第7章 平面圖形的認識（二）（壓軸題專練）（解析版）

第7章平面圖形的認識（二）（壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一平行線中含一個拐點問題】 1【題型二平行線中含兩個拐點問題】 6【題型三平行線中含多個拐點問題】 9【題型四平行線中與平移的綜合問題】 13【題型五三角形中與角平分線有關(guān)的綜合問題】 20【題型六三角形中與折疊的綜合問題】 27【題型七與三角形有關(guān)的新定義型綜合問題】 32【題型一平行線中含一個拐點問題】例題：如圖，，若，，則∠E=______．【答案】##66度【詳解】解：如圖所示，過點E作，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】【詳解】如下圖所示，過點C作，∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵，，∴，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴，∴，∴在原圖中，故答案為：．2．已知：ABEF，在平面內(nèi)任意選取一點C．利用平行線的性質(zhì)，探究∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系．圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）圖（5）圖（6）(1)將探究∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系填寫下表：(2)請選擇其中一個圖形進行說明理由．【詳解】（1）解：∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系如下表：圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系圖（1）∠B+∠F=∠C圖（2）∠F-∠B=∠C圖（3）∠B-∠F=∠C圖（4）∠B+∠F+∠C=360°圖（5）∠B-∠F=∠C圖（6）∠F-∠B=∠C（2）解：圖（1）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，∴∠B+∠F=∠BCF；圖（2）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；圖（3）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B-∠F=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；圖（4）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG+∠B=180°，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；圖（5）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B-∠F=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；圖（6）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【題型二平行線中含兩個拐點問題】例題：如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【詳解】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案為：540°．【變式訓(xùn)練】1．如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．【答案】30°##30度【詳解】解：過A點作AB直線l1，過C點作CD直線l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直線l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案為：30°．2．（1）如圖①，如果，求證：．（2）如圖②，，根據(jù)上面的推理方法，直接寫出___________．（3）如圖③，，若，則___________（用x、y、z表示）．【詳解】（1）證明：過P作，如圖，

∴，∵（已知），∴，∴，∵，∴；（2）如圖，過點P作，過點Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案為：；

（3）過點P作，過點Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，即，∴，故答案為：．

【題型三平行線中含多個拐點問題】例題：如圖，直線，則的度數(shù)為___________°．【答案】360【詳解】過E作EF∥CD，過G作GH∥CD，過M作MN∥CD，如圖所示：∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，∴．故答案為：360．【變式訓(xùn)練】1.如圖：(1)如圖1，，若，計算并直接寫出的大?。?2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將直線變成折線，證明：(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將且線變成折現(xiàn)．請你寫出一條關(guān)于、的數(shù)量關(guān)系（無需證明直接寫出）【詳解】（1）解：過P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）證明：過點P、Q分別作l1和l2的平行線分別記為l3和l4∵l1∥l2∴l(xiāng)1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如圖，分別過P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵，∴∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．2．猜想說理：（1）如圖，，分別就圖1、圖2、圖3寫出，，的關(guān)系，并任選其中一個圖形說明理由：拓展應(yīng)用：（2）如圖4，若，則度；（3）在圖5中，若，請你用含n的代數(shù)式表示的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1：，如圖2：，如圖3：，如圖1說明理由如下：∵，∴，∴，即；（2）如下圖：過F作，∴，又∵，∴，∴，∴，即；故答案為：；（3）如下圖：，過E作，過F作，∵，∴，∴，，，∴，即；綜上所述：由當平行線AB與CD間沒有點的時候，，當A、C之間加一個折點F時，；當A、C之間加二個折點E、F時，則；以此類推，如圖5，，當、之間加三個折點時，則；…當、之間加n個折點時，則，即的度數(shù)是．【題型四平行線中與平移的綜合問題】例題：（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，線段AB，BC被直線AC所截，D是線段AC上的點，過點D作DE∥AB，連接AE，．將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ，連接DQ．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【詳解】解：（1）證明：，．，，．（2）如圖，過點D作DF∥AE交AB于點F，則．∵，由平移的性質(zhì)，得，，．，，，，【變式訓(xùn)練】1．（2023下·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將沿的方向平移得到．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求平移的距離．【答案】(1)(2)1cm【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到對應(yīng)角相等，即可得解；（2）根據(jù)，求出的長，即為平移的距離【詳解】（1）解：將沿的方向平移得到，∴；（2）解：∵，∴，即：平移的距離為1cm．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·江西南昌·七年級統(tǒng)考期末）將三角形沿射線方向平移到三角形的位置．

