第2章 一元一次不等式和一元一次不等式組（壓軸題專練）（解析版）（北師大版）

第2章一元一次不等式和一元一次不等式組（壓軸題專練）目錄：題型1：一元一次不等式（組）與方程（組）題型2：一元一次不等式（組）與化簡絕對值問題題型3：新定義題型題型4：一元一次不等式（組）與一次函數(shù)題型5：一元一次不等式（組）在坐標(biāo)系與幾何結(jié)合題中的應(yīng)用題型6：一元一次不等式（組）的實際應(yīng)用題型1：一元一次不等式（組）與方程（組）1．已知關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，且關(guān)于的不等式組至多有3個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為（

）A．27 B．28 C．35 D．36【答案】A【分析】表示出關(guān)于的方程的解，由方程有非負(fù)數(shù)解確定出的取值范圍，再表示出不等式組的解集，由不等式組至多有3個整數(shù)解，得到的取值范圍．再根據(jù)為整數(shù)，即可得出結(jié)果．【解析】解：解關(guān)于x的方程，得，當(dāng)時，原等式不成立，，，解得：；解不等式，得，解不等式，得，∵原不等式組至多有3個整數(shù)解，，得，故的取值范圍是，為整數(shù)，，符合條件的所有整數(shù)的和為，故選：A．【點睛】本題考查了方程、不等式及不等式組的解法，解得的關(guān)鍵是熟記求不等式組解集口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了．2．若存在一個整數(shù)m，使得關(guān)于x，y的方程組的解滿足，且讓不等式只有3個整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)m的和是（）A．12 B．6 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方程組的解的情況，以及不等式組的解集情況，求出的取值范圍，再進(jìn)行求解即可．【解析】解：，，得：，解得，，得：，解得，∵，∴，解得，解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式組只有3個整數(shù)解，∴，解得，∴，∴符合條件的整數(shù)m的值的和為，故選：D．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組、解不等式組，求不等式的整數(shù)解等知識點，掌握解方程組和不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．3．已知、、滿足，，且、、都為正數(shù)．設(shè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把當(dāng)作常數(shù)解方程組，再代入，根據(jù)、、都為正數(shù)，求出的取值范圍，從而求解．【解析】解：，，，，，、、都為正數(shù)，∴，，，．故選：A．【點睛】本題是不定方程和不等式組的綜合題是一道難度不小的綜合題，求出c的取值范圍是解題的關(guān)鍵．題型2：一元一次不等式（組）與化簡絕對值問題4．?dāng)?shù)軸上A、B兩點的距離表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示1和5的兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示和5的兩點之間的距離是______；(2)數(shù)軸上表示和的兩點和之間的距離是______，如果，那么為______；(3)當(dāng)滿足條件______時，取最小值，最小值是______；(4)當(dāng)滿足條件______時，取最小值，最小值是______；(5)當(dāng)滿足條件______時，取最小值，最小值是______；(6)為定值時，相應(yīng)的的取值范圍是______，定值是______【答案】(1)4；6(2)；1或(3)(4)；8(5)；1980(6)；【分析】（1）利用兩點間的距離公式求解即可；（2）利用兩點間的距離公式求解即可；（3）當(dāng)有兩個點時，距離和最小，就取以這兩點為端點的線段上的任意點；（4）當(dāng)有三個點時，距離和最小，就取中間的點；（5）點有多個時，取中間的點，和最小；（6）系數(shù)最大的項為0即可．【解析】（1）解：，；故答案為：4；6；（2）解：，，，或；故答案為：；1或；（3）解：表示到1，2這兩個數(shù)的距離的和，當(dāng)時，到這兩個數(shù)的距離的和最小，最小值為；故答案為：；1；（4）解：表示到，3，7這三個數(shù)的距離的和，當(dāng)取中間數(shù)3時，到三個數(shù)的距離的和最小，最小值為；故答案為：；8；（5）解：當(dāng)取最小值時，應(yīng)取1與99的最中間的數(shù)45，最小值為；（6）解：為定值，即含項為0，觀察系數(shù)，，或，①或②，解不等式組①得，解不等式組②，無解，當(dāng)時，原式為定值．此時，．故答案為：；．【點睛】本題考查的是兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵明白兩點間的距離就是兩點表示的兩個數(shù)差的絕對值．5．【問題提出】的最小值是多少？【閱讀理解】為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離，那么可以看作a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1的距離；就可以看作a這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1和2兩個點的距離之和．下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看a表示的點可能的3種情況，如圖所示：如圖①，a在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．如圖②，a在1和2之間（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距離之和等于1．如圖③，a在2的右邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．所以a到1和2的距離之和最小值是1．【問題解決】（1）的幾何意義是_______；請你結(jié)合數(shù)軸探究：的最小值是_____；（2）請你結(jié)合圖④探究：的最小值是______，此時a為______；（3）的最小值為_____；（4）的最小值為_____．【拓展應(yīng)用】如圖⑤，已知a到，2的距離之和小于4，請寫出a的范圍為_____．【答案】【問題解決】（1）這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到2和4兩個點的距離之和，2；（2）2，3；（3）9；（4）1023132；【拓展應(yīng)用】【分析】【問題解決】（1）根據(jù)題目提供的方法，說明即可；（2）根據(jù)題目提供的方法，當(dāng)在2和4之間，且處于中點時，即當(dāng)時，最??；（3）根據(jù)題目提供的方法，當(dāng)在1和6之間，且處于中點時，所求式子最?。唬?）根據(jù)題目提供的方法，當(dāng)在1和2022之間，且處于中點時，即當(dāng)時，所求式子最?。弧就卣箲?yīng)用】分①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，求出的范圍，再合并即可．【解析】解：【問題解決】（1）根據(jù)題目提供的方法，可知：這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到表示2和4兩個數(shù)的點的距離之和；此時最小值為2；故答案為：這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到表示2和4兩個數(shù)的點的距離之和；2；（2）根據(jù)題目提供的方法，可知：當(dāng)處于2和4的中點，即時最小，最小值為：；故答案為：2；3；（3）根據(jù)題目提供的方法，可知：當(dāng)在1和6之間，取最小值，當(dāng)在2和5之間，取最小值，當(dāng)在3和4之間，取最小值，∴當(dāng)在3和4之間，所求式子最??；不妨取，最小值為：；故答案為：9；（4）總結(jié)規(guī)律可知，最中間一個數(shù)或者中間兩個數(shù)之間取最小值.1，2，3，4，的中間數(shù)為：1012；故答案為：；【拓展應(yīng)用】使它到，2的距離之和小于4，，①當(dāng)時，則有，解得：．；②當(dāng)時，則有，；③當(dāng)時，則有，解得：，；由①②③不得式得出：．故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)軸、絕對值的幾何意義，簡單的一元一次不等式的解法等知識，解題的關(guān)鍵是理解題目提供的方法，靈活運用這一方法解題．6．（問題提出）的最小值是多少？（閱讀理解）為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手．的幾何意義是這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離．那么可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1的距離．就可以看作這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到1和2兩個點的距離之和．下面我們結(jié)合數(shù)軸研究的最小值．我們先看表示的點可能的3種情況，如圖所示：

