中考數學 二次函數綜合解答題壓軸50題

1/69中考數學二次函數綜合解答題壓軸50題TOC\o"1-3"\h\u一、二次函數中的定點問題 2二、二次函數中的動點問題 4三、二次函數與三角形存在性問題 7四、二次函數與四邊形的存在性問題 9五、二次函數中的線段值及最值問題 10六、二次函數中周長與面積的值及最值問題 13七、二次函數與相似綜合問題 16八、二次函數與幾何中的證明問題 17九、二次函數中的系數及參數的值與范圍問題 18

一、二次函數中的定點問題1．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線經過B、C兩點，與x軸的另一交點為點A．(1)如圖1，求拋物線的解析式；(2)如圖2，點D為直線上方拋物線上一動點，連接、，設直線交線段于點E，求的最大值；(3)如圖3，P、Q分別為拋物線上第一、四象限兩動點，設直線解析式為，連接、，分別交y軸于M、N兩點，若在P、Q兩點運動過程中，始終有與的積等于2．試探究直線是否過某一定點．若是，請求出該定點坐標；若不是，請說明理由．2．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C，點P為第一象限拋物線上一個動點．(1)直接寫出該拋物線的解析式；(2)如圖1，若，求點P的坐標；(3)如圖2，過A作交拋物線于點Q，當點P在運動過程中，直線是否經過一個定點，若經過定點，求出該定點的坐標．3．（2024·湖北·模擬預測）如圖，拋物線經過原點，且頂點坐標為．(1)求拋物線的解析式；(2)圖（1），B是拋物線與x軸的另一交點，將線段繞地物線頂點A逆時針旋轉得到線段，若平分交拋物線于點Q．求點Q的坐標；(3)如圖（2），過點作軸交拋物線于點P，E，F為拋物線上量兩動點（點E在點P左側，點F在點P右側），直線，分別交x軸于點M，N．若，求證：直線過一個定點．4．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知拋物線．(1)如圖1，拋物線與直線交于、兩點點在左側）．①求、的坐標；②點在直線上，且在第四象限，過點作軸交拋物線于點，交于點，連接，過點作交于，求的長．(2)如圖2，將拋物線向右平移1個單位長度，向下平移4個單位長度得拋物線，直線與拋物線交于、兩點，在拋物線上是否存在定點，使得對于任意實數都有？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．二、二次函數中的動點問題5．（2024·湖南衡陽·二模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，與y軸交于點，且．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)如圖1，將沿翻折得到，與y軸交于點Q，在對稱軸上找一點P，使得是直角三角形，直接寫出所有符合條件的點P的坐標．(3)如圖2，若點G為線段上的動點，過點G作交于點H．求面積的最大值，并求此時G點坐標；6．（2024·安徽·模擬預測）已知二次函數的圖象頂點為，二次函數的圖象頂點為．(1)分別求出點，的坐標（用表示）；(2)證明：函數與的圖象相交于，兩點；(3)當時，點，為圖象上的動點，且點在點，之間，，兩點的橫坐標分別為，，作軸交于點，軸交直線于點，若四邊形，為平行四邊形，求的值．7．（2024·廣東清遠·模擬預測）綜合運用如圖，拋物線交軸于點、，交軸于點，頂點為，直線與軸交于點．(1)求直線的解析式；(2)在第一象限內是否存在一點M使得與相似？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由；(3)連接，將繞x軸上的動點順時針旋轉得到，若線段與拋物線只有一個公共點，請結合函數圖象，直接寫出的取值范圍．8．（2025·江西·模擬預測）綜合與實踐基礎嘗試如圖，拋物線經過，兩點，與軸另一交點為．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；深入探究（2）若將拋物線變?yōu)?，為了使得與一直都有四個交點，求出的取值范圍；拓展運用如果點是線段上一動點，過點的直線軸，分別交直線、拋物線于點、．連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止．（3）當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中用時最少？9．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，連接(1)點B、C的坐標分別為B（，），C（__，_）(2)連接與交于點D，設和的面積分別為和，求的最大值；(3)連接，當時，①求點P的坐標；②點E是上的一個動點（點E不與P、B重合），連接，線段的垂直平分線交于點F，交直線于點G，則的取值范圍是_________．10．（2024·海南?？凇ざ＃┤鐖D1，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)過線段上的一動點作軸，交拋物線于點，求線段的最大值；(3)在（2）的結論下，拋物線上取一動點.①當點在直線下方運動時，連接交軸于點，若四邊形是平行四邊形，請求出它的周長；②線段繞點順時針旋轉，得到線段，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求此時點的坐標．三、二次函數與三角形存在性問題11．（2024·湖南·模擬預測）定義：若拋物線沿軸向右平移個單位長度得到拋物線，那么我們稱拋物線是的“友好拋物線”，稱為“友好值”．如圖，拋物線與軸交于兩點，拋物線是的“友好拋物線”，“友好值”為2，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，作直線，點是拋物線上一動點．(1)拋物線的表達式為_________；(2)若點在第四象限，過點作軸于點，交于點，當時，求的長；(3)是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2024·安徽·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點（點在點左側），與y軸交于點，連接．(1)如圖1，求的值及直線的解析式；(2)如圖2，點為直線上方拋物線上一動點，連接，設直線交線段于點．當時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，且點的橫坐標小于2，在坐標軸上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．13．（2025·湖南婁底·模擬預測）如圖，拋物線經過，，三點，連接．(1)求拋物線的解析式：(2)作直線，l交拋物線于E、F兩點（點E在點F的左側），已知，①求直線l的解析式；②點P是拋物線上的動點，作，垂足為點K，是否存在點P，使得以P、E、K為頂點的三角形與相似？若存在，請寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．四、二次函數與四邊形的存在性問題14．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交點，拋物線過兩點，與軸交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線上方的拋物線上有一動點，連接，與直線相交于點，當時，求點坐標．(3)在（2）的條件下，若點位于對稱軸左側，點是拋物線對稱軸上一點，點是平面上一點，當以為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點的坐標．15．（2024·山西陽泉·模擬預測）綜合與探究如圖，拋物線經過點，與y軸交于點C，作直線．(1)求拋物線的函數表達式．(2)若P是拋物線上的一點，設點P的橫坐標為，的面積為S，求S關于m的函數表達式．當m為何值時，S有最大值，并求出S的最大值．(3)若點M是拋物線上的一點，過點M作交x軸于點N，是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2024·山西大同·模擬預測）綜合與探究：如圖1，拋物線經過點，與y軸交于點，點E為第四象限內拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接，當時，求點E的橫坐標；(3)如圖2，點M是的中點，點N在拋物線上，軸．在（2）中，當四邊形為平行四邊形時，試探究，在線段上是否存在點P，使以點P，M，N和線段的一個端點為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．五、二次函數中的線段值及最值問題17．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點，點D在y軸負半軸上，且，點P，Q為拋物線上的點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，若，點E，F分別為的邊上的動點，且，連接，求的最小值．