高一第8講對數(shù)函數(shù)及性質(zhì)(教師版)

第8講對數(shù)函數(shù)及性質(zhì)（教師版）一．學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點。（2）知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。（3）了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（）二．重點難點：重點：對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)．難點：①對數(shù)函數(shù)在a>1與0<a<1時圖象、性質(zhì)的區(qū)別．②對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及簡單對數(shù)方程、不等式的求解．三．知識梳理：1.定義：形如（）的函數(shù)。2.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)（1）定義域：（0,+）（2）值域：R（3）當(dāng)x=1時，y=0即過定點（1，0）（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，（5）在（0,+）上為增函數(shù)（5）在（0,+）上為減函數(shù)3．反函數(shù)（1）定義：當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量。而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量，我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)。（2）表示：函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)通常用y=f-1(x)表示.（3）指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱。四．典例剖析：題型一對數(shù)函數(shù)的概念例1（一）指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1[思路探索]嚴(yán)格按照對數(shù)函數(shù)的形式判斷，對于形似的函數(shù)要辨別清楚．解(1)log2x的系數(shù)是3，不是1，不是對數(shù)函數(shù)．(2)符合對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對數(shù)函數(shù)．(3)自變量在底數(shù)位置上，不是對數(shù)函數(shù)．(4)對數(shù)式log2x后又加1，不是對數(shù)函數(shù)．課堂小結(jié)：1.同指數(shù)函數(shù)一樣，對數(shù)函數(shù)仍然采用形式定義，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是對數(shù)函數(shù)，只有y＝logax(a>0，且a≠1)才是．2．判定一個函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，必須滿足：(1)logax的系數(shù)為1；(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.（二）已知函數(shù)f(x)為對數(shù)函數(shù)，且滿足f(eq\r(3)＋1)＋f(eq\r(3)－1)＝1，求f(eq\r(5)＋1)＋f(eq\r(5)－1)的值．解設(shè)對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)，由已知得loga(eq\r(3)＋1)＋loga(eq\r(3)－1)＝1，即loga[(eq\r(3)＋1)×(eq\r(3)－1)]＝1?a＝2.所以f(x)＝log2x(x>0)．從而得f(eq\r(5)＋1)＋f(eq\r(5)－1)＝log2[(eq\r(5)＋1)×(eq\r(5)－1)]＝2.課堂練習(xí)1：下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的是()．①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；:③y＝ln；④y＝logx(x＋2)；A．0個B．1個C．2個D．3個解析上述4個函數(shù)均不符合對數(shù)函數(shù)的定義，沒有對數(shù)函數(shù)．答案A例2（1）求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）答：（1）x∈(0,)(2)x∈(-∞,)∪(,-3)∪[3,+∞)課堂練習(xí)2：（1）（2013年高考廣東卷（文））函數(shù)的定義域是 （）A． B． C． D．【答案】C（2）(2011年江西理科高考)若f(x)＝，則f(x)的定義域為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D．(0，＋∞)解析要使f(x)有意義，需logeq\f(1,2)(2x＋1)>0＝logeq\f(1,2)1，∴0<2x＋1<1，∴－eq\f(1,2)<x<0.答案A題型二對數(shù)函數(shù)的圖像例3（1）下圖是對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象，已知a值取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，則圖象C1，C2，C3，C4相應(yīng)的a值依次是()A.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)B.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)答：A過(0,1)作平行于x軸的直線，與C1，C2，C3，C4的交點的坐標(biāo)為(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分別為各對數(shù)的底，顯然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到?。?）（2013年高考天津卷（文））設(shè)函數(shù).若實數(shù)a,b滿足,則 （）A． B．C． D．