高中數(shù)學(xué)北師大版講義(必修二)第38講第六章立體幾何初步章末二十種?？碱}型歸類(lèi)(學(xué)生版+解析)

第六章立體幾何初步章末二十種?？碱}型歸類(lèi)斜二測(cè)畫(huà)法1．（23-24高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）一水平放置的平面四邊形OABC的直觀圖O'A'B'C'如圖所示，其中O'AA．18 B．82 C．1222．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，正方形OABC邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為（

）

A．24 B．22 C．2 3．（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期中）如圖，△A'B'C'是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，若A．32cm B．62cm C．4．（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，△AOB的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是腰長(zhǎng)為32的等腰直角三角形，y'軸經(jīng)過(guò)A'A．6 B．36 C．12 D．5．（23-24高一下·天津北辰·期中）一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC=45°,ABA．2+22 B．1+22 C．幾何體的表面積與體積問(wèn)題6．（23-24高一下·安徽·期中）已知一個(gè)圓錐的高為6，底面半徑為3，現(xiàn)在用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，得到一個(gè)高為2的圓臺(tái)，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（

）A．263π B．383π C．7．（23-24高一下·河南鄭州·期中）西流湖公園今年春天成為了網(wǎng)紅打卡地，公園里不僅有美麗的景色，各種亭臺(tái)樓閣也是各有特色.十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的角樓的頂部即為十字歇山頂．其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱交疊而成的幾何體（圖2）．這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面ABCD．在底面BCE中，若BE=CE=4，∠BEC=120°，則該幾何體的體積為（

）A．88 B．643 C．64 D．8．（23-24高一下·北京房山·期中）如圖是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體的直觀圖（圓錐的底面與圓柱的上底面重合），已知圓錐的高為12A．π3 B．2π C．13π9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)將一個(gè)高為4，體積為16π的圓柱削成一個(gè)空間幾何體ABCD，其中棱AB，CD分別為圓柱上、下底面上相互垂直的兩條直徑，則被削去部分的體積為10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為r1，r2，過(guò)圓臺(tái)的母線上靠近下底面的三等分點(diǎn)作截面，將圓臺(tái)分為上、下兩部分．若上、下兩個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積相等，則r1外接球與內(nèi)切球問(wèn)題11．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體P?ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，則此四面體的外接球表面積為（

）A．3π B．9π C．36π12．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在四面體ABCD中，AB=3，AD=BC=1，CD=A．72π B．7π C．813．（22-23高一下·山西大同·階段練習(xí)）各棱長(zhǎng)都相等的四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（

）A．1:27 B．1:9 C．1:3 D．9:114．（23-24高三上·河南周口·期末）正三棱錐P?ABC的內(nèi)切球O1的半徑為r，外接球O2的半徑為R.若AB=23，則R15．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）已知三棱錐P?ABC三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=6，M，N分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度的最小值為．空間共面問(wèn)題16．（22-23高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)平面α//平面β，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β,C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A,B分別在平面α,βA．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D．共面17.（多選）（21-22高三上·山東青島·開(kāi)學(xué)考試）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F、G、H分別為線段AAA．E、F、G、H四點(diǎn)共面 B．平面EGH//平面C．直線AA1與FH異面 D．直線BC與平面18．（23-24高一下·廣西南寧·期中）已知正方體ABCD?A1B1C1D(1)求點(diǎn)M到平面A1(2)判斷A119．（22-23高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：EF∥平面PAD．(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共面？若存在，求出PQQC20．（22-23高一下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C

(1)已知點(diǎn)G滿足DD1=4(2)求三棱柱ABD?A空間共線問(wèn)題21．（21-22高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為棱A．三點(diǎn)D1,O,BB．三點(diǎn)D1,O,BC．三點(diǎn)D1,O,BD．三點(diǎn)D1,O,B22．（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上23．（23-24高一下·陜西西安·期中）在直三棱柱ABC?A1B1C

(1)求三棱錐B?A(2)若點(diǎn)D、E分別在三棱柱的棱CC1,BB1上，且CD>BE，線段A1E,24．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別在AB,AD,BC,CD上，EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P,A,C三點(diǎn)共線.

25．（22-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：B、P、O1(2)若AB=3，BC=4，CC空間共點(diǎn)問(wèn)題26．（22-23高一下·山東威海·期末）在空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，G∈CD，H∈AD，且CG=2GD，AH=2HD，則（

）A．直線EH與FG平行 B．直線EH，F(xiàn)G，BD?C．直線EH與FG異面 D．直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點(diǎn)27．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，B1C1，A

(1)證明：直線MQ，BB(2)求正四棱臺(tái)ABCD?A1B28．（22-23高一下·陜西西安·期中）（1）已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過(guò)a，b，（2）如圖，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且CFFB=AEEB=13

29．（22-23高一下·安徽合肥·期中）在四面體ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且CFFB

(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．30．（22-23高一下·陜西·期中）已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD?A1B(1)證明：A,E,F,D(2)證明：AE，截面問(wèn)題31．（22-23高一下·廣東廣州·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C

A．42 B．92 C．4332．（22-23高一下·黑龍江大慶·期末）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4，

A．32+45C．42+3533．（22-23高一下·重慶渝中·期中）正方體ABCD?A1B1CA．10 B．23 C．92 34．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，E為棱BB35．（23-24高一下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，(1)畫(huà)出平面α截正方體所得的截面，并說(shuō)明原因；(2)求（1）中截面多邊形的面積；(3)平面α截正方體，把正方體分為兩部分，求比較小的部分與比較大的部分的體積的比值.交線問(wèn)題36．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，37．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1，P為棱

38．（22-23高一下·遼寧·期末）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C(1)請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵鵄BCD?A1B1C(2)求截面α的面積．39．（21-22高一下·山東青島·期中）如圖所示，正方體ABCD?A(1)過(guò)正方體ABCD?A1B1C(2)若M，N分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出過(guò)D1，M，N三點(diǎn)的平面與正方體ABCD?(3)設(shè)正方體ABCD?A1B40．（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D(1)畫(huà)出過(guò)點(diǎn)D、M、N的平面與平面BB1C(2)設(shè)過(guò)D、M、N的平面與B1異面直線問(wèn)題41．（23-24高二上·重慶·期末）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)A．105 B．31010 C．1542．（22-23高一下·河北·階段練習(xí)）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，過(guò)點(diǎn)A作直線l與A．60° B．45° C．30° D．15°43．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=8，A．90π B．196C．784π D．44.（多選）（22-23高一下·福建漳州·期末）正方體ABCD?A1B1CA．直線BA1與CB．直線BA1與ACC．直線AO1與D．直線AO1與BD45.（22-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知S是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，SA⊥BC，BS⊥CD，SA與CD所成角大小為π3，SD與BC所成角大小為π6，SA=1，分別求直線SA與CD的距離及SB與直線與平面所成角問(wèn)題46．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，已知BD1與A．BD1⊥B1C C．BD1⊥平面A1C1D47．（22-23高一下·陜西寶雞·期末）在正方體ABCD?A1B1CA．30° B．45° C．60° D．90°48．（22-23高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知正四面體S?ABC的棱長(zhǎng)為23，點(diǎn)M為平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線SM與平面ABC所成的角為θ，若sinA．π4 B．π C．2π 49．（多選）（22-23高一下·湖北武漢·期末）若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面棱長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且M為棱AA1的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)