18．（2024·山西朔州·模擬預測）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，D為第一象限內的點，四邊形為平行四邊形，P是線段上的動點，過點P作軸，垂足為F，直線與拋物線相交于點E，設點P的橫坐標為m．(1)求A，B，D三點的坐標．(2)若，求m的值(3)如圖2，連接，當時，請直接寫出的長．19．（2024·廣東·模擬預測）如圖，拋物線交軸于點，，交軸于點，，點是線段上一動點，作交線段于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，延長線段交拋物線于點，點是邊中點，當四邊形為平行四邊形時，求出點坐標；(3)如圖2，為射線上一點，且，將射線繞點逆時針旋轉，交直線于點，連接，為的中點，連接，，問：是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值，若不存在，請說明理由．20．（2024·安徽·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交軸于，兩點，，為拋物線頂點．(1)求，的值；(2)點為直線下方拋物線上一點，過點作軸，垂足為點，交于點，是否存在？若存在，求出此時點坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，以為圓心，2為半徑作圓，為圓上任一點，求的最小值．21．（2024·福建龍巖·模擬預測）如圖，已知二次函數的圖象與軸交于點、，與軸交于點．(1)求出點，，的坐標；(2)以為直徑作，交軸正半軸于點，直線平分，交軸于點，與關于直線對稱．求證：點，，三點共線．(3)點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是線段上的動點（除，外），過點作軸的垂線交拋物線于點，直線，分別與拋物線對稱軸交于，兩點．試問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，說明理由．六、二次函數中周長與面積的值及最值問題22．（2024·湖北孝感·一模）如圖1，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求a，b的值及直線的解析式；(2)如圖1，點是拋物線上位于直線上方的一點，連接交于點，過作軸于點，交于點，(ⅰ)若，求點P的坐標，(ⅱ)連接，，記的面積為，的面積為，求的最大值；(3)如圖2，將拋物線位于軸下方面的部分不變，位于軸上方面的部分關于軸對稱，得到新的圖形，將直線向下平移個單位，得到直線，若直線與新的圖形有四個不同交點，請直接寫出的取值范圍．23．（2024·甘肅金昌·模擬預測）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸為直線．(1)求拋物線的表達式；(2)若是拋物線對稱軸上一動點，是平面內任意一點，當四邊形是菱形時，求點的坐標；(3)已知是該拋物線上的一點，點分別為軸，軸上的點，且使得四邊形的周長最小，求四邊形周長的最小值及點的坐標．24．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖1，拋物線與軸交于點，點（點位于點左側），與軸交于點，且．(1)求的值；(2)連接，點是直線下方拋物線上的一點，連接．（?。┤鐖D2，與交于點，若，求此時點的坐標；（ⅱ）如圖3，過點作交于點，連接，求的最大值．25．（2024·湖北·一模）拋物線與直線交于原點和點，與軸交于另一點，頂點為．(1)直接寫出點和點的坐標；(2)如圖1，連接，為軸上的動點，當時，求點的坐標；(3)如圖2，是點關于拋物線對稱軸的對稱點，是拋物線上的動點，它的橫坐標為，連接，，與直線交于點．設和的面積分別為和，求的最大值．26．（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖1，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，已知，點M是拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖2，拋物線的對稱軸與x軸相交于點P，與線段相交于點Q，點N是拋物線的對稱軸上的點，且滿足，求點N的坐標．(3)如圖3，連接，點D是線段上的一個動點，過點D作交于點E，于點F，連接．當面積最大時，求此時點D的坐標．27．（2024·山西·一模）拋物線過點，點，與y軸交于C點．(1)求拋物線的表達式及點C的坐標；(2)如圖1，設M是拋物線上的一點，若，求M點的坐標；(3)如圖2，點P在直線下方的拋物線上，過點P作軸于點D，交直線于點E，過P點作，交與F點，的周長是否有最大值，若有最大值，求出此時P點的坐標．若不存在，說明理由．七、二次函數與相似綜合問題28．（2024·四川德陽·模擬預測）拋物線交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C．(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；(2)作射線，將射線繞點C順時針旋轉后，與拋物線相交于點E，如圖1．求點E的坐標．(3)作直線，分別交x軸，線段，拋物線于D，E，F三點，連接，若與相似，求t的值；29．（2024·湖南·模擬預測）如圖1，拋物線頂點為C．與x軸相交于點O，A．與直線交于點O，B．現將拋物線沿y軸作軸反射得拋物線，點A，B，C關于y軸的對稱點分別是點D，E，F．(1)求拋物線的函數表達式；(2)如圖2，點G是x軸上一動點．連接，當時，求點G的坐標；(3)如圖3，點P是拋物線在直線下方圖象上的一個動點，連接，與直線相交于點Q．求的最大值．30．（2024·湖北·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點且與軸的正半軸交于點．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點為直線上方拋物線上一動點，當時，求點的坐標；(3)如圖②，若是線段的上一個動點，過點作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點、，連接．設點的橫坐標為．①當為何值時，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．八、二次函數與幾何中的證明問題31．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線與拋物線交于點，與軸交于點，連接．(1)求拋物線的函數表達式；(2)若，求點的坐標；(3)直線交拋物線對稱軸于點，過點作，交過點且平行于軸的直線于點．試探究：無論取何值，始終成立．32．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知拋物線交x軸于A，交y軸于B，對稱軸為，且．(1)求出該拋物線的解析式；(2)如圖1，直線上有一動點C，是否有點C使得，如果有，求出所有符合條件的C的坐標；如果沒有，請說明理由；(3)如圖2將拋物線平移，使頂點與原點重合．若直線解析式為，過A、B分別作拋物線的切線交于點G，分別交x軸于E、F，連、、，若交x軸于H，求證：．九、二次函數中的系數及參數的值與范圍問題33．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線的頂點為，點、均在此拋物線上（點在對稱軸右側），且點、的橫坐標分別為、，連接，過點作軸于點，過點作軸于點．(1)______，______；(2)當點落在軸上時，求的值；(3)當時，求線段的長；(4)當點在軸右側時，作四邊形．若四邊形的邊和拋物線有交點（不包括四邊形的頂點），設此交點為點，當的面積是四邊形面積的時，直接寫出的值．34．（2024·四川成都·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于點A，．(1)若點A的坐標為，求a，b的值；(2)如圖2，在（1）的條件下，若C是直線下方拋物線上一動點，求的面積最大時點C的坐標；(3)在第二象限內有一點，連接并延長交拋物線于點E，連接并延長交拋物線于點F，連接．若對于任意b值（且），總有，求a的值．35．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖1，拋物線過點，點，，與y軸交于點C．點M是拋物線一點，過點M作直線軸，交x軸于點E，設M的橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式以及頂點坐標；(2)如圖2，連接，連接交y軸于點N，交于點D，連接，設的面積為，的面積為，求的最大值．(3)設函數y在內最大值為p，最小值為q，若，直接寫出m的值．36．（2024·貴州貴陽·一模）已知二次函數（其中，為常數）．