2023-2024學年八年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題154 分式方程的應(yīng)用【八大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學年八年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題15.4分式方程的應(yīng)

用【八大題型】

【人教版】

【題型?行程問題】............................................................................1

【題型2工程問題】............................................................................2

【題型3銷售利潤問題】........................................................................3

【題型4航行問題】............................................................................4

【題型5和、差、倍、分問題】.................................................................5

【題型6數(shù)字問題】............................................................................5

【題型7圖形問題】............................................................................6

【題型8方案問題】............................................................................7

。。片將一兌三

【題型1行程問題】

【例1】（2022?河南許昌?八年級期末）小麗和小穎相約周末到時代廣場看電影，她們的家分別距離時代廣

場1800m和2400m.兩人分別從家中同時出發(fā)，已知小麗和小穎的速度比是2:3,結(jié)果小麗比小穎晚4min到

達劇院.

（1）求兩人的速度.

（2）要想同時達到，小穎速度不變，小麗速度需要提高m/min.

【變式1-11（2022?重慶?四川外國語大學附屬外國語學校九年級期中）某天運動員小偉沿平路從家步行去

銀行辦理業(yè)務(wù)，到達銀行發(fā)現(xiàn)沒有帶銀行卡（停留時間忽略不計），立即沿原路跑回家.已知平路上跑步

的平均速度是平路」?步行的平均速度的4倍,已知小偉家到銀行的平路距離為2800米,小偉從離家到返回

家共用50分鐘.

⑴求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？

⑵小偉找到銀行卡后，發(fā)現(xiàn)離銀行下班時間僅剩半小時，為了節(jié)約時間，小偉選擇另外一條近的坡路去銀

行，小偉先上坡再下坡，用時9分鐘到達銀行.已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的右下坡的

平均速度是平路上跑步的平均速度的I且上坡路程是下坡路程的2倍，求這段坡路的總路程是多少米？

4

【變式1-2］（2022?全國?八年級）小明家距離科技館1900米，一天他步行去科技館看表演，走到路程的一

半時，小明發(fā)現(xiàn)忘帶門票，此時良表演開始還有23分鐘，于是立刻步行回家取票，隨后騎車趕往科技館.已

知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，且騎車的速度是步行速度的5倍，小明進家取票時間共

用4分鐘.

（1）小明步行的速度是每分鐘多少米？

（2）請你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，并通過計算說明理由.

【變式1-31（2022?湖北襄陽?八年級期末）小明和小強兩名運動愛好者周末相約到濱江大道進行跑步鍛煉.

（1）周六早上6點，小明和小強同時從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米

的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時到達.若小明每分鐘比小強多行220米，求小明和小強的速度分別是多少米/

分？

（2）兩人到達濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強的跑步速度是小明跑步速度的小倍，兩人在同起點，

同時出發(fā)，結(jié)果小強先到目的地n分鐘.

①當m=3,九=6時，求小強跑了多少分鐘？

②小明的跑步速度為米/分（直接用含m,n的式子表示）.

【題型2工程問題】

【例2】（2022?全國?七年級專題練習）湖州市在2017年被評為“全國文明城市〃，在評選過程中，湖州市環(huán)

衛(wèi)處每天需負責市區(qū)范圍420千米城市道路的清掃工作，現(xiàn)有環(huán)衛(wèi)工人直接清掃和道路清掃車兩種馬路清

掃方式.已知20名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時可以清掃20千米馬路，30名環(huán)衛(wèi)工人和3輛道路清掃

車每小時可以清掃42千米的馬路.

（1）1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時各能清掃多長的馬路？

（2）已知2017年環(huán)衛(wèi)處安排了50名環(huán)衛(wèi)工人參與了直接清掃工作，為保證順利完成每日的420千米清掃

工作，需派出多少輛道路清掃車參與工作（已知2017年環(huán)衛(wèi)工人與清掃車每天工作時間為6小時）?

（3）為了鞏固文明城市創(chuàng)建成果，從2018年5月開始，環(huán)衛(wèi)處新增了一輛清掃車參與工作，同時又增加

了若干個環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，使得每日能夠較早的完成清掃工作.2018年6月市環(huán)衛(wèi)處擴大清掃范圍

60千米，同時又增加了20名環(huán)衛(wèi)工人直接參與清掃，此時環(huán)衛(wèi)工人和清掃車每日工作時間仍與5月份相同，

那么2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了多少名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃？

【變式2-1］（2022?黑龍江?哈爾濱德強學校七年級階段練習）某工廠制作一批零件，由一名工人做要80h

完成，現(xiàn)計劃由一部分工人先做2h然后增加5名工人與他們一起做8小時，完成這項工作的;。假設(shè)這些

4

工人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排幾名工人工作？

【變式2-2］（2022?遼寧?大石橋市石佛中學八年級期末）大石橋市政府為了落實“暖冬惠民工程〃，計劃對

城區(qū)內(nèi)某小區(qū)的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等公共設(shè)施進行全面更新改造.該

工程乙隊單獨完成所需天數(shù)是甲隊單獨完成所需天數(shù)的1.5倍，若甲隊先做10天，剩下兩隊合作30天完

成.

（1）甲乙兩個隊單獨完成此項工程各需多少天？

（2）已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元，乙對每天的施工費用為5.6萬元，工程施工的預(yù)算費用為500

萬元，為了縮短工期并高效完成工程.，擬預(yù)算的費用是否夠用？若不夠用，需追加預(yù)算多少萬元？請說明

理由.

