2021年河北省高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（一）

2021年河北省高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（一）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

(5分)已知集合川={.日弓..()},B={xeN\x^2],則明^=(

1.)

A.(-a>,-2)B.S,-2)|J[1，2)C.{1,2}D.{0,1,2}

滿足z=2七,則|z|=(

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z)

3+Z

A&

A.——B.N/2c.BD.75

22

3.（5分）己知單位向量■,5滿足|5-2%|=\/5,則dB=（)

A.--B.-2C.-D.2

22

4.(5分)已知sin(a-卜—)=,則cos(a-

123加）

B網(wǎng)D.國(guó)

A.---c.B

3333

,坐券在「3,3］上的大致圖象為（

5.(5分)函數(shù)/3)=)

2，

6.（5分）已知雙曲線0?叱。）的離心率為八若一卮洞，則0的焦點(diǎn)

到一條漸近線的距離的取值范圍為（）

A.（I,3及）B.（a,+oo）C.（2x/2,372）D.（夜，3夜）

7.（5分）數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們

的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，"開(kāi)設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)

學(xué)通史”，“幾何原本”，“葉么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3

門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

8.（5分）已知函數(shù)/（x）=x+——,若正實(shí)數(shù)〃滿足-9）+/（2〃）=2,則工■+■!■的

1+eKmn

最小值為（）

A.8B.4C.-D.-

39

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.（5分）下列四個(gè)條件中，能成為的充分不必要條件的是（）

A.xc2>yc2B.—<—<0C.|x|>|y|D.Inx>Iny

xy

10.（5分）空氣質(zhì)量指數(shù)人Q/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：

八。/指數(shù)值0?5051?100101?150151-200201?300>300

空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

為監(jiān)測(cè)某化工廠排放廢氣對(duì)周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在校內(nèi)測(cè)得10月1

日-20口AQ1指數(shù)的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如圖：下列敘述不正確的是（）

A.這20天中AQ1指數(shù)值的中位數(shù)略大于150

B.這2（）天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占,

4

C.10月4日到1（）月II日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好

D.總體來(lái)說(shuō)，10月中旬的空氣質(zhì)量比上旬的空氣質(zhì)量好

II.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=2x/5sinxcosx-2sin2x,則下列關(guān)于函數(shù)/*）的說(shuō)法正確的是（

）

A.最小正周期為2乃

B.八幻的圖象關(guān)于直線］=空對(duì)稱

3

C./（X）在（一工，）上單調(diào)遞減

36

D.當(dāng)X€[0,〃）時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇0,I],則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（工,工]

63

12.（5分）如圖I,在正方形/43C。中，點(diǎn)E為線段4c上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿

比翻折，使得二面角為直二面角，得到圖2所示的四棱錐8-AECO,點(diǎn)/為

線段8。上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則在四棱錐8-AECQ中，下列說(shuō)法正確的有（）

A.B、E、C、尸四點(diǎn)不共面

B.存在點(diǎn)尸，使得CF//平面84￡

C.三棱錐8-ADC的體積為定值

D.存在點(diǎn)K使得直線與直線C。垂直

三、填空題：本大題有4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.

13.（5分）已知數(shù)列｛?”｝的首項(xiàng)q=■!?,?n+,=1--,則%）＞[=____.

2a?

14.（5分）二項(xiàng)式（3X+2）6（〃GN*）的展開(kāi)式中產(chǎn)的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

x

15.（5分）如圖，在A4BC中，4B=8,BC+AC=\2,分別取三邊的中點(diǎn)O,E,F,

將ABQ￡,MDF,ACE”分別沿三條中位線折起，使得A,B,C重合于點(diǎn)P,則當(dāng)三

棱錐尸的外接球的體枳最小時(shí)，其外接球的半徑為一，三楂錐尸-。石尸的體積

為.

