中考數(shù)學高頻考點專項練習：正方形 （二）及答案

中考數(shù)學高頻考點專項練習：專題十四考點32正方形

1.下列命題中正確的是（）

A.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

B.有一個角是直角的平行四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是正方形

D.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

2.如圖1,《蝶幾圖》是明朝的戈汕分割正方形的一種方式，以正方形為模分割為長斜（等腰

梯形），右半斜和左半斜（直角梯形），小三斜，大三斜和閨（均為等腰直角三角形）.現(xiàn)取

右半斜兩張，左半斜兩張和小三斜兩張，共6張拼成圖2,若圖1大正方形的邊長為4,則圖

2陰影部分的周長是（）

圖1圖2

A.4B.4V2-1C.4A/2D.5

3.如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點E，R分別在邊和8上，則44EB等于

（）

A.60°B.70°C.75°D.80°

4.一節(jié)數(shù)學課上，老師展示了如下問題：如圖，兩個完全相同的直角三角尺ABC和OEF,其

中NACB=NDEE=90。，AC>BC,AC,OR都在直線/上.固定三角尺DEF,將三角尺

ABC從圖示位置開始沿射線移動.甲、乙、丙、丁四位同學分別給出了關(guān)于四邊形AEDB

的說法：

甲：一定是平行四邊形；

乙：不可能是矩形；

丙：可能是菱形；

T：可能是正方形.

則說法不正確的是（）

A.甲和丙B.乙和丙C.只有丁D.乙和丁

5.如圖，正方形A3CD中，M為3c上一點，MEVAM,ME交AD的延長線于點E,若

AB=12,BM=5,則DE的長為（）

「96

C.—

5

6.如圖，在正方形。43c中，。是坐標原點，點A的坐標為（1,百），則點C的坐標是（）

A.(—0,1)B.(-1,V3)C.(-V3,l)D.(-A-l)

7.將2張相同的正方形紙片和2張相同的小長方形紙片按如圖所示擺放在矩形ABCD內(nèi)，中

間留有一個小正方形未被覆蓋，經(jīng)過EF的直線交于點交BC于點、N,若也=1,

DG2

則絲的值為（）

BC

AMD

8.如圖，在正方形ABC。外取一點E,連接AE,BE,OE.過點A作AE的垂線交OE于點

P.AE=AP=1,必=括.下列結(jié)論：

①△APD^^AEB；

②EBLED；

③點B到直線AE的距離是逅；

3

④S正方形.“=4+&.其中所有正確的結(jié)論是（）

A.②③B.①④C.①②④D.①②③④

9.如圖，在正方形A3CD中，對角線AC、3。交于點。，點P是3c邊上一個動點,

PELBD于點、G,交A3于點E,PbLAC于點H,交CD于點E下列結(jié)論：

①ABPG^APCH；

②PH2+PG~=OP?；

③絲=絲；

HCHF

@PE+PF=AC.

其中正確的是（）

4r---------------71。

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

10.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADEAJBE相交于點則NEFC為_____度

11.如圖所示，在矩形A3CD中，4MC=65。，點E是CD上一點，BE交AC于點F,將

△BCE沿3E折疊，點C恰好落在AB邊上的點C處，則ZAFC=.

12.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,E是A3邊延長線上一點，BE=2,R是AB邊上一

點，將△CEF沿CF翻折，使點E的對應點G落在AZ）邊上，連接EG交折痕C尸于點H,則

FH的長是.

13.如圖，在邊長為3的正方形A3CD中，點E是邊A3上的點，且砥=2AE,過點E作DE

的垂線交正方形外角/CfiG的平分線于點F交邊于點連接。R交邊BC于點N,則

MN的長為.

14.已知：如圖，連接正方形ABCD的對角線30,NAZ汨的平分線OE交A3于點E,過點。

作DFLDE,交延長線于點R,過點A作于點P,交BD于點H.

(1)求證：△ADE^\CDF；

(2)若EP=2,AH=4y/2+4,求OR的長.

15.探究：

(1)如圖1,在正方形ABCD中，E,口分別是BC,CQ上的點，且NE4R=45。，試判斷

BE,”與反三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：.

圖1

(2)如圖2,若把(1)問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,

E,歹分別是邊5C,CO上的點，且貝I](1)問中的結(jié)論是否仍然成立?

2

若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)在(2)問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點分別E,R運動到BC,延長線

上時，如圖3所示，其它條件不變，則(1)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論

并予以證明.

答案以及解析

1.答案：B

解析：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項A錯誤;對角線互相垂直的平行四邊形是

菱形，故選項C錯誤；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故選項D錯誤，故選B.

2.答案：C

解析：如圖所示，

GH

圖1圖2

?.?圖1大正方形的邊長為4,

.-.HI=GH=-x4=2,

2

由題意可得，△GH7,△胸是等腰直角三角形，

GI=J*+m2=272,

由題意可得，J是G/的中點，

GJ=IJ=-\/2,

由題意可得，MK=JK,

二圖2中，OP+OQ^FO,

：.由題意可得，圖2陰影部分的周長是4（OP+OQ）=4EQ=4〃=40.