【變式2-3］（2022?廣西貴港?八年級期中）某校改造維修E0徑運動場所，項目承包單位派遣了一號施工隊

進場施工，計劃用30天完成整個工程.當一號施工隊施工10天后，由于實際需要，要求整個工程比原計

劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號施工隊與一號施工隊共同施工，結(jié)果按實際需要如期完成整個

工程

⑴如果二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？

⑵如果一號、二號施工隊同時進場共同施工，完成整個工程需要多少天？

【題型3銷售利潤問題】

【變式3-1］（2022?四川南充?八年級期末）超市用2500元購進某品牌蘋果，以每千克8元的單價試銷.銷

售良好，超市又安排4500元補貨.補貨進價比上次每千克少0.5元，數(shù)最是上次的2倍.

（1）求兩次進貨的單價分別是多少元.

（2）當售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求兩次銷售蘋果的毛利.

【變式3-2］（2022?湖南?邵陽市第六中學八年級階段練習）在落實“精準扶貧〃戰(zhàn)略中，三峽庫區(qū)某駐村干

部組織村民依托著名電商平臺"拼多多''組建了某土特產(chǎn)專賣店，專門將進貨自本地各家各戶的4、B兩款商

品銷售到全國各地.2020年10月份，該專賣店第一次購進A商品40件，B商品60件，進價合計8400元;

第二次購進4商品50件，8商品30件，進價合計6900元.

（1）求該專賣店10月份A、8兩款商品進貨單價分別為多少元？

（2）10月底，該專賣店順利將兩次購進的商品全部存出.由于季節(jié)原因，8商品缺貨，該專賣店在11月

份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進貨單價匕10月份上漲了機元，進價合計49000元；

12月份的進貨單價又比11月份上漲了05〃元，進價合計61200元，12月份的進貨數(shù)量是11月份進貨數(shù)

量的1.2倍.為了盡快回籠資金，A商品在11月份和12月份的銷售過程中維持每件150元的售價不變，到

2021年元旦節(jié)，該專賣店把剩下的50件A商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進貨單價上

漲后的銷售總金額為多少元？

【變式3-3］（2022?浙江?八年級期末）某藥店采購部于7月份和8月份分別用16000元和40000購兩批口

罩，8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元，且數(shù)量是7月份購進數(shù)量的2倍.

（1）求7月份購進了口罩多少盒？

（2）該藥店在7,8月份均將當月購進的口罩平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統(tǒng)一規(guī)定每盒口罩的標價

為150元.已知7月份兩店按標價各賣出a盒后，甲店剩余口罩按標價的八折出售；乙店剩余口罩先按標價

的九折售出b盒后，再將余下口罩按標價七折全部售出，結(jié)果利潤與甲店相同.

①用含b的代數(shù)式表示a.

②8月份，乙店計劃將分到的口置按標價出售〃箱后，剩余口罩全部捐獻給醫(yī)院.若至少捐贈96盒口罩，

且預(yù)計乙店7,8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤為2000元，求Q,瓦幾所有可能的值.

【題型4航行問題】

【例4】（2022?福建省福州教育學院附屬中學模擬預(yù)測〉已知4。兩港之間的距離為150千米，水流速度為

5千米/時.

⑴若一輪船從4港順流航行到B港所用的時間是從8港逆流航行到A港所用時間的（求該輪船在靜水中的

航行速度；

⑵記某船從A港順流航行到B港，再從4港逆流航行返回到人港所用的時間為口；若該船從X港航行到B

港再返回到A港均為靜水航行，所用時間為匕，請比較匕與J的大小，并說明理由.

【變式4-1］（2022?新疆?吐魯番市高昌區(qū)第一中學八年級期中）一艘輪船在靜水中的最大航速為40千米/時,

它沿江以最大航速順流航行70千米所用時間，與以最大航速逆流航行30千米所用時間相等.求江水的流速

為多少千米/時.

【變式4-2］（2022?吉林四平?七年級期末）兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩

船在靜水中的速度都是50km/h,水流速度是akm/h.

（1）2h后兩船相距多遠？

（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？

（3）一艘小快艇送游客在甲、乙兩個碼頭間往返，其中去程的時間是回程的時間3倍，則小快艇在靜水中

的速度v與水流速度。的關(guān)系是.

【變式4-3］（2022?全國?八年級單元測試）一小船由A港到B港順流航行需6小時，由8港到力港逆流航行需

8小時.小船從早晨6時由4港到B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小時后找到救生圈.

問：（1）小船由4港漂流到3港需要多少小時?

（2）救生圈是何時掉入水中的？

【題型5和、差、倍、分問題】

【例5】（2022?江蘇淮安?八年級期末）第5代移動通信技術(shù)簡稱5G,某地已開通5G業(yè)務(wù)，經(jīng)測試5G下

載速度是4G下載速度的15倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部600兆的公益片，小明比小強所用的

時間快140秒，求該地5G下載速度是每秒多少兆？

【變式5-11（2022?江蘇?儀征市實驗中學東區(qū)校九年級階段練習）某生態(tài)示范村種植基地計劃種植一批葡

萄，原計劃總產(chǎn)量要達到36萬斤.為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種.改良后平均每畝產(chǎn)量是原計

劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了8萬斤，種植畝數(shù)減少了20畝，則改良后平均每畝產(chǎn)量是多少萬斤？

【變式5-2］（2022?北京八中八年級期中）“綠色環(huán)保，健康出行”新能源汽車越來越占領(lǐng)汽車市場，以“北

汽〃和“北汽新能源EV500"為例，分別在某加油站和某充電站加油和充電的電費均為300元，而續(xù)航里程

之比則為104.經(jīng)計算新能源汽車相比燃油車節(jié)約0.6元/公里.

