這個結(jié)論呢？小明的證明思路是∶在上截取，連接、、、…請你按照小明的思路完成證明過程．

(3)如圖，已知等邊三角形內(nèi)接于，＝，點是上的一點，＝，AE⊥BD于點，則的周長為_________．

5．請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點，則從點M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．

這個定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接．∵M(jìn)是的中點，∴．任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點，．于點E，，連接，求的周長．6．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點在折線段上，，則稱點是折線段的中點．(1)如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點，點是折線段的中點．若，則；(2)【定理證明】阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點是的中點，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點；【變式探究】(3)如圖4，若點是的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】(4)如圖5，是的直徑，點為上一定點，點為上一動點，且滿足，若，，則．7．請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即．小明同學(xué)運(yùn)用“截長法”和三角形全等來證明，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴，任務(wù)：(1)請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊內(nèi)接于⊙O，，D為上一點，，于點E，請直接寫出的周長．8．（九年級上·江蘇鹽城·期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，阿基米德的折弦定理是其推導(dǎo)出來的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB+BD．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD＝AB+BD的部分證明過程．證明：如圖，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是弧ABC的中點，∴MA＝MC．…請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．9．請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并成為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al﹣Binmi的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴MA=MC．…任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖3，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，D為上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，則△BDC的周長是．10．綜合運(yùn)用：【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點，∴，∴（相等的弧所對的弦相等），又∵（同弧所對的圓周角相等），∴，∴，又∵，∴，∴，即．(1)【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，，點M是的中點，于點D，則的長為________；(2)【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，是的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足，若，的半徑為10，求長．11．問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．

（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點，∴……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知內(nèi)接于，，D是的中點，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為．（3）如圖4，已知等腰內(nèi)接于，，D為上一點，連接，，于點E，的周長為，，請求出的長．12．（九年級上·江蘇連云港·期末）【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點M是的中點，MD⊥BC于點D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．13．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點，∴任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上一點,，與點E,則的周長是．14．【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接、、和．是的中點，，又，，，，又，，即．

(1)【理解運(yùn)用】如圖1，、是的兩條弦，，，點M是的中點，于點D，則；(2)【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)【實踐應(yīng)用】如圖4，是的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足，若，的半徑為5，則AD＝．15．（23-24九年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖：已知點A、B、C、D順次在圓O上，，，垂足為M．證明：．（阿基米德折弦定理）

16．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB+BD．小明同學(xué)運(yùn)用“截長法”和三角形全等來證明CD＝AB+BD，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴MA＝MC，…(1)請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，則AE的長度為_________；(3)如圖4，已知等邊ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，D為上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，求BDC的周長．17．（23-24九年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊．下面對該定理進(jìn)行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對角線于點P，于點M，延長交于點N．求證：．證明：∵，，∴，∴．……任務(wù)：(1)請完成該證明的剩余部分；(2)請利用婆羅摩笈多定理完成如下問題：如圖（2），已知中，分別交于點D，E，連接交于點P．過點P作，分別交于點M，N．若，求的長．18．（24-25九年級·江蘇·假期作業(yè)）閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊．下面對該定理進(jìn)行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對角線于點，于點，延長交于點．求證：．證明：，，，，．……任務(wù)：(1)請完成該證明的剩余部分；(2)請利用婆羅摩笈多定理完成如下問題：如圖（2），已知中，，，，分別交于點，，連接，交于點．過點作，分別交，于點，．若，求的長．19、婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所成就．婆羅摩笈多是印度印多爾北部烏賈因地方人，原籍可能為巴基斯坦的信德．婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．例如下列模型就被稱為“婆羅摩笈多模型”：如圖1，2，3，△ABC中，分別以AB，AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，則有下列結(jié)論：①圖1中S△ABC＝S△ADE；②如圖2中，若AM是邊BC上的中線，則ED＝2AM；

③如圖3中，若AM⊥BC，則MA的延長線平分ED于點N．（1）上述三個結(jié)論中請你選擇一個感興趣的結(jié)論進(jìn)行證明，寫出證明過程；（2）能力拓展：將上述圖形中的某一個直角三角形旋轉(zhuǎn)到如圖4所示的位置：△ABC與△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，若F為BD的中點，連接AF，求證：2AF＝CE．