A．點(diǎn)P所在區(qū)域面積為πB．有且僅有一個(gè)點(diǎn)P使得MP⊥PC．四面體P?A1D．線段PC150．（23-24高一下·河南開(kāi)封·期中）在三棱錐P?OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA與平面OAB所成的角為30°，PB與平面OAB所成的角為45°，則∠AOB=平行與垂直的概念辨析51．（23-24高一下·河南鄭州·期中）設(shè)α是空間中的一個(gè)平面，l,m,n是三條不同的直線，則下列說(shuō)法對(duì)的是（

）A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB．若m?α，n⊥α，l⊥n，則l//mC．若l//m，m⊥α，n⊥α則l⊥nD．若l//m，m//n，l⊥α，則n⊥α52．（23-24高一下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知a，b，c是空間中不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若a⊥b，b⊥c，則a⊥cB．若a與b異面，則至多有一條c與a，b都垂直C．若α∥β，b⊥β，c⊥b，則c一定平行于α和βD．若c?α，b?β，α⊥β，則存在a同時(shí)垂直c，b53．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m、n為空間中兩條不同直線，α、β為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的為（

）A．若m上有兩個(gè)點(diǎn)到平面α的距離相等，則m∥αB．若m⊥α，n?β，則“m∥n”是“C．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nD．若m、n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β54．（多選）（23-24高一下·寧夏石嘴山·期中）設(shè)m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若m?β,α⊥β,則m⊥a；②若m?β,α//β則m//α；③若m⊥α,m⊥β,n⊥α，則n⊥β；④若m//α,m//β,n//α.則n//β.其中正確命題的序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．④55．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列命題正確的是.（填序號(hào)）①若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③兩個(gè)平面互相垂直，過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，必垂直與另一個(gè)平面；④過(guò)兩個(gè)點(diǎn)與已知平面的垂直的平面可能不存在；⑤過(guò)兩條異面直線外任一點(diǎn)有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直；⑥到一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的平面有7個(gè).線面平行的判定56．（23-24高一下·浙江·期中）如圖，正△ABC邊長(zhǎng)為2,D、E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，現(xiàn)沿著DE將△ADE折起，得到四棱錐A'?BCED，點(diǎn)M為(1)求證：ME//平面A(2)若A'B=2(3)過(guò)ME的平面分別與棱A'D,A'B相交于點(diǎn)S,T，記△A'ST與△A57．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C(1)求直三棱柱ABC?A(2)求證：A1C//面(3)一只小蟲(chóng)從點(diǎn)A158．（2024·陜西西安·二模）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)求證：MN//平面BCC(2)求三棱錐B?PMN的體積．59．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=3，

(1)求證：AC1//(2)求異面直線AC1與60.（22-23高一下·全國(guó)·期末）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E?F?G分別為PC?PD?BC的中點(diǎn).

(1)求證：PA∥平面EFG；(2)求三棱錐P﹣EFG的體積.線面平行的性質(zhì)61．（22-23高一下·新疆·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2,AD=4，點(diǎn)E,F分別為AD,PC的中點(diǎn)，設(shè)平面PDC∩平面PBE=l．

(1)證明：DF//平面PBE；(2)證明：DF//l；(3)求三棱錐F?PBE的體積．62．（22-23高一下·廣西河池·階段練習(xí)）如圖所示，在多面體ABCD?A1B1D1中，四邊形AA1B

(1)證明：EF//(2)求三棱錐C?DEF的體積．63．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，PA=AB=2

(1)BC//AD；(2)求異面直線PA與NC所成角余弦值．64．（2023高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在五面體ABCDEF中，平面AED⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，其中AB∥CD，∠DAB=90°，AD=2AE，DE=365．（22-23高一下·北京朝陽(yáng)·期中）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，

(1)求證：BC//(2)求證：BE//平面PDC面面平行的判定66．（23-24高一下·廣東廣州·期中）由直四棱柱ABCD?A1B(1)求證：A1O//(2)求證：平面A1BD//(3)設(shè)平面B1CD67．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D1，C68．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=2BC=CC1=269．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF//DE，M為棱AE的中點(diǎn)．求證：平面BMD//平面EFC.70．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．

(1)求證：MN//平面PAD；(2)若PB中點(diǎn)為Q，求證：平面MNQ//面面平行的性質(zhì)71．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）陽(yáng)馬，中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，兩個(gè)三角面與底面垂直的四棱錐體．如圖，四棱錐P－ABCD就是陽(yáng)馬結(jié)構(gòu)，PD⊥平面ABCD，且PD=1，AB=AD=2，PEEC(1)證明：EF//平面PAD；(2)若2GC=BG72．（2023高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AE⊥平面ABCD，BF//平面ADE，CF//AE，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=273．（19-20高一·浙江杭州·期末）如圖，點(diǎn)S是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是SA，BD上的點(diǎn)，且AMSM=DNNB

74．（19-20高二下·湖南岳陽(yáng)·期中）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角A－CD－F為60°，DE//CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．

(1)求證：BF//平面ADE；(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值75．（22-23高一下·黑龍江鶴崗·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.點(diǎn)D、E、N分別為棱PA、PC、BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=2，

(1)求證：MN//平面BDE(2)求點(diǎn)N到直線ME的距離；線面垂直的判定76．（23-24高一下·浙江紹興·期中）如圖（1），已知菱形ABCD中AB=2，∠DAB=60°，沿對(duì)角線BD將其翻折，使∠ABC=90°，設(shè)此時(shí)AC的中點(diǎn)為O，如圖（2）.圖1

圖2(1)求證：點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面ABC上的射影；(2)求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.77．（23-24高一下·福建福州·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠DAB=π2，AB=4，BC=3，(1)證明：CD⊥平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P?ABCD的體積．78．（22-23高二下·天津紅橋·期末）如圖，六棱錐P?ABCDEF的底面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=23(1)求證：直線BC//平面PAD；(2)求證：直線ED⊥平面PAE；(3)求直線PD與平面ABC所的成角.79．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，BD⊥PC，∠BAD=120°，四邊形ABCD是菱形，PB=2AB=2PA，E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)PE=λ80．（23-24高二上·上海長(zhǎng)寧·期末）如圖，已知正四棱柱ABCD?A(1)求證：AC⊥平面BDD(2)求證：平面AB1線面垂直的性質(zhì)81．（20-21高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知正方體A1C．(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C．82．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEF中四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，DE=2BF=2AB.證明：平面ABF//平面CDE.83．（20-21高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，D是側(cè)面PBC上的一點(diǎn)，過(guò)D作平面ABC的垂線DE，其中D?PC，證明：DE//平面PAC．84．（2021高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，點(diǎn)Q是棱PC上異于P，C的一點(diǎn)．（1）求證：BD⊥AC；（2）過(guò)點(diǎn)Q和AD的平面截四棱錐得到截面ADQF(點(diǎn)F在棱PB上)，求證：QF∥BC.85．（20-21高一上·陜西延安·期末）如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F.求證：BD⊥平面AEF.面面垂直的判定與性質(zhì)86．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且(1)求證：平面D1EB⊥平面(2)求三棱錐A187．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，AB是圓柱的底面直徑，AB=2,PA是圓柱的母線且PA=2，點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn)．(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；(2)證明：平面PBC⊥平面PAC；(3)若AC=1,D是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段PA上，求CE+ED的最小值．88．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB=PD.(1)證明：平面PBD⊥平面PAC；(2)若PA=1，PA與平面ABCD的夾角為π4，求二面角P?BC?A89．（23-24高一下·河南·期中）如圖1，在矩形ABCD中，AE=12AB=14AD=a，O是AC與BE的交點(diǎn)，將圖1