16.（5分）如圖，拋物線C:/=4），的焦點(diǎn)為F,戶為拋物線。在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，拋

物線。在點(diǎn)?處的切線尸例與圓尸相切（切點(diǎn)為M）且交了軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作圓尸的另

一條切線PN（切點(diǎn)為N）交y軸于T點(diǎn).若己知|FQ|=|Q|,則|口|的最小值為一.

四、解答題：本大題有6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)在①asin(A+C)=Z?8s(A-K),②l+2cosCcos8=cos(C-8)-cos(C+8),

6

③」tang,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線上并作答.

tanA+tanBc

問(wèn)題：在AA8C中，內(nèi)角4,B，C的對(duì)邊分別為a,8,c,且b+c=2V5,。=瓜，—.求

MBC的面積.

18.(12分)已知數(shù)列伍“｝滿足4,a“+]-+2?r+M=0(〃eN*).

(1)證明：數(shù)列｛'｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

%

(2)設(shè)S”為數(shù)列他/川｝的前〃項(xiàng)和，證明S”<；.

19.(12分)如圖，在五面體/WCOE尸中，四邊形ABCQ是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//BCf

EF=2,CE=DE,CELDE,平面COE_L平面人BCD.

(1)求證：OE_L平面EF8C；

(2)求二面角A-Hb-C的余弦值.

2222

20.(12分)橢圓。:*+營(yíng)=1(〃>〃>0)與橢圓￡噌+『1有共同的焦點(diǎn)，且橢圓C的

離心率■=1.點(diǎn)M、/分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)/且交橢圓。于尸，

2

Q兩點(diǎn)，設(shè)直線MP,的斜率分別為占，k2.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在直線/,使得4+&=—：,若存在，求出直線/方程；不存在，說(shuō)明理由.

21.(12分)下圍棋既鍛煉思維乂愉悅身心，有益培養(yǎng)人的耐心和細(xì)心，舒緩大腦并讓其得

到充分休息.現(xiàn)某學(xué)校圍棋社團(tuán)為豐富學(xué)生的課余生活，舉行圍棋大賽，要求每班選派一名

圍棋愛(ài)好者參賽.現(xiàn)某班有12位圍棋愛(ài)好者，經(jīng)商議決定采取單循環(huán)方式進(jìn)行比賽，(規(guī)則

采用“中國(guó)數(shù)目法”，沒(méi)有和棋.)即每人進(jìn)行11輪比賽，最后靠積分選出第一名去參加校

級(jí)比賽.積分規(guī)則如卜(每輪比賽采取5局3勝制，比賽結(jié)束時(shí)，取勝者可能會(huì)出現(xiàn)3:0,

3:1,3:2三種賽式).

3:0或3:13:2

勝者積分3分2分

負(fù)者積分0分1分

9輪過(guò)后，積分榜上的前兩名分別為甲和乙，甲累計(jì)積分26分，乙累計(jì)積分22分.第1()

輪甲和內(nèi)比賽，設(shè)每局比賽中取勝的概率均為工，內(nèi)獲勝的概率為,，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)

33

立.

(1)(i)在第10輪比賽中，甲所得積分為X,求X的分布列；

(ii)求第10輪結(jié)束后，甲的累計(jì)積分丫的期望；

(2)已知第10輪乙得3分，判斷甲能否提前一輪獲得累計(jì)積分第一，結(jié)束比賽.(”提

前一輪”即比賽進(jìn)行10輪就結(jié)束，最后一輪即第11輪無(wú)論乙得分結(jié)果如何，甲累計(jì)積分最

多)？若能，求出相應(yīng)的概率：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=/〃(x+l)----+1.

JV+1

(1)求函數(shù)/(用的極值；

(2)(i)當(dāng)x>0時(shí)，/*)>()恒成立，求正整數(shù)k的最大值；

n(2---)

(ii)證明：(1+1x2)(1+2x3)...[1+n(n+1)1>n+,?

2021年河北省高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（一）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合4={."丹8={xwN|x,2},則/l「p=()

A.(—co,-2)B.(—,-2)|JU，2)C.{1，2}D.{0,1,2}

【解答】解：集合A={x|己—..0}={x|工＜一2或工.1},又8={]€二果,2},

x+2

所以哨4={1,2}.

