2025年高考數(shù)學(xué)考前沖刺（1）倒計時16-20天（解析版）

第一輯解三角形（解答題）……………01立體幾何（解答題）……………25概率統(tǒng)計（解答題）…………57導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）………86圓錐曲線（解答題）……………124解三角形（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1513（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；已知兩角的正、余弦，求和、差角的正弦；三角形面積公式及其應(yīng)用2024年新高考II卷1513（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．輔助角公式；正弦定理解三角形；正弦定理邊角互化的應(yīng)用2023年新高考I卷1712（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．用和、差角的正弦公式化簡、求值；正弦定理解三角形；三角形面積公式及其應(yīng)用2023年新高考II卷1712（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．三角形面積公式及其應(yīng)用；余弦定理解三角形；數(shù)量積的運算律2022年新高考I卷1812（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．正弦定理邊角互化的應(yīng)用；基本不等式求和的最小值2022年新高考II卷1812（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角形面積公式及其應(yīng)用近三年新高考數(shù)學(xué)中，三角形相關(guān)解答題考查情況總結(jié)如下：考點方面：主要涉及正弦定理、余弦定理用于解三角形；三角函數(shù)的和差角公式、輔助角公式等進(jìn)行化簡與求值；三角形面積公式及其應(yīng)用；還涉及到三角恒等變換，如二倍角公式等。其中正弦定理、余弦定理及三角形面積公式是高頻考點。題目設(shè)置方面：通常設(shè)置兩問，第一問多為求角，常通過對已知條件進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)公式求解；第二問常涉及求邊、求三角形面積或周長、求邊上的高等，一般在第一問求出角的基礎(chǔ)上，利用正弦定理、余弦定理及面積公式等進(jìn)一步計算。整體考點穩(wěn)定且具有較強的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性。2025年新高考中，解三角形大概率仍會作為重點考查內(nèi)容。以一道解答題（分值約13-15分）呈現(xiàn)。解答題通常設(shè)置兩問，有一定梯度，循序漸進(jìn)引導(dǎo)解題。正弦定理、余弦定理依舊是核心。會給出邊與角的混合條件，要求考生熟練運用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，求解三角形的邊、角、面積等基本量。正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形①②③④應(yīng)用：邊角互化①②③或（舍）三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式角平分線定理（1）在中，為的角平分線，則有（2）（3）（庫斯頓定理）（4）張角定理倍角定理在中,三個內(nèi)角的對邊分別為,(1)如果,則有:(2)如果,則有:(3)如果,則有:倍角定理的逆運用在中,三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為,(1)如果,則有:。(2)如果,則有:。(3)如果,則有:。中線長定理為的中線,則中線定理:證明:在和中,用余弦定理有:典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【詳解】（1）由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.典例22．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設(shè)，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出，作出邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出即可求解作答.【詳解】（1）方法1：在中，因為為中點，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）方法一：直接根據(jù)待求表達(dá)式變形處理，方法二：先二倍角公式處理等式右邊，在變形，方法三：根據(jù)誘導(dǎo)公式可將題干同構(gòu)處理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，推知即可求解，方法四：根據(jù)半角公式和兩角差的正切公式化簡后求解.（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）方法一：直接法可得，則，即，注意到，于是，展開可得，則，又，.方法二：二倍角公式處理+直接法因為，即，而，所以；方法三：導(dǎo)數(shù)同構(gòu)法根據(jù)可知，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，，故，結(jié)合，解得.方法四：恒等變換化簡，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，，則，結(jié)合，解得.（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.【名校預(yù)測·第一題】（2025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三3月綜合自主測試數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知.(1)求角的大??；(2)已知.求的面積.【答案】(1)(2)【來源】2025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三3月綜合自主測試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）由兩角和的余弦公式化簡結(jié)合二倍角的余弦公式即可求出的值，進(jìn)而可求角；（2）由余弦定理可得，再利用三角形面積公式即可求出.【詳解】（1）因為，即，解得或.因為在中，，所以.（2）在中，由余弦定理，得，整理得，由，解得，所以的面積為.【名校預(yù)測·第二題】（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題）記的內(nèi)角，，的對邊分別，，，已知．(1)求；(2)設(shè)是邊中點，若，求．【答案】(1)(2)．【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式及輔助角公式求解.（2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量數(shù)量積的運算律及正弦定理求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，又，則，而，化簡得，即，而，因此，所以.（2）在中，由，得，，由正弦定理，得，由是邊中點，得，則，因此，在中，由正弦定理，得.【名校預(yù)測·第三題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且(1)求B；(2)若，D為AC邊上的一點，且，，求AC的最大值．【答案】(1)(2)【來源】重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡即可求角B的大??