（1）如圖①，在1的左邊，從圖中很明顯可以看出a到1和2的距離之和大于1．（2）如圖②，在1和2之間（包括在1，2上），可以看出到1和2的距離之和等于1．（3）如圖③，在2的右邊，從圖中很明顯可以看出到1和2的距離之和大于1．所以到1和2的距離之和最小值是1．（問題解決）（1）的幾何意義是．請你結(jié)合數(shù)軸探究：的最小值是．（2）請你結(jié)合圖④探究：的最小值是，此時a為．（3）的最小值為．（4）的最小值為．（拓展應(yīng)用）（5）如圖⑤，已知到－1，2的距離之和小于4，請寫出的范圍為．【答案】（1）這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到3和6兩個點的距離之和，3；（2）2，2；（3）9；（4）1021110；（5）【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法，說明即可；（2）根據(jù)題目提供的方法，當(dāng)在1和3之間，且處于中點時，即當(dāng)時，最?。唬?）根據(jù)題目提供的方法，當(dāng)在1和6之間，且處于中點時，所求式子最?。唬?）根據(jù)題目提供的方法，當(dāng)在1和2022之間，且處于中點時，即當(dāng)時，所求式子最??；（5）分①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，求出的范圍，再合并即可．【解析】解（1）根據(jù)題目提供的方法，可知：這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到表示3和6兩個數(shù)的點的距離之和；此時最小值為3；故答案為：這個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到表示3和6兩個數(shù)的點的距離之和；3；（2）根據(jù)題目提供的方法，可知：當(dāng)處于1和3的中點2，即時最小，最小值為：；故答案為：2；2；（3）根據(jù)題目提供的方法，可知：當(dāng)在1和6之間，且處于中段，即處于3和4之間時，所求式子最?。徊环寥?，最小值為：；故答案為：9；（4）1，2，3，4，的中間數(shù)為：1011；故答案為：1021110；（5）使它到，2的距離之和小于4，，①當(dāng)時，則有，解得：．；②當(dāng)時，則有，；③當(dāng)時，則有，解得：，；由①②③不得式得出：．故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)軸、絕對值的幾何意義，簡單的一元一次不等式的解法等知識，解題的關(guān)鍵是理解題目提供的方法，靈活運用這一方法解題．題型3：新定義題型7．閱讀下列材料：我們給出如下定義：數(shù)軸上給定不重合兩點A，B，若數(shù)軸上存在一點M，使得點M到點A的距離等于點M到點B的距離，則稱點M為點A與點B的“雅中點”．解答下列問題：(1)若點A表示的數(shù)為-5，點B表示的數(shù)為1，點M為點A與點B的“雅中點”，則點M表示的數(shù)為___________；(2)若A、B兩點的“雅中點M”表示的數(shù)為2，且A、B兩點的距離為9（A在B的左側(cè)），則點A表示的數(shù)為___________，點B表示的數(shù)為___________；(3)點A表示的數(shù)為-6，點C，D表示的數(shù)分別是-4，-2，點O為數(shù)軸原點，點B為線段上一點（點B可與C、D兩點重合）．①設(shè)點M表示的數(shù)為m，若點M可以為點A與點B的“雅中點”，則m可取得整數(shù)有___________；②若點A和點D同時以每秒2個單位長度的速度向數(shù)軸正半軸方向移動．設(shè)移動的時間為秒，求t的所有整數(shù)值，使得點O可以為點A與點B的“雅中點”．【答案】(1)(2)，(3)①，；②2，4，5【分析】（1）根據(jù)新定義求解即可；（2）根據(jù)新定義設(shè)未知數(shù)列方程求解；（3）①根據(jù)新定義列不等式求解；②根據(jù)新定義列不等式組組求解．【解析】（1）解：，故答案為：；（2），，故答案為：，；（3）設(shè)B表示的數(shù)為，①，所以整數(shù)m的值為：，，故答案為：，；②由題意得：A表示的數(shù)為：，D表示的數(shù)為：，O可以為點A與點B的“雅中點”，B表示的數(shù)為：，∵點B為線段上一點（點B可與C、D兩點重合），，解得：，t的所有整數(shù)值為：2，3，4，5，時，，此時B表示的數(shù)為0，因此不符合題意，舍去，故滿足條件的t的值為2，4，5．【點睛】本題考查了數(shù)軸，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想、方程思想和不等式思想都是解題的關(guān)鍵．8．如圖，數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是，1，點P是線段上一動點，給出如下定義：如果在數(shù)軸上存在動點Q，滿足，那么我們把這樣的點Q表示的數(shù)稱為連動數(shù)，特別地，當(dāng)點Q表示的數(shù)是整數(shù)時我們稱為連動整數(shù)．