故選：C.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足2=紀(jì)

，則|z|=()

3+Z

A,顯B.x/2D.75

2

【解答】解：.出=（2+i）（3i）=ZH

3+i101()

所以|z|=[.

故選：A.

3.（5分）已知單位向量a，5滿足|6一2〃|=布，貝ijd6=（)

A.B.-2cID.2

【解答】解：因?yàn)閨訓(xùn)=|向=1,出一2初=6,

兩邊同時(shí)平方得，b2+4a2-4ab=3,

故G5=工.

2

故選：C.

一半，則cos(a

4.(5分)已知sin(a+=)=卻)

12

A..立_V6C.@76

B.D.

3333

【解答】解：因?yàn)閟inS+企-日，

則cos(a--)=cos[(cr+—)--]=sin(a+—)=.逅

12122123

故選：B.

?i

C.

▼g比、煌?r,、（-A）3COS（-X）VCOSX...

【解答】解：/（-x）=--------------=——--=-f（x）,

e1

則函數(shù)〃x）為奇函數(shù)，故排除C；

又因?yàn)?（1）=您1<］，故排除A,D；

e2

故選：B.

22

6.（5分）已知雙曲線C:土-1=1（8>0）的離心率為e,若ec（布,M）,則C的焦點(diǎn)

2b-

到一條漸近線的距離的取值范闈為（）

A.（1,3&）B.（&,+oo）C.（2貶，3&）D.（夜，3&）

【解答】解：雙曲線。:匕一￡=19>0）的離心率為e,可得e=￡=Q￥-￡（后，而），

2lraV2

解得。e（2&,3及），

。的焦點(diǎn)（±42+從,0）到一條漸近線區(qū)+^y=0的距離：+6*

S

則。的焦點(diǎn)到?條漸近線的距離的取值范圍為〃e（2夜，3夜），

故選：C.

7.（5分）數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們

的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)

學(xué)通史”，“幾何原本”，“葉么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3

門，大?到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有()

A.60種B.78種C.84種D.144種

【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將4四門選修課程分為3組，

若分為2、1、1的三組，有C：=6種分組方法，

若分為2、2、0的三組，有三=3種分組方法，

若分為3、1、0的三組，有C：=4種分組方法

則一共有6+3+4=13種分組方法，

②將分好的三組安排在三年內(nèi)選修，有用=6種情況，

13x6=78種選修方式,

故選：B.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=x+=J,若正實(shí)數(shù)〃?、〃滿足/(〃?—9)+/(2〃)=2,則上+上的

1+exmn

最小值為()

QQ

A.8B.4C.-D.-

39

【解答】解：函數(shù)〃x)=x+M—,

I+e

2

所以f(-x)=-x+---,

1+e~x

所以f(x)+/(-%)=2.

由于函數(shù)/(x)=x+二一在定義域上單調(diào)遞增，

1+―

故正實(shí)數(shù)〃?、〃滿足+/(2/z)=2,

故9一〃?=2n，

所以，〃+2〃=9,

所以2+1=4?(〃?+2/1)(—+—)=-(4+—+—J-x(4+24)=-(當(dāng)且僅當(dāng)買〃?=2〃時(shí)，

mn9mn9inn99

等號(hào)成立).

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得3分.

9.(5分)下列四個(gè)條件中，能成為%>>，的充分不必要條件的是()

,,11

A.xc'>yc~B.—<—<0C.|x|>|y|D.Inx>Iny

工y

【解答】解：選項(xiàng)A：若XT〉聲?,則。2工。，則%>)，,

反之.V>y?當(dāng)c=0時(shí)得不出AC2>yc2,

xc2>yc2是x>y的充分不必要條件，故選項(xiàng)A正確：

選項(xiàng)B：由，<上<0可得y<xvO,即能推出x>v,

但不能推出(因?yàn)?,y的正負(fù)不確定)，

xy

所以是X>y的充分不不要條件，故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C:由|x|>|)|可得f>)?,則(x+y)(x_y)>0,不能推出x>y,