；（2）由，得出，得出，結(jié)合余弦定理，利用基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）在中，由正弦定理，得因為，所以，所以因為，所以因為，所以，所以，因為，所以因為，所以，所以，所以；（2）因為D為AC邊上的一點，且，，所以，所以，所以，即，在中，由余弦定理，得因為，所以所以因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以AC的最大值為【名校預(yù)測·第四題】（山東省實驗中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【來源】山東省實驗中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，結(jié)合整理可得角的關(guān)系；（2）由正弦定理得，又因為為銳角三角形且，結(jié)合三角函數(shù)值域可求得線段長度的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，由正弦定理得，因為，則，即，可得，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，整理得，又因為為銳角三角形，則，可得，所以，即.（2）在中，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此線段長度的取值范圍.【名校預(yù)測·第五題】（2025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三4月綜合自主測試數(shù)學(xué)試題）在中，角的對邊分別為，若．(1)求；(2)若，證明：是直角三角形．(3)若是銳角三角形，，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【來源】2025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三4月綜合自主測試（提升卷）數(shù)學(xué)試題【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而可得角；（2）根據(jù)余弦定理以及已知條件有，，據(jù)此可證明，即可得到結(jié)論；（3）利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合銳角三角形條件即可求得取值范圍.【詳解】（1）由可知，從而由正弦定理得.故，這就得到，故.此即，故，得或，這里.結(jié)合，就知道.（2）因為，由余弦定理可得.又因為，故.這就得到.所以或，即或，從而必有是直角三角形．（3）由正弦定理可得，故.而因為為銳角三角形，故，解得的范圍是.從而的范圍是，故的取值范圍是.【名師押題·第一題】在中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，且，求的最小值.【答案】(1).(2)8.【分析】（1）根據(jù)同角三角恒等變換化簡即可；（2）由題意，再根據(jù)平面向量的線性運算可得，進(jìn)而兩邊平方化簡可得，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）由，可得，所以，即，即，由于，，又，所以，化簡可得，由于，故.（2）由于，所以，故，故，即，故，化簡得，又，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為8.【名師押題·第二題】已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求；(2)若，求周長的最大值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）由正弦定理可以變形為：，再由余弦定理進(jìn)行求解；（2）設(shè)的外接圓半徑為，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解．【詳解】（1）由正弦定理及，得，，，．（2）設(shè)的外接圓半徑為，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，周長的最大值為9．【名師押題·第三題】在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若.（i）求；（ii）過邊上一點作的垂線，垂足分別為，求的最小值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）對所給條件切化弦，結(jié)合三角形內(nèi)角和以及正弦定理化簡可求出，從而求出角的大小；（2）（i）由三角形內(nèi)角和可求出，結(jié)合正弦定理可求出邊；（ii）法一：根據(jù)直角三角形角的關(guān)系可設(shè)，則均可用表示，余弦定理計算，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值；法二：由，可知四點共圓，從而表示，轉(zhuǎn)化為求最小值，數(shù)形結(jié)合，當(dāng)時，最小，在直角三角形中求出最小值即可求出最小；法三：以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點坐標(biāo)，利用兩點距離公式可求出最小值.【詳解】（1）在中，.由及正弦定理得，，整理得.由于，則.又，故.（2）（i）如圖1，在中，，且，由正弦定理得，，即，得.（ii）由于，則與互補，故.方法1：單變量法設(shè)，則，，則.當(dāng)時，取得最小值為.方法2：四點共圓如圖1，由，故四點共圓，且為該圓直徑.由正弦定理得，故求的最小值等價于求的最小值.當(dāng)時，最小，此時，故取得最小值為.方法3：建系坐標(biāo)法以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，則，，直線，直線.設(shè)，則，直線.聯(lián)立方程得，.當(dāng)時，取得最小值為.【名師押題·第四題】記的內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)證明：；(2)若平分交于點，且，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，通過三角函數(shù)的恒等變換來證明等式；（2）根據(jù)三角形面積公式及角平分線性質(zhì)得到的表達(dá)式，再結(jié)合均值不等式求出其最值.【詳解】（1）證明：由正弦定理及，得，因為，所以，所以，即，因為，所以，所以，即，又因為，所以，又，所以.（2）解：由平分，則，因為，即，整理可得，又因為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為.【名師押題·第五題】在中，，，分別是內(nèi)角，，的對邊，．(1)求角的大?。?2)設(shè)為邊上一點，若，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合正弦定理化簡可得，整理可推得，結(jié)合三角形內(nèi)角和公式以及誘導(dǎo)公式化簡推得，即可求出答案；（2）法一：結(jié)合圖形得，兩邊平方整理推出由基本不等式得出，即得面積最小值；法二：設(shè)，，則，根據(jù)面積關(guān)系推得利用兩角關(guān)系求得，再由推得，同法求得面積最小值；法三：過點作，交于點.根據(jù)平行線的性質(zhì)得.由余弦定理推得，即得，同法求得面積最小值.【詳解】（1）依題意，，即，結(jié)合正弦定理，可得，因為，，所以，即，故，因為，，則，故.（2）法一：因為，所以，，所以，所以，即，整理得.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故面積，即面積的最小值為.法二：設(shè)，，則，為點到邊的距離.因為，所以，又，故，得，所以，整理得，因為，得，顯然，，故，.根據(jù)，得，即，整理得.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故面積，即面積的最小值為.法三：過點作，交于點.據(jù)，可得，，因為，故，，所以，，得.在中，，，由余弦定理，，則，解得，所以，即.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以面積，即面積的最小值為.立體幾何（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷1715（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．