湖北省部分省級示范高中2024~2025 學年下學期高二期中測試數(shù)學試卷 含解析

湖北省部分省級示范高中學年下學期期中測試高二數(shù)學試卷命題人：武漢市第十二中學段玉慧審題人：武漢市第二十三中學何同?？荚嚂r間：年4月日試卷滿分：分★?？荚図樌镒⒁馐马棧海痤}前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．．選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.如果函數(shù)在處的導數(shù)為1，那么（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可知，則.故選：D2.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A.B.C.D.【答案】B第1頁/共16頁【解析】.【詳解】因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，因此，.故選：B.3.系統(tǒng)的登錄密碼由個字符組成，其中前位是大寫字母、、、位是不相同的數(shù)字，則可能的密碼總數(shù)是多少（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用倍縮法可得出前個位置的排法種數(shù)，利用排列計數(shù)原理可得出后兩位的排法種數(shù)，再利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，前個位置中有兩個位置安排字母，有種，然后從中選擇兩個不同的數(shù)字排最后兩個位置，有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，可能的密碼種數(shù)為.故選：C.4.函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得其最大值，即可得到結(jié)果.第2頁/共16頁【詳解】由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，有極大值，即最大值，，所以.故選：A5.設(shè)函數(shù)的導函數(shù)，則數(shù)列的前100項和是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)可得，再利用裂項求和可求得結(jié)果.【詳解】由可得其導函數(shù)為，又，可得，所以，所以，因此數(shù)列的前100項和為.故選：C第3頁/共16頁6.已知，則曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先對原函數(shù)求導并結(jié)合賦值法求解原函數(shù)，再利用導數(shù)求出切線方程，求出切線和坐標軸的交點，最后得到三角形面積即可.【詳解】因為，所以，令，得到，解得，代回原函數(shù)得到，而，故切點為，而，，設(shè)曲線在處的切線斜率為，由導數(shù)的幾何意義得，故切線方程為，化簡得，令，得到，所以與軸交點為，令，得到，所以與軸交點為，且設(shè)三角形面積為，故，故B正確.故選：B7.已知是定義在區(qū)間結(jié)論正確的是（）第4頁/共16頁A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式可構(gòu)造函數(shù)在上單調(diào)遞減即可得出結(jié)論.【詳解】由可得，令函數(shù)，可得即在上單調(diào)遞減，因此可得，即，所以.故選：B8.初等數(shù)論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)．設(shè)，其中均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】這道題考查的是排列的應(yīng)用，首先找出小于等于的自然數(shù)的平方有哪些，再列出可由哪些平方數(shù)（不超過四個）相加而成，最后算出這些數(shù)的排列數(shù)即可.【詳解】小于等于的自然數(shù)的平方有：，而，由構(gòu)成的有序數(shù)組的個數(shù)為：個；由構(gòu)成的有序數(shù)組的個數(shù)為：個；第5頁/共16頁由構(gòu)成的有序數(shù)組的個數(shù)為：個；所以一共有：個.故選：C.【點睛】方法點睛：本題主要考查排列的應(yīng)用，局部元素相同法求排列數(shù)：在對元素進行排列時，出現(xiàn)部分元素相同時，則要除以相同元素數(shù)量的全排列，以消除順序，有多少就除多少；思路點睛：解題時先求出可由哪些平方數(shù)（不超過四個）相加而成，再應(yīng)用排列的相關(guān)知識求排列數(shù)，最后相加即為最后的答案；關(guān)鍵點點睛：這道題考查排列及排列數(shù)問題，列出三種情況后能否求出其排列數(shù)是關(guān)鍵，故應(yīng)對局部元素相同的排列數(shù)的求法加以鞏固.二、多選題：本題共3小題，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)求導運算正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)求導法則計算即可.【詳解】由基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可知，A正確；，故B錯誤；，故C正確；令，則，則，，則，故D錯誤；故選：AC10.2025年某影院在春節(jié)檔引入了5部電影，包含3部喜劇電影、2部動畫電影．其中《哪吒之魔童鬧海》票房超150億，成為全球動畫票房冠軍．該影院某天預(yù)留了一個影廳用于放映這5部電影，這5部電影當?shù)?頁/共16頁天全部放映，則下列選項正確的是（）A.《哪吒之魔童鬧?！凡慌旁诘?場，共有96種排法B.60種排法C.兩部動畫片相鄰放映，共有48種排法D.3部喜劇電影不相鄰，共有24種排法【答案】ABC【解析】【分析】由特殊元素優(yōu)先法即可判斷A，由倍縮法即可判斷B，由捆綁法即可判斷C，由插空法即可判斷D.【詳解】對于A4部電影全排列，則有種排法，故A正確；對于B，5部電影全排列有種排法，因為兩部動畫片放映的先后順序固定，則有種排法，故B正確；對于C，先將兩部動畫片捆綁，再與另外三部電影全排列，則有種排法，故C正確；對于D，先排兩部動畫片，剛好形成3個空，將三部喜劇電影插入這3個空，則有種排法；故選：ABC煙花三月，鶯飛草長，美麗的櫻花開滿園.將櫻花抽象并按照一定的規(guī)律循環(huán)出下圖：類推.假設(shè)第n個圖的櫻花數(shù)是，設(shè)數(shù)列的前n項和為.則下列說法正確的是（）A.B.第7頁/共16頁C.數(shù)列是遞增數(shù)列D.數(shù)列的前n項和為【答案】BCD【解析】3項可判斷AB，利用作差法判斷數(shù)列單調(diào)性可判斷C；利用裂項相消求和可判斷D.【詳解】A，由題意可知，顯然，A錯誤；B，由題意可得，則，也適合，故，所以，B正確；C，，則，當時，，即，故數(shù)列是遞增數(shù)列，C正確；D，，第8頁/共16頁故數(shù)列的前n項和為，D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.