（1）分別求出燃油車和新能源汽車的續(xù)航單價（每公里費用）：

（2）隨著更多新能源車進入千家萬戶，有條件的小區(qū)及用戶將享受0.48元/度的優(yōu)惠專用電費.以新能源

EV500為例，充電55度可續(xù)航400公里，試計算每公里所需電費，并求出與燃油車相同里程下的所需

費用（油電）百分比.

【變式5-3］（2022?浙江舟山?七年級期末）舟山市疫情防控工作領(lǐng)導(dǎo)小組在5月30日發(fā)布了常態(tài)化核酸檢

測工作的通知，6月3口起我市居民進入公共場所須憑7天內(nèi)核酸采樣或檢測陰性證明.根據(jù)丈件要求，學

生在校期間每周要組織核酸檢測一次，某校積極響應(yīng)，安排校醫(yī)甲和教師乙進行核酸采集培訓(xùn).經(jīng)過培訓(xùn)

后，甲采集的速度是乙的兩倍，且甲采集52人用時比乙采集30人用時少2分鐘.

⑴求甲、乙平均每分鐘分別采集多少人？

⑵該校七年級學生人數(shù)比八年級少18人，其中七年級有7個班，每班〃?人，8八年級有6個班，每班〃人,

兩名采集員各自用了87分鐘完成了七、八年級學生核酸采集工作，求〃?和〃的值；

⑶該校教職工70人完成核酸采集后要放入10人試管或20人試管中，在保證每個試管不浪費情況下，有哪

幾種分裝方案？

【題型6數(shù)字問題】

【例6】（2022?貴州?銅仁市第十一中學八年級期中）一個兩位數(shù)的十位數(shù)字是6,如果把十位數(shù)字與個位

數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是:原來得兩位數(shù)是.

【變式6-1］（2022?全國?八年級課時練習）有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大1,這個兩位數(shù)被個

位數(shù)字除時，商是8,余數(shù)是2,求這個兩位數(shù).

【變式6-2］（2022?山東濰坊?八年級期末）一個二位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是12,如果交換十位數(shù)

字與個位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分數(shù)約分為:

則這個二位數(shù)是.

【變式6-3］（2022?全國?八年級專題練習）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大4,用個位上的數(shù)去除

這個兩位數(shù)商是3,求這個兩位數(shù).

【題型7圖形問題】

【例7】（2022?全國?七年級單元測試）已知一個長方形的長是40,寬是30,現(xiàn)要把它的長和寬減少相同的

長度后，使新的長方形的長和寬之比是7:5,減少的長度是.

【變式7-1］（2022?福建省泉州第一中學八年級期末）如圖，“豐收1號〃小麥的試驗田是邊長為am（a>1）的

正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，"豐收2號"小麥的試驗田是邊長為（s-l）m的正方

形，兩塊試驗田的小麥都收獲J'500kg.

⑴"豐收1號〃單位面積產(chǎn)量為kg/m2,“豐收2號〃單位面積產(chǎn)量為kg/m2（結(jié)果用含a的式

子表示）；

⑵若"豐收2號”的單位面積產(chǎn)量是“豐收1號"的單位面積產(chǎn)量的1.5倍，求a的值.

【變式7-2］（2022?浙江?七年級階段練習）李師傅要給一塊長9米，寬7米的長方形地面鋪瓷磚，如圖，

現(xiàn)有A和8兩種款式的瓷磚，且A款正方形瓷磚的邊長與B款長方形瓷磚的長相等，B款瓷磚的長大于寬，

李師傅打算按如下設(shè)計圖的規(guī)律進行鋪瓷磚，若A款瓷磚的用量比8款瓷磚的2倍少14塊，且恰好鋪滿地

面，則笈款費磚的長為米，寬為米.

A款正方形姿疇B款長方形淡轉(zhuǎn)

【變式7-3］（2022?浙江杭州?七年級期末）某工廠承接了一批紙箱加工任務(wù)，用如圖1所示的長方形和正

方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側(cè)面和底面，加工成如圖2所示的豎式和橫式兩種無蓋的

長方體紙箱.（加工時接縫材料不計）

（1）若該廠倉庫里有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板.問豎式和橫式紙箱各加工多少個，恰好將

庫存的兩種紙板全部用完？

（2）該工廠原計劃用若干天加工紙箱2400個，后來由于對方急需要貨，實際加工時每天加工速度是原計

劃的1.5倍，這樣提前2天完成了任務(wù)，問原計劃每天加工紙箱多少個？

【題型8方案問題】

【例8】（2022?四川成都?八年級期末）某河流防污治理工程已正式啟動，由中隊單獨做5個月后，乙隊再

加入合作3個月就可以完成這項工程.已知若甲隊單獨做需要10個月可以完成.