證明線面平行；由二面角大小求線段長度或距離；證明面面垂直2024年新高考II卷1715（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．線面垂直證明線線垂直；面面角的向量求法；證明線面垂直；求平面的法向量2023年新高考I卷1812（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．空間位置關(guān)系的向量證明；面面角的向量求法；已知面面角求其他量2023年新高考II卷2012（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．線面垂直證明線線垂直；面面角的向量求法；證明線面垂直2022年新高考I卷1912（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．求點面距離；面面角的向量求法2022年新高考II卷2012（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．證明線面平行；面面角的向量求法近三年新高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題考查情況總結(jié)?空間位置關(guān)系證明：頻繁考查線面平行、線面垂直、面面垂直的證明。如通過線線平行證明線面平行，利用線線垂直證明線面垂直進(jìn)而證明面面垂直。?空間角計算：二面角的向量求法是重點，常給出相關(guān)幾何條件，要求考生建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的正弦值或余弦值。也涉及線面角相關(guān)計算。?距離與線段長度求解：包括求點到平面的距離、由二面角大小求線段長度等。常借助等體積法或向量法求解點面距離，根據(jù)幾何關(guān)系和空間向量運算求線段長度。?題目設(shè)置方面?通常設(shè)置兩問，第一問多為空間位置關(guān)系的證明，如證明線面平行或垂直等，考查對相關(guān)判定定理的理解和運用；第二問多為空間角的計算或線段長度、距離的求解，在第一問的基礎(chǔ)上，要求考生熟練運用空間向量方法或幾何方法進(jìn)行計算，綜合性較強。整體考點穩(wěn)定，注重對空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力的考查。題型與分值：預(yù)計2025年新高考中，立體幾何仍會以一道解答題（分值約13-15分）的形式出現(xiàn)，設(shè)置兩問，有一定難度梯度，循序漸進(jìn)引導(dǎo)解題。?考查方向?空間位置關(guān)系：線面平行、線面垂直、面面垂直的證明依然是重點內(nèi)容。可能會給出更復(fù)雜的幾何圖形，如組合體（棱柱與棱錐組合等），要求考生從復(fù)雜圖形中準(zhǔn)確找出線線、線面、面面關(guān)系，運用判定定理進(jìn)行證明。?空間角計算：二面角的向量求法仍是核心考點，可能會結(jié)合實際應(yīng)用背景（如建筑設(shè)計中的角度問題）或與其他知識（如三角函數(shù)）綜合考查。也可能出現(xiàn)線面角、異面直線所成角的計算，考查考生建立空間直角坐標(biāo)系、準(zhǔn)確計算向量坐標(biāo)和運用向量公式的能力。?距離與體積：點到平面的距離、幾何體的體積計算可能會有所涉及。可能需要考生靈活運用等體積法、向量法等方法求解距離，根據(jù)幾何圖形的特征計算體積，考查運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想。?創(chuàng)新題型：可能會出現(xiàn)一些創(chuàng)新題型，如開放性問題（給出部分條件，讓考生補充條件并證明相關(guān)結(jié)論）、探究性問題（探究幾何圖形中某些元素的變化對空間位置關(guān)系或空間角的影響），考查考生的創(chuàng)新思維和綜合運用知識的能力?？臻g中的平行關(guān)系線線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行線面平行的性質(zhì)定理若線面平行，經(jīng)過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行面面平行的判定定理判定定理1：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行判定定理2：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別于另一個平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行空間中的垂直關(guān)系線線垂直線面垂直的判定定理一直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直線面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線性質(zhì)定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行面面垂直的判定定理一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則面面垂直）面面垂直的性質(zhì)定理兩平面垂直，其中一個平面內(nèi)有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）直線與平面所成角，(為平面的法向量).二面角的平面角（，為平面，的法向量）.點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）過點D作于，再過點作于，連接，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長度表示出，即可解方程求出．【詳解】（1）（1）因為平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因為，所以，根據(jù)平面知識可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過點D作于，再過點作于，連接，因為平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根據(jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因為，設(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點，得，所以，設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.【點睛】典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當(dāng)二面角為時，求．【答案】(1)證明見解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【詳解】（1）連接，因為E為BC中點，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，二面角平面角為,而，因為，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等體積法運算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點A到平面的距離為h，則，解得，所以點A到平面的距離為；（2）取的中點E,連接AE,如圖，因為，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點，則，,設(shè)平面的一個法向量，則，可取，設(shè)平面的一個法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接并延長交于點，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點從而得到，即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.【詳解】（1）證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面