圖2(1)證明：平面BEDC⊥平面A1(2)若a=1，求三棱錐O?A90．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，四邊形CC1D

(1)求證：AD⊥平面BB(2)若AB=4，AD=2，直線AD1與平面BB1D動(dòng)點(diǎn)探索問(wèn)題91．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起使得點(diǎn)D到點(diǎn)D'的位置，連接BD'，O(1)若平面D'AC⊥平面ABC，求點(diǎn)O到平面(2)不考慮點(diǎn)D'與點(diǎn)B重合的位置，若二面角A?BD'?C的余弦值為92．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D(1)求三棱錐D1(2)在線段B1C1上是否存在點(diǎn)F，使得BF//平面A(3)求二面角A193．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，在四面體C?ABD中，CB=CD,AB=AD，∠BAD=90°,E,F分別是BC,AC的中點(diǎn).(1)求證：AC⊥BD；(2)在AC上能否找到一點(diǎn)M，使BF//平面MED？若存在，請(qǐng)求出CMCA(3)若平面CBD⊥平面ABD，且CB=BD，求直線BF與平面ABD所成角的正切值.94．（23-24高一下·重慶·期中）如圖所示正四棱錐S?ABCD中，SA=2，AB=2，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且SP=3PD，Q為側(cè)棱SD(1)求正四棱錐S?ABCD的表面積；(2)證明：BQ//平面PAC(3)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE//平面PAC．若存在，求SEEC95．（23-24高一下·湖南邵陽(yáng)·期中）知正方體ABCD?A1B1C1D1中，P(1)求證：PQ//平面A1(2)若R是AB上的點(diǎn)，ARAB的值為多少時(shí)，能使平面PQR//平面二面角問(wèn)題96．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖①梯形ABCD中AD∥BC，AB=3，BC=1，CD=2，BE⊥AD且BE=1，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面(1)證明：Q是AC的中點(diǎn)；(2)證明：AD⊥平面BEQ；(3)M是AB上一點(diǎn)，已知二面角M?EC?B為45°，求AMAB97．（19-20高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，E為BC的中點(diǎn)，把△ABE和△CDE(1)求證：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P?AD?E的大?。?8．（22-23高一下·河南商丘·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形.

(1)若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：PB∥平面ACE(2)若PA=PD=AD，∠BAD=120°，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角99．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）如圖：已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC

(1)求證：A1(2)求二面角O?BC?A的正切值.100．（22-23高一下·廣東云浮·階段練習(xí)）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°(1)證明：PA//平面BED；(2)求二面角E?AB?C的平面角的正弦值．第六章立體幾何初步章末二十種常考題型歸類(lèi)斜二測(cè)畫(huà)法1．（23-24高一上·吉林長(zhǎng)春·期中）一水平放置的平面四邊形OABC的直觀圖O'A'B'C'如圖所示，其中O'AA．18 B．82 C．122【答案】C【分析】根據(jù)題意可得四邊形O'A'【詳解】由題意可知：∠A'O'D=可知四邊形O'A'所以四邊形OABC的面積為SOABC故選：C.2．（23-24高一下·福建莆田·期中）如圖，正方形OABC邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為（

）

A．24 B．22 C．2 【答案】D【分析】把直觀圖還原成原來(lái)的圖形，則原圖形是平行四邊形，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法法則求得原圖形的面積.【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法知：對(duì)應(yīng)原圖OA'B'C且OA

所以原圖形OA'B故選：D3．（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期中）如圖，△A'B'C'是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，若A．32cm B．62cm C．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由三角形面積公式求出B'D'【詳解】畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上取OA=O'A在圖①中，過(guò)B'作B'D'//y'軸，交x過(guò)點(diǎn)D作DB//y軸，并使連接AB,BC，則△ABC即為△A'B原圖形中，BD⊥AC于點(diǎn)D，則BD為原圖形中AC邊上的高，且BD=2B在直觀圖③中作B'E'⊥A'C在直角三角形B'E'所以BD=2B故原圖形中AC邊上的高為6．故選：D．4．（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，△AOB的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是腰長(zhǎng)為32的等腰直角三角形，y'軸經(jīng)過(guò)A'A．6 B．36 C．12 D．【答案】D【分析】先將直角坐標(biāo)系中的原圖作出，再比對(duì)直觀圖與原圖直接求出即可.【詳解】由題意得△AOB的原圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，且OA=3OD=所以AD=OA2故選：D.5．（23-24高一下·天津北辰·期中）一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示，∠ABC=45°,ABA．2+22 B．1+22 C．【答案】A【分析】在直觀圖中求出BC的長(zhǎng)，再還原平面圖，即可求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，從而求出面積.【詳解】如圖，在直觀圖中過(guò)點(diǎn)A，作AE⊥BC交BC于點(diǎn)E，因?yàn)椤螦BC=45°,AB所以CE=AD=1，BE=ABcos45將直觀圖還原為平面圖如下：則BC=1+22，AD=1，所以SABCD故選：A幾何體的表面積與體積問(wèn)題6．（23-24高一下·安徽·期中）已知一個(gè)圓錐的高為6，底面半徑為3，現(xiàn)在用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，得到一個(gè)高為2的圓臺(tái)，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（

）A．263π B．383π C．【答案】B【分析】設(shè)截面圓的半徑為r，由相似比可求出r=2，再由圓臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)截面圓的半徑為r，如下圖，由ADOC=EAEO可得：所以截面圓的面積為S1=4π

從而圓臺(tái)的體積為V=?故選：B.7．（23-24高一下·河南鄭州·期中）西流湖公園今年春天成為了網(wǎng)紅打卡地，公園里不僅有美麗的景色，各種亭臺(tái)樓閣也是各有特色.十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的角樓的頂部即為十字歇山頂．其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱交疊而成的幾何體（圖2）．這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面ABCD．在底面BCE中，若BE=CE=4，∠BEC=120°，則該幾何體的體積為（

）A．88 B．643 C．64 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到幾何體為直三棱柱BCE?ADF和兩個(gè)三棱錐S?MAB,S?NCD，結(jié)合柱體和錐體的體積公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】如圖所示，幾何體為直三棱柱BCE?ADF和兩個(gè)三棱錐S?MAB,S?NCD構(gòu)成的幾何體，設(shè)直三棱柱BCE?ADF的底面BCE的面積為S，高為?，因?yàn)锽E=CE=4,∠BEC=120°，可得且?=CD=BC=4所以幾何體的體積為V=VBCE?ADF+故選：C.8．（23-24高一下·北京房山·期中）如圖是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體的直觀圖（圓錐的底面與圓柱的上底面重合），已知圓錐的高為12A．π3 B．2π C．13π【答案】C【分析】由圓柱的體積和圓錐的體積公式求解即可.【詳解】該組合體的體積為圓柱的體積加上圓錐的體積，即V=π故選：C.9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)將一個(gè)高為4，體積為16π的圓柱削成一個(gè)空間幾何體ABCD，其中棱AB，CD分別為圓柱上、下底面上相互垂直的兩條直徑，則被削去部分的體積為【答案】16【分析】根據(jù)給定條件，利用錐體體積公式求出空間幾何體ABCD的體積，即可求出削去部分的體積.【詳解】如圖所示，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則由πr2×4=16設(shè)圓柱上、下底面的圓心分別為O1，O，則O又AB⊥CD，O1O∩CD=O，O1O,CD?平面CO因此空間幾何體ABCD的體積為V=2V所以被削去部分的體積為16π故答案為：1610．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為r1，r2，過(guò)圓臺(tái)的母線上靠近下底面的三等分點(diǎn)作截面，將圓臺(tái)分為上、下兩部分．若上、下兩個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積相等，則r1【答案】1:7/1【分析】根據(jù)題意結(jié)合梯形中位線有r4【詳解】設(shè)上部分圓臺(tái)的側(cè)面積為S1，母線長(zhǎng)為2l，下部分圓臺(tái)的側(cè)面積為S2，母線長(zhǎng)為過(guò)圓臺(tái)的母線上的三等分點(diǎn)作截面，設(shè)截面半徑分別為r3，r則2r3=r1S2=π所以4π2r1+故答案為：1:7外接球與內(nèi)切球問(wèn)題11．（2024·湖南·二模）如圖，在四面體P?ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，則此四面體的外接球表面積為（