（1）乙隊單獨完成這項工程需要幾個月？

（2）已知甲隊每月施工費用為15萬元，比乙隊多6萬元，按要求該工程總費用不超過141萬元，工程必

須在一年內(nèi)竣工（包括12個月）.為了確保經(jīng)費和工期，采取甲隊做a個月，乙隊做b個月"、b均為整

數(shù)）分工合作的方式施工，問有哪幾種施工方案？

【變式8-1］（2022?河南南陽?三模）某市為了做好"全國文明城市"驗收工作，計劃對市區(qū)S米長的道路進行

改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊進行施工.

（1）已知甲工程隊改造360米的道路與乙工程隊改造300米的道路所用時間相同.若甲工程隊每天比乙工

程隊多改造30米，求甲、乙兩工程隊每天改造道路的長度各是多少米.

（2）若甲工程隊每天可以改造a天道路，乙工程隊每天可以改造力米道路，（其中aHb）.現(xiàn)在有兩種施

工改造方案：

方案一：前［S米的道路由甲工程隊改造，后1S米的道路由乙工程隊改造；

方案二：完成整個道路改造前一半時間由甲工程隊改造，后一半時間由乙工程隊改造.

根據(jù)上述描述，請你判斷哪種改造方案所用時間少？并說明理由.

【變式8-2］（2022?云南大理?八年級期末）某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場,

現(xiàn)甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品

多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的3公司需付甲工廠加工費用為每天80

元，乙工廠加工費用為每天120元.

（1）甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？

（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個廠家單獨完成，也可以由兩個廠家合作完成.在加工過程中，

公司派一名工程師每天到廠進行技術(shù)指導(dǎo)，并負擔每天15元的午餐補助費，請你幫公司選擇一種既省時

乂省錢的加工方案，并說明理由.

【變式8-3］（2022?江西?南昌市第八中學八年級階段練習）某商場購進甲、乙兩種空調(diào)共50臺.已知購進

一臺甲種空調(diào)比購進一臺乙種空調(diào)進價少0.3萬元；用20萬元購進甲種空調(diào)數(shù)最是用40萬元購進乙種空調(diào)

數(shù)量的2倍.請解答下列問題：

（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺進價各是多少萬元？

（2）若商場預(yù)計投入資金不少于10萬元，且購進甲種空調(diào)至少31臺，商場有哪幾種購進方案？

（3）在（2）條件下，若甲種空調(diào)每臺售價1100元，乙種空調(diào)每臺售價4300元，甲、乙空調(diào)各有一臺樣

機按八折出售，其余全部標價售出，商場從銷售這50臺空調(diào)獲利中拿出2520元作為員工福利，其余利潤

恰好乂可以購進以上空調(diào)共2臺.請直接寫出該商場購進這50臺空調(diào)各幾臺.

專題15.4分式方程的應(yīng)用【八大題型】

【人教版】

"外媽宮巾

【邈型I行程問題】............................................................................9

【題型2工程問題】...........................................................................13

【題型3銷售利潤問題】........................................................................3

【題型4航行問題】...........................................................................20

【題型5和、差、倍、分問題】................................................................23

【題型6數(shù)字問題】...........................................................................27

【題型7圖形問題】...........................................................................29

【題型8方案問題】...........................................................................32

儲*衛(wèi)三

【題型1行程問題】

【例1】（2022?河南許昌?八年級期末）小麗和小穎相約周末到時代廣場看電影，她們的家分別距離時代廣

場1800m和2400m.兩人分別從家中同時出發(fā)，已知小麗和小穎的速度比是2:3,結(jié)果小麗比小穎晚4min到

達劇院.

（1）求兩人的速度.

（2）要想同時達到，小穎速度不變，小麗速度需要提高m/min.

【答案】（1）小麗和小穎的速度分別為50〃力”〃和75〃力〃加；（2）6.25.

【分析】（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為和3大〃濟"加，根據(jù)題意，小麗所用時間-小穎蘇勇時間=4

分鐘，列出分式方程，解答即可.

（2）設(shè)小麗速度需要提高〃〃?/〃”明根據(jù)題意，小麗所用時間=小穎所用時間，列出分式方程，解答即可.

【詳解】解：（1）設(shè)小麗和小穎的速度分別為疝〃和外〃力?加根據(jù)題意，得：

18002400

------------------=4

2x3x

解得：x=25

經(jīng)檢驗x=25是原分式方程的解，

則2x=2x25=50Cm/min'）,3x=3x25=75（m/min）

答：小麗和小穎的速度分別為50iti/min和75m/min

（2）設(shè)小麗速度需要提高a〃力〃加，根據(jù)題意，得：

180D_2400

50+2-75

解得：a=6.25

經(jīng)檢驗a=6.25是原分式方程的解

答：小麗速度需要提高6.25"濟〃加

故答案為6.25

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題干，找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式1-11（2022?重慶?四川外國語大學附屬外國語學校九年級期中）某天運動員小偉沿平路從家步行去

銀行辦理業(yè)務(wù)，到達銀行發(fā)現(xiàn)沒有帶銀行卡（停留時間忽略不計），立即沿原路跑回家.已知平路上跑步

的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小偉家到銀行的平路距離為2800米，小偉從離家到返回

家共用50分鐘.