【答案】A（3）已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖像如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1【解析】首先由于函數(shù)φ(x)＝2x＋b－1單調(diào)遞增，可得a>1；又－1<f(0)<0，即－1<logab<0，所以a－1<b<1，故0<a－1<b<1.（4）．（2012年高考全國新課標(biāo)）當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時，4x<logax，則a的取值范圍是（A）(0，eq\f(\r(2),2))（B）(eq\f(\r(2),2)，1)（C）(1，eq\r(2))（D）(eq\r(2)，2)答：B課堂練習(xí)3：（1）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))x－log3x，若實數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，則f(x1)的值()A．不小于0B．恒為正數(shù)C．恒為負(fù)數(shù)D．不大于0解析：選B由題意知，x0是函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))x和y＝log3x的圖象交點的橫坐標(biāo)，因為0<x1<x0，由圖知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))x1>log3x1，所以f(x1)的值恒為正數(shù)．（2）(2010年全國高考題Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是 ()A．(2eq\r(2)，＋∞) B．[2eq\r(2)，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解：畫出函數(shù)f(x)＝|lgx|的圖象如圖所示．∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴0<a<1，b>1，∴l(xiāng)ga<0，lgb>0.由f(a)＝f(b)，∴－lga＝lgb，ab＝1.∴b＝eq\f(1,a)，∴a＋2b＝a＋eq\f(2,a)，又0<a<1，函數(shù)t＝a＋eq\f(2,a)在(0,1)上是減函數(shù)，∴a＋eq\f(2,a)>1＋eq\f(2,1)＝3，即a＋2b>3.題型三對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用例4（定點性）不論a為何值，f(x)=恒過定點。。答：（。課堂練習(xí)4：函數(shù)恒過定點。。答：（-2,3）例5（單調(diào)性）（一）比較大小：（1）(同底法)(2011年天津文科高考題)已知，，，則Aa>b>cB,a>c>bC.b>a>cD.c>a>b答：B用同底法比較大小。（2）(中間量法)(2011年重慶文科高考題)設(shè)a=log1312,b=log1223,c=log343,則a,b【答案】B（3）（特值法）（2008年全國高考題二卷）若，，則Aa<b<cBc<a<bCb<a<cDb<c<a答：令x=,代入驗證即可。小結(jié)：1.比較兩個指數(shù)冪或?qū)?shù)值大小的方法：(1)分清是底數(shù)相同還是指數(shù)(真數(shù))相同；(2)利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖像比較大??；(3)當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)(真數(shù))均不相同時，可通過中間量過渡處理．2．多個指數(shù)冪或?qū)?shù)值比較大小時，可對它們先進(jìn)行0,1分類，然后在每一類中比較大?。n堂練習(xí)5：（1）（2010年天津文科高考題）設(shè)，，，則Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】D【解析】因為，，，所以，所以，故選Ｄ．（2）（2010年全國高考題一卷），則A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a答：C.用換底公式得a<b,用中間量，得a>c.（3）（2011·天津理)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(eq\f(1,5))log30.3，則()A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．a(chǎn)>c>bD．c>a>b【解析】因為，又log23.4>log3eq\f(10,3)>1>log43.6>0，且指數(shù)函數(shù)y＝5x是R上的增函數(shù)，所以a>c>b，故選擇C.（二）求單調(diào)區(qū)間：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。答：為增區(qū)間，為減區(qū)間。（三）求字母范圍：函數(shù)f(x)=在區(qū)間上是增函數(shù)。求實數(shù)a的取值范圍。答：。課堂練習(xí)6：（1）．(2010重慶)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝|lg(2－x)|在其上為增函數(shù)的是()A．(－∞，1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))D．[1,2)【解析】用圖象法解決，將函數(shù)y＝lgx的圖象關(guān)于y軸對稱得到函數(shù)y＝lg(－x)的圖象，再向右平移2個單位長度，得到函數(shù)y＝lgeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x－2))，將得到的圖象在x軸下方的部分翻折上來，即得到函數(shù)f(x)＝|lg(2－x)|的圖象．由圖象，知選項中函數(shù)f(x)是增函數(shù)的顯然只有D.（2）函數(shù)f(x)=（a>0且），在上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。答：。例6（正負(fù)性）（1）求使函數(shù)y＝loga(3x＋4)的函數(shù)值恒為負(fù)值的x的取值范圍．