(1)在，0，2，3.5四個數(shù)中，連動數(shù)有______；(2)若k使得方程組中的x，y均為連動數(shù)，求k所有可能的取值；(3)若關(guān)于x的不等式組的解集中恰好有3個連動整數(shù)，求這3個連動整數(shù)的值及a的取值范圍．【答案】(1)，2(2)或或；(3)a的取值范圍是．【分析】（1）根據(jù)連動數(shù)的定義即可確定；（2）先表示出x，y的值，再根據(jù)連動數(shù)的范圍求解即可；（3）求得不等式的解，根據(jù)連動整數(shù)的概念得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可求得．【解析】（1）解：∵點P是線段上一動點，點A、點B對應(yīng)的數(shù)分別是，1，又∵，∴連動數(shù)Q的范圍為：或，∴連動數(shù)有，2；故答案為：，2；（2）解：，得：，得：，要使x，y均為連動數(shù)，或，解得或，或，解得或，∴或或；（3）解：解得：，∵解集中恰好有3個解是連動整數(shù)，∴四個連動整數(shù)解為，1，2，∴，∴∴a的取值范圍是．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的整數(shù)解，一元一次方程的解，根據(jù)新定義得到不等式組是解題的關(guān)鍵，9．深化理解：新定義：對非負(fù)實數(shù)“四舍五入”到個位的值記為，即：當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時，如果，則；反之，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時，如果，則．例如：，，，，…試解決下列問題：(1)填空：①________，________（為圓周率），________；②如果，求實數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解恰有4個，求的取值范圍；(3)求滿足的所有非負(fù)實數(shù)的值．【答案】(1)①7，3，4；②(2)；(3)，，，．【分析】（1）①利用對非負(fù)實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為，進(jìn)而得出相關(guān)的值；②利用對非負(fù)實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為，進(jìn)而得出x的取值范圍；（2）首先將看作一個字母，解不等式組進(jìn)而根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)得出a的取值范圍；（3）利用，為整數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)，則，得出關(guān)于k的不等關(guān)系求出即可．【解析】（1）解：①由題意可得：，（為圓周率），∵，∴；故答案為：7，3，4；②∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：解不等式組得：，由不等式組整數(shù)解恰有4個得，，故；（3）解：∵，為整數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)，則，∴，∴，，∴，∴，1，2，3，則，，，．【點睛】此題主要考查了新定義以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意正確理解的意義是解題關(guān)鍵．題型4：一元一次不等式（組）與一次函數(shù)10．一次函數(shù)（，k、b是常數(shù)）與（，m是常數(shù)）的圖像交于點，下列結(jié)論正確的序號是（