⑴求小偉在平路上跑步的平均速度是多少？

⑵小偉找到銀行卡后，發(fā)現(xiàn)離銀行下班時間僅剩半小時，為了節(jié)約時間，小偉選擇另外一條近的坡路去銀

行，小偉先上坡再下坡，用時9分鐘到達銀行.已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的段下坡的

平均速度是平路上跑步的平均速度的K且上坡路程是下坡路程的2倍，求這段坡路的總路程是多少米？

4

【答案】⑴280米/分鐘

（2）2100米

【分析】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，根據(jù)小偉在平路上跑步的平均速度是平路上步

行的平均速度的4倍，往返時間共用50分鐘，列方程等+翳=50,解得％=70,檢驗后求出4%=280,

回答問題；

（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是y米，根據(jù)小偉上坡的平均速度是280x%-200,下坡的平均速度是280x|-

350,上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用時9分鐘，列方程新+言=9,解得y=700,推出這段

坡路的總路程是700+2x700=2100.

【詳解】（1）設(shè)小偉在平路上步行的平均速度是x米/分鐘，

根據(jù)題意得，空竺+等=50.

X4X

解得，x=70,

經(jīng)檢驗，x=70是所列方程的解，且符合題意,

134K=280,

答：小偉在平路上跑步的平均速度是280米/分鐘；

（2）設(shè)這段坡路的下坡路程是），米，

回上坡的平均速度是，280x^=200,下坡的平均速度是280x：=350,

團根據(jù)題意得，令+之二%

解得，y=700,

0700+2x700=2100,

答：這段坡路的總路程是2100米.

【點睛】本題主要考查了分式方程與?元一次方程的應(yīng)用一一行程問題，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握路程和

速度與時間的關(guān)系，列代數(shù)式列方程解答，解分式方程注意檢驗，應(yīng)用題注意設(shè)未知數(shù)和回答問題.

【變式1-2］（2022?全國?八年級）小明家距離科技館1900米，一天他步行去科技館看表演，走到路程的一

半時，小明發(fā)現(xiàn)忘帶門票，此時離表演開始還有23分鐘，于是立刻步行回家取票，隨后騎車趕往科技館.已

知小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，且騎車的速度是步行速度的5倍，小明進家取票時間共

用4分鐘.

（1）小明步行的速度是每分鐘多少米？

（2）請你判斷小明能否在表演開始前趕到科技館，并通過計算說明理由.

【答案】（1）小明步行的速度為76米/分鐘；（2）小明能在表演開始前趕到科技館，理由見詳解.

【分析】（1）設(shè)小明步行的速度是每分鐘x米，則小明騎車的速度是每分鐘5x米，根據(jù)時間=路程+速度

結(jié)合小明騎車到科技館比他步行到科技館少用20分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得

出結(jié)論；

（2）利用時間=路程+速度結(jié)合小明進家取票時間共用4分鐘，即可得出小明回家取票后到達科技館所需

時間,將其與23分鐘比較后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：⑴設(shè)小明步行的速度為x米/分鐘，則小明騎車的速度為5x米/分鐘.根據(jù)題意，得詈-嚶=

20,

解得：x=76.

經(jīng)檢驗，x=76是原分式方程的解.

答：小明步行的速度為76米/分鐘.

1900+2X1900-

(2)4=21.5<23,

5X7676

所以小明能在表演開始前趕到科技館.

【點睛】本題考查r分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3]（2022?湖北襄陽?八年級期末）小明和小強兩名運動愛好者周末相約到濱江大道進行跑步鍛煉.

（1）周六早上6點，小明和小強司時從家出發(fā)，分別騎自行車和步行到離家距離分別為4500米和1200米

的濱江大道入口匯合，結(jié)果同時到達.若小明母分鐘比小強多行220米，求小明和小強的速度分別是多少米/

分？

（2）兩人到達濱江大道后約定先跑1000米再休息.小強的跑步速度是小明跑步速度的m倍，兩人在同起點，

同時出發(fā)，結(jié)果小強先到目的地幾分鐘.

①當m=3,九=6時，求小強跑了多少分鐘？

②小明的跑步速度為米/分（直接用含m,九的式子表示）.

【答案】（1）小強的速度為80米/分，小明的速度為300米/分；（2）①小強跑的時間為3分；②U鬻3.

【分析】（1）設(shè)小強的速度為x米/分，則小明的速度為（x+220）米/分，根據(jù)路程除以速度等于時間得到

方程，解方程即可得到答案；

（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，由m=3,n=6,根據(jù)小明的時間一小強的時間=6列方程解答；

②根據(jù)路程一定，時間與速度成反比，可求小強的時間進而求出小明的時間，再根據(jù)速度=路程除以時間得

到答案.

【詳解】（1）設(shè)小強的速度為x米/分,則小明的速度為（x+220）米1分,

根據(jù)題意得：二巴=2黑.

xX+220

解得:X=80.

經(jīng)檢驗，x=80是原方程的根，且符合題意.

0x+22O=3OO.

答：小強的速度為80米/分，小明的速度為300米/分.

（2）①設(shè)小明的速度為y米/分，Bm=3,n=6,

畔一翳=6,解之得y=等.

經(jīng)檢驗，y=等是原方程的解，且符合題意，

團小強跑的時間為：1000+（3x詈）=3（分）

②小強跑的時間：二彳分鐘，小明跑的時間：白+九二當分鐘，

m-lm-1m-1

小明的跑步速度為：1000-—=】。。。（分.

m-1mn0

故答案為：心空山.

mn

【點睛】此題考查分式方程的應(yīng)用，正確理解題意根據(jù)路程、時間、速度三者的關(guān)系列方程解答是解題的

關(guān)鍵.

