安徽省合肥市合肥卓越中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)含解析

安徽省合肥市合肥卓越中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題5分，共40分）1.函數(shù)與極限已知函數(shù)\(f(x)=\frac{x^24}{x2}\)，則\(\lim_{x\to2}f(x)\)的值為（）A.0B.4C.不存在D.22.數(shù)列與不等式已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，若\(a_3=7\)，\(a_5=13\)，則\(d\)的值為（）A.2B.3C.4D.53.解析幾何已知圓的方程為\(x^2+y^26x+8y9=0\)，則該圓的半徑為（）A.2B.3C.4D.54.立體幾何在直三棱柱\(ABCA_1B_1C_1\)中，若\(AB=AC=BC=a\)，則\(AA_1\)的長度為（）A.\(a\)B.\(\sqrt{2}a\)C.\(\sqrt{3}a\)D.\(2a\)5.概率與統(tǒng)計一批產(chǎn)品的合格率為90%，從中隨機抽取5件，則至少有4件合格的概率為（）A.\(0.999\)B.\(0.990\)C.\(0.810\)D.\(0.729\)6.函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)\(f(x)=x^33x\)，則\(f(x)\)在區(qū)間\((1,1)\)上的單調(diào)性為（）A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增7.向量運算已知向量\(\vec{a}=(2,1,3)\)，\(\vec=(1,2,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)的值為（）A.0B.1C.1D.38.復(fù)數(shù)運算已知復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)，則\(|z|\)的值為（）A.5B.\(\sqrt{5}\)C.3D.4二、填空題（每題5分，共30分）9.函數(shù)與極限若函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\)，則\(f(1)\)的值為________。10.數(shù)列與不等式已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的公比為\(q\)，若\(b_1=2\)，\(b_4=32\)，則\(q\)的值為________。11.解析幾何已知直線\(l:2x3y+5=0\)，則該直線在\(y\)軸上的截距為________。12.立體幾何在正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)中，若\(AB=a\)，則對角線\(AC_1\)的長度為________。13.概率與統(tǒng)計拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)偶數(shù)的概率為________。14.函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)\(g(x)=x^24x+3\)，則\(g(x)\)在區(qū)間\((1,3)\)上的最大值為________。15.向量運算已知向量\(\vec{c}=(1,2,3)\)，則\(\vec{c}\)的模長為________。三、解答題（共80分）16.函數(shù)與極限（10分）已知函數(shù)\(f(x)=\frac{x^21}{x+1}\)，求\(\lim_{x\to1}f(x)\)。17.數(shù)列與不等式（10分）已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{c_n\}\)的首項為\(c_1=5\)，公差為\(d=3\)，求\(c_{10}\)的值。18.解析幾何（15分）已知圓的方程為\(x^2+y^24x+6y12=0\)，求該圓的圓心和半徑。19.立體幾何（15分）在直三棱柱\(ABCA_1B_1C_1\)中，若\(AB=AC=BC=a\)，\(AA_1=2a\)，求\(A_1B\)的長度。20.概率與統(tǒng)計（10分）一批產(chǎn)品的合格率為80%，從中隨機抽取4件，求至少有3件合格的概率。21.函數(shù)的單調(diào)性（10分）已知函數(shù)\(h(x)=x^36x^2+9x\)，求\(h(x)\)在區(qū)間\((0,3)\)上的單調(diào)性。22.向量運算（10分）已知向量\(\vec7xl3bdh=(2,3,4)\)，求\(\vec31zlzfb\)在\(x\)軸上的投影長度。一、選擇題解析1.解析：當(dāng)\(x\to2\)時，\(f(x)\)的分母趨于0，但分子也趨于0，因此可以使用洛必達法則或直接計算極限。答案：C2.解析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，\(a_5=a_3+2d\)，\(a_5=13\)，\(a_3=7\)，代入求解。答案：B3.解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式\((x3)^2+(y+4)^2=r^2\)，即可求出半徑。答案：B4.解析：在正三棱柱中，底面為正三角形，高為側(cè)棱，因此\(AA_1=2a\)。答案：D5.解析：至少有4件合格的概率為\(C(5,4)\times0.9^4\times0.1+C(5,5)\times0.9^5\)。答案：B6.解析：計算\(f'(x)=3x^26x\)，在區(qū)間\((1,1)\)上\(f'(x)\)的符號決定單調(diào)性。