）①關(guān)于的方程的解為；②一次函數(shù)（）圖像上任意不同兩點和滿足：；③若（），則；④若，且，則當(dāng)時，．A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)兩直線的交點即為其解析式所組成的方程組的解，即可判斷①；利用待定系數(shù)法求出，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；求出，結(jié)合，即得出，解得或，故③錯誤；將代入，即可求出，進(jìn)而可得出，且，畫出大致圖像，可得出當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像位于一次函數(shù)的圖像上方，即，可判斷④正確．【解析】解：∵一次函數(shù)與的圖像交于點，∴聯(lián)立的解為，即方程的解為，故①正確；將代入，得：，解得：，∴．∵，∴對于一次函數(shù)，y的值隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴無論何時與都為異號，∴，故②正確；∵，且，∴．∵，∴，∴或，∴或，故③錯誤；將代入，得：，∴．∵，且，∴，且，∴畫出圖像如圖所示．由圖可知當(dāng)時，一次函數(shù)的圖像位于一次函數(shù)的圖像上方，∴當(dāng)時，，故④正確．故選B．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)等知識．熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點A、B，直線交直線于點C，交x軸于點．(1)求點A的坐標(biāo)；(2)若點C在第二象限，的面積是5；①求點C的坐標(biāo)；②直接寫出不等式組的解集；③將沿x軸平移，點C、A、D的對應(yīng)點分別為、、，設(shè)點的橫坐標(biāo)為m．直接寫出平移過程中只有兩個頂點在外部時，m的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②；③或【分析】（1）把代入求出點A的坐標(biāo)即可；（2）①先根據(jù)的面積是5，求出點C的縱坐標(biāo)即可，再代入求出點C的橫坐標(biāo)即可；②根據(jù)函數(shù)圖象，寫出不等式組的解集即可；③根據(jù)平移特點，分兩種情況，當(dāng)沿x軸向右平移時，當(dāng)沿x軸向左平移，求出m的值即可．【解析】（1）解：把代入得：，解得：，∴點A的坐標(biāo)為；（2）解：①∵，，∴，∵，點C在第二象限，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∴；②由圖象即可知：不等式組的解集為：；③連接，如圖所示：把代入得：，∴點B的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，把代入得：，解得：，，當(dāng)點在直線上時，點的橫坐標(biāo)為：，當(dāng)點在點D上時，點的橫坐標(biāo)為：，∴當(dāng)沿x軸向右平移時，只有兩個頂點在外部時；當(dāng)沿x軸向左平移，只有兩個頂點在外部時；綜上分析可知，只有兩個頂點在外部時，m的取值范圍為或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與不等式的解集，三角形面積問題，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y1＝x﹣2的圖象與函數(shù)y2＝的圖象在第一象限有一個交點A，且點A的橫坐標(biāo)是6．（1）求m的值；（2）補(bǔ)全表格并以表中各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點，補(bǔ)充畫出y2的函數(shù)圖象；x﹣3﹣2﹣1011.21.523456789y2﹣11575.23.52112（3）寫出函數(shù)y2的一條性質(zhì)：；（4）已知函數(shù)y1與y2的圖象在第一象限有且只有一個交點A，若函數(shù)y3＝x+n與y2的函數(shù)圖象有三個交點，求n的取值范圍．