）A．3π B．9π C．36π【答案】B【分析】將四面體P?ABC補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為2、1、2，長(zhǎng)方體的外接球即為四面體的外接球，而長(zhǎng)方體外接球的直徑即為其體對(duì)角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】將四面體P?ABC補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為2、1、2，四面體P?ABC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，而長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為R，故2R=22+故選：B.12．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在四面體ABCD中，AB=3，AD=BC=1，CD=A．72π B．7π C．8【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)條件作出四面體的高DH，通過(guò)相關(guān)條件推理計(jì)算分別求出AH,DH，最后在直角梯形HEOD，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半徑.【詳解】如圖，作DH⊥平面ABC，連接AH,HB,HC，易得DH⊥AB,因AB⊥AD，AD∩DH=D,AD,DH?平面DAH，所以AB⊥平面DAH，AH?平面DAH，故AB⊥AH,由題可得∠BAC=30°，AC=2，則不妨設(shè)AH=x,DH=?，則有x2+在△HAC中，由余弦定理，HC2=x2+4?2×2x將兩式相減化簡(jiǎn)即得：x=12，取線段AC中點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作OE⊥平面ABC，其中點(diǎn)O為外接球的球心，設(shè)外接球半徑為R，由余弦定理求得HE在直角梯形HEOD中，OE2=R2?1，由故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查四面體的外接球的表面積，屬于中檔題.求解多面體的外接球的主要方法有：（1）構(gòu)造模型法:即尋找適合題意的長(zhǎng)方體，正方體，圓柱等幾何體，借助于這些幾何體迅速求得外接球半徑；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多邊形的外心，作出外接球球心，借助于題設(shè)中的條件得到多面體的高，構(gòu)成直角梯形或直角三角形來(lái)求解.13．（22-23高一下·山西大同·階段練習(xí)）各棱長(zhǎng)都相等的四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（

）A．1:27 B．1:9 C．1:3 D．9:1【答案】A【分析】利用正四面體的結(jié)構(gòu)特征及其內(nèi)切球、外接球半徑關(guān)系、空間幾何體的體積公式計(jì)算即可.【詳解】易知正四面體的內(nèi)切球球心與外接球球心重合，設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，四面體各面面積為S，則由四面體的體積得V=1所以四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為43故選:A.14．（23-24高三上·河南周口·期末）正三棱錐P?ABC的內(nèi)切球O1的半徑為r，外接球O2的半徑為R.若AB=23，則R【答案】3【分析】設(shè)正三棱錐P?ABC的高為h，從而求得棱錐的表面積，結(jié)合棱錐的體積求出r=??2+1+1【詳解】設(shè)正三棱錐P?ABC的高為h，設(shè)E為AB的中點(diǎn)，O為底面中心，O在CE上，AB=23，則CE=32則正三棱錐P?ABC的表面積為S=3S則正三棱錐P?ABC的體積為13即13×33又CO=2，則??R2+2故Rr令?2+1+1=t則R=1當(dāng)且僅當(dāng)t?2=4t?2，即t=4，故Rr故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)正三棱錐的幾何特征，結(jié)合棱錐體積求出外接球半徑以及內(nèi)切球半徑的表達(dá)式，從而可得Rr15．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）已知三棱錐P?ABC三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=6，M，N分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度的最小值為．【答案】4【分析】采用補(bǔ)形法得正方體，作出圖形，找出內(nèi)切球，外接球球心，由幾何關(guān)系知：M,N兩點(diǎn)間距離的最小值為PG?2r，易求外接圓半徑R，結(jié)合等體積法可求出內(nèi)切圓半徑r和PG，進(jìn)而得解.【詳解】由已知將該三棱錐補(bǔ)成正方體，如圖所示.設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為O1，外接球球心為O2，內(nèi)切球與平面ABC的切點(diǎn)為易知：O1,O2,G三點(diǎn)均在P設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，則R=1又S△ACP=S所以S△ABC由等體積法：13即1318×3+183由等體積法：13即13×183將幾何體沿截面PDD∴M,N兩點(diǎn)間距離的最小值為2R?O故答案為：43【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)將三棱錐補(bǔ)成正方體，進(jìn)而確定內(nèi)切球，外接球球心，結(jié)合等體積法求內(nèi)切圓半徑及PG，即可得MN的長(zhǎng)度的最小值.空間共面問(wèn)題16．（22-23高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)平面α//平面β，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β,C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)A,B分別在平面α,βA．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D．共面【答案】D【分析】利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系可知，動(dòng)點(diǎn)C形成的軌跡是平行于α（或β）的平面即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知，點(diǎn)C應(yīng)在過(guò)AB的中點(diǎn)且平行于α（或β）的平面內(nèi)，因此當(dāng)A,B分別在平面α,β內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有的動(dòng)點(diǎn)C共面.故選：D17.（多選）（21-22高三上·山東青島·開(kāi)學(xué)考試）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F、G、H分別為線段AAA．E、F、G、H四點(diǎn)共面 B．平面EGH//平面C．直線AA1與FH異面 D．直線BC與平面【答案】ABC【分析】證明出FG//【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)锳A1//BB1且AA1=B則A1E//B1H且因?yàn)镕、G分別為A1C1、B1C故E、F、G、H四點(diǎn)共面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接AC1、∵E、F分別為AA1、A1∵EF?平面ABC1，AC1?平面AB因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B為平行四邊形，則A∵EH?平面ABC1，AB?平面ABC1，∵EF∩EH=E，∴平面EGH//平面AB對(duì)于C選項(xiàng)，由圖可知FH不與AA若FH//AA1，又因?yàn)锽B故FH與AA對(duì)于D選項(xiàng)，延長(zhǎng)AH、A1B1交于點(diǎn)N，連接FN交B1C若BC//平面AFH，BC?平面BB1C1C，平面事實(shí)上，PH與BC相交，故假設(shè)不成立，D錯(cuò).故選：ABC.18．（23-24高一下·廣西南寧·期中）已知正方體ABCD?A1B1C1D(1)求點(diǎn)M到平面A1(2)判斷A1【答案】(1)33(2)是，證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）由VB?（2）利用三角形中位線性質(zhì)證明MN//CD1，然后證明【詳解】（1）記點(diǎn)M到平面A1易知△A1BC1又S△所以VB?因?yàn)閂B?A1C1解得?=33，即點(diǎn)M到平面A1（2）A1連接MN,CD因?yàn)镸，N分別是線段C1D1所以MN//由正方體性質(zhì)可知，BC//A1所以四邊形A1所以A1B//所以A119．（22-23高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．