由也不能推出(如x=l,y=-2),

所以I幻>|用是x>)，的既不充分又不必要條件，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

選項(xiàng)。：若Inx>Iny,則尤>y,反之x>y得不出/心〉/〃>，

所以htx>Iny是.￥>y的充分不不要條件，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

A.這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略大于150

B.這20天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占;

C.10月4日到10月II日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好

D.總體來(lái)說(shuō)，10月中旬的空氣質(zhì)量比上旬的空氣質(zhì)量好

【解答】解：對(duì)于4,由折線圖知100以上的數(shù)據(jù)有10個(gè)，100以下的數(shù)據(jù)有10個(gè)，中位

數(shù)是100兩邊兩個(gè)數(shù)的均值，觀察比100大的數(shù)離100遠(yuǎn)點(diǎn)，因此兩者均值大于100但小于

150,所以A錯(cuò)誤；

時(shí)于8,20天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的有5天，占工，所以8正確：

4

對(duì)于C，10月4口到10月11口，空氣質(zhì)量是越來(lái)越差，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，10月上旬的空氣質(zhì)量4Q/指數(shù)值在100以下的多，中旬的空氣質(zhì)量AQ/指數(shù)值在

100以上的多，上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，所以。錯(cuò)誤.

故選：ACD.

11.（5分）設(shè)函數(shù)/（力=2百sinxcosx—Zsiifx,則下列關(guān)于函數(shù)/3）的說(shuō)法正確的是（

）

A.最小正周期為2乃

B.八幻的圖象關(guān)于直線4=與對(duì)稱

C./3）在（一々馬上單調(diào)遞減

36

D.當(dāng)xe[0,“）時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇0,1],則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（工3]

63

【解答】解：/（x）=2\/5sinxcosx-2sin2x=5/5sin2x+cos2x-l=2sin（2x+工）-1,

6

A:7=4,A錯(cuò)誤；

B：由于/（至）=-3為函數(shù)的最小值，故8正確；

3

C：xe（」,馬時(shí),2x+-€（--,-）,/（幻單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤;

36622

D-./（0）=0,且當(dāng)2x+工=工，即丫=巳時(shí)，函數(shù)取得最大值I,

626

由對(duì)稱性知/（0）=/（y）=0，

故ae（工，勺，Q正確.

63

故選：BD.

12.（5分）如圖1,在正方形AACQ中，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將A/$￡沿

在翻折，使得二面角8-隹-。為直二面角，得到圖2所示的四楂錐8-AECQ,點(diǎn)尸為

線段8。上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則在四棱錐B-AECO中，下列說(shuō)法正確的有（）

A.B、E、C、尸四點(diǎn)不共面

B.存在點(diǎn)F,使得CF//平面84E

C.三棱錐8-AOC的體積為定值

D.存在點(diǎn)E使得直線4E與直線CQ垂直

【解答】解：對(duì)于A：假設(shè)直線BE與直線C尸在同一平面上，所以：點(diǎn)E在平面8CF上,

又點(diǎn)E在線段8c上，8CC平面8C/=C,

所以點(diǎn)方與點(diǎn)C重合，與點(diǎn)E異于。矛盾，

所以直線BE與C”必不在同一平面上，即8、E、C、尸四點(diǎn)不共面，故A正確；

對(duì)于8：當(dāng)點(diǎn)/為線段質(zhì)＞的中點(diǎn)時(shí)，EC=-AD,再取AB的中點(diǎn)G,

2

則EC///G,且ECn/G,

所以：四邊形ECFQ為平行四邊形，

所以FC//EG,

則：直線C尸//平面的，故8正確；

對(duì)于C：由題匕_**，但七的移動(dòng)會(huì)導(dǎo)致點(diǎn)4到平面AC。的距離在變化，所以匕th的體

積不是定值，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：過(guò)點(diǎn)8作外。，AE于。，

由于平面44石JL平面AECD,平面朋EC平面AECD=AE,

所以80d.平面AECD,

過(guò)點(diǎn)。作。于"，因?yàn)槠矫鍷4E_L平面AECO.