(1)如圖1，當點D與點B重合時．判斷：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空）(2)如圖2，當點D與點B不重合時，連接，．試探究，，三個角之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)=(2)或，見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）根據(jù)點D的位置可分為點D在點左邊和點在點右邊兩種情形，利用平行線的性質(zhì)得出結(jié)果．【詳解】（1）解：，理由如下：∵三角形是由三角形平移得到，∴，∴；（2）解：根據(jù)點D的位置可分為兩種情形，①若點D在點左邊，如圖．

由平移的性質(zhì)可得：，，，∵，∴，∴．②

若點在點右邊，如圖：

由平移的性質(zhì)可得：，，，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查圖形的平移和平行線的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)和特點是解題的關(guān)鍵.3．（2023下·河北邢臺·七年級?？计谀┤鐖D1，，被直線所截，，過點A作，D是線段上的點，過點D作交于點E．

(1)求的度數(shù)；(2)將線段沿線段方向平移得到線段，連接．①如圖2，當時，求的度數(shù)；②如圖3，當時，求的度數(shù)；③在整個平移過程中，是否存在？若存在，直接寫出此時的度數(shù)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②；③存在，或【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)得，，根據(jù)同角的補角相等可得答案；（2）①如圖1中，過點D作，則，再證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案；②如圖3中，過點D作，則，再證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得答案即可求解；③分兩種情形：圖2，圖3分別求解即可．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴；（2）①如圖2，過點D作，∴，∴．∵，，∴，∴；②如圖3，過點D作，∴，∴．∵，∴，∴；③存在，或．如圖2，當時，由①知，，，∴；如圖3，當時，由②知，，，∴

【點睛】本題考查了平移性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，角的和差等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，并學(xué)會用分類討論的思想思考問題．4．（2023下·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將線段平移得到，使與對應(yīng)，與對應(yīng)，連接，．

(1)求證：；(2)點在的延長線上，點與關(guān)于直線對稱，直線交的延長線于點．點在線段上，且．①設(shè)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；②證明：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可知，，再利用平行線的性質(zhì)可知；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)及對稱的性質(zhì)可知，進而可知；②根據(jù)對稱的性質(zhì)可知的面積與的面積相等，再利用等面積法可知．【詳解】（1）證明：將線段平移得到，使與對應(yīng)，與對應(yīng)，∴由平移性質(zhì)知，，∴，，∴；（2）①解：∵由（1）知，∴，∵，∴，∵，，∴，由對稱性質(zhì)知，，∴，∴，∴，∵，，∴；