【答案】（1）m＝12；（2）3，；圖見解析；（3）當(dāng)x≤1時，y2隨著x的增大而增大（答案不唯一）；（4）﹣2＜n＜【分析】（1）將點A的橫坐標(biāo)代入y1＝x﹣2可得出點A的坐標(biāo)，再將A（6，2）代入y2＝x+﹣6，可得m的值；（2）根據(jù)函數(shù)解析式進(jìn)行計算，即可得到函數(shù)值，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點，即可畫出y2的函數(shù)圖象；（3）依據(jù)函數(shù)圖象的增減性，即可寫出函數(shù)y2的一條性質(zhì)；（4）當(dāng)n＝﹣2時，函數(shù)y3＝x+n與y2的函數(shù)圖象有兩個交點，當(dāng)函數(shù)y3＝x+n的圖象經(jīng)過（1，7）時，函數(shù)y3＝x+n與y2的函數(shù)圖象有兩個交點，據(jù)此可得n的取值范圍．【解析】解：（1）在y1＝x﹣2中，令x＝6，則y＝2，即A（6，2），代入y＝x+﹣6，可得2＝6+﹣6，解得m＝12；（2）∵y2＝，∴當(dāng)x＝﹣1時，y2＝3；當(dāng)x＝5時，y2＝；故表格中應(yīng)填：3；；y2的圖象如圖所示：

（3）由圖可得，函數(shù)y2的一條性質(zhì)：當(dāng)x≤1時，y2隨著x的增大而增大；故答案為：當(dāng)x≤1時，y2隨著x的增大而增大(答案不唯一)；（4）函數(shù)y1與y2的圖象在第一象限有且只有一個交點A，當(dāng)n＝﹣2時，函數(shù)y3＝x+n與函數(shù)y1＝x﹣2的圖象重合，此時函數(shù)y3＝x+n與y2的函數(shù)圖象有兩個交點，當(dāng)函數(shù)y3＝x+n的圖象經(jīng)過（1，7）時，函數(shù)y3＝x+n與y2的函數(shù)圖象有兩個交點，此時，把（1，7）代入y3＝x+n，可得n＝；∵函數(shù)y3＝x+n與y2的函數(shù)圖象有三個交點，∴n的取值范圍為﹣2＜n＜．【點睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．題型5：一元一次不等式（組）在坐標(biāo)系與幾何結(jié)合題中的應(yīng)用13．在平面直角坐標(biāo)系中，如果點到原點的距離為，點到點的距離是的倍（為正整數(shù)），那么稱點為點的倍關(guān)聯(lián)點．