(1)如圖①，該函數圖像與軸交于、兩點，若點坐標為，點坐標為．①則的值是_________，的值是_________；②對于一切實數，若函數值總成立，求的取值范圍．(2)如圖②，該函數圖像與軸交于點，當時（其中、為實數，），自變量的取值范圍是，求和的值以及的取值范圍．37．（2024·河北滄州·模擬預測）如圖，拋物線（為常數）與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，直線交y軸于點C，交拋物線于點M，（點M在點N的左側且點M，N在y軸同側）．(1)當時，拋物線的頂點坐標為______，______；(2)如果k可以是負數也可以是正數，是否存在k，使？若存在，求k的值；若不存在，說明理由；(3)當且時，拋物線的最高點到直線的距離為1，求此時k的值．38．（2024·安徽宣城·三模）如圖，拋物線c：與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，點為動點，且，過點M作于點M，交拋物線于點E，交直線于點．(1)求拋物線c的表達式及頂點坐標；(2)若，求m的值；(3)平移拋物線c：使其頂點為F點，設平移后的拋物線c在x軸上方的部分記為圖象Q，若圖象Q始終在拋物線c的下方，求m的取值范圍．39．（2024·湖南長沙·模擬預測）如圖1所示，已知拋物線與x軸交于A，兩點，與y軸交于點．點P為第一象限拋物線上的點，連接，，，．(1)填空：______，______，______；(2)如圖1所示，當時，求點P的坐標；(3)如圖2所示，點D在y軸負半軸上，，點Q為拋物線上一點，．點E，F分別為的邊，上的動點，且，記的最小值為m．①求m的值；②設的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．40．（2024·湖北·模擬預測）已知拋物線與x軸交于兩點（點A在點B左側）．與y軸交于點，拋物線頂點為D．(1)求拋物線解析式以及點D的坐標；(2)若拋物線上有兩點，當時，均有，求t的取值范圍；(3)將拋物線L沿直線平移得到頂點為的拋物線G，設的橫坐標為m，若拋物線G與直線交于兩點，且，請直接寫出m的取值范圍．41．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）拋物線與軸交于兩點，交軸于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點在線段上，過點作交拋物線于點，連接，記與的面積分別為，設，求的最大值及此時點的坐標；(3)將線段先向下平移1個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段與二次函數的圖象只有一個交點，其中為常數，請直接寫出的取值范圍．42．（2024·四川廣安·模擬預測）如圖，直線交y軸于點A，交x軸于點，拋物線經過點A，點，且交x軸于另一點．

(1)求拋物線的解析式；(2)在直線上方的拋物線上有一點，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；(3)將線段繞x軸上的動點順時針旋轉得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，請結合函數圖象，請直接寫出m的取值范圍．43．（2025·湖北黃石·一模）如圖1，拋物線交x軸于A，C兩點，交y軸于點B，對稱軸為，若點A的坐標為，，點為某個動點．(1)直接寫出點B，C的坐標；(2)當點D在拋物線上且在對稱軸右側時，設直線的解析式為，依據函數圖象試求不等式的解集；(3)如圖2，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點E，記，求n關于m的函數解析式．當n隨m的增大而增大時，求m的取值范圍．44．（2025·新疆烏魯木齊·三模）如圖1，拋物線過點，點．(1)求拋物線的表達式；(2)點為直線下方的拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，設點的橫坐標為，當取最大值時，求的值；(3)如圖2，點，連接，將拋物線的圖象向上平移個單位得到拋物線，當時，若拋物線與直線有兩個交點，直接寫出的取值范圍．45．（2025·廣東揭陽·一模）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為A．(1)如圖1，若A點橫坐標為1，點在拋物線M上，求t的值；(2)如圖2，若，直線，求b變化時點A到直線l的距離最小值；(3)若，當時，求a的取值范圍．46．（2024·湖北宜昌·模擬預測）如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點A，C分別在軸和軸的正半軸上，點B在第一象限，，，拋物線經過B，C兩點．(1)求的值；(2)如圖1，設Q是拋物線L上位于x軸上方的動點，當的面積最大且與矩形的面積相等時，求此時矩形的周長；(3)圖2，設線段的兩個端點坐標為，過點F作x軸的垂線，垂足為點H，連接．①若拋物線L與直線有且只有一個公共點，求的值；②當拋物線L與有公共點時，探究其公共點的個數及對應的取值范圍．47．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在平面直角坐標系中，0為坐標原點，拋物線與y軸交于點，與x軸交于點．(1)求a，c的值；(2)如圖1，點P是第一象限拋物線上一動點，其橫坐標為t，過P作軸，交于H，求的面積S與t的函數解析式（不需要寫出t的取值范圍）；(3)如圖2，點C在第一象限內，連接，，且，將線段繞點C逆時針旋轉得到線段，連接，，交于點E，點F在第二象限直線上，連接，，若，，，求點P的坐標．48．（2024·湖北武漢·模擬預測）拋物線交軸于兩點在的左邊），交軸于點．

圖1

圖2(1)如圖1，當時，①直接寫出三點的坐標；②拋物線的頂點為，求證：；(2)如圖2，將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．過點的直線與拋物線交于兩點．直線與拋物線只有一個交點，連接，若恒成立，求．49．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，且對稱軸為直線．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在第二象限的拋物線上作點D，連接交直線于點E，若與相似，求點D的橫坐標；(3)如圖2，經過點的直線交拋物線于兩點（M在第三象限，N在第一象限），直線交線段于點Q（不與重合），若的值與k無關，求的值．50．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知拋物線與軸交于，兩點（點在左）．(1)若時，求，的坐標；(2)如圖1，在（1）的條件下，點為第一象限拋物線上一點，連接，，軸于點，，求點的縱坐標；(3)如圖2，拋物線經過兩個定點，，直線與交于點，與拋物線交，二點，且，求的值．中考數學二次函數綜合解答題壓軸50題解析一、二次函數中的定點問題1．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知：在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線經過B、C兩點，與x軸的另一交點為點A．(1)如圖1，求拋物線的解析式；(2)如圖2，點D為直線上方拋物線上一動點，連接、，設直線交線段于點E，求的最大值；(3)如圖3，P、Q分別為拋物線上第一、四象限兩動點，設直線解析式為，連接、，分別交y軸于M、N兩點，若在P、Q兩點運動過程中，始終有與的積等于2．試探究直線是否過某一定點．若是，請求出該定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)直線經過點【分析】（1）用待定系數法求函數的解析式即可．（2）設，過點D作軸交于G點，過點A作軸交于H點，由，可得，當時，有最大值為．（3）設直線的解析式為，，，當時，，，設直線的解析式為，直線的解析式為，當時，，，當時，，，，，再由，可得，即，整理得，由此可知直線經過點．【詳解】（1）解：在一次函數中，當時，，∴，當時，，∴，將點B、C代入中，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）設，過點D作軸交于G點，過點A作軸交于H點，如圖，∴，，∴，，∵，∴，∵點D為直線上方拋物線上，∴，當時，有最大值，最大值為．（3）直線過定點，理由如下：設直線的解析式為，，，當時，，，設直線的解析式為，直線的解析式為，則，當時，，，當時，，，∵，∴，∴，整理得，∴直線經過點．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，主要考查二次函數的圖象及性質，三角形的面積等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．2．