2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：二次函數(shù)

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：二次函數(shù)（10

題）

一.填空題（共10小題）

1.（2021?遵義）拋物線b,c為常數(shù)，a>0）經(jīng)過（0,0）,（4,0）兩點(diǎn).則

下列四個(gè)結(jié)論正確的有（填寫序號(hào)）.

?4?+Z?=0；

②5a+3〃+2c>0：

③若該拋物線y=a^bx+c與直線尸-3有交點(diǎn)，則a的取值范圍是心*

④對(duì)于a的每一個(gè)確定值，如果一元二次方程o?+-+c-f=0（/為常數(shù)，，W0）的根為

整數(shù)，則，的值只有3個(gè).

2.（2021?黔東南州）如圖,二次函數(shù)>，=〃/+加?+仃（“W0）的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1.2：,目

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為XI、X2，其中?IVxiVO,IVx2V2,下列結(jié)論：①〃Ac>0；

②2a+bV0；③4a-2/?+c>0：④當(dāng)x=〃z（1<m<2）時(shí)，am2+bni<2-c；⑤人>1,其中

正確的有.（填寫正確的序號(hào)）

3.（2021?南關(guān)區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=-2■.&必交工軸正半

2

軸于點(diǎn)4,點(diǎn)3是），軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)4關(guān)于點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)C恰好落在拋物線上，過

點(diǎn)。作x軸的點(diǎn)D,連結(jié)OC、AI）.若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2,則四邊形OCDA的面積

為.

4.（2021?青島模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，拋物線y=x（x-5）（0WxW5）的

圖象記作V，它與x軸的交于點(diǎn)O,川，將戶繞xi旋轉(zhuǎn)180°得到”，）2與x軸相交于

點(diǎn)用，應(yīng)，將）2繞點(diǎn)工2旋轉(zhuǎn)180°得到”，戶與x軸相交于X2,冷；…，按照這個(gè)規(guī)律

在X軸上依次得到點(diǎn)X!,X2，X3,…，切，以及拋物線V，）加，則點(diǎn)X6的坐

標(biāo)為；知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（〃為正整數(shù)，用含〃的代數(shù)式表示）.

5.（2021?濰坊）在直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)A（1,-2）,B（2,-2）,C（2,0）中恰有兩

點(diǎn)在拋物線），=??+歷-2（?>0且〃，人均為常數(shù)）的圖象上，則下列結(jié)論正確的

是.

A.拋物線的對(duì)稱軸是直線工=2

2

8.拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（■工，0）和（2,0）

2

C.當(dāng)/>?9時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程。*+班?2=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

4

D.若尸（〃?，〃）和Q（〃?+4,//）都是拋物線上的點(diǎn)且〃V0,則/>0

6.（2021?黃石模擬）拋物線.y-ar'+Z?x+c（4幺0）的對(duì)稱軸為直線x--2,與x軸的一個(gè)

交點(diǎn)在（-3,0）和（-4,0）之間，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①4a-力=0；

②cVO：③c>3a：④4"2〃>a*+初（，為實(shí)數(shù)）；⑤點(diǎn)（-3.5,yi）,（-2.5,”），（0.5,

戶）是該拋物線上的點(diǎn)，則"VyiV".其中，正確結(jié)論的是（填正確結(jié)論的序

號(hào)）.

7.(2021?廣西)如圖，已知點(diǎn)A(3,0),B(1,0),兩點(diǎn)C(-3,9),D(2,4)在拋

物線），=?上，向左或向右平移拋物線后，C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C',D'.當(dāng)四邊形

ABC1D'的周長最小時(shí)，拋物線的解析式為

8.（2021?城陽區(qū)一模）網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)為一服裝廠直

播代銷一種服裝（這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出

的由廠家負(fù)責(zé)處理）.銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)為250元時(shí)，日銷售量為40件，當(dāng)每件衣服

每下降10元時(shí)，日銷售量就會(huì)增加8件.已知每售出1件衣服，該平臺(tái)需支付廠家和其

它費(fèi)用共100元.設(shè)每件衣服化:價(jià)為x（元），該網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的口銷售量為y（件）.則下列

結(jié)論正確的是（填寫所有正確結(jié)論序號(hào)）.