(1)當(dāng)點的坐標(biāo)為時，①如果點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上，那么點的坐標(biāo)是________；如果點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上，那么點的坐標(biāo)是________．②如果點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且，，則滿足條件的點有________個；(2)如果點的坐標(biāo)為，，，若在線段上存在的2倍關(guān)聯(lián)點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①或；或；②2(2)或【分析】（1）①根據(jù)題干提供的信息進(jìn)行解答即可；②根據(jù)點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且，得出，根據(jù)為正整數(shù)，得出，根據(jù)，得出或符合題意，即可得出答案；（2）分五種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【解析】（1）解：①∵點的坐標(biāo)為∴到原點距離為1，∵點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上，∴點的坐標(biāo)為或；故答案為：或；當(dāng)點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上時，設(shè)點Q的坐標(biāo)為，則：，解得：，∴此時點Q的坐標(biāo)為或．②∵點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且，∴，，∵為正整數(shù)，∴，∵，∴或，∴滿足條件的點有2個．故答案為：2．（2）解：∵點的坐標(biāo)為，∴，當(dāng)時，如圖所示：

∵此時線段上點M到點的距離最大，點N到點的距離最小，∴在線段上要想存在的2倍關(guān)聯(lián)點，則，即，解得：；當(dāng)時，如圖所示：

此時線段上，點M到點的距離最大，∵此時，∴此時上一定不存在的2倍關(guān)聯(lián)點；當(dāng)時，如圖所示：

上點M、N到點的距離相等，且最大為1，∴此時上一定不存在的2倍關(guān)聯(lián)點；當(dāng)時，如圖所示：

此時線段上，點N到點的距離最大，∵此時，∴此時上一定不存在的2倍關(guān)聯(lián)點；當(dāng)時，如圖所示：

∵此時線段上點N到點的距離最大，點M到點的距離最小，∴在線段上要想存在的2倍關(guān)聯(lián)點，則，即，解得：；綜上分析可知，當(dāng)或時，在線段上存在的2倍關(guān)聯(lián)點．【點睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離，新定義運算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，并注意進(jìn)行分類討論．14．閱讀理解，解答下列問題：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點A(x，y)，若點B的坐標(biāo)為（ax+y，x﹣ay），則稱點B為點A的“a級關(guān)聯(lián)點”，如點A(2，5)的“2級關(guān)聯(lián)點”為B(2×2+5，2﹣2×5)，即B(9，﹣8)．(1)已知點P(﹣2，1)的“4級關(guān)聯(lián)點”為P1，則點P1的坐標(biāo)為；(2)已知點Q的“3級關(guān)聯(lián)點”為Q1(﹣11，﹣7)，求Q點的坐標(biāo)．(3)如果點C(﹣1，c+1)的“2級關(guān)聯(lián)點”C1在第二象限．①求c的取值范圍．②在①中，當(dāng)c取最大整數(shù)時，連接OC1，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點M(3，m)，使得三角形OCM的面積不超過7，若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)①；②且【分析】（1）由題意可直接求解；（2）設(shè)點Q坐標(biāo)為（x，y），由題意列出兩方程，即可求解；（3）①由題意列出不等式組，即可求解；②當(dāng)取最大整數(shù)時，，此時點坐標(biāo)為，根據(jù)“2級關(guān)聯(lián)點”定義得點的坐標(biāo)為，過點（3，0）作x軸的垂線，延長C1O與其相交于點N，所以N（3，－1），分情況討論，根據(jù)≤7，解不等式即可求解．【解析】（1）解∵點P（-2，1）的“4級關(guān)聯(lián)點”為P1，∴4×（-2）+1=-7，-2-4×1=-6，∴點P1的坐標(biāo)為（-7，-6），故答案為：（-7，-6）；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，點的“3級關(guān)聯(lián)”為，