平面HAEC平面AECD=AE,

所以加/!.平面孫孫

所以

若存在點(diǎn)E使得直線BE與直線CD垂直，DHu平面AECD,

所以8E_L平面AEC。，

所以E和。重合，與A鉆E是以點(diǎn)8為直角的三角形矛盾，

所以不存在點(diǎn)E,使得直線AE與直線C。垂直，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

三、填空題：本大題有4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.

13.（5分）已知數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)4=■!?,?,,+|=1-—?則為PI=—-1—.

24

【解答】解：Tai=2，fl,1+1=1-—,

2

cI

??=-f1,4?=2,=3,???，

.??數(shù)列｛對(duì)｝是周期為3的數(shù)列，

二?生021=聯(lián)3+2j-，

故答案為：-1.

14.（5分）二項(xiàng)式（3X+2）"〃CN*）的展開(kāi)式中f的系數(shù)為4860.（用數(shù)字作答）

x

【解答】解：二項(xiàng)式（3X+2）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為工產(chǎn)C：?（3x產(chǎn)?（知=G?36,2r/-2r,

XX

廠=0,19.?.6,

令6-2〃=2,求得r=2,故開(kāi)式中含Y項(xiàng)系數(shù)為C>3、2?=4860,

故答案為：4860.

15.（5分）如圖，在AABC中，AB=8,BC+AC=\2,分別取三邊的中點(diǎn)O,E,F,

將MZM,MDF,ACE"分別沿三條中位線折起，使得A,B,C重合于點(diǎn)P,則當(dāng)三

棱錐P-0比'的外接球的體積最小時(shí)，其外接球的半徑為建,三棱錐P-OW的體

—2—

積為

【解答】解：由題意可知三棱錐2-￡>￡尸的對(duì)棱分別相等，設(shè)8C=2a,則AC=12-2〃,

將三棱錐尸-。石尸補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則面對(duì)角線長(zhǎng)度分別為：a,6—a,4,

三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球,

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為：x,y?z,則y2+z2=（6-a）2,x2+z2=16.

所以丁+）,2+22=。2一6。+26,所以外接球的半徑為：,="2+,+'=&-64+26

.22

當(dāng)〃=3時(shí)，外接球半徑取得最小值，外接球的體積取得最小值，

r=~~~?解得x=z=2\/^,_y=1,

所以三棱錐的體積為：2、Ex2x/5xl-4x』x』x2x/5x275xl=C.

323

故答案為：斗小

16.（5分）如圖，拋物線C:/=45，的焦點(diǎn)為F,戶為拋物線。在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，拋

物線。在點(diǎn)戶處的切線尸M與圓尸相切（切點(diǎn)為M）旦交），軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作圓尸的另

一條切線PN（切點(diǎn)為N）交），軸于丁點(diǎn).若已知|FQ|=|FP|,貝的最小值為

【解答】解：拋物線C：x=4），的焦點(diǎn)為F（O.l）,準(zhǔn)線方程為y=-l,

設(shè)P（2f/），由|尸。|=|尸尸|,即為「％=產(chǎn)+1,

則。（0,--），

拋物線）,=《，可得y=_Lx,所以儲(chǔ)=/,

42

不妨設(shè)NA2P=6,則tane=-,

t

/NTF=ZTFP+ZTPF=28+8=3。，

在甌FT中,由正弦定理可得|口|』"Eno=廠+1

sin303-4sin2O

_(r+\)(sin20+cos20)_(r+1)(〃〃M+1)(r+1)2

3cos2-sin183THM-3r2-l，

所以/q7>=3。<江，所以。vg,

所以lan夕<6，S|J3/:-1>0,

所以翳[(3產(chǎn)-l)+473/—1168

9(3/2-l)-9+9(3/2-1)+9

當(dāng)且僅當(dāng)3/—1=4,

即「=|時(shí)，|初加"吟?