(1)求證：EF∥平面PAD．(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共面？若存在，求出PQQC【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在點(diǎn)Q符合題意，且此時(shí)PQ:QC=2:1【分析】（1）取PA的中點(diǎn)M，連接MD,MF，可證得四邊形DEFM為平行四邊形，可得EF∥MD，再由線面平行的判定理可證得結(jié)論；（2）取AB的中點(diǎn)H，連接PH交AF于G，在PC上取點(diǎn)Q，使PQ:QC=2:1，連接GQ,HC，則A,E,Q,F四點(diǎn)共面，然后證明即可.【詳解】（1）證明：取PA的中點(diǎn)M，連接MD,MF，因?yàn)镕,M分別為PB,PA的中點(diǎn)，所以FM∥AB，F(xiàn)M=1因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB∥CD，AB=CD，因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE=1所以FM∥DE，F(xiàn)M=DE，所以四邊形DEFM為平行四邊形，所以EF∥MD，因?yàn)镋F?平面PAD，MD?平面PAD，所以EF∥平面PAD，（2）存在點(diǎn)Q符合題意，且此時(shí)PQ:QC=2:1，取AB的中點(diǎn)H，連接PH交AF于G，在PC上取點(diǎn)Q，使PQ:QC=2:1，連接GQ,HC，則A,E,Q,F四點(diǎn)共面，證明如下：因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，E,H分別為CD,AB的中點(diǎn)，所以AH∥CE，AH=CE，所以四邊形AHCE為平行四邊形，所以CH∥AE，因?yàn)镕為PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)G為△PAB的重心，且PG:GH=2:1，因?yàn)镻Q:QC=2:1，所以GQ∥HC，因?yàn)镃H∥AE，所以GQ∥AE，所以GQ和AE確定一個(gè)平面α，因?yàn)镕在直線AG上，所以F∈α，所以A,E,Q,F四點(diǎn)共面，所以在線段PC上存在一點(diǎn)Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點(diǎn)共面.

20．（22-23高一下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C

(1)已知點(diǎn)G滿足DD1=4(2)求三棱柱ABD?A【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)12+【分析】（1）利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平行公理、平面基本事實(shí)推理作答.（2）求出三棱柱各個(gè)面的面積作答.【詳解】（1）在正方體ABCD?A1B1C1D

因?yàn)镕是CC1的中點(diǎn)，則HF//DC//AB,HF=DC=AB，即四邊形則有BF//AH，由DD1=4DG，知G為DH的中點(diǎn)，而E為AD中點(diǎn)，于是所以B,E,G,F四點(diǎn)共面.（2）顯然三棱柱ABD?A1B上下兩個(gè)底面的面積和為S1側(cè)面積S2所以三棱柱ABD?A1B空間共線問(wèn)題21．（21-22高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為棱A．三點(diǎn)D1,O,BB．三點(diǎn)D1,O,BC．三點(diǎn)D1,O,BD．三點(diǎn)D1,O,B【答案】A【分析】利用平面基本事實(shí)證明點(diǎn)O在直線BD1上，再借助正方體性質(zhì)說(shuō)明【詳解】在正方體ABCD?A1BC1D1//CD//AB連接BD1，平面ABC因?yàn)镸為棱D1C1的中點(diǎn)，則M∈而A∈平面ABC1D1，即AM?平面ABC1D因AM與平面BB1D1D于是得O∈BD1，即由C1D1//CD//AB，M為棱D1C1的中點(diǎn)，可得D1M所以三點(diǎn)D1,O,B共線，且故選：A22．（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上【答案】B【分析】由題意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，則P∈AC，可得答案．【詳解】如圖，∵EF?平面ABC，GH?平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即點(diǎn)P一定在直線AC上．故選：B．23．（23-24高一下·陜西西安·期中）在直三棱柱ABC?A1B1C

(1)求三棱錐B?A(2)若點(diǎn)D、E分別在三棱柱的棱CC1,BB1上，且CD>BE，線段A1E,【答案】(1)3(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用三棱柱的側(cè)面積公式先計(jì)算三棱柱底面各棱長(zhǎng)，再由三棱錐的體積公式及等體積法計(jì)算即可；（2）利用空間中直線、平面的位置關(guān)系證明即可.【詳解】（1）由題意知2AB=AC,BC=3所以該三棱柱的側(cè)面積為2AB+3又AB⊥BC，直三棱柱ABC?A1B且BC∩BB1=B,BC、B所以AB⊥平面BC又AB//A1B1，所以故三棱錐B?A1B（2）由基本事實(shí)的推論知兩條相交直線共面，所以A1,F,G,E,D∈平面又H∈ED,ED?平面A1FG，所以H∈平面而H∈平面ABC，平面ABC∩平面A1所以H∈FG，即F,G,H共線.24．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別在AB,AD,BC,CD上，EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P,A,C三點(diǎn)共線.

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由基本事實(shí)3，證明點(diǎn)P在兩平面的交線上即可.【詳解】∵EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面ABC，∴P∈平面ABC，同理，P∈平面ADC.∴P是平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn).又平面ABC∩平面ADC=AC，∴P∈AC,∴P,A,C三點(diǎn)共線.

25．（22-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：B、P、O1(2)若AB=3，BC=4，CC【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)23【分析】（1）證明出點(diǎn)P在平面BB1D（2）由（1）推理出點(diǎn)P為BO1與【詳解】（1）∵P∈DB1,D所以P∈平面BB1D1D平面BB1D1D∩即B,P,（2）連接BD，再連接BD1，交DB1于點(diǎn)M，由（1）則點(diǎn)P為BO1與∵DD1//BB1,D∴M是BD1中點(diǎn)，又O1所以點(diǎn)P是△BD1B1的重心,所以又因?yàn)锳B=3,BC=4,CC1=6所以DP=2空間共點(diǎn)問(wèn)題26．（22-23高一下·山東威?！て谀┰诳臻g四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，G∈CD，H∈AD，且CG=2GD，AH=2HD，則（

）A．直線EH與FG平行 B．直線EH，F(xiàn)G，BD?C．直線EH與FG異面 D．直線EG，F(xiàn)H，AC相交于一點(diǎn)【答案】B【分析】首先利用相似三角形證明HG//AC且HG=13AC，再利用中位線定理證明EF//AC且EF=12AC，從而得到四邊形EFGH為梯形，且EH，F(xiàn)G是梯形的兩腰，設(shè)EH，F(xiàn)G交于一點(diǎn)P，利用平面的性質(zhì)證明P是直線【詳解】因?yàn)镃G=2GD，AH=2HD，且∠ADC=∠HDG，所以△ADC～△HDG，所以HG//AC且HG=1因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF//AC且EF=1所以HG//EF且HG≠EF，故四邊形EFGH為梯形，且EH，F(xiàn)G是梯形的兩腰，所以EH，F(xiàn)G交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈EH，P∈FG，又因?yàn)镋H?平面ABD，且P∈平面BCD，所以P∈平面ABD，且P∈平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，所以P∈BD，所以點(diǎn)P是直線EH，BD，F(xiàn)G的公共點(diǎn)，故直線EH、FG、BD相交于一點(diǎn)．

故選：B27．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）如圖，在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，B1C1，A

(1)證明：直線MQ，BB(2)求正四棱臺(tái)ABCD?A1B【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)105.【分析】（1）作出輔助線，設(shè)MQ的延長(zhǎng)線與BB1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，NP的延長(zhǎng)線與BB（2）求出正四棱臺(tái)ABCD?A1B【詳解】（1）證明：在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，因?yàn)樗运倪呅蜝1QMB，B1PNB均為梯形，則直線MQ與延長(zhǎng)MQ，BB1，NP，設(shè)MQ的延長(zhǎng)線與BB在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C