【題型2工程問題】

【例2】（2022?全國?七年級專題練習）湖州市在2017年被評為“全國文明城市”，在評選過程中，湖州市環(huán)

衛(wèi)處每天需負責市區(qū)范圍420千米城市道路的清掃工作，現(xiàn)有環(huán)衛(wèi)工人直接清掃和道路清掃車兩種馬路清

掃方式.已知20名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時可以清掃20千米馬路，30名環(huán)衛(wèi)工人和3輛道路清掃

車每小時可以清掃42千米的馬路.

（1）1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時各能清掃多長的馬路？

（2）已知2017年環(huán)衛(wèi)處安排了50名環(huán)衛(wèi)工人參與了直接清掃工作，為保證順利完成每日的420千米清掃

工作，需派出多少輛道路清掃車參與工作（已知2017年環(huán)衛(wèi)工人與清掃車每天工作時間為6小時）?

（3）為了鞏固文明城市創(chuàng)建成果，從2018年5月開始，環(huán)衛(wèi)處新增了一輛清掃車參與工作，同時乂增加

了若干個環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，使得每日能夠較早的完成清掃工作.2018年6月市環(huán)衛(wèi)處擴大清掃范圍

60千米，同時又增加了20名環(huán)衛(wèi)工人直接參與清掃，此時環(huán)衛(wèi)工人和清掃車每日工作時間仍與5月份相同,

那么2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了多少名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃？

【答案】（1）1名環(huán)衛(wèi)工人每小時清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時8千米；（2）派出5輛道路清掃

車參與工作：（3）2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了10名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃.

【分析】⑴設(shè)1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時分別清掃xT?米和），T?米，由題意可得］瞪二%,

進行求解即可；

（2）設(shè)派出/〃輛道路清掃車參與工作，則（50x0.6+8m）x6=420,進行求解即可；

（3）設(shè)2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了〃名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，由題意寫出分式方程進行求解即可.

【詳解】（1）設(shè)1名環(huán)衛(wèi)工人和1輛道路清掃車每小時分別清掃x千米和y千米，

由題意可得C黑11：?：?，解得「二086，

答：1名環(huán)衛(wèi)工人每小時清掃0.6千米，1輛道路清掃車每小時8千米;

（2）設(shè)派出〃?輛道路清掃車參與工作，

則（50x0.6+8m）x6=420,解得加=5,

答：派出5輛道路清掃車參與工作；

（3）設(shè)2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了〃名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃，由題意得

42。-420+60解得I。

0.6（50+n）+6x80.6（50+n+20）+6x8，''

答：2018年5月環(huán)衛(wèi)處增加了10名環(huán)衛(wèi)工人參與直接清掃.

【點睛】本題考?查了二元一次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用.綜合性強，有一定難度.

關(guān)鍵是理解題文，列出方程求解.這里涉及到工作效率問題以及合作問題，要求學生對這類模型比較熟練.

【變式2-1］（2022?黑龍江?哈爾濱德強學校七年級階段練習）某工廠制作一批零件，由一名工人做要80h

完成，現(xiàn)計劃由一部分工人先做2h然后增加5名工人與他們一起做8小時，完成這項工作的J。假設(shè)這些

工人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排幾名工人工作？

【答案】應(yīng)該先安排2名工人工作.

【分析】設(shè)安排x人先做2h,然后根據(jù)先后兩個時段完成這項工作的：，可列方程求解.

4

【洋解】解：設(shè)應(yīng)該先安排X名工人工作，

由題意得：署+喑

解得％=2,

經(jīng)檢驗x=2是原方程的解且符合題意，

回應(yīng)該先安排2名工人工作，

答：應(yīng)該先安排2名工人工作.

【點睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于準確理解題意列出方程求解.

【變式2-2］（2022?遼寧?大石橋市石佛中學八年級期末）大石橋市政府為了落實“暖冬惠民工程”，計劃對

城區(qū)內(nèi)某小區(qū)的部分老舊房屋及供暖管道和部分路段的人行地磚、綠化帶等公共設(shè)施進行全面更新改造.該

工程乙隊單獨完成所需天數(shù)是甲隊單獨完成所需天數(shù)的1.5倍，若甲隊先做10天，剩下兩隊合作30天完

成.

（1）甲乙兩個隊單獨完成此項工程各需多少天？

（2）已知甲隊每天的施工費用為8.4萬元，乙對每天的施工費用為5.6萬元，工程施工的預(yù)算費用為500

萬元，為了縮短工期并高效完成工程，擬預(yù)算的費用是否夠用？若不夠用，需追加預(yù)算多少萬元？請說明

理由.

【答案】（1）甲隊單獨完成此項工程需要60天，乙隊單獨完成此項工程需要90天；（2）工程預(yù)算的施

工費用不夠用，需追加預(yù)算4萬元.

【分析】（1）設(shè)甲單獨完成這項工程所需天數(shù)，表示出乙單獨完成這項工程所需天數(shù)及各自的工作效率.根

據(jù)工作量=工作效率X工作時間列方程求解；

（2）根據(jù)題意，甲乙合作工期最短，所以須求合作的時間，然后計算費用，作出判斷.

【詳解】（1）設(shè)此工程甲隊單獨完成需x天，則乙隊單獨完成這項工程需l.5x天.由題意：

10+3030

-----x-------H1T.L5x=1

解得：x=60.