（2）解：過點作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.

【名校預(yù)測·第一題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，三棱錐中，，．異面直線和所成角的余弦值為，點是線段上的一個動點．(1)證明：平面平面；(2)若二面角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【來源】重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題【分析】（1）結(jié)合題目條件，利用線面垂直可證面面垂直.（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求結(jié)果.【詳解】（1）法一：（幾何法）如圖，取中點，由，得，作，，則四邊形為菱形，且，連接，，，則，.∵異面直線與所成角的余弦值為，∴，當(dāng)時，，此時，不能構(gòu)成，舍去，故，，∵，，∴為直角三角形，故，∴，即，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．法二：（基底法）如圖，取中點，由，得，，故二面角的平面角為，由題意，得，，設(shè)，，，．則，，，，，，∵，∴，

∴或（舍去），∴，此時，平面平面．（2）如圖，以，，分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)，，則，∴，得，故.設(shè)平面的法向量，則令，得，，即，

設(shè)平面的法向量為，則令，則，即，設(shè)二面角的平面角為，則，得或（舍），故，∴，故.【名校預(yù)測·第二題】（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題）在平行四邊形中（如圖1），，為的中點，將等邊沿折起，連接，且（如圖2）．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)點在線段上，且滿足，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題【分析】（1）根據(jù)余弦定理和勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可；（3）由題意，求出的坐標(biāo)，利用空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）如圖，連接，則，由余弦定理得，在中，有，所以，又平面，所以平面.（2）取的中點，連接，則，由（1）知平面.又平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，由平面，得，過作，則，又，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.（3）易知平面的一個法向量為.由（2）知，，由，得，所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，得，設(shè)平面與平面所成角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為.【名校預(yù)測·第三題】（遼寧省東北育才中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷）如圖①，在矩形中，，，M為的中點，將沿折起，使A到處，平面平面，連接，（如圖②）．

(1)證明：平面；(2)已知Q是線段上的動點，且，直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在矩形中，分析圖形關(guān)系易得，在四棱錐中，由平面平面可得平面，可得，進(jìn)而求證即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）在矩形中，，，易得，則，即，在四棱錐中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面.（2）取的中點為，連接，由，則，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，以為原點，以的方向為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，由，得，即，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，整理得，又，則.

【名校預(yù)測·第四題】（安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷）如圖，在四棱錐中，底面，，為線段的中點，為線段上的動點.(1)若，平面與平面是否互相垂直？如果垂直,請證明；如果不垂直，請說明理由.(2)若底面為正方形，當(dāng)平面與平面夾角為時，求的值.【答案】(1)垂直，證明見解析.(2)【來源】安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷（四）【分析】（1）由底面得，進(jìn)而由得平面，進(jìn)而得，又，可得平面，進(jìn)而可證；（2），，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法根據(jù)面面角可得，進(jìn)而可得.【詳解】（1）平面平面，證明如下：因平面，平面，故，又，，平面，故平面，因平面，所以，因，為線段的中點，故，因，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，則，s設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，則，由題意，解得，故.【名校預(yù)測·第五題】（陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三第八次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）如圖，在四棱錐中，平面，，，，M為棱的中點.(1)證明：平面.(2)已知.（i）求平面與平面夾角的余弦值.（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）存在，【來源】陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三第八次模擬考試數(shù)學(xué)試卷【分析】（1）作的中點，連接，，可證四邊形是平行四邊形，可得，可證得結(jié)論.（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（ii）利用點到面距離得向量法求解即可.【詳解】（1）取的中點，連接，，如圖所示，為棱的中點，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）平面，，，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，為棱的中點，，（i），，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，，取的中點，連接，易知平面，即是平面的一個法向量，，設(shè)平面與平面夾角為，，平面與平面夾角的余弦值為；（ii）假設(shè)在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，設(shè)，，則，，由（i）知平面的一個法向量為，，點Q到平面的距離是，，，所以存在點Q滿足題意，此時.【名師押題·第一題】如圖，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，點在線段上.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求.【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，設(shè)即可求得點的坐標(biāo)，利用夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：由正方形有，又平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，過點作，則，，，所以，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）知兩兩互相垂直，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則有，設(shè)，則，設(shè)，則有，解得，得，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，解得或，所以或.【名師押題·第二題】如圖，在等腰梯形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，沿線段EF將四邊形AEFD翻折到四邊形MEFN的位置，連接MB，NC.已知，，，P為射線FN上一點.(1)若，證明：平面BCNM.(2)若直線FN與平面CEP所成角的正弦值為，求PF.【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)題意，在線段CN上取一點Q，使得，即可證明四邊形EBQP是平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算以及線面角的公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：在線段CN上取一點Q，使得，連接PQ，BQ.因為，所以，且，因為，，所以，且，所以四邊形EBQP是平行四邊形，.因為平面BCNM，平面BCNM，所以平面BCNM.（2）以F為坐標(biāo)原點，F(xiàn)N，F(xiàn)E所在直線分別為x軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)（），則.設(shè)平面CEP的法向量為，則，令，則.直線FN的一個方向向量為.，解得（舍去）.故.【名師押題·第三題】在平面四邊形中，，，如圖1所示.現(xiàn)將圖1中的沿折起，使點到達(dá)點的位置，且平面平面，如圖2所示.