用數(shù)字、、、、組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為_______【答案】【解析】個數(shù)字中選擇法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】首位不能排，有種選擇，然后在剩余個數(shù)字中選擇個排在剩余的三個數(shù)位上，因此，滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)為個.故答案為：.13.已知與分別是等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和，且，則_______．【答案】4【解析】【分析】由等差數(shù)列下標和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項和的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知，由，所以，故答案為：414.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當時，．若第9頁/共16頁，則在點處的切線方程為_______．【答案】【解析】為偶函數(shù)可得，令可得，由為偶函數(shù)可得，再由直線的點斜式方程可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，令，有，所以，因為為偶函數(shù)，所以，由，令得，所以，因為為偶函數(shù)，所以，所以在點處的切線方程為，即故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.數(shù)列的前項和為，已知且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在數(shù)學中，常用符號“”表示一系列數(shù)的連乘，求集合中元素的個數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】1）當可求出的值，當時，由可得，兩式作差可得出，結(jié)合可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求出數(shù)列的通項公式；第10頁/共16頁（2）化簡的表達式，然后解不等式，即可得出所求集合元素的個數(shù).【小問1詳解】因為，即，當時，可得，則，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，整理可得且，所以，數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由題可知：所以集合故集合中元素的個數(shù)為.16.2025武漢馬拉松于3月23日鳴槍開跑，4萬名跑者踏上一條串聯(lián)歷史與詩意、自然與繁華的賽道，感受這座“每天不一樣”的城市的蓬勃心跳．本次賽事設(shè)置全程馬拉松、半程馬拉松和13公里跑3個項目，社會各界踴躍參加志愿服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙等5名大學生志愿者擬安排在三個項目進行志愿者活動，求（1）若將這5人分配到三個比賽項目，每個比賽項目至少安排1人，有多少種不同的分配方案？（2）若全程馬拉松項目安排3人，其余兩項各安排1人，且甲乙不能安排在同一項目，則有多少種不同的分配方案？【答案】（1）150（2）14【解析】1）按照1，1，3或1，2，2兩種方式，先分組再分配即可；（25人中選3人安排到全程馬拉松項目的所有情況，再計算甲乙兩人在同一個項目的情況，利用間接法即可.【小問1詳解】第11頁/共16頁將5個人分成3組，且每組至少1人，有兩種分法，若為1，1，3，則有種分組方式，再將分好的組進行分配，則不同的分配方案有共有種；若為1，2，2，則有種分組方式，再將分好的組進行分配，則不同的分配方案有共有種，所以由分類加法計數(shù)原理可知，共有種不同的分配方案.【小問2詳解】先從5人中選3人安排到全程馬拉松項目，有種方法，然后剩下2人安排到其余兩個項目，每個項目安排1人，有種，則共有種分配方案，若甲乙兩人在同一個項目，則甲乙只能安排到全程馬拉松項目，則剩下的3人每個項目安排1人即可，有種分配方案，最后共有種分配方案.17已知．（1）求函數(shù)極值；（2）過點做曲線的切線l，求切線l的方程．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】1）對函數(shù)求導并對參數(shù)的取值進行分類討論，得出函數(shù)單調(diào)性即可求得極值；（2）設(shè)切點為，求出切線方程代入點可求得切點坐標，即可得切線方程.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，，當時，，則上單調(diào)遞增，此時無極值；第12頁/共16頁當時，令，則，則在上單調(diào)遞增；令，則，則在上單調(diào)遞減；此時的極小值為，無極大值.綜合上述，當時，無極值；當時，的極小值為，無極大值.【小問2詳解】設(shè)直線與曲線的切點坐標為，由（1）知，則在點處的切線斜率為，故切線方程為，①將點代入得解得.代回①得切線方程為.18.等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若從數(shù)列中依次剔除與數(shù)列的公共項，剩下的項組成新的數(shù)列，求數(shù)列的前50項和．【答案】（1），（2）4231【解析】【分析1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差即可求數(shù)列的通項公式；利用降標作差求得，再代入檢驗即可；（2）計算以及至，即可觀察得出數(shù)列中的項，進而利用等差數(shù)列的前項和公式計算.第13頁/共16頁【小問1詳解】因數(shù)列是等差數(shù)列，則，得，又，所以，所以等差數(shù)列的公差，則，因，則當時，，兩式作差得，即，令，得，則，滿足上式，則，綜上，數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可得，，且，經(jīng)驗證數(shù)列前50項中與數(shù)列的公共項共有4項，分別為，從而數(shù)列中去掉的是這4項，所以.19.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【解析】1）通過對函數(shù)求導，借助于導函數(shù)的正負，即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2是1分析證明即可.第14頁/共16頁【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，對函數(shù)求導得，令，可得，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，可得，此時，函數(shù)在