山東省濟(jì)南中學(xué)2024年高中數(shù)學(xué)建模競賽試題

山東省濟(jì)南中學(xué)2024年高中數(shù)學(xué)建模競賽試題考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三（1）班一、選擇題（共10題，每題5分）要求：從每題的四個(gè)選項(xiàng)中選出正確答案，并將所選答案的字母填入題后的括號(hào)內(nèi)。1.已知函數(shù)f（x）=（x-1）^2+2，則f（x）的圖像的對稱軸為（）A.x=1B.y=2C.x=0D.y=02.若等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1=1，a3=7，則d=（）A.3B.2C.4D.53.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為（）A.0B.1C.-1D.不存在4.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，則∠C=（）A.75°B.45°C.30°D.90°5.若log2x+log4x=3，則x=（）A.2B.4C.8D.166.已知函數(shù)f（x）=x^3-3x+2，則f（-1）=（）A.0B.1C.-1D.27.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則△ABC的面積S=（）A.6B.8C.10D.128.若x+y=5，xy=6，則x^2+y^2=（）A.19B.21C.25D.299.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的軌跡是（）A.一個(gè)圓B.一個(gè)點(diǎn)C.一條直線D.兩條直線10.若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公比q=2，則第n項(xiàng)an=（）A.2^nB.n^2C.nD.2n二、填空題（共10題，每題5分）要求：將答案直接填入題后的括號(hào)內(nèi)。1.函數(shù)f（x）=x^2-4x+3的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，d=3，則S10=（）3.復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，則z在復(fù)平面上的軌跡是（）4.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，則∠C=（）5.若log2x+log4x=3，則x=（）6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=2，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的軌跡是（）7.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則△ABC的面積S=（）8.若x+y=5，xy=6，則x^2+y^2=（）9.若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公比q=2，則第n項(xiàng)an=（）10.函數(shù)f（x）=x^3-3x+2的圖像的零點(diǎn)為（）三、解答題（共30分）要求：解答過程要規(guī)范，步驟要完整。1.（10分）已知函數(shù)f（x）=x^2-4x+3，求f（x）的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。2.（10分）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=3，求前10項(xiàng)和S10。3.（10分）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|，求復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的軌跡方程。四、證明題（共30分）要求：證明過程要規(guī)范，步驟要完整。1.（15分）已知函數(shù)f（x）=x^2-4x+3，證明f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增。2.（15分）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=3，證明an=3n-1。五、應(yīng)用題（共30分）要求：解題過程要規(guī)范，步驟要完整。1.（15分）已知某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本為10元，售價(jià)為15元。若每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每天利潤為y元。求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品能使利潤最大。2.（15分）某城市要修建一條高速公路，已知修建長度為100km，每千米修建成本為1000萬元。若修建速度為每天10km，則求修建該高速公路所需的總成本。六、創(chuàng)新題（共30分）要求：解題過程要規(guī)范，步驟要完整。1.（15分）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d=3，求an=3n-1的通項(xiàng)公式。2.（15分）已知函數(shù)f（x）=x^3-3x+2，求f（x）的圖像的對稱中心。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數(shù)f（x）=（x-1）^2+2的圖像是一個(gè)開口向上的拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），因此對稱軸為x=1。2.A解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a3=a1+2d，代入a1=1和a3=7，解得d=3。3.A解析：由復(fù)數(shù)的模長公式可知，|z-1|=|z+1|表示z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，因此z在復(fù)平面上位于這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，即實(shí)部為0。4.C解析：三角形內(nèi)角和為180°，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C=180°-60°-45°=75°。5.A解析：由對數(shù)的性質(zhì)，log2x+log4x=log2x+2log2x=3，解得x=2。6.C解析：將x=-1代入函數(shù)f（x）=x^3-3x+2，得f（-1）=(-1)^3-3*(-1)+2=-1+3+2=4。7.C解析：由海倫公式可知，S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2，代入a=3，b=4，c=5，得S=√[6*3*2*1]=√36=6。8.B解析：由平方差公式，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy，代入x+y=5和xy=6，得x^2+y^2=25-12=13。9.A解析：由復(fù)數(shù)的模長公式可知，|z-1|=2表示z到點(diǎn)1的距離為2，因此z在復(fù)平面上位于以點(diǎn)1為圓心，半徑為2的圓上。10.A解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1*q^(n-1)，代入a1=1和q=2，得an=2^(n-1)。二、填空題1.（1，2）解析：函數(shù)f（x）=x^2-4x+3的圖像是一個(gè)開口向上的拋物線，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）。2.210解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n/2*(a1+an)，代入a1=2，d=3，n=10，得S10=10/2*(2+3*10)=210。3.|z|=1解析：由復(fù)數(shù)的模長公式可知，|z-1|=|z+1|表示z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，因此z在復(fù)平面上位于以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上。4.75°解析：三角形內(nèi)角和為180°，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C=180°-60°-45°=75°。5.2解析：由對數(shù)的性質(zhì)，log2x+log4x=log2x+2log2x=3，解得x=2。6.|z|=2解析：由復(fù)數(shù)的模長公式可知，|z-1|=2表示z到點(diǎn)1的距離為2，因此z在復(fù)平面上位于以點(diǎn)1為圓心，半徑為2的圓上。7.6解析：由海倫公式可知，S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2，代入a=3，b=4，c=5，得S=√[6*3*2*1]=√36=6。8.19解析：由平方差公式，x^2+y^2=(x+y)^2-2xy，代入x+y=5和xy=6，得x^2+y^2=25-12=13。9.2^n解析：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1*q^(n-1)，代入a1=1和q=2，得an=2^(n-1)。10.-1，2解析：函數(shù)f（x）=x^3-3x+2的圖像是一個(gè)開口向上的拋物線，其零點(diǎn)為x=-1和x=2。三、解答題1.解析：f（x）=x^2-4x+3=(x-2)^2-1因此，f（x）的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），對稱軸為x=2。2.解析：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=n/2*(a1+an)，代入a1=2，d=3，n=10，得S10=10/2*(2+3*10)=210。3.解析：由復(fù)數(shù)的模長公式可知，|z-1|=|z+1|表示z到點(diǎn)1和點(diǎn)-1的距離相等，因此z在復(fù)平面上位于這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，即實(shí)部為0。設(shè)z=a+bi，則|a+bi-1|=|a+bi+1|，即√[(a-1)^2+b^2]=√[(a+1)^2+b^2]，化簡得a=0，因此z在復(fù)平面上的軌跡方程為|z|=1。四、證明題1.解析：由導(dǎo)數(shù)的定義可知，f'（x）=2x-4，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）>0，因此f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增。2.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，得an=3n-1。五、應(yīng)用題1.解析：每天利潤y=售價(jià)*銷量-成本*銷量=(15-10)*x=5x，因此y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=5x。利潤最大時(shí)，y取得最大值，即y=5x=25，解得x=5，因此每天生產(chǎn)5件產(chǎn)品能使利潤最大。2.解析：修建