經(jīng)槍驗，x=60是原方程的解，且適合題意.

1.51-1.5x60=90.

答：甲隊單獨完成此項工程需要60天，乙隊單獨完成此項工程需要90天.

（2）因為需要縮短工期并高效完成工程，所以需兩隊合作完成：設(shè)兩隊合作這項工程需

y天，根據(jù)題意得：

工+2=1

6090

解得：產(chǎn)36.

所以需要施工費用（）（萬元）.

36x8.4+5.6=504

因為504>500,所以工程預(yù)算的施工費用不夠用，需追加預(yù)算4萬元.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，涉及方案決策問題，綜合性較強.

【變式2?3】（2022?廣西貴港?八年級期中）某校改造維修田徑運動場所，項目承包單位派遣了一號施工隊

進場施工，計劃用30天完成整個工程.當一號施工隊施工10天后，由于實際需要，要求整個工程比原計

劃提前8天完成，于是承包單位再派遣二號施工隊與一號施工隊共同施工，結(jié)果按實際需要如期完成整個

工程

⑴如果二號施工隊單獨施工，完成整個工程需要多少天？

（2）如果一號、一號施工隊同時進場共同施工，完成整個工程需要多少天？

【答案】（1）%=45

（2）若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天

【分析】（1）設(shè)二號施工隊單獨施工需要工天，根據(jù)題意列出分式方程進行求解即可；

（2）直.接列算式求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)二號施工隊單獨施工需要X天，

m4^3nTiyr.ZH30-830—8—104

根據(jù)題意得：—+------=1,

?5UX

解得：％=45,

經(jīng)檢驗，工=45是原分式方程的解.

答：若由二號施工隊單獨施工，完成整個工期需要45天.

（2）根據(jù)題意得:1+（"+專）=18（天），

答：若由一、二號施工隊同時進場施工，完成整個工程需要18天.

【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用.根據(jù)題意正確的列出分式方程是解題的關(guān)鍵.注意驗根.

【題型3銷售利潤問題】

【例3】（2022?重慶巴蜀中學九年級階段練習）飛盤運動由于門檻低、限制少，且具有較強的團體性和趣

味性，在全國各地悄然興起，深受年輕人喜愛.某商家購進了海綿和橡膠兩種飛盤進行銷售，已知一個橡

膠飛盤比一個海綿飛盤的進價多30元，其中購買海綿飛盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購

買海綿飛盤的數(shù)量是購買橡膠飛盤數(shù)量的2倍.

⑴求一個海綿飛盤的進價是多少元；

⑵商家第一次購進的匕盤很快售完，決定再次購進同種類型的海綿和橡膠兩種長盤共80個，色海綿飛盤的

進價比第一次購買時提高了16%,而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎(chǔ)上打9折，如果商家此次

購買海綿和橡膠兩種飛盤的總費用不超過4800元，那么此次最多可購買多少個橡膠飛盤？

【答案】（1）50元，：

⑵11.

【分析】（1）設(shè)一個海綿飛盤的進價為x元，則一個橡膠飛盤的進價為（x+30）元，由題意：購買海綿飛

盤花費4000元，購買橡膠飛盤花費3200元，且購買海綿飛盤的數(shù)量是購買橡膠飛盤數(shù)量的2倍.列出分

式方程，解方程即可；

（2）設(shè)此次可購買〃個橡膠飛盤.則購買（80-Q）個海綿飛盤，由題意：海綿飛盤的進價比第一次購買時提

高了16%,而橡膠飛盤的進價在第一次購買時進價的基礎(chǔ)上打9折，商家此次購買海綿和橡膠兩種飛盤的

總費用不超過4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可.

（1）

解：設(shè)一個海綿飛盤的進價為4元，則一個橡膠飛盤的進價為（A+30）元,

由題意得：—X2,

xx+30

解得：x=50,

經(jīng)檢驗，工=50是原方程的解，且符合題意,

答：一個海綿飛盤的進價為50元;

（2）

設(shè)此次可購買〃個橡膠飛盤，則購買（80-。）個海綿飛盤，

由題意得：

50x（l+16%）（80-a）+80x0.9a<4800

解得:a<ll|

加是整數(shù)，

回。最大值為11,

答：此次最多可購買11個橡膠飛盤.

【點睛】此題考查分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)犍是：找準等量關(guān)系與不等關(guān)系,

正確列出分式方程和一元一次不等式.

【變式3-1］（2022?四川南充?八年級期末）超市用2500元購進某品牌蘋果，以每千克8元的單價試銷.銷

伐良好，超市又安排4500元補貨.補貨進價比上次每千克少0.5元，數(shù)最是上次的2倍.

（1）求兩次進貨的單價分別是多少元.

（2）當售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求兩次銷售蘋果的毛利.

【答案】（1）第一次進貨的單價是5元，第二次進貨的單價是4.5元；（2）4600

【分析】（1）設(shè)第一次進貨的單價是x元，則第二次進貨的單價是0.5）元，根據(jù)題意，列方程求解即

可；（2）求出兩次的購進數(shù)量，根據(jù)毛利印攵入-成本，可求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）設(shè)第一次進貨的單價是x元，則第二次進貨的單價是（％-0.5）元，根據(jù)題意，得

25004500

-------x2=--------

xx-0.5

解得％=5

經(jīng)檢驗：*=5是原方程的解

第二次進貨的單價是：5-0.5=4.5（亓）.

