專題73復(fù)數(shù)的三角表示（舉一反三）（人教A版2019）（原卷版）

專題7.3復(fù)數(shù)的三角表示【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1復(fù)數(shù)的三角表示】 2【題型2求輔角主值】 4【題型3三角表示下復(fù)數(shù)的乘方與開方】 5【題型4復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化】 7【題型5三角形式下的復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】 11【題型6復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用】 12【知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的三角表示式】1．復(fù)數(shù)的三角表示式(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角來(lái)表示復(fù)數(shù)z.

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(+i)的形式.概念名稱概念的說(shuō)明模rr是復(fù)數(shù)z的模，)輻角θθ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，且三角形式r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式，該式的結(jié)構(gòu)特征是：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連(2)輔角的主值

顯然，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍.例如，復(fù)數(shù)i的輻角是+2kπ，其中k可以取任何整數(shù).對(duì)于復(fù)數(shù)0，因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)著零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.我們規(guī)定在0<2π范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作argz，即0argz<2π.(3)三角形式下的復(fù)數(shù)相等每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定.因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.【題型1\o"復(fù)數(shù)的三角表示"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168416/_blank"復(fù)數(shù)的三角表示】【例1】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθe=2.71828?是由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家?自然科學(xué)家萊昂哈德?歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽(yù)為數(shù)學(xué)上優(yōu)美的公式.已知eiθ?π6=?12A．?32 B．?12 C．【變式11】（2023上·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）歐拉公式exi=cosx+isinx（其中iA．12+3C．?12+【變式12】（2023下·廣東廣州·高一?？计谥校W拉公式exi=cosx+isinxA．eπi=1 B．C．exi3+【變式13】（2023·四川成都·川大附中?？寄M預(yù)測(cè)）歐拉公式exi=cosx+isinxA．eπi為虛數(shù) B．函數(shù)f(x)=C．若exi=1?3i2【題型2求輔角主值】【例2】（2023下·福建廈門·高一?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)z=3?i，則argA．5π3 B．?π6 C．11【變式21】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）2的輻角主值為（

）A．π2 B．3π2 C．0【變式22】（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)復(fù)數(shù)z1=?1+i,zA．1312π B．712π C．【變式23】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)π<θ<5π4，則復(fù)數(shù)cos2θ+A．2π?3θ B．3θ?2π C．3θ D．3θ?π【題型3\o"三角表示下復(fù)數(shù)的乘方與開方"\t"https://zujuan.xkw/gzsx/zj168416/_blank"三角表示下復(fù)數(shù)的乘方與開方】【例3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算cosπ4+A．1 B．?1 C．i D．?【變式31】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：?1+3i10A．1024?10243i； B．C．512?5123i； D．【變式32】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)向量為OZ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)|OZ|=r，以射線Ox為始邊，OZ為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的角為θ，則z=r(cosθ+isinθ)，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：z1=rA．1024?10243i B．C．512?5123i 【變式33】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【題型4復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化】【例4】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）將下列復(fù)數(shù)化為三角形式：(1)?3(2)?1?3(3)?2cos(4)2sin【變式41】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：(1)4cos(2)6cos【變式42】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式；(1)?5+5(2)3(3)?4(4)13【變式43】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)作出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并用三角形式表示（輻角取主值）：(1)6；(2)1+i(3)1?3(4)?6【知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義】1．復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則以及兩角和的正弦、余弦公式，可以得到

=(+i)(+i)=[(+)+i(+)]，

即(+i)(+i)=[(+)+i(+)].

這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.(2)幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)，相乘時(shí)，可以像圖那樣，先分別畫出與，對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.2．復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示設(shè)=(+i)，=(+i)，且≠，因?yàn)?+i)[()+i()]=(+i)，所以根據(jù)復(fù)數(shù)除法的定義，有=[()+i()].這就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.(2)幾何意義如圖，兩個(gè)復(fù)數(shù)，相除時(shí)，先分別畫出與，對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角(如果<0，就要把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角||)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是商.這是復(fù)數(shù)除法的幾何意義.【題型5三角形式下的復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】【例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算2cos75°+isinA．?62+C．22?6【變式51】（2004·湖北·高考真題）復(fù)數(shù)(?1+3i)A．?16 B．16 C．?14 【變式52】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，z1=2cos60°+isin60°A．4cos90°+isinC．4cos30°?isin【變式53】（2023下·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）已知i為虛數(shù)單位，若z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2A．若z=cosπ6+iB．若z=cosπ5+iC．若z1=2(cos7π12+isin7πD．若z1=3(cosπ12?isinπ【題型6復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的幾何意義的應(yīng)用】【例6】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z1=?1?i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量OZ1，將OZ1按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)56π后得到向量OZ2A．2?3 B．?2+3 C．2+3【變式61】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）把復(fù)數(shù)z1與z2對(duì)應(yīng)的向量OA,OB分別按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π4和5π3后，