解當(dāng)a>1時，由題意有0<3x＋4<1，即－eq\f(4,3)<x<－1.當(dāng)0<a<1時，由題意有3x＋4>1，即x>－1.綜上，當(dāng)a>1時，－eq\f(4,3)<x<－1；當(dāng)0<a<1時，x>－1.（2）設(shè)函數(shù)f(x)＝log2a(x＋1)，若對于區(qū)間(－1,0)內(nèi)的每一個x值都有f(x)>0，則實數(shù)aA．(0，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解．D[已知－1<x<0，則0<x＋1<1，又當(dāng)－1<x<0時，都有f(x)>0，即0<x＋1<1時都有f(x)>0，所以0<2a<1，即0<a<eq\f(1,2).]課堂練習(xí)7：若函數(shù)f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在區(qū)間(eq\f(1,2)，1)內(nèi)恒有f(x)＞0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，－eq\f(1,4)) B．(－eq\f(1,4)，＋∞)C．(－∞，－eq\f(1,2)) D．(0，＋∞)解析：選D.因2x2＋x在(eq\f(1,2)，1)上恒大于1，∴a＞1，因f(x)的定義域為(0，＋∞)∪(－∞，－eq\f(1,2))，函數(shù)y＝2x2＋x的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(1,4)，＋∞)，因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．例7（奇偶性）:判斷下述函數(shù)的奇偶性：（2）答：（1）奇函數(shù)。（2）奇函數(shù)。（3）既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)。（4）偶函數(shù)。課堂練習(xí)8：（1）（2013年高考遼寧卷（文））已知函數(shù) A． B． C． D．【答案】D（2）（2013年高考重慶卷（文））已知函數(shù),,則 （）A． B． C． D．【答案】C題型四對數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用例8已知函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函數(shù)，則使關(guān)于x的不等式f(x)＜0的實數(shù)x的取值范圍是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)eq\a\vs4\al(分析)要求實數(shù)x的取值范圍，須先求出實數(shù)a的值，可由f(0)＝0得到．eq\a\vs4\al(解析)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0,∴l(xiāng)g(2＋a)＝0,∴a＝－1,∴f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x).令f(x)＜0,則0＜eq\f(1＋x,1－x)＜1，解得x∈(－1,0)．例9設(shè)f(x)＝為奇函數(shù)，a為常數(shù)．(1)求a的值；(2)求證：f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增；(3)若對于[3,4]上的每一個x的值，不等式f(x)>(eq\f(1,2))x＋m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)?＝－?eq\f(1＋ax,－x－1)＝eq\f(x－1,1－ax)>0?1－a2x2＝1－x2?a＝±1.經(jīng)檢驗，a＝－1(a＝1舍去)．(2)任取x1>x2>1，所以x1－1>x2－1>0，所以0<eq\f(2,x1－1)<eq\f(2,x2－1)?eq\f(x1＋1,x1－1)<eq\f(x2＋1,x2－1)?>，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．(3)對于[3,4]上的每一個x的值，不等式f(x)>(eq\f(1,2))x＋m恒成立?f(x)－(eq\f(1,2))x>m恒成立．令g(x)＝f(x)－(eq\f(1,2))x，由(2)知，g(x)在[3,4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以m<g(3)＝－eq\f(9,8)，即m的取值范圍是(－∞，－eq\f(9,8))．課堂練習(xí)9：對于函數(shù)f(x)＝．(1)若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在[－1，＋∞)內(nèi)有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)的值域為(－∞，－1]，求實數(shù)a的值；(4)若函數(shù)f(x)在(－∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)由f(x)的定義域為R，則x2－2ax＋3>0的解集為R，則Δ＝4a2－12<0，解之得－eq\r(3)<a<eq\r(3).(2)由f(x)在[－1，＋∞)上有意義，知u(x)＝x2－2ax＋3>0對x∈[－1，＋∞)恒成立，因為u(x)的對稱軸為x＝a，所以當(dāng)a<－1時，u(－1)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1,2a＋4>0))，解得－2<a<－1；當(dāng)a≥－1時，Δ<0，即－eq\r(3)<a<eq\r(3)，所以－1≤a<eq\r(3).綜上可得，a的取值范圍為(－2，－1)∪[－1，eq\r(3))＝(－2，eq\r(3))．(3)因為y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域為[2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，即u(x)min＝3－a2＝2，解之得a＝±1.(4)函數(shù)f(x)在(－∞，1]上為增函數(shù)等價于(令u(x)＝x2－2ax＋3)，則，解之得1≤a<2.即所求a的取值范圍為[1,2)．五．品味高考（家庭作業(yè)）：1（2013年高考重慶卷（文））函數(shù)的定義域為 （）A． B． C． D．【答案】C2（2013年高考福建卷（文））函數(shù)的圖象大