則EB1EB得EB即直線MQ，BB（2）正四棱臺(tái)ABCD?A1B由題意可得三棱臺(tái)BMN?B則三棱臺(tái)BMN?B1QP故所求幾何體的體積為126?21=105．28．（22-23高一下·陜西西安·期中）（1）已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過(guò)a，b，（2）如圖，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且CFFB=AEEB=13

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)兩平行直線確定的平面為α，從而得到M∈α，N∈α，直線MN，即l?平面α，證明出結(jié)論；（2）作出輔助線，得到EF//AC，且EF=34AC，得到四邊形EFGH為梯形，EH與FG交于一點(diǎn)P，再證明點(diǎn)P【詳解】（1）證明：設(shè)直線l與a，b分別交于M,N點(diǎn)，如圖1，

因?yàn)閍∥b，所以a,b確定一個(gè)平面，記為平面因?yàn)辄c(diǎn)M∈直線a，點(diǎn)N∈直線b，所以M∈α，N∈α，所以直線MN，即l?平面α，所以過(guò)a，b，l有且只有一個(gè)平面；（2）在空間四邊形ABCD中，連接EF,HG，因?yàn)镠,G分別為AD,CD的中點(diǎn)，則HG//AC，且HG=1又由CFFB=AEEB=故HG//EF，且HG≠EF，故四邊形EFGH為梯形，EH與FG交于一點(diǎn)，設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，如圖2，

由于EH?平面ABD，點(diǎn)P在平面ABD內(nèi)，同理點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)，又因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD，所以點(diǎn)P在直線BD上，故直線EH,BD,FG相交于一點(diǎn).29．（22-23高一下·安徽合肥·期中）在四面體ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且CFFB

(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)基本事實(shí)的推論證明即可；（2）根據(jù)基本事實(shí)3證明即可.【詳解】（1）

連接EF，HG，在三角形ABC中，CFFB=AE∵H，G分別是邊AD，CD的中點(diǎn)，∴GH∥AC，∴EF∥GH，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.（2）∵AEEB=13，∴EH與BD不平行，∵EH,BD?平面ABD，∴EH與BD相交，設(shè)EH∩BD=P，∵P∈BD，BD?平面BCD，∴P∈平面BCD，同理P∈平面EFGH，∵平面BCD∩平面EFGH=FG，∴P∈FG，∴直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn).30．（22-23高一下·陜西·期中）已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD?A1B(1)證明：A,E,F,D(2)證明：AE，【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）通過(guò)證明EF∥AD1，得到（2）設(shè)AE和D1F交于點(diǎn)P，證明點(diǎn)P在平面ABCD與平面DCC【詳解】（1）連接EF,BC1,AE,F分別是BC和CC1的中點(diǎn)，所以又C1D1所以BC1∥A所以A,E,F,D（2）由（1）知EF∥AD1，且所以AE和D1設(shè)AE∩D因?yàn)锳E?平面ABCD，所以P∈平面ABCD.因?yàn)镈1F?平面DCC1D又平面ABCD∩平面DCC1D所以AE,D截面問(wèn)題31．（22-23高一下·廣東廣州·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C

A．42 B．92 C．43【答案】B【分析】連接B1D1，取A1D1的中點(diǎn)M，連接【詳解】連接B1D1，取A1D因?yàn)镹是A1B1的中點(diǎn)，所以MN∥B因?yàn)锽D∥B1D1，BD=B1D1所以過(guò)B、D、N的平面α截該正方體所得截面為梯形BDMN，連接AC交BD于O，連接A1C1交MN于O因?yàn)锽1所以BN=DM=5，所以梯形BDMN所以O(shè)O所以梯形BDMN的面積為12故選：B

32．（22-23高一下·黑龍江大慶·期末）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4，

A．32+45C．42+35【答案】B【分析】首先作出截面，再根據(jù)幾何關(guān)系求邊長(zhǎng)，即可求解周長(zhǎng).【詳解】如圖1，延長(zhǎng)CN與AA1交于點(diǎn)H，連結(jié)MH，與A1連結(jié)NG,GM，則四邊形CNGM為所求截面，其中CN=CC1

如圖2，△A1HN～△C1

如圖1，若A1H=BM=1，則△A即點(diǎn)G是A1所以GM=B△A1GN所以NG=A所以四邊形CNGM的周長(zhǎng)為32故選：B33．（22-23高一下·重慶渝中·期中）正方體ABCD?A1B1CA．10 B．23 C．92 【答案】C【分析】取CC1中點(diǎn)M，連接PM,D【詳解】

如圖，截面為四邊形APMD取CC1中點(diǎn)M，連接PM,D1M,B因?yàn)锳B//CD//C1則BC1//所以PM//AD1所以截面為等腰梯形APMD1，且上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為22所以截面的面積為12故選：C34．（22-23高一下·河北邯鄲·期中）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，E為棱BB【答案】10+2【分析】在DD1上取靠近D的四等分點(diǎn)，連接CF易得CF∥A1【詳解】如圖，在DD1上取D1F=3DF，連接CF，A1F，在AA1上取A1G=3AG，連接GF，BG.因?yàn)镚F∥BC，GF=BC，所以四邊形BCFG為平行四邊形，所以BG∥CF，易得BG∥

故答案為：10+235．（23-24高一下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為2，(1)畫(huà)出平面α截正方體所得的截面，并說(shuō)明原因；(2)求（1）中截面多邊形的面積；(3)平面α截正方體，把正方體分為兩部分，求比較小的部分與比較大的部分的體積的比值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)9(3)7【分析】（1）取AB的中點(diǎn)F，連接EF、A1B、CF，利用平行線的傳遞性可證得EF//D1C，可知E、F、C、D1四點(diǎn)共面，再由于E、C（2）分析可知，四邊形CD（3）利用臺(tái)體的體積公式可求得三棱臺(tái)AEF?DD【詳解】（1）如下圖，取AB的中點(diǎn)F，連接EF、A1B、因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn)，所以在正方體ABCD?A1B1C所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以所以E、F、C、D1因?yàn)镋、C、D1三點(diǎn)不共線，所以E、F、C、D1四點(diǎn)共面于平面所以面EFCD1即為平面（2）由（1）可知，截面EFCD1為梯形，CD1=同理可得CF=5如下圖所示：分別過(guò)點(diǎn)E、F在平面CD1EF內(nèi)作EM⊥CD1，F(xiàn)N⊥C則D1E=CF，∠ED所以，△EMD1≌△FNC因?yàn)镋F//CD1，EM⊥CD所以，MN=EF=2，則D所以，EM=E所以，梯形CD1EF（3）多面體AEF?DD1CS△DD1所以，該棱臺(tái)的體積為1=1故剩余部分的體積為8?7故比較小的那部分與比較大的那部分的體積的比值為717交線問(wèn)題36．（23-24高二上·廣東·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，【答案】6【分析】根據(jù)給定條件，利用平面的基本事實(shí)作出截面，再求出截面多邊形周長(zhǎng).【詳解】直線EF與直線AD,CD分別交于點(diǎn)M,N，連接GM,GN分別交AA1,CC1則五邊形EFHGK是過(guò)E,F,G三點(diǎn)的平面截正方體ABCD?A顯然AM=AE=CF=CN=3，AKDG=MKFH=EK=12+32所以五邊形EFHGK的周長(zhǎng)為610故答案為：6【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.37．（21-22高一·湖南·課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1，P為棱