故選：C.

3.答案：C

解析：?.?四邊形A3CD是正方形，

；.AD=AB=BC=CD，ZB=NC=ZD=90°，

?.?△AEF是等邊三角形，

:.AF=AE^ZAEF=60%

在RtAADF和RtAABE中

AD=AB

AF=AEJ

???RtAADF^RtAABECHL），

DF=BE,

CE=CF，

ZC=90°-

NFEC=45。，

又ZA￡F=60。，

ZAEB=1800-ZAEF-ZFEC

=180o-60°-45o=75°>

故選：C.

4.答案：D

解析：畫出三角尺ABC從圖示位置開始沿射線ZM移動的某一時刻的圖象:

由題意可知：AB//ED,AB=ED,

故四邊形AEDB一定是平行四邊形，故甲說法正確；

當時，四邊形A￡Z汨是矩形，故乙說法錯誤；

當=時，四邊形AEDB是菱形，故丙說法正確；

與鉆=鉆不能同時滿足，故四邊形汨不可能是正方形，故丁說法錯誤.

故選：D

5.答案：D

解析：由已知可得，

AB=12,BM=5,ZB=90°,

ZAMF=90°,

AM=13,

-.-ZBAM+ZMAE^90°,

ZBAM+ZBMA^9Q0,

:.ZMAE=ZBMA,

ZB=ZAME=90°,

：.Z\ABM^/\EMA,

BMAM

MA~EA

513

即=

13EA

解得，胡=?

vAD=12,

:.DE=EA-AD=--n=—

55

故選：D.

6.答案：C

解析：如圖，過點C作CD,尤軸于點。，過點A作光軸于點E,

在正方形。43c中，ZAOC=90°,AO=CO,

?.?ZAOC=NCDO=90°,

ZCOD+ZAOE=ACOD+NOCD=90°,

:.AOCD=ZAOE,

在△OCD和ZiA。石中,

ZCDO=ZOEA=90°

NDCO=ZEOA

CO=OA

:.Z\OCD三△AOE(AAS),

CD=OE=1,OD—AE=乖),

：.C(-V3,l).

故選：c.

7.答案：A

解析：如圖:

沒DM=m,AH=n,則r)G=2m,

根據(jù)題意可得正方形AWEH和正方形FTCG的邊長為n,HK=BW=DG=LT=2m,

FL=FT—LT=n—2m=EL,

BT=WL=WE+EL=〃+(〃—2m)=2n—2m,

/.BC=BT+CT=(2n—2m)+n=3n—2m,

■：四邊形KEL戶是正方形，

:.ZKEF=45°,

：.^HEM是等腰直角三角形，

：.HM=HE=n,

:.AD=AH+HM+DM=n+n+m=2n+m,

-.-AD=BC,

:.2n+m=3n—2m,

:.n=3m,

ABn+2m_3m+2m_5

BC3n-2m9m-2m7

故選：A.

8.答案：C

解析：ZEAB+ZBAP=9Q°,ZPAD+ZBAP9Q0,

:.ZEAB=ZPAD,

X-：AE=AP,AB=AD,

在△APD和△AEB中

AE=AP

ZEAB=/PAD,

AB=AD

：./\APD^/\AEB,故①正確；

由得，ZAEP=ZAPE=45°,

ZAPD=ZAEB=135°,

ZBEP=90。,故②正確；

過3作交AE的延長線于F則3尸的長是點3到直線AE的距離,

在△鎰「中，由勾股定理得PE=0,

在△BEP中，PB<,PE=C,由勾股定理得：BE=6，

ZPAE=ZPEB=ZEFB=90°,AE=AP,

:.ZAEP=45°,

ZBEF=180°-45°-90°=45°,

.-.Z￡BF=45°,

:.EF=BF,

在△EEB中，由勾股定理得：EF=BF=旦,故③錯誤；

2

?.?△APg^AEB,

:.ZADP=ZABE,

連接3。，

13

SABPD——PDxBE=—9

ABPD22

?c_cc_o

…^ABD一□△APO7^BPD一乙丁2'

?*,§正方形ABCQ=2s0=4+A/6,故④正確；

故選：C.

9.答案:C

解析：?.?正方形ABCD中，對角線AC、3。交于點。，

:.ZPBG=ZPCH=45°,

.PE±BD,PF工AC,

:.△BPSAPCH,故①正確；

;PELBD,PhAC,

PHHOB,PG//OC,

：.四邊形OGPH是平行四邊形，

.PE±BD,即NPGO=90°,

四邊形OGPH是矩形，

:.OG=PH,

PH2+PG2=OG2+PG2=OP2,故②正確；

;NFCH=45。,NFHC=90°,

.?.△NCH是等腰直角三角形，則只是直角三角形，

：.Z\CFH與△（?用不相似，

OHPH44公才十多

---。---，故③r不正確；

HCHF

?.?/PBG=NEBG=45。,/PGB=/EGB=9伊,BG=BG,

:.Z\PGB^Z\EGB（ASA）,

:.PG=EG=-PE=OH,

2

同理，PH=FH=-PF=CH,

2

:.PG+PH=OC,

:.PE+PF=AC,故④正確；

綜上，①②④正確；

故選：C.