解得：，

點坐標(biāo)為，（3）①點的“2級關(guān)聯(lián)點”為，，化簡得，

根據(jù)題意得：，

解得：；

②存在點，使得，當(dāng)取最大整數(shù)時，，此時點坐標(biāo)為，根據(jù)“2級關(guān)聯(lián)點”定義得點的坐標(biāo)為，

過點（3，0）作x軸的垂線，延長C1O與其相交于點N，所以N（3，－1），如圖，當(dāng)點M在點N上方時，記為M1，＝－＝=，∵≤7，∴m≤；

當(dāng)點M在點N下方時，記為M2，＝－＝=，∵≤7，∴m≥；

當(dāng)點與重合時，△不存在，∴m≠－1；∴的取值范圍是：且．【點睛】本題考查了新定義的閱讀理解能力，坐標(biāo)與圖形，三角形面積的運用，二元一次方程組的解法，不等式的解法，解題關(guān)鍵是閱讀理解能力和綜合解題能力．15．如圖①，直線：經(jīng)過點，，且與直線交于點，．

(1)求直線的表達(dá)式；(2)由圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集；(3)如圖②所示，為軸上點右側(cè)任意一點，以為邊作等腰，其中，，直線交軸于點．當(dāng)點在軸上運動時，線段的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段的長度；若變化，求線段的取值范圍．【答案】(1)直線的表達(dá)式為(2)(3)線段的長度不變，【分析】（1）將，代入，求出，，再用待定系數(shù)法可得直線的表達(dá)式為；（2）求出的解，觀察圖象可得的解集為；（3）過作軸于，求出，證明，有，，可得，是等腰直角三角形，即知，是等腰直角三角形，從而，線段的長度不變．【解析】（1）解：將點，代入，得．將，代入，得．∴的坐標(biāo)為，．將，代入，得．所以，直線的表達(dá)式為．（2）解：由得∶，觀察圖象可得，關(guān)于的不等式的解集為；（3）解：線段的長度不變，．如圖，過作軸，垂足為．

∵，∴．∵，∴．∵，．∴．∴，．由，得，，即．由，，得．∴．∵．∴．∴．∴．【點睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，其中a，b滿足等式，連接AM交y軸于B，C是x負(fù)半軸上的一個動點．

(1)求a，b的值；(2)如圖2，的平分線交于點N，當(dāng)點C在x負(fù)半軸上運動時，的度數(shù)是否改變？若不改變，請求出它的值；若改變，請指出其變化的范圍；(3)如圖3，當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，過點A，作，交y軸于D，點在直線上．①求m，n滿足的數(shù)量關(guān)系；②若三角形的面積不超過三角形面積的，求點E橫縱坐標(biāo)m及縱坐標(biāo)n的取值范圍．【答案】(1)，(2)的度數(shù)為，理由見解析(3)①②當(dāng)三角形的面積不超過三角形面積的時，點E的橫坐標(biāo)m的取值范圍是，且，點的橫坐標(biāo)n的取值范圍是，且．【分析】（1）利用絕對值和二次根式的非負(fù)性，列二元一次方程即可解答；（2）過點M做軸的垂線段交于點H，根據(jù)面積法求得點的坐標(biāo)，證明為等腰直角三角形，即可得到，利用三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念，即可得到的度數(shù)；（3）①過點E作軸于點G，連接，由，即可解答；②分兩種情況討論：即點在第一象限或點在第四象限，根據(jù)題意列不等式，即可解答．【解析】（1）解：由題意得：，，故可列方程：，解得；（2）解：的度數(shù)為，理由如下：如圖，過點M做軸的垂線段交于點H，