答案：D7.解析：向量點積公式\(\vec{a}\cdot\vec=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\)。答案：C8.解析：復(fù)數(shù)模長公式\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)。答案：A二、填空題解析9.解析：代入\(x=1\)，計算\(f(1)\)。答案：210.解析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，\(b_4=b_1q^3\)，代入求解。答案：211.解析：將\(x=0\)代入直線方程\(2x3y+5=0\)。答案：\(\frac{5}{3}\)12.解析：對角線長度公式\(AC_1=\sqrt{3}a\)。答案：\(\sqrt{3}a\)13.解析：出現(xiàn)偶數(shù)的概率為\(\frac{3}{6}=0.5\)。答案：0.514.解析：計算\(g(x)\)在區(qū)間\((1,3)\)上的極值，確定最大值。答案：415.解析：向量模長公式\(|\vec{c}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}\)。答案：\(\sqrt{14}\)三、解答題解析16.解析：直接代入\(x=1\)，或使用洛必達法則求解。答案：不存在17.解析：使用等差數(shù)列通項公式\(c_n=c_1+(n1)d\)。答案：\(c_{10}=32\)18.解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，提取圓心和半徑。答案：圓心為\((2,3)\)，半徑為\(\sqrt{5}\)。19.解析：使用勾股定理求解\(A_1B\)。答案：\(\sqrt{5}a\)20.解析：使用二項分布公式計算概率。答案：約\(0.972\)21.解析：計算\(h'(x)=3x^212x+9\)，分析單調(diào)性。答案：在\((0,1)\)上單調(diào)遞增，在\((1,3)\)上單調(diào)遞減。22.解析：向量投影長度公式\(|\vec9jp3vlr|\cos\theta\)，其中\(zhòng)(\theta\)為\(\veczlhvrvj\)與\(x\)軸的夾角。答案：2一、選擇題答案1.A2.C3.B4.C5.B6.D7.A8.B9.C10.D二、填空題答案11.312.213.214.415.$\sqrt{14}$三、解答題答案16.不存在17.$c_{10}=32$18.圓心為$(2,3)$，半徑為$\sqrt{5}$19.$\sqrt{5}a$20.約$0.972$21.在$(0,1)$上單調(diào)遞增，在$(1,3)$上單調(diào)遞減22.21.函數(shù)與極限知識點：函數(shù)的極限、連續(xù)性、單調(diào)性。題型示例：已知函數(shù)$f(x)=x^24x2$，求$\lim_{x\to2}f(x)$的值?？疾閮?nèi)容：理解函數(shù)極限的定義，掌握基本的極限運算技巧。2.數(shù)列與不等式知識點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，不等式的證明與求解。題型示例：已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_3=7$，$a_5=13$，求$d$的值?？疾閮?nèi)容：掌握數(shù)列的通項公式，理解數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用。3.解析幾何知識點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓的半徑與圓心坐標(biāo)的求解。題型示例：已知圓的方程為$x^2+y^26x+8y9=0$，求圓的半徑?？疾閮?nèi)容：熟練掌握圓的方程及其幾何性質(zhì)。4.立體幾何知識點：三棱柱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、空間幾何圖形的體積與表面積計算。題型示例：在直三棱柱$ABCA_1B_1C_1$中，若$AB=AC=BC=a$，求$AA_1$的長度?？疾閮?nèi)容：理解立體幾何的基本概念，掌握勾股定理在空間中的應(yīng)用。5.概率與統(tǒng)計知識點：古典概率、二項分布、隨機變量的期望與方差。題型示例：一批產(chǎn)品的合格率為90%，從中隨機抽取5件，求至少有4件合格的概率?？疾閮?nèi)容：掌握概率的基本計算方法，理解隨機事件的概率模型。6.函數(shù)的單調(diào)性知識點：導(dǎo)數(shù)的定義與計算、函數(shù)單調(diào)性的判定。題型示例：已知函數(shù)$h(x)=x^33x^2+9$，判斷其在區(qū)間$(0,3)$上的單調(diào)性?？疾閮?nèi)容：掌握導(dǎo)數(shù)的概念，理解函數(shù)單調(diào)性的判定方法。7.向量運算知識點：向量的坐標(biāo)表示、向量模長、向量的投影與夾角計算。題型示例：已知向量$\vecfdbplp3=(1,2,3)$，求其模長?？疾閮?nèi)容：熟練掌握向量的基本運算，理解向量在幾何中的應(yīng)用。各題型知識點詳解及示例1.選擇題特點：考察基礎(chǔ)知識點，題目難度較低。示例：已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{2}4x2$，求$\lim_{x\to2}f(x)$的值。解答：代入$x=2$，得$f(2)=282=8$，因此答案為A。2.填空題特點：注重計算能力和公式應(yīng)用。示例：已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_3=7$，$a_