②證明：過作于，于，并連接，∴由對稱性質(zhì)知，的面積與的面積相等，，∵，，∴，∵，∴，過點作于點，則，∴，

．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型五三角形中與角平分線有關(guān)的綜合問題】例題：（2023上·山東臨沂·八年級?？计谥校┤鐖D，已知：點是內(nèi)一點，，分別平分，．(1)如圖①若，求的度數(shù)；(2)如圖①求證：大于；(3)如圖②，作外角，的平分線，相交于點．試探索與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)125°(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角定理得出，再根據(jù)角平分線的定義，即可求解；（2）延長交于D，如圖所示，根據(jù)三角形的外角定理可得，，即可求證；（3）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和，即可解答．【詳解】（1）解：∵．∴，∵點P是與的平分線的交點，∴；（2）解：延長交于D，如圖所示：∵是的一個外角，是的一個外角，∴，，∴；（3）解：，理由如下：∵外角，的角平分線交于點Q，∴，∴；【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定義，三角形的外角定理，角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和為，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·天津津南·八年級校聯(lián)考期中）在中，(1)如下圖所示，如果，和的平分線相交于點P，那么__________；(2)如下圖所示，和的平分線相交于點P，試說明；(3)如下圖所示，和的平分線相交于點P，猜想與的關(guān)系，直接寫出答案，不用證明．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義與性質(zhì)，角平分線的定義，（1）根據(jù)角平分線的定義可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有，問題隨之得解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，，根據(jù)三角形外角的定義與性質(zhì)有：，，問題隨之得解；（3）結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義與性質(zhì)，角平分線的定義，按照（1）、（2）方法即可作答．【詳解】（1）是的角平分線，．又是的平分線，，，，，；；（2）是的角平分線，．又是的平分線，，，，；（3）是的角平分線，．又是的平分線，，，，，，，，，．2．（2023上·山東日照·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖①，在中，與的平分線相交于點P．(1)如果，求的度數(shù)；(2)如圖①，猜想和的關(guān)系，并證明；(3)如圖②，作外角，的角平分線交于點Q，試探索、之間的數(shù)量關(guān)系．(4)如圖③，延長線段、交于點E，中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)，理由見詳解；(3)；(4)或或；【分析】（1）根據(jù)得到，結(jié)合角平分線得到，即可得到答案；（2）根據(jù)角平分線及三角形內(nèi)角和定理得到、與的關(guān)系即可的得到答案；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到與的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)外角角平分線、鄰補角及三角形內(nèi)角和得到與的關(guān)系即可得到答案；（4）根據(jù)角平分線得到，，得到，結(jié)合（2）（3）結(jié)論分類討論2倍角結(jié)合三角形內(nèi)角和關(guān)系列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵，∴，∵與的平分線相交于點P，∴，∴；（2）解：，理由如下，∵，與的平分線相交于點P，∴，∴，∴；（3）解：∵外角，的角平分線交于點Q，∴，∴，∵，∴；（4）解：∵，分別是，，的角平分線，，分別是，，的角平分線，∴，，∴，∴，由（2）（3）得，，，∵中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，，∴①當時，，解得：，②當時，，解得：，③當時，，解得：，綜上所述的度數(shù)為：或或；【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和，角平分線的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)外角角平分線關(guān)系得到角．3．（2023上·陜西西安·八年級高新一中校考階段練習(xí)）【初步認識】（1）如圖①，在中，平分，平分．若，則______；如圖②，平分，平分外角，則與的數(shù)量關(guān)系是______；【繼續(xù)探索】（2）如圖③，平分外角，平分外角．請?zhí)剿髋c之間的數(shù)量關(guān)系；【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，點P是兩內(nèi)角平分線的交點，點N是兩外角平分線的交點，延長交于點M．在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求的度數(shù)．【答案】（1），；（2）；（3）或或【分析】本題考查了角平分線，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）如圖①，由角平分線可得，由三角形內(nèi)角和可求，根據(jù)，計算求解即可；如圖②，由角平分線與外角可得，整理即可；（2）由角平分線可得，由，可得，則根據(jù)，計算求解即可；（3）由題意知，，，，當在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，分①，②，③，④，四種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖①，∵平分，平分，∴，∵，∴；如圖②，∵平分，平分外角，∴，∵，，∴，整理得，，故答案為：；．（2）解：∵平分外角，平分外角，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：由題意知，，，，∴當在中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，分①，②，③，④，四種情況求解：①當時，；②當時，，則；③當時，，解得，；④當時，，解得，；綜上所述，的度數(shù)為或或．【題型六三角形中與折疊的綜合問題】例題：（2023上·福建廈門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是一個三角形的紙片，點D，E分別是邊，上的兩點．