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，拋物線與x軸交于和兩點，與y軸交于點C，點P為第一象限拋物線上一個動點．(1)直接寫出該拋物線的解析式；(2)如圖1，若，求點P的坐標；(3)如圖2，過A作交拋物線于點Q，當點P在運動過程中，直線是否經過一個定點，若經過定點，求出該定點的坐標．【答案】(1)(2)點P不存在(3)存在，直線恒過點【分析】本題主要考查運用待定系數法求函數解析式，二次函數圖象與性質，正切的應用以及直線恒過定點的求法：（1）直接運用待定系數法求出二次函數解析式即可；（2）過點A作于點D，交于點F，設交x軸于點E，求出，，設則，，證明得出即得方程組，解得，得點E的坐標為，進一步可判斷點P不存在；（3）設，；過點Q作軸于點E，過點P作軸于點F，可得出，，，根據得出，運用待定系數法求出直線的解析式為，整理得，從而可得直線恒過點【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于和兩點，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過點A作于點D，交于點F，設交x軸于點E，當時，∴，又，，∴，∴，又∴∴，∴；又且，∴，∴，∴，設，則，，又，∴，又，∴，∴，即，∴，解得，，∴點E的坐標為，又，∴此時點B與點E重合，即此時點P的坐標為，這與點P在第一象限矛盾，故點P不存在；（3）解：如圖，設，，過點Q作軸于點E，過點P作軸于點F，∵，∴，，，∵，∴又∴∴又，，∴，即，整理得，，設直線的解析式為，把，代入得，，解得，，∴直線的解析式為∵∴，∴；即當時，即時，與的取值無關，∴，即：直線恒過點．3．（2024·湖北·模擬預測）如圖，拋物線經過原點，且頂點坐標為．(1)求拋物線的解析式；(2)圖（1），B是拋物線與x軸的另一交點，將線段繞地物線頂點A逆時針旋轉得到線段，若平分交拋物線于點Q．求點Q的坐標；(3)如圖（2），過點作軸交拋物線于點P，E，F為拋物線上量兩動點（點E在點P左側，點F在點P右側），直線，分別交x軸于點M，N．若，求證：直線過一個定點．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）根據待定系數法求解析式即可；（2）過點A作軸，過點B作于點M，過點C作于點N，連接交直線于點D，根據旋轉的性質及全等三角形的性質，可求出，再根據等腰三角形的性質和判定，中點坐標公式可求，再求出直線的解析式，進而求出直線與拋物線的交點坐標即可；（3）設點，，分別求出直線，直線的解析式，可得，，再求出，，根據可得，再求出直線的解析式，即可得證．【詳解】（1）解：拋物線頂點坐標為，設拋物線解析式為，拋物線經過原點，當時，，解得，拋物線解析式為；（2）解：過點A作軸，過點B作于點M，過點C作于點N，連接交直線于點D，B是拋物線與x軸的另一交點，當時，，解得：，，，軸，，，，，，，，，將線段繞地物線頂點A逆時針旋轉得到線段，，，，，，，，，，，軸，，，，拋物線與x軸交于原點，B點，且頂點坐標為，，，，平分，點D是的中點，，，，設直線的解析式為，把，代入得，，解得，直線的解析式為，聯立，解得或，，（3）由題意設點，，軸，，當時，，，設直線的解折式，把，得，，解得，直線的解折式，直線交x軸于點M，當時，，，，設直線的解折式，把，代入得，，解得，直線的解折式為，當時，，，，，，，，，，，，設直線的解折式為，，，，解得，直線的解折式為，，，，，當時，，直線過一個定點，該定點為．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的綜合，涉及待定系數法求二次函數和一次函數的解析式，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質和判定，旋轉的性質等知識點，熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．4．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知拋物線．(1)如圖1，拋物線與直線交于、兩點點在左側）．①求、的坐標；②點在直線上，且在第四象限，過點作軸交拋物線于點，交于點，連接，過點作交于，求的長．(2)如圖2，將拋物線向右平移1個單位長度，向下平移4個單位長度得拋物線，直線與拋物線交于、兩點，在拋物線上是否存在定點，使得對于任意實數都有？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①，；②(2)【分析】（1）①由聯立解析式解方程組，即可求解；②證明，則，進而求解；（2）假設存在點，證明，得到，整理得：，則，，，由，得到，，此時，，即可求解．【詳解】（1）解：①拋物線與直線交于、兩點點在左側）．，解得或，，；②設，，，，，又交于點，，，如圖1，過點作于點，于點，，，，過點作軸交的延長線于點，由點、的坐標知，，，故，，，；（2）存在，理由：根據平移的性質，拋物線的表達式為，設，，，，，假設存在點，則，過點作軸，分別交過點、于軸的平行線于點、，，，，，，，其中，，，是的解，，，，，，，，整理得：，有無數條，為任何實數，，，，由，得到，，此時，，故存在定點，使得對于任意實數都有．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質，熟練掌握二次函數的性質和根與系數的關系是解題的關鍵．二、二次函數中的動點問題5．（2024·湖南衡陽·二模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側，與y軸交于點，且．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)如圖1，將沿翻折得到，與y軸交于點Q，在對稱軸上找一點P，使得是直角三角形，直接寫出所有符合條件的點P的坐標．(3)如圖2，若點G為線段上的動點，過點G作交于點H．求面積的最大值，并求此時G點坐標；【答案】(1)；(2)的坐標為或或或(3)有最大值為，G點坐標為【分析】（1）根據題意得到，結合三角函數得到點的坐標，利用待定系數法求出拋物線解析式，將拋物線解析式化為頂點式即可得到其頂點坐標；（2）根據題意得到頂點，進而得到為等腰直角三角形，過點作交于點，結合軸對稱性質證明，得到，且有軸，設直線的解析式為，利用待定系數法求出直線的解析式，進而得到點，點坐標，根據點P在對稱軸上，使得是直角三角形，設，則，，，結合勾股定理逆定理分以下三種情況①當時，②當時，③當時，建立等式，討論求解，即可解題；（3）設直線的解析式為，利用待定系數法求出直線的解析式，利用平行的特點設的解析式為，分別得到，，進而根據表示出的表達式，再利用二次函數的最值，得到的最大值，并推出G點坐標．【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，，，，，即，拋物線過點，，，解得，拋物線解析式為，，拋物線的頂點坐標；（2）解：時，解得，，，即，，為等腰直角三角形，，過點作交于點，，，由對稱的性質可知，，，，，，軸，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當時，有，解得，，即，，，點P在對稱軸上，使得是直角三角形，設，則，，，①當時，有，解得或，的坐標為或；②當時，有，解得，的坐標為；③當時，有，解得，的坐標為；綜上所述，的坐標為或或或；（3）解：設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，，設的解析式為（其中的橫坐標范圍為），聯立與，有，解得，當時，，即，當時，有，即，即，，，當時，有最大值為，此時，G點坐標為．【點睛】本題考查了三角函數綜合，待定系數法求函數解析式，二次函數頂點式，等腰直角三角形性質，軸對稱性質，全等三角形性質和判定，勾股定理逆定理，二次函數的最值，解題的關鍵是利用分類討論和數形結合的思想解決問題．6．（2024·安徽·模擬預測）已知二次函數的圖象頂點為，二次函數的圖象頂點為．(1)分別求出點，的坐標（用表示）；(2)證明：函數與的圖象相交于，兩點；(3)當時，點，為圖象上的動點，且點在點，之間，，兩點的橫坐標分別為，，作軸交于點，軸交直線于點，若四邊形，為平行四邊形，求的值．【答案】(1)；(2)詳見解析(3)【分析】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到平行四邊形的性質、函數的交點等知識點．（1）由頂點坐標公式即可求解；（2）證明：令，得或，即可求解；（3）由四邊形為平行四邊形，得到，即可求解．【詳解】（1），對稱軸，當時，，∴，，對稱軸，當時，，∴；（2）令，得：，化簡得：，即，解得：，，將，分別代入二次函數中，得：，，∴交點坐標為和，即：函數與相交于、兩點．（3）當時，，頂點；，頂點，∴直線解析式為：，設，則∴，則，則，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，解得：，（舍去），∴．7．（2024·廣東清遠·模擬預測）綜合運用如圖，拋物線交軸于點、，交軸于點，頂點為，直線與軸交于點．