專題05 圓錐曲線中的向量問題(典型題型歸類訓(xùn)練)原卷版

專題05圓錐曲線中的向量問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：垂直關(guān)系向量化 1題型二：向量坐標(biāo)化 4題型三：利用向量求角 6題型四：利用向量證明三點(diǎn)共線問題 9專項訓(xùn)練 11題型一：垂直關(guān)系向量化1．（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓C：（）的離心率為，焦距為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與C交點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的值.2．（23-24高二上·云南大理·期中）已知橢圓的短軸長為2，點(diǎn)在橢圓上，與兩焦點(diǎn)圍成的三角形面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)為橢圓的右頂點(diǎn)時，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），且.試判斷直線是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，請說明理由.3．（23-24高三上·山東臨沂·期末）已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程：(2)已知點(diǎn)，直線不過點(diǎn)并與曲線交于兩點(diǎn)，且，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請說明理由，4．（23-24高二下·上海黃浦·期中）如圖：雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線l交y軸于點(diǎn)Q．

(1)當(dāng)直線l平行于的一條漸近線時，求點(diǎn)到直線l的距離；(2)當(dāng)直線l的斜率為1時，在的右支上是否存在點(diǎn)P，滿足？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.5．（23-24高二上·浙江·階段練習(xí)）已知拋物線，.(1)Q是拋物線上一個動點(diǎn)，求的最小值；(2)過點(diǎn)A作直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，求的值.題型二：向量坐標(biāo)化1．（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，短軸長為為上一點(diǎn)，為的重心.

(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點(diǎn)，滿足，且成等差數(shù)列，線段中垂線交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；(3)直線與交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)直線l：與橢圓相交于A、B兩個不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)F．(1)證明：；(2)若F是橢圓的一個焦點(diǎn)，且，求橢圓的方程．3．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)當(dāng)直線過點(diǎn)時，求的取值范圍.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)在C上，點(diǎn)P與C的上、下焦點(diǎn)連線所在直線的斜率之積為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，過點(diǎn)F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點(diǎn)D，且求直線AB的斜率．5．（23-24高二上·江蘇常州·期末）如圖，已知拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，過拋物線內(nèi)一點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與拋物線交于點(diǎn)，已知，，.(1)求的值；(2)斜率為的直線過點(diǎn)，且與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型三：利用向量求角1．（23-24高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知橢圓：過點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為鈍角，求的取值范圍.2．（2024·重慶·三模）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線與交于點(diǎn)，若是鈍角，求的取值范圍．3．（23-24高二上·吉林·期末）已知拋物線焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，.(1)求拋物線方程；(2)過焦點(diǎn)F直線l與拋物線交于MN兩點(diǎn)，若MN最小值為4，且是鈍角，求直線斜率范圍.4．（2024·北京·三模）已知橢圓C：（）過點(diǎn)，右焦點(diǎn)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點(diǎn)M、N，點(diǎn)A是右頂點(diǎn)，直線MA、NA分別與直線交于點(diǎn)P、Q，求的大小．5．（23-24高二下·河北·開學(xué)考試）已知橢圓：（）的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且四邊形的面積為4．(1)求橢圓的方程．(2)平行于軸的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，與以為直徑的圓的一個交點(diǎn)為，且，位于軸兩側(cè)，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線，分別與軸交于點(diǎn)，．證明：為定值．題型四：利用向量證明三點(diǎn)共線問題1．（2024上海崇明）已知橢圓Γ：，點(diǎn)分別是橢圓Γ與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．(1)若橢圓焦點(diǎn)在軸上，且其離心率是，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求的面積；(3)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，，.（1）求橢圓的方程.（2）過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均不與，重合），直線與直線交于點(diǎn)，證明：，，三點(diǎn)共線.3．（2024·山西太原·三模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為與，點(diǎn)在上，且直線與的斜率之和為.(1)求雙曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)(均異于點(diǎn))，直線與直線交于點(diǎn)，求證:三點(diǎn)共線.4．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）記的左、右頂點(diǎn)分別為，過的直線交的右支于兩點(diǎn)，連結(jié)交直線于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．專項訓(xùn)練1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，離心率，若，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn)（在線段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·一模）已知過橢圓的上焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與直線相交于兩點(diǎn).若為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與漸近線垂直，垂足為點(diǎn)，延長交于點(diǎn).若，則的離心率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P為雙曲線C：（，）上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，為雙曲線C的左焦點(diǎn)，若，則漸近線l的斜率為（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知橢圓C：的離心率為，斜率為正的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)的位置如圖所示，且，則直線l的斜率為．7．（2024·河北·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與軸相交于點(diǎn)，與在第一象限的交點(diǎn)為，若，，則的離心率為．8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，且焦距為，P是C上一點(diǎn)，滿足，，則的周長為．9．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓:的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為點(diǎn)M，N是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且向量與向量平行.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，求直線的方程.10．（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，短軸長為為上一點(diǎn)，為的重心.

(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點(diǎn)，滿足，且成等差數(shù)列，線段中垂線交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；(3)直線與交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．（2024·山西太原·三模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為與，點(diǎn)在上，且直線與的斜率之和為.(1)求雙曲線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)(均異于點(diǎn))，直線與直線交于點(diǎn)，求證:三點(diǎn)共線.12．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知雙曲線，拋物線的焦點(diǎn)F是雙曲線M的右頂點(diǎn)，且以F為圓心，以b為半徑的圓與直線相切．