?y與x的關(guān)系式是y=--x+240：

5

②1y與x的關(guān)系式是y=—x-160：

5

③設(shè)每天的利潤為W元，則W與x的關(guān)系式是W=-A20A--24000；

5x+32

④按照廠家規(guī)定，每件售價(jià)不得低丁210元，若該經(jīng)銷商想耍每天獲得最大利潤，當(dāng)每

件售價(jià)定為210元時(shí)，每天利潤最大，此時(shí)最大利潤為7920元.

9.（2021?臺(tái)州）以初速度I，（單位：〃心）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程

中，小球的高度/?（單位：加）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/（單位：s）之間的關(guān)系式是h=vt-

4.9Z2.現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為刃，經(jīng)過時(shí)間“落回地面，運(yùn)動(dòng)

過程中小球的最大高度為例（如圖I）;小球落地后，豎直向上彈起，初速度為V2,經(jīng)過

時(shí)間也落回地面，運(yùn)動(dòng)過程中小球的最大高度為例（如圖2）.若加=2m，則/I：tl

10.（2021?鹿城區(qū)模擬）某校購買了一套乒乓球桌和自動(dòng)發(fā)球機(jī)，側(cè)面如圖1所示，球臺(tái)長

度人8=2745?，發(fā)球機(jī)緊貼球臺(tái)端線點(diǎn)八處，高出球臺(tái)的部分人C=12。〃，出球管道CO

=5缶m,若將水平狀態(tài)的CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到CD的位置，發(fā)球機(jī)模式為“一

跳球”,路線呈拋物線，離球臺(tái)正中間的球網(wǎng)G"左側(cè)72cm處到達(dá)最高點(diǎn)高出臺(tái)面21?！?

則EB=cm.

2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練450題（填空題）：二次函數(shù)（10

題）

參考答案與試題解析

一.填空題（共10小題）

I.（2021?遵義）拋物線產(chǎn)/+版+（?（小〃，c為常數(shù),。>0）經(jīng)過（0,0）,（4,0）兩點(diǎn).則

下列四個(gè)結(jié)論正確的有（填寫序號(hào)）.

?4a+6=0；

②5。+3〃+2c>0；

③若該拋物線）=0?+辰+c與直線）,=-3有交點(diǎn)，則〃的取值范圍是

④對(duì)于〃的每一個(gè)確定值,如果一元二次方程〃F+6+「-f=0C為常數(shù),的根為

整數(shù)，則/的值只有3個(gè).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的

交點(diǎn)；根的判別式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；幾何直觀.

【分析】將（0,0）,（4,0）代入拋物線表達(dá)式，求出其解析式，得到系數(shù)之間的關(guān)系，

再分別討論每個(gè)問題.

【解答】解：將（0,0）,（4,0）代入拋物線表達(dá)式得（3°,

[16a+4b+c=0

得卜二°，

|b=-4a

二拋物線解析式為產(chǎn)--4ax.

①b=-4a,。+4〃=0,正確，

②5a+3〃+2c=5。-12a=-7m〃>（）,-7^<0,錯(cuò)誤.

③當(dāng)有交點(diǎn)時(shí)，or2-4ov=-3,即一元二次方程oj?-4ar+3=0有實(shí)數(shù)根，

△=16/-12。=。（13-12）20,

9：a>0,

???16a?1220,解得正確.

④一元二次方程可化為cv?-4ax-z=0,即拋物線y=ax2-4心與直線y=t（/為常數(shù)，/

$0）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)，橫坐標(biāo)可以為0，1，2,3,4,有3個(gè)I滿足，如圖,

故答案為①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系、用根的判別式求

取值范圍，借助數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

2.（2021?黔東南州）如圖，二次函數(shù)y=o?+Zu,+c（a#0）的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,且

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為川、X2,其中-I〈XI<0,1v.r2V2,下列結(jié)論：①岫?>0；

②2。+力<0；③4?-2/7+c>0；④當(dāng)（l<w<2）時(shí)，am2+bm<2-c；⑤〃>1,其中

正確的有②④⑤.（填寫正確的序號(hào)）

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的

交點(diǎn).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、與x軸、），軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及過特殊點(diǎn)時(shí)系

數(shù)。、氏C滿足的關(guān)系等知識(shí)進(jìn)行綜合判斷即可.