(1)求直線的解析式；(2)在第一象限內是否存在一點M使得與相似？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由；(3)連接，將繞x軸上的動點順時針旋轉得到，若線段與拋物線只有一個公共點，請結合函數圖象，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)存在，點的坐標為或或(3)的取值范圍為或【分析】（1）根據解析式得出、，直線的解析式為，利用待定系數法求出、的值即可得答案；（2）由（1）中解析式可得是等腰直角三角形，分、、三種情況，利用等腰三角形的對稱性分別求解即可得答案；（3）分和兩種情況，分別求出點、落在拋物線上時的值即可得答案．【詳解】（1）解：∵，頂點為，∴，令，則，∴，設直線的解析式為，把，代入，得，解得：∴直線的解析式為，（2）存在，把代入，得，解得：，∴，∴，∴是等腰直角三角形，如圖1，若，則，，∴軸，與直線交于點，∴，如圖，若，則，，∵點是拋物線的頂點，∴點與點關于直線對稱，∴，如圖，若，則，，過點作于點，則∴點與點關于直線對稱，∴，綜上，點M的坐標為或或．（3）①若，當旋轉后點落在拋物線上時（如圖），線段與拋物線只有一個公共點．∴的坐標是，∴，解得：，，（不合題意，舍去）當旋轉后點落在拋物線上時（如圖），線段與拋物線只有一個公共點．把代入得：，解得：，，∴，，∴，∴點與點重合∴當時，若線段與拋物線只有一個公共點，的取值范圍為．若，當旋轉后點落在拋物線上時（如圖），線段與拋物線只有一個公共點，此時，點與點重合，故，當旋轉后點落在拋物線上時（如圖），線段與拋物線只有一個公共點．連接、，過點作軸于，∵將繞x軸上的動點順時針旋轉得到，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∴解得：（不合題意，舍去），．∴當時，若線段與拋物線只有一個公共點，的取值范圍為．綜上，m的取值范圍為或．【點睛】本題考查二次函數的綜合、待定系數法求一次函數解析式、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、旋轉的性質及解一元二次方程，熟練掌握相關性質及判定定理，并運用分類討論的數學思想是解題關鍵．8．（2025·江西·模擬預測）綜合與實踐基礎嘗試如圖，拋物線經過，兩點，與軸另一交點為．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；深入探究（2）若將拋物線變?yōu)?，為了使得與一直都有四個交點，求出的取值范圍；拓展運用如果點是線段上一動點，過點的直線軸，分別交直線、拋物線于點、．連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運動到，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止．（3）當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中用時最少？【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為（2）（3）【分析】利用待定系數法求解即可；由絕對值的性質可得的圖象在軸及上方部分，找到翻折后頂點坐標，結合圖象確定直線的運動范圍，進而即可得解；首先點的運動的時間值等于折線的長度值，由垂線段最短得出折線的長度的最小值為與軸之間的垂線段，進而通過求直線交點即可得解．【詳解】解：由拋物線經過，兩點可得：，解得：，∴拋物線的解析式為，令，，∴，將，代入直線中，得：，解得，∴直線的解析式為由題意得，拋物線變?yōu)椋?1)得，，對于拋物線，將其化為頂點式，拋物線的頂點坐標為，的圖象是將拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，而軸上方的部分保持不變，翻折后頂點變?yōu)?，要使與一直都有四個交點，那么直線應該在軸和翻折后的拋物線頂點之間，圖象如圖所示，的取值范圍為．如圖，過點作軸于點，則，，，，．過點作軸交直線于點，則，，如上圖，由題意，動點運動的路徑為折線，運動時間：，，即運動的時間值等于折線的長度值，由垂線段最短可知，折線的長度的最小值為與軸之間的垂線段．過點作于點，則，與直線的交點，即為所求之點，如上圖，直線的解析式為，點橫坐標為，，．【點睛】本題主要考查了待定系數法求拋物線與直線的解析式，二次函數的圖象與性質，解直角三角形，垂線段最短，勾股定理等知識點，熟練掌握其性質并能正確添加輔助線是解決此題的關鍵．9．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，連接(1)點B、C的坐標分別為B（，），C（__，_）(2)連接與交于點D，設和的面積分別為和，求的最大值；(3)連接，當時，①求點P的坐標；②點E是上的一個動點（點E不與P、B重合），連接，線段的垂直平分線交于點F，交直線于點G，則的取值范圍是_________．【答案】(1)8；0；0；4(2)的最大值為(3)①；②【分析】（1）分別令即可求解；（2）根據題意計算出直線的解析式，如圖所示，過點作軸交于點，則點的橫坐標為，過點作軸于點，交于點，過點作與點，設，且，可證，可得，即，再根據三角形的面積計算方法得，，由此結合二次函數最值的計算方法即可求解；（3）①接，，作點關于的對稱點，則，連接，作軸于點，證明兩個三角形全等可得，可得點三點共線，求出直線的解析式，聯立二次函數解二元一次方程組即可；②作圖如下，過點作軸于點，于點，連接，過點作軸于點，連接，作于點，可證，可得，則有，分類討論：當時，的值最小，即的值最小；當點與點重合時，當點與點重合時，，可得的值最大值，由此即可求解．【詳解】（1）解：已知二次函數的圖象與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，∴令時，，整理得，，∴，，∴，，令時，，∴，故答案為：；（2）解：已知，，∴設直線所在直線的解析式為，∴，解得，，∴直線所在直線的解析式為，如圖所示，過點作軸交于點，則點的橫坐標為，過點作軸于點，交于點，過點作與點，∴當時，，∴，則，∵點是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，∴設，且，∴，，，∴，∴，即，∵，，∴，∴當時，有最大值，最大值為；（3）解：①連接，，作點關于的對稱點，則，連接，作軸于點，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴是直角三角形，，即，∵點關于的對稱點為，且，∴，∴點三點共線，∴；∵，，∴，∴，，∴，∵，，，，則，，，∴，∴，∴點三點共線，∵點，點，∴設直線的解析式為，∴，解得，，∴直線的解析式為，∴，解得，或（不符合題意，舍去）∴；②根據題意，作圖如下，過點作軸于點，于點，連接，過點作軸于點，連接，作于點，

已知，，是的垂直平分線，∴，，且，∴，∴，∴，即，∴，在四邊形中，，∴，∴，∵，∴，∴，當時，的值最小，即的值最小，在中，，，∴，∴，在中，，∴，∴，即的最小值為，當點與點重合時，，當點與點重合時，，∵，∴，綜上所示，的取值范圍是：．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數圖象與幾何圖形的綜合，掌握待定系數法求一次函數、二次函數解析式，軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，相似的判定和性質，勾股定理，垂直平分線的性質，點到直線垂線段最短等知識的綜合運用，圖形結合分析，分類討論思想是解題的關鍵．10．（2024·海南?？凇ざ＃┤鐖D1，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)過線段上的一動點作軸，交拋物線于點，求線段的最大值；(3)在（2）的結論下，拋物線上取一動點.①當點在直線下方運動時，連接交軸于點，若四邊形是平行四邊形，請求出它的周長；②線段繞點順時針旋轉，得到線段，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求此時點的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)當時，線段的最大值為(3)①平行四邊形的周長為，②點P的坐標為或【分析】（1）用待定系數法求二次函數的解析式；（2）先求直線的解析式，然后設點的坐標為，則點的坐標為，計算得出，根據二次函數的性質即得答案；（3）①由（2）可求出，根據平行四邊形的性質可得，，由此即得答案；②設點的坐標為，分兩種情況討論：（Ⅰ）當點在對稱軸左側時，即，作軸，分別過D，G兩點作于點，于點，證明，得到，從而可得，解方程即得答案；（Ⅱ）當點在對稱軸右側時，即，作軸，分別過D，G兩點作于點，于點，同理可得，得方程，解方程即得答案．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，兩點，設所求拋物線的解析式為，把點代入，得，，解得，所求拋物線的解析式為，即；（2）解：設直線的解析式為，直線經過，兩點，，解得，直線的解析式為，設點的坐標為，則點的坐標為，，，且，當時，線段的最大值為；（3）解：①當時，點的坐標為，點的坐標為，，四邊形是平行四邊形，，，平行四邊形的周長為；②根據對稱性可知拋物線的對稱軸為，設點的坐標為，（Ⅰ）當點在對稱軸左側時，即，如圖，作軸，分別過D，G兩點作于點，于點，則，，，，，，，，則，解得，（舍去），當時，，；