(1)求證：；(2)若，二面角的大小為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理，由面面垂直得到線面垂直，從而證明線線垂直.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，將二面角的夾角轉(zhuǎn)化成求平面的法向量的夾角即可求得.【詳解】（1）

作與，平面平面，平面平面,平面，平面,因為平面，,,，平面,平面，又因為平面，.（2）,,又，,平面,平面,設(shè)，建立如圖所示坐標(biāo)系

則，，，，，，,,設(shè)平面的法向量，即，取，則，，設(shè)平面的法向量，即，取，則，，,二面角的大小為，，化簡得：解得：即，【名師押題·第四題】如圖，在正方形中，，分別為中點，四邊形也是正方形，經(jīng)過點的直線與平面的夾角為且，現(xiàn)將正方形沿直線平移至得到四棱臺．

(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值；(3)若平面平面，求四棱臺的體積．【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【分析】（1）由已知可得平面，由題意可證，利用線面平行的判斷定理可得平面，進(jìn)而可證平面平面．（2）建立空間直角坐標(biāo)系：連，，過作，可得就是直線與平面的夾角即，求得，進(jìn)而求得兩平面的法向量，利用向量法可求得兩平面夾角的余弦值；（3）設(shè)，由題意可得，進(jìn)而利用向量法可求得，進(jìn)而可求體積.【詳解】（1）由條件可知：，又平面，平面，所以平面，又且，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面，又，又平面，所以平面平面．（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：連，，過作，

因為，，，所以平面，由于平面，所以平面平面又平面平面，，平面，所以平面，而，所以就是直線與平面的夾角即，，那么，故：重合，而由平移的性質(zhì)：，，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，所以，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則：，易知平面的一個法向量為，所以，故余弦值為（3）設(shè)，，，所以，又由于，所以，，，又因為：，要想平面平面，只需，所以，解得：，，．【名師押題·第五題】如圖，長方體中，，，，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點．

(1)過點C，E，F(xiàn)的平面截該長方體所得的截面多邊形記為S，求S的周長；(2)設(shè)T為線段上一點，當(dāng)平面平面時，求平面TCF與平面CEF夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）運平面知識按步驟作出截面，用相似圖形性質(zhì)球邊長，再求周長即可；（2）先證明，當(dāng)T為線段中點時，平面平面，再借助空間向量法，計算平面法向量，最后借助向量夾角公式計算即可.【詳解】（1）如圖，步驟1：延長DA，CE交于點P，連接PF交于點G，連接GE；步驟2：延長GF，交于點Q，連接交于點H，連接FH，則多邊形CEGFH即為所求截面，

由E為AB中點，可得A為DP中點，從而與相似，所以，又F為中點，從而與全等．又與相似，所以，所以，，，，，故所求截面多邊形的周長為．（2）當(dāng)T為線段中點時，平面平面，理由如下：易得，，，故，所以．又，故．取CD中點M，連接，TM，EM．

因為E，M分別為AB，CD中點，故，所以E，F(xiàn)，，M四點共面，易知四邊形為正方形，故．又平面，平面，故，而，故平面．因為平面，所以．又，所以平面，而平面CEF，故平面平面．以D為原點，，，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，．

