2024-2025學(xué)年甘肅省酒泉市肅北蒙古族自治縣高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1甘肅省酒泉市肅北蒙古族自治縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，又，所以．故選：D．2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于當(dāng)時(shí)，有，但，故條件不是必要的；當(dāng)時(shí)，有，故條件時(shí)充分的.所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．3.已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，且，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，即，由零點(diǎn)存在性定理可得，的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以．故選：B．4.把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍（縱坐標(biāo)不變），再將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍后，得到，再將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到．故選：A．5.生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物的脈搏率（單位：心跳次數(shù)）與體重（單位：kg）的次方成反比．若為兩個(gè)睡眠中的恒溫動(dòng)物，的體重為2kg，脈搏率為210次．若的脈搏率是140次，則的體重為（）A.6kg B. C.8kg D.9kg【答案】B【解析】根據(jù)題意設(shè)，當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，則，所以.故選：B．6.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，即，又，，又，所以，所以，所?故選：D．7.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若對(duì)任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍是.故選：C.8.已知均為銳角，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得，兩邊同時(shí)除以得，所以，因?yàn)榫鶠殇J角，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由圖可知，所以，選項(xiàng)D正確；由圖可知，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，即，解得，由圖可知，所以，所以，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：AD．10.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若，則D.函數(shù)的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，有，解得或．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱．由上知，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，由，有，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)），可得函數(shù)的最小值為，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是【答案】AC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，而，所以，即，選項(xiàng)A，的最小正周期是，則，A正確；選項(xiàng)B，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，時(shí)，，則，，解得，C正確；選項(xiàng)D，時(shí)，，方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則，解得，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則______．【答案】【解析】令，解得，此時(shí)，所以函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以．13.已知函數(shù)，，則______.【答案】【解析】∵，，所以.14.已知，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】，又，，，或（舍），，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.（1）計(jì)算；（2）計(jì)算．解：（1）.（2）．16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)解析式；（2）若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，.（2）函數(shù)的圖象如圖所示：所以且，解得或，故的取值范圍是．17.（1）已知，且，求的最小值；（2）解關(guān)于的不等式．解：（1）因?yàn)?，所以得，即，所以．因?yàn)?，所以．?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí).（2）當(dāng)時(shí)，，解集為，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，解集為；②當(dāng)時(shí)，，解集為；③當(dāng)時(shí)，解集為；④當(dāng)時(shí)，，解集為．綜上所述：時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為．18.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并證明；（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是一個(gè)奇函數(shù)，所以，即，可得，即，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意，綜上，.（2）在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)且定義域?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即，又是奇函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增．所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得，即的取值范圍是.19.已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到相鄰對(duì)稱軸的距離為，且．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的最大值；（3）記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．解：（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，所以，故，解得，所以.（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，要使最大，則最大，最小．所以當(dāng)最大，最小時(shí)，即取得最大值，最大值為.（3）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)；又，所以，所以，所以的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，，此時(shí)；又，所以，所以，所以的取值范圍為，綜上，函數(shù)的值域?yàn)椋拭C省酒泉市肅北蒙古族自治縣2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，又，所以．故選：D．2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于當(dāng)時(shí)，有，但，故條件不是必要的；當(dāng)時(shí)，有，故條件時(shí)充分的.所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．3.已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，且，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，即，由零點(diǎn)存在性定理可得，的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以．故選：B．4.把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍（縱坐標(biāo)不變），再將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍后，得到，再將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到．故選：A．5.生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物的脈搏率（單位：心跳次數(shù)）與體重（單位：kg）的次方成反比．若為兩個(gè)睡眠中的恒溫動(dòng)物，的體重為2kg，脈搏率為210次．若的脈搏率是140次，則的體重為（）A.6kg B. C.8kg D.9kg【答案】B【解析】根據(jù)題意設(shè)，當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，則，所以.故選：B．6.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，即，又，，又，所以，所以，所?故選：D．7.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若對(duì)任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍是.故選：C.8.已知均為銳角，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可得，兩邊同時(shí)除以得，所以，因?yàn)榫鶠殇J角，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由圖可知，所以，選項(xiàng)D正確；由圖可知，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，即，解得，由圖可知，所以，所以，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：AD．10.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若，則D.函數(shù)的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，有，解得或．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱．由上知，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，由，有，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)），可得函數(shù)的最小值為，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是【答案】AC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，而，所以，即，選項(xiàng)A，的最小正周期是，則，A正確；選項(xiàng)B，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，時(shí)，，則，，解得，C正確；選項(xiàng)D，時(shí)，，方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即方程在上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則，解得，D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則______．【答案】【解析】令，解得，此時(shí)，所以函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以．13.已知函數(shù)，，則______.【答案】【解析】∵，，所以.14.已知，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】，又，，，或（舍），，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.（1）計(jì)算；（2）計(jì)算．解：（1）.（2）．16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)解析式；（2）若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，.（2）函數(shù)的圖象如圖所示：所以且，解得或，故的取值范圍是．17.（1）已知，且，求的最小值；（2）解關(guān)于的不等式．解：（1）因?yàn)椋缘?，即，所以．因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí).（2）當(dāng)時(shí)，，解集為，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，解集為；②當(dāng)時(shí)，，解集為；③當(dāng)時(shí)，解集為；④當(dāng)時(shí)，，解集為．綜上所述：時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為；時(shí)，解集為．18.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并證明；（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是一個(gè)奇函數(shù)，所以，即，可得，即，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意，綜上，.（2）在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)且定義域?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即，又是奇函數(shù)，所以，又在上單調(diào)遞增．所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得，即的取值范圍是.19.已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到相鄰對(duì)稱軸的距離為，且．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