壓軸專題16阿基米德折弦定理與婆羅摩笈多模型知識考點與解題策略模型1.阿基米德折弦模型折弦:從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。條件：如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，結(jié)論：CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4證明：法1（垂線法）：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接，AC；∵M(jìn)是的中點，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．法2（截長法）：如圖3，在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，AC；∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M(jìn)是的中點，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵M(jìn)B=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．法3（補(bǔ)短法）：如圖4，如圖，延長DB至F，使BF=BA；連接MA、MB、MC、MF、AC，∵M(jìn)是的中點，∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，，∴∠MBA=∠MBF，在△MBF和△MBA中，，∴△MBF≌△MBA（SAS），∴MF=MA=MC，又∵M(jìn)D⊥BC，∴FD=CD，∴DC=BF+BD=BA+BD；模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型婆羅摩笈多定理：如果一個圓內(nèi)接四邊形（即對角互補(bǔ)的四邊形）的對角線互相垂直且相交，那么從交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經(jīng)過這條邊對邊的中點（反之亦能成立）。1）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線，垂足為點M，直線，垂足為點E，并且交直線AD于點F．結(jié)論：．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD2）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點，直線FM交BC于點E，F(xiàn)A=FD．結(jié)論：FE⊥BC．證明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．例題1（24-25九年級上·江蘇無錫·期中）（1）【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和，是的中點，∴，∴①，又∵②，，，又，，，即，根據(jù)證明過程，完成下列步驟：①，②．（2）【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，點是的中點，于點，則的長為_____．（3）【變式探究】如圖3，若點是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．（4）【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，是的直徑，點圓上一定點，點圓上一動點，且滿足，若，的半徑為10，求長．

【答案】（1）相等的弧所對的弦相等，同弧所對的圓周角相等；（2）2；（3），見解析；（4）或【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解；（2）由“問題”呈現(xiàn)結(jié)論即可求解；（3）在上截取，連接、、、，證明可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（4）分兩種情況討論，由（1）結(jié)論可求解．【詳解】（1）解：由證明過程可知，（相等的弧所對的弦相等）；（同弧所對的圓周角相等）；故答案為：相等的弧所對的弦相等，同弧所對的圓周角相等；（2）由題意得：，即，，，，故答案為：2；（3），證明：在上截取，連接、、、，如圖3，

是弧的中點，，，又，，，，又，，，即；（4）如圖4，當(dāng)點在下方時，過點作于點，

是圓的直徑，，，圓的半徑為10，，，，，，，當(dāng)點在上方時，，同理得，綜上所述：的長為或．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，理解題意是解本題的關(guān)鍵．例題2（2021·江蘇宿遷·二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點的等腰直角三角形，，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點．證明：點是的中點；（2）如圖3，和為共頂點的等腰直角三角形，點是的中點，連接交于點，若，求的長．【答案】【思考】真命題；【探究】（1）證明見解析；（2）4．【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再利用等量代換計算．結(jié)論可得；（1）過點作，交的延長線于點，利用同角的余角相等得出和，進(jìn)而得到；再證明，結(jié)論可得；（2）過點作，交的延長線于點，易證，得到，．再進(jìn)一步說明，可得，結(jié)論可得．【詳解】解：【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為真命題．理由如下：如下圖，∵，為的中點，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即：．∴命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為真命題．故答案為：真命題．【探究】（1）如下圖，過點作，交的延長線于點，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵為等腰直角三角形，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．即是的中點．（2）如下圖，過點作，交的延長線于點，∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．在和中，∴．∴．【點睛】本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用中點添加平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．1．阿基米德折弦定理：如圖1，與是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，于點N，則點N是折弦的中點，即．如圖2，半徑為4的圓中有一個內(nèi)接矩形，，點M是的中點，于點N，若矩形的面積為20，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查圓與勾股定理的綜合應(yīng)用；連接，，，根據(jù)圓周角定理，結(jié)合已知條件易證得為的直徑，，則，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系及等腰直角三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等及勾股定理可得，，設(shè)，，其中，利用勾股定理及矩形面積公式列得方程，解方程求得，的長度，再結(jié)合可證得，則，最后利用勾股定理列得方程，解方程求出或，再進(jìn)一步分析即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，，，四邊形為矩形，，為的直徑，，的半徑為4，，點為的中點，，，，，，，設(shè)，，其中，則，解得：或舍去，即，，，，，，，，，解得：或，∴或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∵，∴，∴．故選：A．2．（23-24九年級下·江蘇徐州·自主招生）已知圓的圓心在函數(shù)圖象上，若圓與軸和直線都相切，則點的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】本題考查了切線長定理，勾股定理，反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，分當(dāng)點在第二象限內(nèi)和點在第四象限內(nèi)兩種情況，畫出圖形解答即可求解，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當(dāng)點在第二象限內(nèi)時，點為切點，連接，則軸，，由切線長定理可得，，∵直線解析式為，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵點在函數(shù)圖象上，∴，解得，∴；當(dāng)點在第四象限內(nèi)時，同理可得；綜上，點的坐標(biāo)為或．3．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．請應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點，，于點，則的周長是．