設(shè)平面TCF的法向量，則，可?。?，，設(shè)平面CEF的法向量，則，可?。畡t．故平面TCF與平面CEF夾角的余弦值為．概率統(tǒng)計（解答題）年份題號分值題干考點2024年新高考II卷1817（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？獨立事件的乘法公式；求離散型隨機變量的均值；利用對立事件的概率公式求概率2023年新高考I卷2112（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．求離散型隨機變量的均值；利用全概率公式求概率；等比數(shù)列的簡單應(yīng)用2023年新高考II卷1912（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．頻率分布直方圖的實際應(yīng)用；總體百分位數(shù)的估計2022年新高考I卷2012（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828獨立性檢驗解決實際問題；計算條件概率2022年新高考II卷1912（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.頻率分布直方圖的實際應(yīng)用；由頻率分布直方圖估計平均數(shù)；利用對立事件的概率公式求概率；計算條件概率近三年新高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計解答題考查情況總結(jié)?考點方面?概率計算：?？疾楠毩⑹录怕实某朔ü?、互斥事件概率的加法公式，以及利用對立事件求概率。如通過分析投籃、抽簽等事件的獨立性或互斥性來計算相應(yīng)概率。?離散型隨機變量：涉及離散型隨機變量的分布列、期望和方差的求解。要求考生確定隨機變量的可能取值，計算每個取值的概率，進(jìn)而求出期望和方差。?統(tǒng)計圖表應(yīng)用：對頻率分布直方圖的考查較多，包括根據(jù)頻率分布直方圖計算頻率、平均數(shù)、中位數(shù)等數(shù)字特征，以及利用頻率估計概率解決實際問題。?題目設(shè)置方面?通常設(shè)置多問，第一問可能是概率計算，如計算某一事件發(fā)生的概率；后續(xù)問題逐漸深入，可能涉及到隨機變量的分析、統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用或統(tǒng)計方法的運用等。整體考點豐富多樣，注重考查考生對概率統(tǒng)計知識的綜合運用能力以及數(shù)據(jù)分析能力。題型與分值：預(yù)計2025年新高考中，概率統(tǒng)計仍會以一道解答題（分值約15-17分）的形式呈現(xiàn)，題目設(shè)置多問，具有一定的梯度，從基礎(chǔ)概念考查逐步過渡到綜合應(yīng)用。概率模型：繼續(xù)考查常見的概率模型，如獨立重復(fù)試驗、古典概型等?？赡軙Y(jié)合實際生活背景，如體育比賽、抽獎活動等，構(gòu)建更復(fù)雜的概率問題（條件概率、全概率），要求考生準(zhǔn)確判斷概率模型并運用相應(yīng)公式計算概率。隨機變量與分布：離散型隨機變量的分布列、期望和方差依舊是重點?？赡軙霈F(xiàn)新的隨機變量類型或更復(fù)雜的取值情況，考查考生對隨機變量概念的深刻理解和計算能力。也可能與其他知識（如函數(shù)、不等式）綜合，求期望或方差的最值。?統(tǒng)計圖表與數(shù)據(jù)分析：頻率分布直方圖的應(yīng)用仍會是考點。除了計算數(shù)字特征外，可能會要求考生根據(jù)圖表進(jìn)行數(shù)據(jù)的進(jìn)一步分析和推斷，如估計總體參數(shù)、進(jìn)行假設(shè)檢驗等，突出對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查。實際應(yīng)用與創(chuàng)新：概率統(tǒng)計與實際生活的聯(lián)系會更加緊密，可能會出現(xiàn)一些跨學(xué)科或創(chuàng)新性的題目，如在醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域中運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題，考查考生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力。等可能性事件的概率.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率7.離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)（1）;（2）.8.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）.（2）若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.10.方差11.標(biāo)準(zhǔn)差=.12.方差的性質(zhì)(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.13.方差與期望的關(guān)系.14.正態(tài)分布密度函數(shù)，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.15.對于，取值小于x的概率..16.條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．17.條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡18.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.19.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有20.數(shù)字樣本特征眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果為奇數(shù)個，中位數(shù)為中間數(shù)；若為偶數(shù)個，中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)：，反映樣本的平均水平方差：反映樣本的波動程度，穩(wěn)定程度和離散程度；越大，樣本波動越大，越不穩(wěn)定；越小，樣本波動越小，越穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差：，標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值21.求隨機變量X的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗.還可判斷隨機變量滿足常見分布列：兩點分布，二項分布，超幾何分布，正態(tài)分布.（1）已知隨機變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知隨機變量的期望、方差，求的期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)（，）進(jìn)行計算；（3）若能分析出所給的隨機變量服從常用的分布（如：兩點分布、二項分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式進(jìn)行計算，若～,則，.22.求解概率最大問題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造出不等關(guān)系，結(jié)合組合數(shù)公式求解結(jié)果典例1（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？【答案】(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【分析】（1）根據(jù)對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.【詳解】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，，，，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因為，則，，則，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是計算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.