【解答】解：拋物線開口向下，4<0,對(duì)稱軸在），軸的右側(cè)，a、b異號(hào),因此〃>0,與

y軸的交點(diǎn)在正半軸，c>0，

所以。兒V0,故①錯(cuò)誤；

對(duì)稱軸在0?1之間，于是有0V-也VI,乂4<0,所以2〃+匕<0,故②正確；

2a

當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c<0,故③錯(cuò)誤；

當(dāng)(I<m<2)時(shí)，y=am2+bm+c<2,所以卬/+加2V2-c,故④正確；

當(dāng)x=-l時(shí)，y=a-b+c<0,當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c=2,所以-2bV-2,即力>1,故

⑤正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有：②④⑤，

故答案為：②④⑤.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，掌握拋物線的所處的

位置與系數(shù)〃、Ac?滿足的關(guān)系是正確判斷的前提.

3.(2021?南關(guān)區(qū)校級(jí)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=-尹交x軸正半

軸于點(diǎn)4,點(diǎn)B是)，軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)4關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)C恰好落在拋物線上，過

點(diǎn)C作x軸的點(diǎn)D,連結(jié)OC、AD.若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2,則四邊形OCD4的面積為

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)；坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】利用中心對(duì)稱的性質(zhì)得到4(2,0),則把A(2,0)代入y=-與+如求出〃?

2

得到拋物線解析式為)，=-孝+尤計(jì)算當(dāng)x=-2時(shí)的函數(shù)值得到C(-2,-4),接著

求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,從而得到。點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算四

邊形OCD4的面積.

【解答】解：???點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，

而點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2,

???A(2,0),

把A(2,0)代入y=-』」+必得-2+2〃?=。，解得〃I=1,

2

???拋物線解析式為)，=-孝+心

當(dāng)x=-2時(shí)，尸--l?+x=-2-2=-4,則C(-2,-4),

2

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-----L^=i，

2X(-1)

：.D(4,-4),

：,CD=4-(-2)=6,

；?四邊形OCD4的面積=2X(2+6)X4=16.

2

故答案為16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ad+歷:+c(〃，b,。是常數(shù)，

。工0)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)十x的一兀二次方程.也考查二次函數(shù)的性質(zhì).

4.(2021?青島模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系屹v中，拋物線y=x(x-5)(0WxW5)的

圖象記作戶，它與x軸的交于點(diǎn)。，河,將#繞內(nèi)旋轉(zhuǎn)180°得到”，＞2與x軸相交于

點(diǎn)明，心，將”繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到"，戶與x軸相交于屹，?；…，按照這個(gè)規(guī)律

在X軸上依次得到點(diǎn)K,X2,X3,…，Xn,以及拋物線丁1,”，戶，…，)加，則點(diǎn)X6的坐

標(biāo)為(30,0)；加的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5〃-互，(-10)〃?至)(〃為正整數(shù)，

24

用含〃的代數(shù)式表示).

【考點(diǎn)】規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與X

軸的交點(diǎn).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力：推理能力.

【分析】圖象進(jìn)行一次旋轉(zhuǎn)，橫坐標(biāo)向右移動(dòng)5個(gè)單位長度，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)

為負(fù)，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)為正，絕對(duì)值不變，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)加5.

【解答】解：令y=0,代入拋物線得：0=x(X-5),

解得x=0或x=5,

??㈤坐標(biāo)(5,0),

???也坐標(biāo)(10,0),

故x〃坐標(biāo)(5/7,0),

當(dāng)〃=6時(shí)，46坐標(biāo)為(30,0),

拋物線y=x(x-5)=/+5/=(JC+-1.)2-

???頂點(diǎn)V坐標(biāo)(-/號(hào))，

???頂點(diǎn)”坐標(biāo)(趣，爭

故頂點(diǎn)加坐標(biāo)(5/1-(-1)”?普).

故答案為(30,0),(5〃-區(qū)，(-1)〃?空).

24

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，解題關(guān)

鍵是抓住圖象在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)的變換規(guī)律進(jìn)行求解.