【答案】/【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得點是弧的中點，則可用阿基米德折弦定理得，，根據(jù)中，，于點，可得是等腰直角三角形，可求出的長，即的長，根據(jù)的周長的計算方法即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∴外接圓中，，即點是弧的中點，且于點，∴根據(jù)阿基米德折弦定理得，，∵中，，于點，且，∴，，即是等腰直角三角形，則，∴，∴，∵的周長為，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，等邊三角形的性質(zhì)，圓的基礎(chǔ)知識，等腰直角三角形的性質(zhì)，幾何圖形的周長的計算方法等知識，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（23-24九年級上·江蘇常州·期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，作了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn)．如圖，在中，是的中點，直線于點，則可以得到＝，請證明此結(jié)論．

(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，稱為該圓的一條折弦．如圖，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，若、是的折弦，是的中點，于點．則．這就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何來證明這個結(jié)論呢？小明的證明思路是∶在上截取，連接、、、…請你按照小明的思路完成證明過程．

(3)如圖，已知等邊三角形內(nèi)接于，＝，點是上的一點，＝，AE⊥BD于點，則的周長為_________．

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．（2）如圖，在上截取＝，連接、、、，由是的中點，得，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的三線合一即可得證；（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進(jìn)而求得．【詳解】（1）如圖，連接，，

∵是劣弧的中點，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴；（2）證明：如圖，在上截取＝，連接、、、，

∵是的中點，∴，∵，∴，∵＝，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴由（）得，∵，AE⊥BD，∴是等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∴的周長為∶．故答案為：．【點睛】此題主要考查了垂徑定理及其推論，等邊三角形得性質(zhì)，勾股定理，弧、弦、弦心距之間得關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，掌握并熟練運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點，則從點M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．

這個定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，過點M作射線AB，垂足為點H，連接．∵M(jìn)是的中點，∴．任務(wù)：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點，．于點E，，連接，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證，推出，．再證，推出，等量代換可得；（2）先利用等邊三角形的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，，求出，再利用（1）中結(jié)論可得，通過等量代換可得．【詳解】（1）證明：如圖，，

∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．（2）解：如圖，

∵是等邊三角形，∴，．∵．∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴點C是的中點．∴由（1）的結(jié)論得，，∴的周長是．【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等量代換思想．6．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點在折線段上，，則稱點是折線段的中點．(1)如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點，點是折線段的中點．若，則；(2)【定理證明】阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點是的中點，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點；【變式探究】(3)如圖4，若點是的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】(4)如圖5，是的直徑，點為上一定點，點為上一動點，且滿足，若，，則．【答案】(1)3(2)見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出，再由所給的定義求出的長即可；（2）在上截取，連接、、、，可證明，得到，再由垂徑定理得到，則有，即可證明是折弦的中點；（3）仿照（2）的方法，在上截取，連接、、、，證明，可得到；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點在上時，過點作交于點，由，求出，再由勾股定理求出；當(dāng)點在上時，如圖6，，過點作交于點，由，求出，再由勾股定理求出．【詳解】（1）解：是的切線，為切點，，，，，，，是折線段的中點，，故答案為：3；（2）證明：在上截取，連接、、、，點是的中點，，，（SAS），，，，，是折弦的中點；（3）解：，理由如下：如圖，在上截取，連接、、、，點是的中點，，，（SAS），，，，，；（4）解：是的直徑，，，，，當(dāng)點在上時，如圖，，，過點作交于點，，，；當(dāng)點在上時，如圖，，過點作交于點，，，；綜上所述：的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，垂徑定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，理解阿基米德折弦定理是解題的關(guān)鍵．7．請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即．小明同學(xué)運(yùn)用“截長法”和三角形全等來證明，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴，任務(wù)：(1)請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊內(nèi)接于⊙O，，D為上一點，，于點E，請直接寫出的周長．【答案】(1)證明見解析；(2)的周長為【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）首先證明，進(jìn)而得出，以及，進(jìn)而求出BE的長即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴，在和中，∴，∴．又∵，∴，∴；（2）解：如圖3，截取，連接AF，AD，CD．則．∵是等邊三角形，∴，在和中，∴，∴．∵，∴，則．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴的周長為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．8．（九年級上·江蘇鹽城·期末）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，阿基米德的折弦定理是其推導(dǎo)出來的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB+BD．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD＝AB+BD的部分證明過程．證明：如圖，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是弧ABC的中點，∴MA＝MC．…請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．【答案】見解析.【分析】首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案．【詳解】如圖，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG，∵M(jìn)是的中點，∴MA＝MC，在△MBA和△MGC中，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．9．請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并成為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al﹣Binmi的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴MA=MC．…任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖3，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，D為上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，則△BDC的周長是．【答案】(1)詳見解析；（2）2+2．【詳解】試題分析：（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先證明△ABF≌ACD（SAS），進(jìn)而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進(jìn)而求出DE的長即可得出答案．試題解析：（1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中∵，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如圖3，截取BF=CD，連接AF，AD，CD，由題意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，則CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，則△BDC的周長是2+2．考點：三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)．10．綜合運(yùn)用：【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點，∴，∴（相等的弧所對的弦相等），又∵（同弧所對的圓周角相等），∴，∴，又∵，∴，∴，即．(1)【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，，點M是的中點，于點D，則的長為________；(2)【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，是的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足，若，的半徑為10，求長．【答案】(1)2(2)，理由見解析(3)的長為或．【分析】（1）由“問題”呈現(xiàn)結(jié)論即可求解；（2）在上截取，連接、、、，證明可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，由（1）結(jié)論可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，即，，，，故答案為：2；（2）解：，證明：在上截取，連接、、、，如圖3，

是弧的中點，，，又，，，，又，，，即；（3）解：如圖4，當(dāng)點在下方時，過點作于點，連接，

是圓的直徑，，，圓的半徑為10，，，，，，，當(dāng)點在上方時，，同理得，綜上所述：的長為或．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，理解題意是解本題的關(guān)鍵．11．問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．

（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點，∴……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知內(nèi)接于，，D是的中點，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為．（3）如圖4，已知等腰內(nèi)接于，，D為上一點，連接，，于點E，的周長為，，請求出的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）4【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理得出結(jié)論；（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得出，進(jìn)而求出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．

∵M(jìn)是的中點，∴．在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）根據(jù)阿基米德折弦定理得，，答案為：；（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得，，∵的周長為，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．【點睛】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解和應(yīng)用阿基米德折弦定理解題關(guān)鍵．12．（九年級上·江蘇連云港·期末）【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點M是的中點，MD⊥BC于點D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．【答案】（問題呈現(xiàn)）相等的弧所對的弦相等；同弧所對的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（理解運(yùn)用）1；（變式探究）DB＝CD+BA；證明見解析；（實踐應(yīng)用）7或．【分析】（問題呈現(xiàn)）根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解；（理解運(yùn)用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；（變式探究）證明△MAB≌△MGB（SAS），則MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，則DC＝DG，即可求解；（實踐應(yīng)用）已知∠D1AC＝45°，過點D1作D1G1⊥AC于點G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．【詳解】（問題呈現(xiàn)）①相等的弧所對的弦相等②同弧所對的圓周角相等③有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等故答案為：相等的弧所對的弦相等；同弧所定義的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（理解運(yùn)用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案為：1；（變式探究）DB＝CD+BA．證明：在DB上截去BG＝BA，連接MA、MB、MC、MG，∵M(jìn)是弧AC的中點，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；（實踐應(yīng)用）如圖，BC是圓的直徑，所以∠BAC＝90°．因為AB＝6，圓的半徑為5，所以AC＝8．已知∠D1AC＝45°，過點D1作D1G1⊥AC于點G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的長為7或．【點睛】本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧.13．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點，∴任務(wù)：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上一點,，與點E,則的周長是．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）方法一、首先證明，進(jìn)而得出，以及，進(jìn)而求出的長即可得出答案．方法二、先求出，再用（1）的結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點，∴在和中∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：方法一、如圖3，截取，連接，由題意可得：，在和中，∴，∴，∵，∴，則，∵，∴，則的周長是．故答案為．方法二、∵是等邊三角形，∴，∴由（1）的結(jié)論得，，∵，∴，∴，∴則的周長是．故答案為．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．14．【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點是的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運(yùn)用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接、、和．是的中點，，又，，，，又，，即．