故答案為：約.

9

四、解答題：本大題有6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)在①asin(A+C)=〃cos(人一馬，②l+2cosCcos8=cos(C-B)-cos(C+B),

6

③2tanB這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線上并作答.

tanA+tanBc

問(wèn)題：在AABC中，內(nèi)角4,B>C的對(duì)邊分別為a>/??<?,AZ?+c=2x/3，(1=瓜，___.求

MBC的面積.

【解答】解:選①asin(A+C)=〃cos(A-馬，

由正弦定理得sinAsinB=sinBcos(A-—),

因?yàn)?<3<乃，

所以sinA=cos(A--)=—cosA+—sinA,

622

即cos(A+—)=0，

因?yàn)镺vA<TT,

所以A」，

3

因?yàn)閍?十c?一〃。,〃+C=2\/5,a=>/6?

所以be=2，

1..1r.7T

所以S*—besinA4=—x2xsin—G

223V

選②因?yàn)?+2cosCcosB=cos(C-B)-cos(C+B),

所以1+2cosCcosB-cos(C-3)+cos(C+8)=0,

整理得cosA=」

2

因?yàn)?<4（產(chǎn),

所以4=弓，

3

因?yàn)?=尸+c?—力c，b+c=243,a=瓜,

所以加=2,

1...7T

所以幾詠—A?csin/tA=—x2xsin—G

223V

選③2tan3」

tanA+tixnBc

2tanBsinB

由正弦定理得,

tanA+IanBsinC

2sinB

sinB

所以cos/?

sinA+sinBsinC'

cosAcosB

2sinBcosAsinB

所以

sinCsinC

因?yàn)閟inBwO,sinCwO,

所以cosA=一,

2

因?yàn)?w(0,;r),所以A=C,

3

因?yàn)閍?+c，—“c,Z?+c=2x/3?a=瓜，

所以尻=2，

=i^inA=lx2xsin^=^

所以小c

2232

18.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足4=；,%-+2。“+/“=0(〃eN*).

（1）證明：數(shù)列｛'｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)50為數(shù)列（《四+J的前〃項(xiàng)和，證明S〃<J

【解答】證明：⑴,??數(shù)列｛%｝滿足4=g,%+]-%+24+凡=0(〃eN*).

11c

二.---------=2?

%4

??.數(shù)列｛'｝是等差數(shù)列，公差為2,首項(xiàng)為2,

可

/.—=2+2(〃-1)=2n,解得a=—.

42〃

(2)a/%=---------=—(-------),

2〃?2(〃+1)4nn+I

cIZ11I11?、"Ix1

"4223nn+\4〃+l4

19.(12分)如圖，在五面體ABCOE尸中，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//BCf

EF=2,CE=DE,CELDE,平面COE1.平面八BCD.

(1)求證：D￡：J_平面EFBC；

(2)求二面角A-8b-C的余弦俏.

【解答】(1)證明：因?yàn)槠矫鍯DE1平面ABCD,平面CDEC平面ABCD=CD,且K(D

BCu平面ABCD,

所以8cl平面CQE,又因?yàn)镺Eu平面COE,所以4C_LOE,

因?yàn)镃E_LOE,BC^\CE=C,BC,CEu平面EPBC,

所以O(shè)E_L平面

(2)解：取C。，A8的中O,P,連結(jié)EO,OP,

因?yàn)槠矫鍯DE±平面ABCD,'CDE為等腰直角三角形，

所以EO_L平面人8cO,則OP,OC,OE三條直線兩兩垂直，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(4,-2,0),5(4,2,0),C(0,2,0),D(0,-2,0),E(0,0,2),F(2,0,

2),

所以麗=(0,4,0),FB=(2,2,-2),

設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),

n-AB=4y=0

則有?

n-FB=2x+2y-2z=0

令_r=l,貝=z=l,故歷=(1,0,1),

ftl(1)可知，小，平面夕'8。，

所以平面8尸C的法向量屁=(0,2,2),

所以cos<zi,DE>='DE.=廠2__=—,

I?||DE|V2x2x/22

由圖可知，二面角A-4/為鈍角，

所以二面角A-BF-C的余弦值為-'.