5.(2021?濰坊)在直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)A(1,-2),B(2,-2),C(2,0)中恰有兩

點(diǎn)在拋物線y=a^bx-2(a>0且a,b均為常數(shù))的圖象上，則下列結(jié)論正確的是

ACD.

A.拋物線的對(duì)稱軸是直線戈=2

2

從拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-工，0)和(2,0)

2

C.當(dāng)〉-9時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程a^bx-2=t有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

4

D.若P(m,Q和Q(〃?+4,/?)都是拋物線上的點(diǎn)且〃V0,則力>0

【考點(diǎn)】根的判別式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸

的交點(diǎn).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】利用待定系數(shù)法將各點(diǎn)坐標(biāo)兩兩組合代入y=a^+bx-2,求得拋物線解析式為

)，=f-x-2,再根據(jù)對(duì)稱軸直線A-=-也求解即可得到A選項(xiàng)是正確的；

2a

由拋物線解析式為y=』-x-2,令)，=0,求解即可得到拋物線與工軸的交點(diǎn)坐標(biāo)(-1,

0)和(2,0),從而判斷出8選項(xiàng)不正確；

令關(guān)于x的一元二次方程a^bx-2-r=0的根的判別式當(dāng)A>0,解得t>-9,從而得

4

到C選項(xiàng)正確；

根據(jù)拋物線圖象的性質(zhì)由〃<0,推出3<〃?+4<6,從而推出/?>0,得到。選項(xiàng)正確.

【解答】解：當(dāng)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)8時(shí)，

將A(1,-2)和8(2,-2)分別代入)，=/+法-2,

得(a+b-2=-2,解得卜:0,不符合題意；

4a+2b-2=-2Ib=0

當(dāng)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C時(shí)，

將B(2,-2)和。(2,0)分別代入)，=a?+bx-2.

得(4a+2b-2=-2,此時(shí)無解；

4a+2b-2=0

當(dāng)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C時(shí)，

將A(1.-2)和。(2.0)分別代入.2.

-=-=

得zp.1a+b22,解An得zpq.(a1,

4a+2b-2=0lb=-l

綜上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C,其解析式為y=』-x-2,

???拋物線的對(duì)?稱軸為直線x=-1-=2，

2X12

故A選項(xiàng)正確；

??萬=7?x?2=(x-2)(x+1),

/.XI=2,X2=-1，

???拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0)和(2,0),

故8選項(xiàng)不正確：

由ax^+bx-2=，得ax1^-bx-2-/=0,

方程根的判別式△=從-4.(-27),

當(dāng)4=1,方=-1時(shí)，A=9+4/,

當(dāng)A>0時(shí)，即9+4/>(),解得/>一2

4

此時(shí)關(guān)于x的一元二次方程ci^+bx-2=t有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故C選項(xiàng)正確；

???拋物線>，=f-x-2與x軸交于點(diǎn)(-1,0)和(2,0),且其圖象開口向上，

若P(〃?，n)和。(m+4,h)都是拋物線上y=/-.「2的點(diǎn)且/1V0,

?"VO,

，-\<rn<2,

.*.3<w+4<6?

??A=m+4>>'x=2，

即QO,

故。選項(xiàng)正確.

故答案為：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、根的判別式、二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可以數(shù)形結(jié)合根據(jù)題意畫出相關(guān)的草圖，充分掌握求二次函數(shù)的對(duì)稱

軸及交點(diǎn)坐標(biāo)的方法.

6.(2021?黃石模擬)拋物線y=av2+〃x+c(aRO)的對(duì)稱軸為直線x=-2,與x軸的一個(gè)

交點(diǎn)在(-3,0)和(-4,0)之間，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①4〃-人=0：

?r<0：③c>3〃：④4a-("為實(shí)數(shù))：⑤點(diǎn)(-3.5,>-|).(-2.5,y2).(0.5.

")是該拋物線上的點(diǎn)，則"VyiV》.其中，正確結(jié)論的是①②③(填正確結(jié)論

的序號(hào)).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的

交點(diǎn).