答：第一次進貨的單價是5元，第二次進貨的單價是4.5元.

（2）兩次銷售蘋果的毛利：

（誓+w—200）X8+200X8X0.75-2500-4500=4600（元）

答：兩次銷售蘋果的毛利為4600元.

【點睛】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是根據(jù)這次進貨價比上次每千克少0.5元，購進蘋果的數(shù)量是上次

的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后總千克數(shù)，根據(jù)毛利公式，從而求出解.

【變式3-2］（2022?湖南?邵陽市第六中學八年級階段練習）在落實“精準扶貧”戰(zhàn)略中，三峽庫區(qū)某駐村干

部組織村民依托著名電商平臺“拼多多”組建了某土特產(chǎn)專賣店，專門將進貨自本地各家各戶的A、〃兩款商

品銷售到全國各地.2020年10月份，該專賣店第一次購進A商品40件，8商品60件，進價合計8400元;

第二次購進4商品50件，8商品30件，進價合計6900元.

（1）求該專賣店10月份A、4兩款商品進貨單價分別為多少元？

（2）10月底，該專賣店順利將兩次購進的商品全部售出.由于季節(jié)原因，8商品缺貨，該專賣店在11月

份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進貨單價匕10月份上漲了加元，進價合計49000元；

12月份的進貨單價又比11月份上漲了0.5加元，進價合計61200元，12月份的進貨數(shù)量是11月份進貨數(shù)

量的1.2倍.為了盡快回籠資金，A商品在11月份和12月份的銷售過程中維持每件150元的售價不變，到

2021年元旦節(jié)，該專賣店把剩下的50件4商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進貨單價上

漲后的銷售總金額為多少元？

【答案】（1）該店4、8兩款商品進貨單價分別為90元和80元；（2）該專賣店在A商品進貨單價上漲后

的銷售總金額為163500元.

【分析】（1）設(shè)每件A種商品的進價為x元，每件B種商品的進價為y元，根據(jù)“若購進A種商品40件、

B種商品60件，需要8400元：若購進A種商品50件，B種商品30件，需要6900元〃，即可得出關(guān)于x,y

的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，可以得到相應(yīng)的分式方程，從而可以得到m的值，然后即可計算出商店銷售這兩批A商品

的銷售總金額.

【洋解】（1）設(shè)10月份4商品的進貨單價為x元，B商品的進貨單價為y元，由題意得：

（40x+60y=8400

（50%4-30y=6900'

解得,,

答：該店A、8兩款商品進貨單價分別為90元和80元：

（2）由題意可得，

49000，361200

X1.2=w+m+u.5m'

解得，〃?=8,

經(jīng)檢驗，機=8是原分式方程的解，

故11月份購進的4商品數(shù)量為鬻=500（件），

90+o

12月份購進的A商品數(shù)量為500x1.2=600（件），

（500+600-50）X150+150X0.8X50=163500（元）.

答：該專賣店在A商品進貨單價上漲后的銷售息金額為163500元.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的

方程組和分式方程，注意分式方程要檢驗.

【變式3-3]（2022?浙江?八年級期末）某藥店采購部于7月份和8月份分別用16000元和40000購兩批口

罩，8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元，且數(shù)量是7月份購進數(shù)量的2倍.

（1）求7月份購進了口罩多少盒？

（2）該藥店在7,8月份均將當月購進的口年平均分給甲、乙兩家分店銷售，并統(tǒng)一規(guī)定每盒口罩的標價

為150元.已知7月份兩店按標價各賣出Q盒后，甲店剩余口罩按標價的八折出售；乙店剩余口罩先按標價

的九折售出b盒后，再將余下口罩按標價七折全部售出，結(jié)果利潤與甲店相同.

①用含b的代數(shù)式表示a.

②8月份，乙店計劃將分到的口置按標價出售〃箱后，剩余口罩全部捐獻給醫(yī)院.若至少捐贈96盒口罩，

且預(yù)計乙店7,8月份能從這兩批口罩銷售中獲得的總利潤為2000元，求Q,瓦九所有可能的值.

【答案】（1）200盒；（2）@a=100-2b；②。=100,b=0,八=100或4=90,〃=5,“=102或。=80,加10,

，曰04

【分析】（1）設(shè)7月份購進了口罩x盒，根據(jù)8月份每盒口罩的進價比7月份上漲20元列出方程，解之印

可；

（2）①根據(jù)7月份乙店利潤與甲店相同列出關(guān)于小〃的方程，化簡即可；

②首先求出兩個月乙店的利潤，眼據(jù)總利潤為2000元列出方程，得到九-100+蔡，再根據(jù)至少捐贈96

盒口罩，求出〃的范圍，得到人的范圍，再求整數(shù)解即可.

【詳解】解：（1）設(shè)7月份購進了口罩x盒，

由題意可得+2°=曙

解得：x=200,

酊月份購進了口罩200盒;

(2)①由(1)可得7月份口罩每盒喏=80元，

4UU

由題意可得：(100-a)(150x80%-80)=b(150x90%-80)+(100-a-6)(150x70%-80),

整理得：a=100-2/J；

②由題意可得：8月份購進了口置400盒，8月份口革進價為每盒100元，

7月份乙店獲得的利潤為：

a(150-80)+b(15Ux9U%