（Ⅱ）當點在對稱軸右側時，即，如圖，作軸，分別過D，G兩點作于點，于點，同理可得，，則，（舍去），，當時，，；

綜上所述，當點P的坐標為或時，點G恰好落在拋物線的對稱軸上．【點睛】本題主要考查了二次函數與幾何的綜合問題，求一次函數的解析式，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的圖象與性質，圖形旋轉的性質等知識，利用分類討論思想分情況討論及添加輔助線構造三角形全等是解題的關鍵．三、二次函數與三角形存在性問題11．（2024·湖南·模擬預測）定義：若拋物線沿軸向右平移個單位長度得到拋物線，那么我們稱拋物線是的“友好拋物線”，稱為“友好值”．如圖，拋物線與軸交于兩點，拋物線是的“友好拋物線”，“友好值”為2，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，作直線，點是拋物線上一動點．(1)拋物線的表達式為_________；(2)若點在第四象限，過點作軸于點，交于點，當時，求的長；(3)是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點的坐標為或【分析】（1）用待定系數法求出拋物線的解析式，然后根據“友好值”為2即可求出拋物線的解析式；（2）先求出，用待定系數法求出直線的表達式，設，則，則，然后根據列式即可求解；（3）分點M在直線上方和點M在直線下方兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：把代入，得，解得，∴拋物線的解析式為，∵“友好值”為2，∴拋物線的解析式為．故答案為：；（2）解：拋物線的表達式為，∴．設直線的表達式為，將點，C的坐標代入，得，解得，∴．直線的表達式為．設，則，∴∵∴解得或（舍去），∴當時，，∴點M的坐標為，∴；（3）解：當點M在直線上方時，設直線交x軸于點D，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴點D的坐標為，設直線的解析式為，將代入，可得，∴直線的解析式為，令，解得（舍去），，當時，，∴；當點M在直線下方時，設直線交x軸于點E，∵，∴，∴，∴點E的坐標為，設直線的解析式為，將代入，可得，∴直線的解析式為，令，解得（舍去），，當時，，∴；綜上可知，當時，點的坐標為或【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數和一次函數函數解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數的平移，二次函數與幾何綜合，以及解直角三角形等知識，數形結合是解答本題的關鍵．12．（2024·安徽·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點（點在點左側），與y軸交于點，連接．(1)如圖1，求的值及直線的解析式；(2)如圖2，點為直線上方拋物線上一動點，連接，設直線交線段于點．當時，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，且點的橫坐標小于2，在坐標軸上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似，如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，直線的解析式為(2)點坐標為或(3)存在，理由見解析【分析】（1）由待定系數法求解即可得到答案；（2）證明，得到，即可求解；（3）當點在軸時，以、、為頂點的三角形與相似，存在、兩種情況，利用解直角三角形的方法即可求解；當點在軸上時，同理可解．【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點，把代入得，即拋物線的解析式為；拋物線與軸交于點（點在點左側），，當時，，解得或，直線過、，設直線，將、代入得：，解得：，直線的解析式為；（2）解：分別過點、點作軸的平行線，交直線于點和點，如圖所示：設點，，則，當時，，，，，，，，則，，解得，，點坐標為或；（3）解：存在，理由如下：由題意得，點；由點、、的坐標得，，，∴則，則，，，當點在軸時，如圖所示：以、、為頂點的三角形與相似，當時，則，得，則點；當時，此時，點、重合且符合題意，故點；當點在軸上時，只有，則，則點，綜上，點的坐標為或或．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及待定系數法確定函數解析式、二次函數圖象與性質、三角形相似的判定與性質、解直角三角形、面積的計算等知識，熟練掌握二次函數圖象與性質、二次函數綜合題型解法，尤其注意分類求解是解題的關鍵．13．（2025·湖南婁底·模擬預測）如圖，拋物線經過，，三點，連接．(1)求拋物線的解析式：(2)作直線，l交拋物線于E、F兩點（點E在點F的左側），已知，①求直線l的解析式；②點P是拋物線上的動點，作，垂足為點K，是否存在點P，使得以P、E、K為頂點的三角形與相似？若存在，請寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)①；②點的坐標為或或．【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）①作于點，作于點，證明，求得，即，設直線的解析式為，聯立得，利用根與系數的關系，列方程求解即可；②分三種情況討論，畫出圖形，同①法求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經過，，∴設拋物線的解析式為，把代入得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：①，，，∴，，，∴，作于點，作于點，如圖，∵直線，即，∴，∴，∴，∴，即，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∵直線，∴設直線的解析式為，聯立得，整理得，∴，，∴，即，解得，∴直線的解析式為；②∵，，，，∴，，∵，∴是直角三角形，且，∴，作軸交拋物線于點，∵，∴，∴，∴點符合題意，∵，即，整理得，解得或，當時，，∴，∴點的縱坐標為，解方程，得或，∴點的坐標為；作點關于直線的對稱點，連接交延長交拋物線于點，此時，∴，∴點符合題意，∵，直線，又，∴，同理，直線的解析式為，同理，直線的解析式為，聯立得，解得，，即點的坐標為，∵點與點關于直線對稱，∴點的坐標為，同理，直線的解析式為，聯立，解得或，當時，，∴點的坐標為；過點作交軸于點，交拋物線于點，∴，∴，∴點符合題意，作軸于點，設直線交軸于點，令，，解得，∴點的坐標為，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴點的坐標為，同理，直線的解析式為，聯立得，解得或，當時，，∴點的坐標為；綜上，點的坐標為或或．【點睛】本題考查了是二次函數的綜合問題，相似三角形的判定和性質．正確引出輔助線解決問題是解題的關鍵．四、二次函數與四邊形的存在性問題14．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交點，拋物線過兩點，與軸交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線上方的拋物線上有一動點，連接，與直線相交于點，當時，求點坐標．(3)在（2）的條件下，若點位于對稱軸左側，點是拋物線對稱軸上一點，點是平面上一點，當以為頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點的坐標．【答案】(1)(2)(3)M的坐標為或或或或【分析】（1）根據直線與坐標軸的交點可得、，運用待定系數法即可求解二次函數解析式；（2）根據二次函數圖象與軸的交點可求出，如圖，過點作軸于點，過點作軸于點G，則，設點的橫坐標為，則，根據相似三角形的判定和性質可得，，結合直線可用含的式子表示點，再根據，列式得，由此即可求解；（3）根據題意可得拋物線頂點坐標為，對稱軸為直線，可知，設，由兩點之間距離公式可得，，，根據菱形的性質分類討論：①當為菱形的邊時，；②當為菱形的邊時，；③當為菱形的對角線時，；由此列式求解即可．【詳解】（1）解：在中，當時，，當時，，∴、，∵拋物線的圖象經過兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：令，且，解得，∴，如圖，過點作軸于點，過點作軸于點G，則，∵點在直線上方拋物線上的動點，設點的橫坐標為，則，且，∴，∵，∴，∵，∴，∴點的橫坐標為，且點在直線的圖象上，∴，∴，∵，即，∴，∴，解得，，當時，；當時，，∴，；（3）解：∵拋物線的解析式為，∴拋物線頂點坐標為，對稱軸為直線，在（2）的條件下，點位于對稱軸左側，∴，∵點是拋物線對稱軸上一點，∴設，∵，∴，，，①當為菱形的邊時，，如圖所示，即，∴，∴，∴或；②當為菱形的邊時，，如圖所示，即，∴，∴或，∴或；③當為菱形的對角線時，如圖所示，，即，∴，解得，，∴；綜上所述，M的坐標為或或或或．