【專?題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【分析】由拋物線對(duì)稱軸為直線“=-微-=-2,可判斷①，由x=-4時(shí)yVO及拋物線

的對(duì)稱性可得x=0時(shí)y<0,可判斷②，由4=-3時(shí)y>0可得x=-1時(shí)y>0,可判斷

③，由拋物線對(duì)稱軸為直線x=-2可得4a-2/7+c2“P+初+c,可判斷④，由拋物線開口

向下及(-3.5,yi),(-2.5,(0.5,2)與對(duì)稱軸的距離可判斷⑤.

【解答】解：???拋物線對(duì)稱軸為直線l=-工=-2,

2a

***b—4。，

-b=0,①正確.

??"=-4時(shí)y<0,拋物線對(duì)稱軸為直線x=-2,

.??x=0時(shí)yVO,

.*.c<0,②正確.

Vx=-3時(shí)y>0,

.*.x=~1時(shí)y>0,即a-b+c=a-4a+c=-3a+c>0，

，c>3a,③正確.

,?”=-2時(shí))，取最大值，

-Ih+c^aP+bt+c,

.\4a-Ih^aP+bt,④錯(cuò)誤.

???拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x=-2,

???拋物線上距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的y值越大，

V-2.5-(-2)>-2-(-3.5)>0.5-(-2),

.*.y2>yi>y3.⑤錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握

二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

7.(2021?廣西)如圖，已知點(diǎn)A(3,0),B(1,0),兩點(diǎn)C(-3,9),D(2,4)在拋

物線)，=『上，向左或向右平移拋物線后，C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,D1.當(dāng)四邊形

ABC'D'的周長最小時(shí)，拋物線的解析式為『J-空)2.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)區(qū)象與幾何變換；二次函數(shù)的最值；

待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；軸對(duì)稱-最短路線問題.

【專題】函數(shù)的綜合應(yīng)用；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；應(yīng)用意識(shí).

【分析】過。、。作x軸平行線，作人關(guān)于直線)，=4的對(duì)稱點(diǎn)4,過/V作4七〃CO,且

A'E=CD,連接BE交直線y=9于C,過C作CD'//CD,交直線y=4于O',四邊形AECD

和四邊形CD'。。是平行四邊形，可得四邊形A'EC。'是平行四邊形，可證8E=BC+EC

=BC+AD,,BC+A。最小，最小值為BE的長度，故比時(shí)四邊形ABC'D1的周長最小，

求出4(3,8),E(-2,13),可得直線8E解析式為y=-g+W,從而C(-21,

3313

9),CC=--(-3)=至，故將拋物線)=/向右移至個(gè)單位后，四邊形ABC'

131313

。'的周長最小，即可得到答案.

【解答】解：過C、。作x軸平行線，作A關(guān)于直線)=4的對(duì)稱點(diǎn)過H作AE//C。,

且4E=CO,連接BE交直線y=9于C,過C作C〃〃CO,交直線y=4于Z7,如圖：

作圖可知：四邊形AEC。和四邊形CZ7OC是平行四邊形，

：,A'E//CD,CD,//CD,且A'E=CO,CD=CD,

:.CQ'ZM'E且CD'=A'E,

???四邊形4EC〃是平行四邊形，

：,AD=EC,

???A關(guān)于直線y=4的對(duì)稱點(diǎn)A,

：.AD'=A'D',

：.EC=AD\

???8E=8C+EC=8C+A￡r,即此時(shí)BC+AZ7轉(zhuǎn)化到一條直線上，8C+AD最小，最小值為

8E的長度，

而48、CQ為定值，

，此時(shí)四邊形ABC'D'的周長最小，

?:A(3,0)關(guān)于直線y=4的對(duì)稱點(diǎn)4,

???A'(3,8),

???四邊形A'EC。是平行四邊形，C（-3,9）,D（2,4）,

/.￡(-2,13),

設(shè)直線BE解析式為y=k.x+b,則］°=k+b

I13=-2k+b

???直線BE解析式為產(chǎn)-苧i+學(xué)，

令尸9得9=-衛(wèi)x+4

33

14■，

13

：.C(--il,9),

13

：,CC=?四?(-3)=空,

1313

即將拋物線），=』向右移個(gè)單位后，四邊形A8UD'的周長最小,

???此時(shí)拋物線為y=（x--1|）2,

故答案為：y=（x-空）2.

13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)背景下的平移、對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是作出圖形，求到C

的坐標(biāo).