設(shè)點，則，，，，根據(jù)，可列方程，解得，，為等腰直角三角形，，，的平分線交于點N，,；（3）解：①如圖，過點E作軸于點G，連接，，，，設(shè)，，，可得方程，解得，，由得：，即，化簡得；②<1>當(dāng)點E在第四象限時，∵三角形的面積不超過三角形面積的，∴三角形的面積不超過三角形面積的，，，即，解得，，，；<2>當(dāng)點E在第一象限時，同理可得，，綜上所述，當(dāng)三角形的面積不超過三角形面積的時，點E的橫坐標(biāo)m的取值范圍是，且，點的橫坐標(biāo)n的取值范圍是，且．【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式，平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積法，角平分線的概念和三角形內(nèi)角定理，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．題型6：一元一次不等式（組）的實際應(yīng)用17．某家電銷售商場電冰箱的銷售價為每臺1600元，空調(diào)的銷售價為每臺1400元，每臺冰箱進(jìn)價1500元，每臺空調(diào)的進(jìn)價1200元．現(xiàn)在商場準(zhǔn)備一次購進(jìn)這兩種家電共100臺，設(shè)購進(jìn)電冰箱臺，這100臺家電的銷售利潤為元，(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)要求購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于16400元，請分析合理的方案共有多少種？(3)實際進(jìn)貨時，廠家對電冰箱出廠價下調(diào)()元，若商場保持這兩種家電的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（2）中條件，求出這100臺家電銷售時的最大利潤．【答案】(1)(2)購買方案共有3種(3)元【分析】（1）設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺，根據(jù)“總利潤=冰箱利潤+空調(diào)利潤”列出函數(shù)解析式即可解答；（2）由“購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于16400元”列出關(guān)于x的不等式組，求得x的取值范圍即可得；（3）由（2）中相等關(guān)系列出新的函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)分情況討論即可得．【解析】（1）解：設(shè)購進(jìn)電冰箱臺，這100臺家電的銷售利潤為元，根據(jù)題意有：，整理，得：．∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：∵購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，∴，解得：．∵總利潤不低于16400元，∴，即，解得：，∴．∵x為整數(shù)，∴x的取值可以為34，35，36，∴購買方案共有3種．（3）解：根據(jù)題意有：，整理，得：．當(dāng)時，，∴此時y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，y最大，；當(dāng)時，，∴此時y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，y最大，；當(dāng)時，．∴最大利潤為元．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．已知有A、B兩種不同規(guī)格的貨車共50輛，現(xiàn)計劃分兩趟把甲種貨物306噸和乙種貨物230噸運往某地，先用50輛貨車共同運輸甲種貨物，再開回共同運輸乙種貨物.其中每輛車的最大裝載量如表：最大裝載量（噸）A型貨車B型貨車甲種貨物75乙種貨物37(1)裝貨時按此要求安排A、B兩種貨車的輛數(shù)，共有幾種方案.(2)使用A型車每輛費用為600元，使用B型車每輛費用800元.在上述方案中，哪個方案運費最省?最省的運費是多少元?(3)在（2）的方案下，現(xiàn)決定對貨車司機(jī)發(fā)共2100元的安全獎，已知每輛A型車獎金為m元，每輛B型車獎金為n元，，且m，n均為整數(shù).則___________，____________.【答案】(1)三種方案(2)A種貨車30輛，B種貨車20輛時費用最省，費用為（元）(3)40

45【分析】（1）設(shè)安排A種貨車x輛，則安排B種貨車輛，列出不等式組，求整數(shù)解即可；（2）根據(jù)三種方案判斷即可；（3）根據(jù)二元一次方程，求整數(shù)解即可．【解析】（1）解：設(shè)安排A種貨車x輛，則安排B種貨車輛，，解得：，因為x為整數(shù)，所以可以取28，29，30，共三種方案．（2）使用A種貨車費用600元，B種貨車800元，，