典例2（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當(dāng)時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．典例3（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】(1)，；(2)，最小值為．【分析】（1）根據(jù)題意由第一個圖可先求出，再根據(jù)第二個圖求出的矩形面積即可解出；（2）根據(jù)題意確定分段點，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．典例4（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【詳解】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．【名校預(yù)測·第一題】（安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷）在一個不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個小球，其中有m個白球，m個黑球，2個黑白相間的球，且從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為．(1)從盒子中隨機摸出1個球，求在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率；(2)從盒子中1次隨機取出1個球，取出后不放回，共取2次，設(shè)取出的黑球數(shù)量為X，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【來源】安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷（四）【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用縮小空間的方法求出條件概率.（2）求出的可能值及對應(yīng)的概率值，列出分布列并求出期望.【詳解】（1）由從盒子中隨機摸出1個球，摸到黑白相間的球的概率為，得，解得，盒子中帶有黑色的球有6個，其中黑白相間的球有2個，所以在摸出的球上帶有黑色的條件下，摸出黑白相間的球的概率.（2）依題意，的可能值為，則，所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.【名校預(yù)測·第二題】（陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三第八次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）投擲均勻的骰子，每次擲得的點數(shù)為1或2時得1分，擲得的點數(shù)為3，4，5，6時得2分．獨立地重復(fù)擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分．(1)設(shè)投擲2次骰子，最終得分為，求隨機變量的分布列與期望；(2)若投擲次骰子，記合計得分恰為分的概率為，求；(3)設(shè)最終得分為分的概率為，求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)分布列見解析，;(2)；(3).【來源】陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三第八次模擬考試數(shù)學(xué)試卷【分析】（1）根據(jù)題意分析可能的取值，求出相應(yīng)的概率寫出分布列，再利用公式求出期望值；（2）根據(jù)題意得出的表達(dá)式，利用錯位相減法求和即可；（3）根據(jù)題意得出與以及的關(guān)系式，構(gòu)造出等比數(shù)列，再利用累加法可求出的通項公式.【詳解】（1）可能取值為2,3,4，,,.的分布列為234數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)題意，投擲次，得分為分，則只有一次投擲得2分，所以，則，則有，兩式相減，得，所以.（3）由題意可知則有，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.時，時，適合上式.綜上，.【名校預(yù)測·第三題】（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)市場上治療某種疾病的藥品有兩種，其治愈率與患者占比如表所示，為試驗一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給100個病人服用．設(shè)藥的治愈率為，且每位病人是否被治愈相互獨立．ABC（新藥）治愈率患者占比(1)記100個病人中恰有80人被治愈的概率為，求的最大值點；(2)設(shè)用新藥的患者占比為（藥品減少的患者占比，均為新藥增加占比的一半，，以（1）問中確定的作為的值，從已經(jīng)用藥的患者中隨機抽取一名患者，求該患者痊愈的概率（結(jié)果用表示）(3)按照市場預(yù)測，使用新藥的患者占比能達(dá)到以上，不足的概率為，不低于且不超過的概率為，超過的概率為，某藥企計劃引入藥品的生產(chǎn)線，但生產(chǎn)線運行的條數(shù)受患者占比的影響，關(guān)系如下表：患者占比最多投入生產(chǎn)線條數(shù)123若某條生產(chǎn)線運行，年利潤為1000萬，若某條生產(chǎn)線未運行，年虧損300萬，欲使該藥企生產(chǎn)藥品的年總利潤均值最大，應(yīng)引入幾條生產(chǎn)線？【答案】(1)(2)(3)引入兩條生產(chǎn)線【來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題【分析】（1）由題意，得到的解析式，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可解；（2）設(shè)事件為“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件為“該患者服用藥品治療”，事件為“該患者服用藥品治療”，事件為“該患者服用藥品治療”，代入概率公式求解即可；（3）設(shè)隨機變量為生產(chǎn)藥品產(chǎn)生的年利潤，分別討論投入1條，2條，3條生產(chǎn)線時所對應(yīng)的概率，代入期望公式求解，比較大小即可得解.【詳解】（1）100個病人中恰好有80人被治愈的概率為，則，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以的最大值點為.（2）設(shè)事件“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，則因此：所以.（3）設(shè)隨機變量為生產(chǎn)藥品產(chǎn)生的年利潤①若投入1條生產(chǎn)線，由于服用藥品的患者的占比總大于，所以一條生產(chǎn)線總能運行，此時對應(yīng)的年利潤②若投入2條生產(chǎn)線，當(dāng)，1條生產(chǎn)線運行，年利潤，當(dāng)時，2條生產(chǎn)線運行，年利潤，此時的分布列如下：7002000所以；③若投入3條生產(chǎn)線，當(dāng)時，1條生產(chǎn)線運行，年利潤，當(dāng)時2條生產(chǎn)線運行，年利潤，當(dāng)時，3條生產(chǎn)線運行，年利潤，此時的分布列如下：40017003000所以綜上所述，欲使該藥企生產(chǎn)藥品的年度總利潤均值最大，應(yīng)引入兩條生產(chǎn)線.【名校預(yù)測·第四題】（山東省實驗中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題）某工廠在改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)后，針對新舊兩種技術(shù)所生產(chǎn)的電子元件實施質(zhì)量檢測，現(xiàn)從每種技術(shù)生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取容量為40的樣本進(jìn)行電壓測試.已知標(biāo)準(zhǔn)電壓為3.7V，誤差絕對值不超過0.1V的電子元件為優(yōu)品，超過0.1V的電子元件為良品.