第9節(jié)　概率與統(tǒng)計

第十章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第9節(jié)概率與統(tǒng)計INNOVATIVEDESIGN概率與統(tǒng)計是統(tǒng)計學(xué)的重要內(nèi)容,是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn),試題多以社會最新時事為背景,以數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計決策為載體,考查概率運(yùn)算、分布列、均值、方差、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等綜合問題,高考中概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用常涉及的問題主要有:(1)統(tǒng)計圖表與概率的綜合問題;(2)回歸分析與概率的綜合問題;(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率的綜合問題.目

錄CONTENTS課時對點(diǎn)精練題型一

頻率分布直方圖與概率例1

(2025·呼和浩特調(diào)研)某高校共有15

000人,其中男生10

500人,女生4

500人,為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的情況,采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).

(1)應(yīng)收集多少個女生樣本數(shù)據(jù)?(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組的區(qū)間為[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12].請估計該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間不低于4個小時的概率;解

由頻率分布直方圖可知,學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間不低于4個小時的頻率為(0.15+0.125+0.075+0.025)×2=0.75,故估計該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間不低于4個小時的概率為0.75.

則X的分布列為X01234P

思維建模頻率分布直方圖與概率的綜合問題有兩個考查方向:(1)通過閱讀頻率分布直方圖,尋找規(guī)律的統(tǒng)計類或綜合類問題,用樣本估計總體,特別是平均數(shù)、方差的計算等;(2)以綜合事件為載體,通過對事件進(jìn)行分解求事件發(fā)生的概率,也可能通過隨機(jī)變量的分布研究期望和方差,進(jìn)行統(tǒng)計決策等.訓(xùn)練1

(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,得到如右的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;解

法一由于患者的年齡位于區(qū)間[20,70)是由患者的年齡位于區(qū)間[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70)組成的,且相互獨(dú)立,所以所求概率p=(0.012+0.017×2+0.023+0.020)×10=0.89.法二由于患者的年齡位于區(qū)間[20,70)是由患者的年齡位于區(qū)間[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70)組成的,且相互獨(dú)立,所以所求概率p=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=0.89.(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.000

1.)

題型二

回歸分析與概率

A充電樁投資金額x/百萬元3467910所獲利潤y/百萬元1.5234.567

(1)已知可用一元線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程;

所以X的分布列為X01234P

思維建模破解概率與回歸分析的綜合問題的關(guān)鍵:(1)求兩個變量的平均值;(2)能根據(jù)已知數(shù)據(jù)求方程;(3)能利用概率公式、離散型隨機(jī)變量的分布列等處理數(shù)據(jù).訓(xùn)練2

(2025·石家莊調(diào)考)為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活,某基金會在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2020年以來,某村一直在組織開展“悅讀小屋讀書活動”.如表是對2020年以來近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計:年份20202021202220232024年份代碼x12345年借閱量y(冊)y1y23692142

所以X的分布列為X012P

題型三

獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率例3

(15分)(2025·東北地區(qū)調(diào)研)中國哈爾濱冰雪大世界是由哈爾濱市政府為迎接千年慶典神州世紀(jì)游活動,憑借哈爾濱的冰雪時節(jié)優(yōu)勢,而推出的大型冰雪藝術(shù)精品工程,展示了北方名城哈爾濱冰雪文化和冰雪旅游的魅力.“南方小土豆”勇闖冰雪大世界點(diǎn)燃了民眾對冰雪運(yùn)動的熱情,其中雪上運(yùn)動深受游客的追捧.某新聞媒體機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查男、女性游客各100名,統(tǒng)計結(jié)果如表所示:對滑雪的喜愛情況游客性別合計男性游客女性游客喜歡603595不喜歡4065105合計100100200

α0.050.010.001xα3.8416.63510.828

→計算χ2,并與臨界值比較(3分)

→依據(jù)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則得出結(jié)論(4分)(2)(ⅰ)令事件Ai(i=1,2,3,4)分別表示起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動達(dá)到優(yōu)秀,令滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號為事件B,則事件Ai(i=1,2,3,4)之間相互獨(dú)立,

?

→根據(jù)題意建立不等式組并求解(14分)?因?yàn)閗∈N*,所以k=9,故9人榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率最大.?

→給出最后結(jié)論.(15分)[滿分規(guī)則]?得步驟分①③⑤⑨每個結(jié)論給出得1分;?得關(guān)鍵分②中與臨界值比較大小,④中列出P(B)的構(gòu)成,⑥中指出分布模型,皆可得1~2分.?得計算分②中χ2值,④中P(B)的值,⑦中期望值以及⑧中方程組的解可得1~3分.訓(xùn)練3

(2024·寧波調(diào)研)在杭州亞運(yùn)會的志愿者選拔工作中,某高校承辦了亞運(yùn)會志愿者選拔的面試工作,面試成績滿分100分,現(xiàn)隨機(jī)抽取了80名候選者的面試成績分五組,第一組[45,55),第二組[55,65),第三組[65,75),第四組[75,85),

第五組[85,95],繪制成如圖所示的頻率

分布直方圖.已知圖中從左到右前三個組

的頻率成等差數(shù)列,第一組和第五組的頻

率相同.(1)求a,b的值,并估計這80名候選者面試成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.1);

(2)已知抽取的80名候選人中,男生和女生各40人,男生希望參加寧波賽區(qū)志愿服務(wù)的有10人,女生希望參加寧波賽區(qū)志愿服務(wù)的有20人,補(bǔ)全下面2×2列聯(lián)表,依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為參加寧波賽區(qū)志愿者服務(wù)的候選人與性別有關(guān)?參加志愿者服務(wù)性別合計男生女生希望去寧波賽區(qū)1020

不希望去寧波賽區(qū)

合計4040

解

補(bǔ)全2×2列聯(lián)表:參加志愿者服務(wù)性別合計男生女生希望去寧波賽區(qū)102030不希望去寧波賽區(qū)302050合計404080

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

X234P

課時對點(diǎn)精練KESHIDUIDIANJINGLIAN1.(2025·長沙適應(yīng)性考試)某廠為了考察設(shè)備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率,質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本測試數(shù)據(jù),制作了如下列聯(lián)表:產(chǎn)品產(chǎn)品情況優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前2416更新后4812(1)依據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析設(shè)備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率.解

補(bǔ)全列聯(lián)表產(chǎn)品產(chǎn)品情況合計優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前241640更新后481260合計7228100

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

2.(2025·昆明檢測)某企業(yè)為匯聚科研力量,準(zhǔn)備科學(xué)合理增加研發(fā)資金.為了解研發(fā)資金的投入額x(單位:千萬元)對年收入的附加額y(單位:千萬元)的影響,對2018年至2024年研發(fā)資金的投入額xi和年收入的附加額yi進(jìn)行研究,得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下:年份2018201920202021202220232024年份代碼i1234567研發(fā)資金的投入額xi103040608090110年收入的附加額yi3.204.004.806.007.307.459.25

(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;

則X的分布列為X0123P

3.(2025·鄭州調(diào)研)某高校為調(diào)查學(xué)生性別與是否喜歡排球運(yùn)動的關(guān)系,在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法,分別抽取了男生和女生各100名作為樣本,經(jīng)統(tǒng)計,得到了如圖所示的等高堆積條形圖.(1)根據(jù)等高堆積條形圖,填寫下列2×2列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),是否可以認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動有關(guān)聯(lián);性別是否喜歡排球運(yùn)動是否男生

女生

解