【點睛】本題主要考查一次函數，二次函數與幾何圖形的綜合，掌握一次函數與坐標軸交點的計算，待定系數法求二次函數解析式，相似三角形的判定和性質，菱形的性質，兩點之間距離公式的運用，圖形結合分析，分類討論思想等知識是解題的關鍵．15．（2024·山西陽泉·模擬預測）綜合與探究如圖，拋物線經過點，與y軸交于點C，作直線．(1)求拋物線的函數表達式．(2)若P是拋物線上的一點，設點P的橫坐標為，的面積為S，求S關于m的函數表達式．當m為何值時，S有最大值，并求出S的最大值．(3)若點M是拋物線上的一點，過點M作交x軸于點N，是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，S有最大值，S的最大值為(3)存在，點M的坐標為或或【分析】（1）將點A、B坐標直接代入函數解析式即可得出答案；（2）過點P作x軸的垂線交線段于Q，再根據，根據二次函數的性質即可得答案；（3）分兩種情況：①當四邊形為平行四邊形時，②當四邊形為平行四邊形時，分別求解即可得答案．【詳解】（1）將點代入得，，解得，∴該拋物線的解析式為；（2）過點P作軸，交于點Q，如圖，拋物線與y軸交點，設直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，設，則，∴，∴的面積為，∴當時，S有最大值，S的最大值為；（3）存在．①如圖2，當四邊形為平行四邊形時，．∵拋物線的對稱軸為直線，點．∴點；②如圖3，當四邊形為平行四邊形時，過點M作軸于點Q．∵，，∴．∵，∴，∴，．設點，∴，解得，，∴點或，綜上所述，點M的坐標為或或．【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，二次函數的性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質等知識，熟練掌握二次函數的性質，分類討論是解題的關鍵．16．（2024·山西大同·模擬預測）綜合與探究：如圖1，拋物線經過點，與y軸交于點，點E為第四象限內拋物線上一動點．(1)求拋物線的解析式；(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接，當時，求點E的橫坐標；(3)如圖2，點M是的中點，點N在拋物線上，軸．在（2）中，當四邊形為平行四邊形時，試探究，在線段上是否存在點P，使以點P，M，N和線段的一個端點為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點E的橫坐標為或1(3)存在，點P的坐標為或【分析】（1）根據待定系數法求解即可；（2）根據題意，證明，然后即可求解；（3）根據題意，畫出相應的圖象，然后利用分類討論的方法即可得到點P的坐標．【詳解】（1）解：把和代入可得．解得．∴拋物線的解析式為：；（2）直線中，令可得，解，得，∴．直線中，令，可得．①分別過E，F向y軸作垂線，垂足為G，H，根據題意，可得，如圖：∵軸，軸，∴和為直角三角形．在和中，，∴．∴．設，則，∴，．從而，．∴．解，得（舍去）或．②如圖：同理可得．解，得（舍去）或．∴點E的橫坐標為或1；（3）在線段上存在點P，使以點P，M，N和線段的一個端點為頂點的四邊形是平行四邊形．點P的坐標為或．理由：∵點M是的中點，，．∴．∵點N在拋物線上，軸．∴．∴．在（2）中，當四邊形為平行四邊形時，∵，，，，∴．解，得（舍去）或．∴，．分兩種情況：①如圖，當四邊形為平行四邊形時，點P的坐標為．②如圖，當四邊形為平行四邊形時，點P的坐標為．在線段上存在點P，使以點P，M，N和線段的一個端點為頂點的四邊形是平行四邊形．點P的坐標為或．【點睛】本題是一道二次函數綜合題目，主要考查二次函數的性質、一次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征、平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，作出合適的輔助線，利用數形結合的思想解答．五、二次函數中的線段值及最值問題17．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點，點D在y軸負半軸上，且，點P，Q為拋物線上的點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，若，點E，F分別為的邊上的動點，且，連接，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將，，代入中，利用待定系數法即可求解；（2）設交軸與點，交于點，推出，得到，求出直線的解析式，聯立直線和拋物線的解析式求出點坐標即可；（3）作，且使，連接，證明得到，共線時，的值最小，作于點，設，則，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：將，，代入中，得，解得：，∴拋物線解析式為；（2）設交軸與點，交于點，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，設直線的解析式為：，把，代入，得：，∴，聯立，解得：或，∴；（3）解：如圖，作，且使，連接，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，共線時，的值最小，作于點，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，設，則，，∴，解得或(舍去)，∴，∴，∴，，∴，則的最小值為．【點睛】本題考查了用待定系數法求函數解析式、二次函數與幾何綜合、全等三角形的判定與性質、最值問題、勾股定理，綜合性強，難度較大，屬于壓軸題，熟練掌握相關知識，利用數形結合和分類討論的思想，進行求解是解題的關鍵．18．（2024·山西朔州·模擬預測）綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，D為第一象限內的點，四邊形為平行四邊形，P是線段上的動點，過點P作軸，垂足為F，直線與拋物線相交于點E，設點P的橫坐標為m．(1)求A，B，D三點的坐標．(2)若，求m的值(3)如圖2，連接，當時，請直接寫出的長．【答案】(1)，，(2)m的值為或或(3)的長為5【分析】（1）先求得A、B、C三點的坐標，即可求解；（2）由，，得到，即可求解；（3），，而，得，即可求解．【詳解】（1）解：當時，則，解得：，，，．當時，則，．四邊形為平行四邊形，，；（2）解：點P的橫坐標為m，，，，整理得：或．當時，解得：，（舍去）．當時，解得，，綜上所述，m的值為或或．（3）解：由題意可知，，．，，整理得或，當時，解得：，（舍去），當時，解得：（舍去），（舍去）．綜上所述，．當時，，，．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，平行四邊形的性質，勾股定理，三角形面積等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．19．（2024·廣東·模擬預測）如圖，拋物線交軸于點，，交軸于點，，點是線段上一動點，作交線段于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，延長線段交拋物線于點，點是邊中點，當四邊形為平行四邊形時，求出點坐標；(3)如圖2，為射線上一點，且，將射線繞點逆時針旋轉，交直線于點，連接，為的中點，連接，，問：是否存在最小值，若存在，請求出這個最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在，．【分析】（1）用待定系數法解題；（2）由已知點P的橫坐標為，可得點P和點D的坐標，用m的代數式表示PD和DE，根據平行四邊形對邊相等的性質，列出m的方程即可；（3）證明點P在直線上運動，再利用軸對稱的性質解決最短路徑問題．【詳解】（1）解：∵點，∴，在中，，∴，∴，，∴，把點，，代入拋物線中得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）如圖中，連接，，∵，，，，∴，∴直線的解析式為，設，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，把點的坐標代入，得到，，解得或，∴或．（3）如圖，過點作于，過點作于，過點作于，連接，設，則，∵，，∴是等邊三角形，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，∵，，∴，∴，∴點的運動軌跡是直線，作點關于直線是對稱點，連接交直線于，連接，此時的值最小，最小值．