2222

20.（12分）橢圓C:「+與=l（a>>0）與橢圓E:工+工=1有共同的焦點(diǎn)，且橢圓。的

a2b22524

離心率e.點(diǎn)加、尸分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)/且交橢圓。于尸，

2

Q兩點(diǎn)，設(shè)直線M。，MQ的斜率分別為占，k2.

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在直線/,使得4+&=—5,若存在，求出直線/方程；不存在，說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）由題可知c=l,目0=￡=,，所以a=2.則/=3.

a2

所以橢圓的方程為：—+^-=1;

43

（2）由（1）可得：橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1.0）,左頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,

假設(shè)存在直線/,滿足《十冬二-4，

若直線/的斜率不存在時(shí)，4+&=0,不合題意，舍去,

y=k(x-I)

所以可設(shè)直線/的方程為：y=k(x-1),聯(lián)立方程＞t2

消去y整理可得：(3+4爐)/-8公4+4公—12=0,設(shè)P5,y),Q(x2,y2),

J13+4/'也3+叱

貝IJK+&=/一+/一_k(x\-I)+“G-I)_卜2-(/+G)-4

內(nèi)+2X2+2$+2x2+2x1x2+2(X]+.)+4

4公-12弘2

+_/8/一24+8公一4(3+4及2)

4k2-\2\8公，4k2-12+16^+4(3+4/)

3+4/3+4公

所以A=4,

36k2k4

所以直線/的方程為：y=4(,v-1),即4x-y-4=0,

綜上，存在直線1:4x-y-4=0,滿足《+&=—；.

21.(12分)下圍棋既鍛煤思維乂愉悅身心，有益培養(yǎng)人的耐心和細(xì)心，舒緩大腦并讓其得

到充分休息.現(xiàn)某學(xué)校圍棋社團(tuán)為豐富學(xué)生的課余生活，舉行圍棋大賽，要求每班選派一名

圍棋愛(ài)好者參賽.現(xiàn)某班有12位圍棋愛(ài)好者，經(jīng)商議決定采取單循環(huán)方式進(jìn)行比賽，(規(guī)則

采用“中國(guó)數(shù)目法”，沒(méi)有和棋.)即每人進(jìn)行11輪比賽，最后靠積分選出第一名去參加校

級(jí)比賽.積分規(guī)則如下(每輪比賽采取5局3勝制，比賽結(jié)束時(shí)，取勝者可能會(huì)出現(xiàn)3:0,

3:1,3:2三種賽式).

3:0或3:13:2

勝者積分3分2分

負(fù)者積分0分1分

9輪過(guò)后，積分榜上的前兩名分別為甲和乙，甲累計(jì)枳分26分，乙累計(jì)積分22分.第10

輪甲和丙比賽，設(shè)每局比賽甲取勝的概率均為:，丙獲勝的概率%各局比賽結(jié)果相互獨(dú)

立.

(I)(i)在第1()輪比賽中，甲所得積分為X,求X的分布列；

(ii)求第10輪結(jié)束后，甲的累計(jì)積分丫的期望；

(2)己知第10輪乙得3分，判斷甲能否提前一輪獲得累計(jì)枳分第一，結(jié)束比賽.(”提

前一輪”即比賽進(jìn)行10輪就結(jié)束，最后一輪即第11輪無(wú)論乙得分結(jié)果如何，甲累計(jì)積分最

多)？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)(1)X的可能取值為3,2,1,0,

P(X=3)=(|)3+C^(|)2(1-1)X|=^,

JJDJ乙/

P(X=2)=CJ(|)2(1-1)2X^=^,

33381

P(x=DY守。管哈

2。21

P(X=O)=(l--)3+C；x-x(l--)3=-,

3339

所以X的分布列為：

X32