8.（2021?城陽區(qū)一模）網(wǎng)絡(luò)銷售已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)為一服裝廠直

播代銷一種服裝（這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出

的由廠家負(fù)責(zé)處理）.銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)為250元時(shí)，口銷存量為4（）件，當(dāng)每件衣服

每下降10元時(shí)，日銷售量就會(huì)增加8件.已知每售出I件衣服，該平臺(tái)需支付廠家和其

它費(fèi)用共100元.設(shè)每件衣服售價(jià)為x（元），該網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的日銷售量為y（件）.則下列

結(jié)論正確的是①③④（填寫所有正確結(jié)論序號(hào)）.

①y與x的關(guān)系式是y=-*+240；

②y與A的關(guān)系式是y=—x-160；

5

③設(shè)每天的利潤為W元，則W與X的關(guān)系式是VV=-A2+320A-2400（）；

5x

④按照廠家規(guī)定，每件售價(jià)不得低于210元，若該經(jīng)銷商想要每天獲得最大利潤，當(dāng)每

件售價(jià)定為210元時(shí)，每天利潤最大，此時(shí)最大利潤為7920元.

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用：二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【分析】根據(jù)y=40+，8(2503，可對(duì)①②進(jìn)行判斷;

10

根據(jù)每天的利潤=每件服裝的利潤X銷售量可對(duì)③進(jìn)行判斷；

根據(jù)二次函數(shù)的最值可對(duì)④作出判斷.

【解答】解：Vy=4(H8^25Q~x^=-X+240,

105

???①正確，②錯(cuò)誤；

???卬=(x-100)(-X+240)=-A2+320x-24000；

55*

，③正確：

2

??"=(x-100)(-X+240)=-A2+320x-24000=-4(x-2(X))+80()(),

55*5

a=~3VO,每件售價(jià)不得低于210元，

5

所以當(dāng)x=210時(shí)，每天利潤最大是7920元，

???④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用.此題為

數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題.

9.(2021?臺(tái)州)以初速度y(單位：陽/s)從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程

中，小球的高度h(單位：相)與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/(單位：S)之間的關(guān)系式是h=vt-

4.9r.現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為刃，經(jīng)過時(shí)間。落回地面，運(yùn)動(dòng)

過程中小球的最大高度為加(如圖1)：小球落地后，豎直向上彈起，初速度為V2,經(jīng)過

時(shí)間&落回地面，運(yùn)動(dòng)過程中小球的最大高度為hi(如圖2).若加=2用，則/I：t2=

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；推理能力.

［分析］利用h=vt-4.9?，求出“，⑵再根據(jù)加=2力2，求出也=V2V2，可得結(jié)論.

222

V1VOV1V1-v9

【解答】解：由題意，h=——>12=—―?h\=hi=--------

4.94.9-4X4.94X4.9'-4X4.9

4X4.9,

???加=2比,

?，?0=加12，

t\:/2=VI：V2=V2：1，

故答案為：V2：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出力/2,證明力=加-2即可.

10.（2021?鹿城區(qū)模擬）某校購買了一套乒乓球桌和自動(dòng)發(fā)球機(jī)，側(cè)面如圖1所示，球臺(tái)長

度A8=274om發(fā)球機(jī)緊貼球臺(tái)端線點(diǎn)A處，高出球臺(tái)的部分AC=12o〃，出球管道CQ

=56m,若將水平狀態(tài)的CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到CD的位置，發(fā)球機(jī)模式為“一

跳球”,路線呈拋物線，離球臺(tái)正中間的球網(wǎng)G”左側(cè)12cm處到達(dá)最高點(diǎn)高出臺(tái)面21?！?

則EB=（209-30721）cm.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【分析】以AC為），軸，以月8為工軸，A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線最高點(diǎn)

為N,對(duì)稱軸MN與x軸交于M,則MN=2I,根據(jù)題意寫出拋物線解析式y(tǒng)=a(x-65)

2+21(aVO),然后通過旋轉(zhuǎn)求出坐標(biāo)，再把。'坐標(biāo)代入拋物線求出。，再令)，=0

解一元二次方程求出E對(duì)岸坐標(biāo)即可.