(1)已知舊技術(shù)生產(chǎn)的40個樣本電子元件的電壓測量值近似服從正態(tài)分布的近似值為樣本均值3.7，的近似值為樣本標(biāo)準(zhǔn)差0.09.假設(shè)該工廠前期運用舊技術(shù)已生產(chǎn)電子元件40000個，試估算舊技術(shù)生產(chǎn)的電子元件電壓測量值高于3.88V的有多少個？(2)從新技術(shù)生產(chǎn)的40個樣本電子元件中隨機選取一個是優(yōu)品的概率為.請補全以下列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為電子元件的優(yōu)良情況與新舊技術(shù)有關(guān)？優(yōu)品良品合計舊技術(shù)新技術(shù)合計16附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，..0.1000.0500.0250.0052.7063.8415.0247.879【答案】(1)910(2)列聯(lián)表見解析；能認(rèn)為電子元件的優(yōu)良情況與新舊技術(shù)有關(guān).【來源】山東省實驗中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）先根據(jù)正態(tài)分布的特點求，再估計元件的個數(shù).（2）結(jié)合概率的意義完成列聯(lián)表，計算，即可進(jìn)行判斷.【詳解】（1）由題意，舊技術(shù)生產(chǎn)的電子元件的電壓測量值，所以.所以舊技術(shù)生產(chǎn)的40000個電子元件中電壓測量值高于3.88V的估計有：個.（2）因為新技術(shù)生產(chǎn)電子元件優(yōu)品的概率為，則新技術(shù)生產(chǎn)的40個樣本元件中優(yōu)品數(shù)為：，良品數(shù)為：；則舊技術(shù)生產(chǎn)的元件良品數(shù)為：，優(yōu)品數(shù)為：，完成列聯(lián)表如下：優(yōu)品良品合計舊技術(shù)281240新技術(shù)36440合計641680所以，因為，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認(rèn)為電子元件的優(yōu)良情況與新舊技術(shù)有關(guān).【名校預(yù)測·第五題】（遼寧省東北育才中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾科夫而得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)．已知有A，B兩個盒子，各裝有1個黑球、1個黃球和1個紅球，現(xiàn)從A，B兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記A盒子中紅球的個數(shù)為，恰有1個紅球的概率為，恰有2個紅球的概率為．(1)求，的值；(2)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(3)求的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，(2)證明見解析，(3)【分析】（1）根據(jù)題意可得A盒子中沒有紅球的概率為，進(jìn)而根據(jù)規(guī)則求解即可；（2）由題意可得，整理可得，進(jìn)而求證，再求解的通項公式；（3）由題意可得,，整理可得，進(jìn)而求解的分布列，再計算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由題意，A盒子中沒有紅球的概率為，則，，，.（2）因為，，，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即.（3）當(dāng)，時，,①,②由①②得，，又，所以，則，的可能取值為0，1，2，則，，，則的分布列為：012所以.【名校預(yù)測·第六題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題（難度系數(shù)較低的類問題以及難度系數(shù)較高的類問題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題．甲遇到每類問題的概率均為，甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記2分，否則記0分，總得分記為X分，甲回答每個問題相互獨立．(1)當(dāng)進(jìn)行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(2)設(shè)甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為n分的概率為．（?。┳C明：為等比數(shù)列．（ⅱ）求的最大值以及對應(yīng)n的值．【答案】(1)分布列見解析，1(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）當(dāng)時，取到最大值為【來源】重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分別求解概率即可得分布列和期望；（2）（?。└鶕?jù)等比數(shù)列的定義證明即可；由（ⅰ）可證為等比數(shù)列，可得，結(jié)合不等式的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）X可以取0，1，2，3，4，每次回答A類問題且回答正確的概率為，回答A類問題且回答不正確的概率為，每次回答B(yǎng)類問題且回答正確的概率為，回答B(yǎng)類問題且回答不正確的概率為，，，，；，X的分布列為：X01234P；（2）（?。?，由題意得甲累計得分為n分的前一輪得分只能為分或分，故當(dāng)時，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（ⅱ）根據(jù)（?。┛芍?，①，易得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以②，令②－①可得，所以，經(jīng)檢驗，時均滿足上式，故，所以，而顯然隨著n的增大而減小，故，又因為，所以當(dāng)時，取到最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是深入理解游戲得分的規(guī)則，找出累計得分分與分，分之間的概率遞推關(guān)系，從而得到與，的關(guān)系式.【名師押題·第一題】某運動員為了解自己的運動技能水平，記錄了自己1000次訓(xùn)練情況并將成績（滿分100分）統(tǒng)計如下表所示.成績區(qū)間頻數(shù)100200300240160(1)求上表中成績的平均值及上四分位數(shù)（同一區(qū)間中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值為代表）；(2)該運動員用分層抽樣的方式從的訓(xùn)練成績中隨機抽取了6次成績，再從這6次成績中隨機選2次，設(shè)成績落在區(qū)間的次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)對這1000次訓(xùn)練記錄分析后，發(fā)現(xiàn)某項動作可以優(yōu)化.優(yōu)化成功后，原低于80分的成績可以提高10分，原高于80分的無影響，優(yōu)化失敗則原成績會降低10分，已知該運動員優(yōu)化動作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績標(biāo)準(zhǔn)是80分.用樣本估計總體的方法，求使得入圍的可能性變大時p的取值范圍.【答案】(1)平均值為，上四分位數(shù)為；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(3).【分析】（1）根據(jù)平均值計算公式和上四分位數(shù)計算方法即可得到答案；（2）寫出的可能取值，再分別計算出其分布列，最后再利用數(shù)學(xué)期望公式即可；（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率計算公式得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得到不等式，解出即可；法二：根據(jù)比例法得到相關(guān)概率表達(dá)式，解出不等式即可.【詳解】（1）依題意，平均值，，上四分位數(shù)落在區(qū)間，且等于.（2）由樣本數(shù)