【答案】畫(huà)圖見(jiàn)解析【分析】畫(huà)平面α與長(zhǎng)方體不同的表面的交線，只需找到兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，兩點(diǎn)確定交線即可.【詳解】如圖，由于P是BB1上的點(diǎn)，所以A1P?平面AA所以平面α∩平面AA1B同理，平面α∩平面BB1C1C=PC1所以平面α與長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D作法：連接A1P，PC1，

38．（22-23高一下·遼寧·期末）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C(1)請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵鵄BCD?A1B1C(2)求截面α的面積．【答案】(1)圖形見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）取CC1的中點(diǎn)F，連接B1F、B1M、（2）依題意可得四邊形DFB1M為菱形，連接MF，DB1【詳解】（1）取CC1的中點(diǎn)F，連接B1F、B1則四邊形DFB1M即為過(guò)點(diǎn)M、D和B1的平面截直四棱柱取BB1的中點(diǎn)E，連接CE、ME，因?yàn)镸為AA1的中點(diǎn)，所以ME//AB且ME=AB，AB//CD且AB=CD，所以所以DCEM為平行四邊形，所以DM//又CF//B1E且CF=B所以DM//B1F，即M、D、（2）在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA所以DF=FB所以四邊形DFB1M為菱形，連接MF，D又DB1=所以SDF39．（21-22高一下·山東青島·期中）如圖所示，正方體ABCD?A(1)過(guò)正方體ABCD?A1B1C(2)若M，N分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，請(qǐng)畫(huà)出過(guò)D1，M，N三點(diǎn)的平面與正方體ABCD?(3)設(shè)正方體ABCD?A1B【答案】(1)5(2)見(jiàn)解析(3)1【分析】（1）利用等體積法求出三棱錐B?A（2）根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系作出圖形，再利用三角形相似等知識(shí)點(diǎn)則可求出相關(guān)線段長(zhǎng)；（3）根據(jù)（1）中三棱錐B?A1B【詳解】（1）因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C則BB1為三棱錐B?A1B則VB則正方體剩余部分的體積為a3（2）畫(huà)直線MN交DA，DC延長(zhǎng)線分別為點(diǎn)E,F，再分別連接D1E,D1F順次連接D1,G,M,N,H，五邊形易得AM=12a，∠AME=∠BMN=則AE=12a，根據(jù)△AEG∽△則A1G=23a,AG=同理可得D1H=133a則五邊形D1GMNH的周長(zhǎng)為（3）連接B1D，易知B1且A1易得三棱錐B?A而三棱錐B?A1B1C1的頂點(diǎn)且點(diǎn)O,O1均在直線S由（1）得VB即13?3而B(niǎo)1D=所以O(shè)O則VO?40．（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D(1)畫(huà)出過(guò)點(diǎn)D、M、N的平面與平面BB1C(2)設(shè)過(guò)D、M、N的平面與B1【答案】(1)圖象見(jiàn)解析；(2)PM+PN=【分析】（1）由平面的性質(zhì)，作出過(guò)點(diǎn)D、M、N的平面與正方體的截面，即可求出；（2）利用三角形相似分別求出PM,PN，即可求得.【詳解】（1）如圖所示，連接DN并延長(zhǎng)交D1C1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接ME交B1C1于點(diǎn)P，交D1A1延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接DQ如圖示：平面DRMPN與平面BB1C1C的交線為PN，平面DRMPN（2）由N為CC1的中點(diǎn)，易得△DCN?△EC因?yàn)椤鱉B1P∽△EC1所以C1N=2，C1所以PN=4+649所以PM+PN=10+2異面直線問(wèn)題41．（23-24高二上·重慶·期末）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)A．105 B．31010 C．15【答案】C【分析】通過(guò)平行關(guān)系將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為相交直線夾角，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)求解正弦值即可.【詳解】如圖所示，取DD1中點(diǎn)N，連接AN,CN,AC,MN，取AC中點(diǎn)O，連接則MN//CD//AB,MN=CD=AB，所以四邊形ABMN是平行四邊形，所以BM//AN，所以∠NAC或其補(bǔ)角是異面直線BM與AC所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則AN=CN=5在等腰△ANC中，O是AC中點(diǎn)，所以O(shè)N⊥AC，所以sin∠NAC=即異面直線BM與AC所成角的正弦值為155故選：C42．（22-23高一下·河北·階段練習(xí)）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1，過(guò)點(diǎn)A作直線l與A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】C【分析】計(jì)算異面直線A1C1和B1C所成的角，則α【詳解】依題意，直三棱柱是正方體的一半，如圖所示，

∵AC//A1C1，∴∠又AC=B1C=AB1，∴過(guò)C作直線l的平行線l'，則當(dāng)l'與∠B1CA故選：C43．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=8，A．90π B．196C．784π D．【答案】B【分析】連接AC與BD交于O點(diǎn)，取CC1中點(diǎn)E，連接BE,OE，則AC1//OE，則∠EOB為異面直線BD與AC【詳解】連接AC與BD交于O點(diǎn)，則O為AC中點(diǎn)，取CC1中點(diǎn)E，連接BE,OE，則∴∠EOB為異面直線BD與AC設(shè)CE=x，AB=8，AD=6，則BE=x2+36在△OBE中，由余弦定理得BE若cos∠EOB=15，則36+若cos∠EOB=?15所以CC所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為36+64+96=14所以長(zhǎng)方體的外接球的半徑R=7，所以長(zhǎng)方體外接球的表面積S=4π故選：B44.（多選）（22-23高一下·福建漳州·期末）正方體ABCD?A1B1CA．直線BA1與CB．直線BA1與ACC．直線AO1與D．直線AO1與BD【答案】BD【分析】根據(jù)異面所成角的定義與計(jì)算方法，結(jié)合正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定、求解，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，在正方體ABCD?A1B所以異面直線BA1與CC1所成的角，即為直線在等腰直角△A1B即異面直線BA1與CC對(duì)于B中，在正方體ABCD?A1B所以異面直線BA1與AC所成的角，即為直線BA在等邊△A1B即異面直線BA1與AC所成的角為對(duì)于C中，在正方體ABCD?A1B1C可得AO1?平面ACC1所以直線AO1與對(duì)于D中，在正方體ABCD?A1B1C又由AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD因?yàn)锳C∩AA1=A且AC,AA1?平面又因?yàn)锳O1平面ACC故選：BD.