10.答案：120

解析:-.?四邊形ABCD是正方形，

:.ZBAD=90°,AB=AD,ZBAF^45°,

?.?△ADE是等邊三角形，

:.ZDAE=60°,AD=AE,

：.ZBAE=90°+60°^150°,AB=AE,

ZABE=ZAEB=1(180°-150°)=15°,

ZBFC=ZBAF+ZABE=450+15°=60°,

ZEFC=1800-ZBFC=120°,

故答案為:120.

11.答案：40°

解析：?.■矩形A3CD,ZZMC=65°,

ZACD=90°-ZDAC=90°-65°=25°,

:△BCE沿BE折疊，點C恰好落在AB邊上的點C‘處，

四邊形3CEC’是正方形，

:.ZBEC=45°,

由三角形的外角性質(zhì)，ZBFC=ZBEC+ZACD=45°+25°=70°,

由翻折的性質(zhì)得，NBFC'=ZBFC=70°,

ZAFC'=180°—ZBFC-ZBFC=180°—70°-70°=40°.

故答案為40。.

12.答案：叵

3

解析：?.?四邊形ABCD是邊長為4的正方形，

:.AB=AD^CD^CB=4,ZD=ZA=ZABC,

ZD=ZCBE=90°,

由翻折得CG=CE,GF=EF,b垂直平分EG,

在RtACDG和RtACBE中，

CG=CE

CD=CB'

RtACDG^RtACSE(HL),

:.DG=BE=2,

:.AG=AD-DG=4-2=2,

\-AE=AB+BE=4+2=6,

EG=VAG2+AE2=V22+62=2V10,

AG2+AF2=FG2,^.AF=6-EF,

22+(6-EF)2=EF2,

解得以1W，

3

■■^EGFH=^EFAG=S^EFG

:.-x2y/lQFH=-x—x2

223

解得出=典.

3

故答案為：叵.

3

13.答案：-

6

解析：作FHLBG交于點H,作FKLBC于點K,

.四邊形皮7FK是正方形，

?DE工EF,

.ZDEA+ZADE=90°,ZDEA+ZHEF=180°-90°=90°,

.ZADE=ZHEF,

?ZA=ZEHF=90°,

△DAES/\EHF,

ADAE

,HE—HF'

?正方形A3CD的邊長為3,BE=2AE,

.AE=1,BE=2

破FH=a,則=切=a,

31

——=—，解得。=1,^BH=FH=1；

2+aa

-.'FKLCB,DCLCB,

:.ZC=ZFKN=90°o

又?：ZDNC=/FNK,

:公DCNS^FKN,

DC_CN

"FK~KN9

?/BC=3,BK=FH=1,

:.CK=BC-BK=3-1=2,

設(shè)CN=b,則NK=2—b,

3P733

解得

T即

--P---

12-b22

ZA=ZEBM=90°,ZADE=ZBEM,

：./\ADE^/\BEM,

ADAE

"BE~BM'

?3-1

-訪，

2

解得3M=—,

3

325

:.MN=BC-CN-BM=3--------=-.

236

故答案為：

6

14.答案：（1）見解析

（2）8+40

解析：（1）?.?四邊形ABCD為正方形，

:.AD=CD,ZDAE=ZADC=ZDCB=90°,

:.ZDAE=ZDCF=90°,

???DF上DE,

：.ZEDF=9Q°,

：.ZCDF+ZCDE=90°,

-.?ZADE+ZCDE=90°,

：.ZADE=ZCDF,

在△AOE和△CD9中，

NDAE=ZDCF

<AD=CD,

NADE=NCDF

:AADEmACDF(ASA)；

(2)四邊形45co為正方形，

BD=A/2AB,即竺■=巫，

BD2

?.?DE為NAZ汨的平分線，

:.ZADE=ZBDE,

AH工DE,

：.ZAPE=90°,

：.ZEAP+ZAEP^90°,

ZADE+ZAEP^90°,

：.AEAP=ZADE=ZBDE,即NBAH=ZBDE,

ZABH=ZDBE,

:.△ABHs/\DBE,

AHAB472+40

「?---------,即nn---------=----,

DEBDDE2

DE=8+4^2,

由(1)知1,AADE^ACDF,

:.DF=DE=8+4也.

15.答案：(1)EF=BE+DF

(2)(1)問中的結(jié)論EF=5E+￡>/仍然成立，證明見解析

(3)EF,BE,OR之間的關(guān)系是所=5石—D-

解析：(1)如圖1,將△相>/繞點A