【點睛】本題考查二次函數的綜合運用，涉及待定系數法求解析式、平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理、利用軸對稱求最值問題等知識，是重要考點，有難度，掌握相關知識是解題關鍵．20．（2024·安徽·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交軸于，兩點，，為拋物線頂點．(1)求，的值；(2)點為直線下方拋物線上一點，過點作軸，垂足為點，交于點，是否存在？若存在，求出此時點坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，以為圓心，2為半徑作圓，為圓上任一點，求的最小值．【答案】(1)，.(2)存在，(3)【分析】（1）通過長度先得到點坐標，再將兩點代入函數解析式，解方程即可；（2）先求出直線的函數表達式，設出點坐標為，進而得到兩點坐標，再通過列出方程，解方程即可；（3）取取，連接，，先證得，得到，進而可得到，再通過兩點坐標求得長度．【詳解】解：（1），點坐標為，將，代入，得，，解得，（2）設直線的表達式為，由（1）可知拋物線的表達式為，故點坐標為，直線的表達式為設點坐標為，則，，，若，則，解得，，故，此時點坐標為；（3）如圖，取，連接，，，，又，，，，，，故的最小值為．【點睛】本題考查二次函數綜合問題，能夠熟練掌握二次函數的基本性質以及相似三角形的應用是解題關鍵．21．（2024·福建龍巖·模擬預測）如圖，已知二次函數的圖象與軸交于點、，與軸交于點．(1)求出點，，的坐標；(2)以為直徑作，交軸正半軸于點，直線平分，交軸于點，與關于直線對稱．求證：點，，三點共線．(3)點是拋物線對稱軸與軸的交點，點是線段上的動點（除，外），過點作軸的垂線交拋物線于點，直線，分別與拋物線對稱軸交于，兩點．試問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)是定值，．理由見解析【分析】（1）令，得，，令，得，從而即可得解；（2）利用待定系數法得直線的解析式為，再證點在上即可；（3）設，先求得直線的解析式為，直線的解析式為，進而得，，從而即可得解．【詳解】（1）解：令，得，∴，解得，令，得，．（2）解：由（）可知，，∵，，在中，，，，，直線平分，，與關于直線對稱，直線平分，點與點重合，，∴，過點作軸于，，∴，，，設直線的解析式為，把，代入得，解得∴直線的解析式為當時，，點在直線上點，，三點共線，（3）解：是定值，．理由如下：如圖，設，設直線的解析式為，則有：，解得：，直線的解析式為，同理可得直線的解析式為．令得，是定值．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，二次函數的圖像及性質，求一次函數，軸對稱的性質，熟練掌握解直角三角形，二次函數的圖像及性質是解題的關鍵．六、二次函數中周長與面積的值及最值問題22．（2024·湖北孝感·一模）如圖1，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，連接．(1)求a，b的值及直線的解析式；(2)如圖1，點是拋物線上位于直線上方的一點，連接交于點，過作軸于點，交于點，(ⅰ)若，求點P的坐標，(ⅱ)連接，，記的面積為，的面積為，求的最大值；(3)如圖2，將拋物線位于軸下方面的部分不變，位于軸上方面的部分關于軸對稱，得到新的圖形，將直線向下平移個單位，得到直線，若直線與新的圖形有四個不同交點，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)(ⅰ)；(ⅱ)(3)【分析】（1）待定系數法求解析式，先求得拋物線解析式，得出點，然后待定系數法求一次函數解析式即可求解；（2）（i）設，則，，得出，是等腰直角三角形，根據等腰三角形的性質可得，建立方程，解方程，即可求解；（ii）過作軸，交于點，則，得出，根據相似三角形的性質得出面積比，進而根據二次函數的性質，即可求解．（3）先求得折疊部分的拋物線解析式為，觀察函數圖象，可得當經過點時，當與只有一個交點，直線與新的圖形有三個不同交點，進而求得的值，根據函數圖象，即可求解．【詳解】（1）解：依題可得：

解得：

∴，令，得，即設直線的解析式為，將，代入得：

解得：直線的解析式為（2）解：設，則，（i），是等腰直角三角形

，，是等腰直角三角形，，解得，舍點的坐標為

（ii）如圖，過作軸，交于點，則，則，∴，

當時，有最大值為；（3）解：依題意，新的圖形的頂點坐標為則新的拋物線解析式為設平移后的直線解析式為當經過點時，有3個交點，即解得：，當與只有一個交點，則消去得，即∴解得：結合函數圖象可得：；【點睛】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求解析式，面積問題，軸對稱的性質，一次函數的平移，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．23．（2024·甘肅金昌·模擬預測）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸為直線．(1)求拋物線的表達式；(2)若是拋物線對稱軸上一動點，是平面內任意一點，當四邊形是菱形時，求點的坐標；(3)已知是該拋物線上的一點，點分別為軸，軸上的點，且使得四邊形的周長最小，求四邊形周長的最小值及點的坐標．【答案】(1)(2)(3)四邊形的周長的最小值為，，【分析】（1）由待定系數法即可求解；（2）當四邊形是菱形時，則，即可求解；（3）作點關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，交軸于點，則此時四邊形的周長最小，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：；（2）解：設點，當四邊形是菱形時，則，即，解得：，即點；（3）解：由（1）得拋物線解析式為當時，∴作點關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，交軸于點，則此時四邊形的周長最小，理由：四邊形的周長為最小，則，即四邊形的周長的最小值為，設直線的表達式為，把、代入，得，解得：∴直線的表達式為：，令，則，解得：∴，令，則∴．【點睛】本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)，軸對稱求最短路徑問題，勾股定理，菱形的判定與性質．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．24．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖1，拋物線與軸交于點，點（點位于點左側），與軸交于點，且．(1)求的值；(2)連接，點是直線下方拋物線上的一點，連接．（?。┤鐖D2，與交于點，若，求此時點的坐標；（ⅱ）如圖3，過點作交于點，連接，求的最大值．【答案】(1)，(2)（?。?；（ⅱ）【分析】本題主要考查了二次函數與幾何圖形的綜合應用，主要涉及了求二次函數解析式、利用面積的轉化求三角形面積、在坐標系中求線段的長度，解題的關鍵是正確設出點的坐標，表示出線段長度．（1）由點坐標和可以求出的值，再將點代入拋物線中即可求出的值；（2）（?。┰O點的坐標為，再將轉化為即可求出結果；（ⅱ）連接，過點作軸于點，交于點，由，可得，設點的坐標為，則，即可得出的長，再根據面積計算公式乘水平寬乘鉛直高即可得出結論．【詳解】（1）解：，，點位于原點下方，，，把點代入拋物線中，得，解得，故的值分別為．（2）（ⅰ）由（1）可知拋物線的解析式為，當時，，解得，，，設點的坐標為，其中，則，整理，得，解得（舍去），，當時，，此時點的坐標為；（ⅱ）如圖，連接，過點作軸于點，交于點，，，，設直線的解析式為，將點和點代入得，，直線的解析式為，設點的坐標為，則，，，，當時，有最大值，最大值為．25．（2024·湖北·一模）拋物線與直線交于原點和點，與軸交于另一點，頂點為．(1)直接寫出點和點的坐標；(2)如圖1，連接，為軸上的動點，當時，求點的坐標；(3)如圖2，是點關于拋物線對稱軸的對稱點，是拋物線上的動點，它的橫坐標為，連接，，與直線交于點．設和的面積分別為和，求的最大值．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，解決相關問題．（1）聯立兩個函數表達式得：，解得：即由拋物線的表達式知，其對稱軸為直線當時，即可求解；（2）①當點P在線段的右側時，軸，則；②當點P在線段左側時，設直線與y軸交于點G，則是等腰三角形，進而求解；（3）分別過點M，Q作y軸的平行線，交直線于點N，K，則，，由點Q的坐橫坐標為m，可表達，再利用二次函數的性質可得出結論．【詳解】（1）解：聯立兩個函數表達式得：，解得：，或∴當時，∴；∵，且D為頂點，∴；（2）解：如圖，過點D作DE⊥y軸于點E，∴，∴，∵，∴，①當點P在線段的右側時，軸，如圖，∴；②當點P在線段左側時，設直線與y軸交于點G，則是等腰三角形，∴設則在中，，解得∴設直線的解析式為把，代入得，，解得，，∴直線的解析式為，令，則，解得，，∴，綜上，點P的坐標為或（3）解：∵點與點