【解答】解：以AC為)，軸，以為x軸，A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)拋物線最高點(diǎn)為N,對(duì)稱軸MN與x軸交于M,則MN=21,

?"8=274,

???G”是A8止中間，

??.AH=XA8=137,

2

：,AM=AH?MH=137-72=65,

設(shè)拋物線為：(x-65)2+21(a<0),

過。'作O'P_Lx軸交CO于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)P,

則NCQ。'=NAPQ=90°,

???旋轉(zhuǎn)45°,

：?CD'=CD=5y/2,

CQ=DrQ=CD'cos/。'CD=5,

：,D'P=D'Q+PQ=5+12=17,

:?a(5,17)代入拋物線得：

?X(5-65)2+21=17,

900

y=-——(x-65)2+21,

“900

令y=0,則?二(x-65)2+21=0,

'900

解得：川=65+30揚(yáng)，4=65-30揚(yáng)(舍去)，

:?E(65+30揚(yáng)，0),

：.EB=AB-AE=214-(65+30^21)=(209-30亞)(cm),

故答案為：(209-30721).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是建坐標(biāo)系通過題意畫出二次函數(shù)的圖象.

考點(diǎn)卡片

1.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=層-4火、）判斷方程的根的情況.

一元二次方程ad+^x+cu。（aWO）的根與△=/，-4“c有如下關(guān)系：

①當(dāng)△＞（）時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)△＜（）時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

2.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗(yàn)和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為小十位數(shù)是〃，則這個(gè)兩位數(shù)表示為106+。.

（2）增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X1（）（）%.如：若原數(shù)是〃，每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為“（1+x）；第二次增長后為〃（1+x）2,即原數(shù)X（1+增長百分率）

2=后來數(shù).

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列?元二次方程.③利用相

似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之枳等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程.

（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)

構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹U：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題.

6.答：寫出答案.

3.規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)

規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo).

4.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)），=/+加+c（aWO）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-上，4ac-b）,對(duì)稱軸直線工=-上，

2a4a2a

二次函數(shù)5=/+法+。（aWO）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)。>0時(shí)，拋物線），=爾+限+。（aWO）的開口向上，%V--L時(shí)，y隨x的增大而減?。?/p>

2a

2

x>__L時(shí)，y隨.1的增大而增大；尸--L時(shí)，y取得最小值4ac-b,即頂點(diǎn)是拋物線

2a2a4a

的最低點(diǎn).

②當(dāng)aVO時(shí)，拋物線y=M+法+c（“W0）的開口向下，XV--L時(shí)，y隨x的增大而增大；

2a

2

X>-上時(shí)，），隨工的增大而減??；x=--L時(shí)，），取得最大值4ac-b,即頂點(diǎn)是拋物線

2a2a4a

的最高點(diǎn).

③拋物線），=〃/+法+c（，W0）的圖象可由拋物線）=ai?的圖象向右或向左平移I-上個(gè)單

2a

位，再向上或向下平移14a2b%個(gè)單位得到的

5.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

二次函數(shù)），=/+法+。（，*（））

①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.

當(dāng)《>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)〃V0時(shí)，拋物線向下開口：間還可以決定開口大小，⑷

越大開口就越小.

②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)。共同決定對(duì)稱軸的位置.

當(dāng)a與〃同號(hào)時(shí)（即而>0）,對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與異號(hào)時(shí)（即a/?V0）,對(duì)稱軸在

y軸右側(cè).（簡稱：左同右異）

③.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn).拋物線與y軸交于（0,c）.

④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).

△=啟-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；-4ac=0時(shí)、拋物線與x軸有1個(gè)交

點(diǎn)；△=Z?-4acV0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

6.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

二次函數(shù)y=/+bx+c（《*（））的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-也，,abb）.

2a4a

①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸工=-應(yīng)成軸對(duì)稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足

2a

函數(shù)函數(shù)關(guān)系式.頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).

②拋物線與），軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值.

③拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)?稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（XI,0）,（X2,0）,則其

對(duì)稱軸為x=—~—.

2

7.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故。不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：?是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

8.二次函數(shù)的最值

（1）當(dāng)時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨X的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨X的增

2

大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)工=上時(shí)，y=4ac-b

2a4a

（2）當(dāng)4<0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y