45.（22-23高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知S是矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，SA⊥BC，BS⊥CD，SA與CD所成角大小為π3，SD與BC所成角大小為π6，SA=1，分別求直線SA與CD的距離及SB與【答案】3，1【分析】根據(jù)異面直線所成的角，平行線的性質(zhì)得SA⊥AD，∠SDA=π6，SB⊥AB，∠SAB=π【詳解】∵AD//BC,AB//CD，SA⊥BC，BS⊥CD∴SA⊥AD因?yàn)镾D與BC所成角大小為π6，而B(niǎo)C//AD，則∠SDA=因?yàn)镾A與CD所成角大小為π3，而AB//CD，則∠SAB=SA=1，則SD=2，AD=3，AB=又ABCD是矩形，所以線段AD是直線SA與CD的公垂線段，線段AB是SB與AD的公垂線線段，所以直線SA與CD的距離是3，SB與AD的距離是12直線與平面所成角問(wèn)題46．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，已知BD1與A．BD1⊥B1C C．BD1⊥平面A1C1D【答案】C【分析】設(shè)BD1=2，求得DD1=1，得到BC1⊥B1C和D1C1⊥B1C，證得B【詳解】如圖所示，連接A1設(shè)BD1=2，因?yàn)锽D1與AD的夾角為60°，即∠又因?yàn)锽D1與平面ABCD所成的角為30°，即∠D所以DD1=1又因?yàn)镈1C1⊥平面BCC1B而B(niǎo)C1∩C1又因?yàn)锽D1?平面B在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C所以BD1與平面ABB在長(zhǎng)方體ABCD?A1B所以BD1與平面BCC若BD1⊥平面A1C故選：C．47．（22-23高一下·陜西寶雞·期末）在正方體ABCD?A1B1CA．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】連接BC1交B1C于點(diǎn)E，連接A1E，即可得到BC1⊥【詳解】連接BC1交B1C于點(diǎn)E，連接又DC⊥平面BCC1B1，B又DC∩B1C=C，DC,B1C?平面則∠BA1E為直線A又A1E?平面A1DCB則∠BA1E=30°，即直線A1B故選：A48．（22-23高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知正四面體S?ABC的棱長(zhǎng)為23，點(diǎn)M為平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線SM與平面ABC所成的角為θ，若sinA．π4 B．π C．2π 【答案】B【分析】在正四面體中，過(guò)頂點(diǎn)S作下底面的垂線，垂足O即為下底面中心，然后可得出線面角，根據(jù)其正弦值的范圍，求出線段SM的范圍，進(jìn)而求出OM的范圍，則點(diǎn)M的軌跡所形成的平面圖形為一個(gè)半徑為1的圓面，從而可求出其面積.【詳解】在正四面體S?ABC中，頂點(diǎn)S在底面ABC的投影為正△ABC的中心，即SO⊥平面ABC，因?yàn)檎拿骟wS?ABC的棱長(zhǎng)為23，所以AO=所以SO=S因?yàn)橹本€SM與平面ABC所成的角為θ，所以sinθ=因?yàn)閟inθ∈[22所以22因?yàn)镺M=SM2所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓面，所以點(diǎn)M的軌跡所形成平面圖形的面積為π，故選：B

49．（多選）（22-23高一下·湖北武漢·期末）若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面棱長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，且M為棱AA1的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)

A．點(diǎn)P所在區(qū)域面積為πB．有且僅有一個(gè)點(diǎn)P使得MP⊥PC．四面體P?A1D．線段PC1【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意得到P所在區(qū)域?yàn)橐訟為圓心，1為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)部部分（包含邊界弧長(zhǎng)），得到區(qū)域面積；B選項(xiàng)，尋找到不止一個(gè)點(diǎn)使得MP⊥PC1；C選項(xiàng)，根據(jù)P點(diǎn)不同位置求出點(diǎn)P到平面A1【詳解】A.由線面角的定義可知，∠MPA=θ=45°，即故點(diǎn)P所在區(qū)域?yàn)橐訟為圓心，1為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)部部分（包含邊界弧長(zhǎng)），即圓的14，面積為1如圖，設(shè)點(diǎn)P的軌跡與AD,AB交于點(diǎn)E,F，B.不妨點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，此時(shí)PC由余弦定理得：cos∠MFC同理可得：∠MEC1=π2C.如圖，AA1⊥平面ABCD，BC?平面ABCD且AB⊥BC，AA1∩AB=A，AA1,AB?平面BC?平面A1CD1，所以平面且平面A1CD因?yàn)锳E//A1D1，AE?平面A1所以AE//平面A1CD1,所以點(diǎn)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E處時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到平面A1CD此時(shí)四面體P?A1C當(dāng)P與點(diǎn)F重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到平面A1CD因?yàn)椤鰾FK∽△BAH，所以FK=34AH

故四面體P?A1C

D.當(dāng)PC取最小值時(shí)，線段PC由三角形兩邊之和大于第三邊知：當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，PC取得最小值，即PCmin則PC故選：AC50．（23-24高一下·河南開(kāi)封·期中）在三棱錐P?OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA與平面OAB所成的角為30°，PB與平面OAB所成的角為45°，則∠AOB=【答案】90【詳解】因?yàn)镻O⊥平面OAB，所以PA在平面OAB上的投影為OA，所以PA與平面OAB所成的角的平面角為∠PAO。所以，△AOP是直角三角形，∠PAO=30°，又OP=10，所以O(shè)A=OP因?yàn)镻O⊥平面OAB，所以PB在平面OAB上的投影為OB，所以PB與平面OAB所成的角的平面角為∠PBO。所以，△BOP是直角三角形，∠PBO=45°，又OP=10，所以O(shè)B=10，又AB=20，所以在△AOB中，AB2=O故答案為：90°

平行與垂直的概念辨析51．（23-24高一下·河南鄭州·期中）設(shè)α是空間中的一個(gè)平面，l,m,n是三條不同的直線，則下列說(shuō)法對(duì)的是（

）A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB．若m?α，n⊥α，l⊥n，則l//mC．若l//m，m⊥α，n⊥α則l⊥nD．若l//m，m//n，l⊥α，則n⊥α【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，只有直線m與n相交時(shí)，可得l⊥α，所以A不正確；

對(duì)于B中，由m?α，n⊥α，l⊥n，則l與m平行、相交或異面，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由l//m，m⊥α，n⊥α，則l//n，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由l//m，l⊥α，可得m⊥α，又因?yàn)閙//n，所以n⊥α，所以D正確.故選：D.52．（23-24高一下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知a，b，c是空間中不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若a⊥b，b⊥c，則a⊥cB．若a與b異面，則至多有一條c與a，b都垂直C．若α∥β，b⊥β，c⊥b，則c一定平行于α和βD．若c?α，b?β，α⊥β，則存在a同時(shí)垂直c，b【答案】D【分析】借助正方體模型，可依次判定選項(xiàng).【詳解】在正方體ABCD?A對(duì)于A，令a=AB，b=AD，c=DC，符合題意，但是a∥c，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令a=AB，b=CC在正方體中與BC平行的直線與異面直線都垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令α為平面ABCD，β為平面A1B1C1符合α∥β，b⊥β，c⊥b，但BC?平面ABCD，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令α為平面ABCD，β為平面BB1C1C符合c?α，b?β，α⊥β，則BB故選：D.53．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m、n為空間中兩條不同直線，α、β為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正確的為（

）A．若m上有兩個(gè)點(diǎn)到平面α的距離相等，則m∥αB．若m⊥α，n?β，則“m∥n”是“C．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nD．若m、n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β【答案】D【分析】對(duì)于A，m與α可以相交，直線m上關(guān)于交點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)到平面的距離相等；對(duì)于B，C，根據(jù)面面垂直的判定及性質(zhì)進(jìn)行判斷；對(duì)于D，根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)直線m與α相交時(shí)，直線m上關(guān)于交點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)到平面的距離相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m⊥α，n?β，m∥n，則n⊥α，又n?β，所以α⊥β；當(dāng)α⊥β時(shí)，m⊥α，當(dāng)m?β時(shí)，n?β，m,n可以相交，所以“對(duì)于C，若α⊥β，m?α，n?β，m與n位置關(guān)系不固定，可以是各自平面內(nèi)的任意直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m、n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則在直線m任取一點(diǎn)P，過(guò)直線n與點(diǎn)P確定平面γ，γ∩α=c，又n∥α，則n∥c，n?β，c?β，