(1)如圖（1），如果沿直線折疊，且，則與的關(guān)系是．(2)如圖（2），如果沿直線折疊后A落在四邊形內(nèi)部，探究，和的關(guān)系，并說明理由．(3)如果折成圖（3）的形狀，探究，和的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析；(3)，理由見解析【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是，也考查了折疊的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)．（1）先根據(jù)折疊性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)易得；（2）連接，先根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，，則，所以；（3）由折疊性質(zhì)得，，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得，接著利用平角定理得到，然后整理得到.【詳解】（1）解：，理由：∵沿直線折疊，且，∴A點落在上，如圖（1），∴，∴；故答案為：；（2）解：，理由：連接，如圖，∵，，∴，又∵，∴；（3）解：．理由：如圖（3），由翻折可得：，，，∵，，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東日照·八年級?？茧A段練習(xí)）探究：(1)如圖①與有什么關(guān)系？為什么？(2)把圖①沿折疊，得到圖②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．(3)如圖③，是由圖①的沿折疊得到的，如果，則______．猜想三個角存在的等量關(guān)系為______．【答案】(1)，理由如下(2)(3)，【分析】（1）由題意知，，進而可得；（2）由題意知，，進而可得；（3）由，，可得，由折疊與平角的性質(zhì)，可知，，則，進而可求三個角存在的等量關(guān)系．【詳解】（1）解：，理由如下：由題意知，，∴；（2）解：由題意知，，∴，故答案為：；（3）解：∵，，∴，由折疊與平角的性質(zhì)，可知，，∴，故答案為：；由題意知，，∴三個角存在的等量關(guān)系為，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．2．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）問題如圖，一張三角形紙片，點分別是邊上兩點．研究（）：如果沿直線折疊，使點落在上的點，則與的數(shù)量關(guān)系是________；研究（）：如果折成圖的形狀，猜想和數(shù)量關(guān)系是________；研究（）：如果折成圖的形狀，猜想和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；猜想：________；理由：研究（）：將問題推廣，如圖所示，將四邊形沿折疊，使點落在四邊形的內(nèi)部，與之間的數(shù)量關(guān)系是________．【答案】（）；（）；（），見解析；（）【分析】（）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及折疊的特點即可得到結(jié)論；（）連接，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進行探討即可得到答案；本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記三角形的外角的性質(zhì)與四邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】研究（）：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∴，故答案為：；研究（）：連接，則，∴；故答案為：；研究（）：猜想：理由：由圖形的折疊性質(zhì)可知，∵∴，得∴研究（）：由根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，∴即，∴，故答案為：．【題型七與三角形有關(guān)的新定義型綜合問題】例題：（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習(xí)）定義：如果一個三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．(1)若是“準互余三角形”，，則的度數(shù)是_______；(2)若△ABC是直角三角形，．①如圖，若是的平分線，請判斷是否為“準互余三角形”？并說明理由．②點是邊上一點，是“準互余三角形”，若，則的度數(shù)是_____．【答案】(1)；(2)①是“準互余三角形”，理由見解析；②或．【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，余角和補角（1）根據(jù)“準互余三角形”的定義，由于三角形內(nèi)角和是，，，只能是；（2）①由題意可得，所以只要證明與滿足，即可解答，②由題意可得，所以分兩種情況，，．【詳解】（1）解：是“準互余三角形”，，，，，故答案為：；（2）解：①是“準互余三角形”，理由：是的平分線，，，，，是“準互余三角形”，②是“準互余三角形”或，，或，當，時，，當，時，，，或．故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·江西南昌·八年級?？茧A段練習(xí)）在一個三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如圖，，在射線上找一點A，過點作交于點，以為端點作射線，交射線于點．(1)的度數(shù)為_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形；(2)若，求證：為“智慧三角形”；(3)當為“智慧三角形”時，求的度數(shù)．【答案】(1)30；是(2)見解析(3)的度數(shù)為或或或或或【分析】本題屬于幾何綜合題，考查的是三角形內(nèi)角和定理、“智慧三角形”的概念，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)“智慧三角形”的概念判斷；（2）根據(jù)“智慧三角形”的概念證明即可；（3）分點在線段和線段的延長線上兩種情況，根據(jù)“智慧三角形”的定義計算．【詳解】（1）解：∵，∴，∴的度數(shù)為∴，∴為直角三角形，是“智慧三角形”，故答案為：30；是；（2）∵，∴，∴為“智慧三角形”；（3）∵為“智慧三角形”①當點在線段上時，∵，∴，I、當時，，∴，II、當時，∴∴此種情況不存在，III、當時，∴，∴，∴，IV、當時，∴，∴，∴(舍去)，V、當時，∴，∴(舍去)，VI、當時，∴，∴，∴此種情況不存在，②當點在線段的延長線上時，∵，∴，∴，1．當時，∴，∴，∴，II、當時，，當為“智慧三角形”時，的度數(shù)為或或或．2．（2023上·福建龍巖·八年級?？计谥校┬露x：在中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱為“n倍角三角形”．例如，在中，若∠，則，因為最大