(1)【理解運(yùn)用】如圖1，、是的兩條弦，，，點M是的中點，于點D，則；(2)【變式探究】如圖3，若點M是的中點，【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)【實踐應(yīng)用】如圖4，是的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足，若，的半徑為5，則AD＝．【答案】(1)1(2)；證明見解析(3)或【分析】（1）由“問題呈現(xiàn)”結(jié)論可求解；（2）在上截取，連接、、、，由“”可證，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，由“問題呈現(xiàn)”結(jié)論可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，即，，，．（2）解：．證明：在上截取，連接、、、，是弧的中點，，，又，，，，又，，，即．（3）解：如圖，當(dāng)點在下方時，過點作于點，是圓的直徑，，，圓的半徑為5，，，，，．當(dāng)點在上方時，，同理易得．綜上所述：的長為或．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，理解題意是本題的關(guān)鍵．15．（23-24九年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖：已知點A、B、C、D順次在圓O上，，，垂足為M．證明：．（阿基米德折弦定理）

【答案】見解析【分析】如圖，將繞點B旋轉(zhuǎn)到，使與重合，再證，可得,即可得出．【詳解】∵，∴，又，將繞點B旋轉(zhuǎn)到，使與重合，如圖，

∴，∴，，，∵，即，∴，在和中，，∴∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)建全等三角形，是解答的本題的關(guān)鍵．16．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB+BD．小明同學(xué)運(yùn)用“截長法”和三角形全等來證明CD＝AB+BD，過程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴MA＝MC，…(1)請按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，則AE的長度為_________；(3)如圖4，已知等邊ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，D為上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，求BDC的周長．【答案】(1)見解析(2)3(3)8+8【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；（2）在AC上截取CF=AB，連接BD、CD、AD、DF，證明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AE=EF，由此得到AE；（3）首先證明△ABF≌ACD（SAS），進(jìn)而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進(jìn)而求出DE的長即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點，∴MA=MC．又∵BA=GC，∠A=∠C，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）在AC上截取CF=AB，連接BD、CD、AD、DF，∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，∴△DCF≌△DBA（SAS），∴DF=AD，又∵DE⊥AC，∴AE=EF，∵CF=AB=4，AC=10，∴AE=3；（3）解：如圖3，在BD上截取BF=CD，連接AF，AD，CD，由題意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，則CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE=AB=4，則△BDC的周長=2BE+BC=8+8．故答案為：8+8．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．17．（23-24九年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊．下面對該定理進(jìn)行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對角線于點P，于點M，延長交于點N．求證：．證明：∵，，∴，∴．……任務(wù)：(1)請完成該證明的剩余部分；(2)請利用婆羅摩笈多定理完成如下問題：如圖（2），已知中，分別交于點D，E，連接交于點P．過點P作，分別交于點M，N．若，求的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理證明，再由對頂角相等和圓周角定理證明，得到，同理可證，即可證明；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得到，即，再由平行線的性質(zhì)得到，即可利用題中定理得到，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，同理可證，∴；（2）解：∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，即點N為的中點，∴．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證明題中所給定理是解題的關(guān)鍵．18．（24-25九年級·江蘇·假期作業(yè)）閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊．下面對該定理進(jìn)行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對角線于點，于點，延長交于點．求證：．證明：，，，，．……任務(wù)：(1)請完成該證明的剩余部分；(2)請利用婆羅摩笈多定理完成如下問題：如圖（2），已知中，，，，分別交于點，，連接，交于點．過點作，分別交，于點，．若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）應(yīng)用圓周角定理，等腰三角形的判定，可證明；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求解．【詳解】（1）解：證明：，，，，，，，，，同理，，；（2）四邊形是內(nèi)接四邊形，，，，，，，，．【點睛】本題考查了圓周角