中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項練習(xí)：特殊三角形 （一）

中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項練習(xí)：專題十三考點(diǎn)28特殊三角形

1.如圖，公路AC,互相垂直，公路A3的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開.若測得A3的長

為12km,則M,C兩點(diǎn)間的距離為（）

2.如圖，在△ABC中，NACB=90。，ZB=30°,AB=4,將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋

轉(zhuǎn)得到△AB'C',當(dāng)點(diǎn)C落在邊A3上時，線段CC的長為（）

A.—B.lC.V3D.2

3

3.如圖，等腰三角形ABC的底邊長為4,面積是16,腰AC的垂直平分線ER分別

交AC,A3邊于E,R點(diǎn).若點(diǎn)。為3C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段ER上一動點(diǎn)，貝U

△CDM周長的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

4.如圖，A5c是等邊三角形，AD=AE,BD=CE,則ZACE的度數(shù)是（）

5.如圖，點(diǎn)。是等邊三角形A3C內(nèi)一點(diǎn)，04=2,（9B=1,OC=也,則與

△fiOC的面積之和為（）

A.—B.—C.—D.A/3

424

6.在如圖所示的RtA4BC紙片中，ZACB=9Q°,。是斜邊A3的中點(diǎn)，把紙片沿著CD

折疊，點(diǎn)3到點(diǎn)E的位置，連接AE若M//DC,ZB=a,則㈤。等于（）

A.?B.90°-tzC.-aD.90°-2a

2

7.如圖，過邊長為1的等邊三角形ABC的邊A3上一點(diǎn)P,作PELAC于點(diǎn)E,Q為

3C延長線上一點(diǎn)，當(dāng)AP=CQ時，PQ交AC于點(diǎn)。，則DE的長為（）

117

A.-B.-C.-D.不能確定

323

8.如圖，△ABC中，AB^AC,AD平分4L4c與3c相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，

點(diǎn)口是DC的中點(diǎn)，連接ER交AD于點(diǎn)P.若△14BC的面積是24,PD=1.5,則PE的

長是（）

A.2.5B.2C.3.5D,3

9.如圖，在等邊△ABC中，AC=9,點(diǎn)。在AC上，且40=3,點(diǎn)P是A3上一動點(diǎn),

連接0P,將線段0P繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段OD,要使點(diǎn)。恰好落在BC

上，則AP的長是（）

A.3B.5C.6D.8

10.如圖，在△ABC中，AC=BC,4=30。，。為A3的中點(diǎn)，P為CD上一點(diǎn)，E

為3c延長線上一點(diǎn)，Q4=PE.下列結(jié)論：

①/PAB+NPEB=30°；

②為等邊三角形；

③AC=CE+DP；

④S四邊形AECP=^AABC-

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

C.3D.4

11.如圖，在△ABC中，CD是角平分線交A3于。，DEHBC交AC千E,若

DE=3cm,AE=3cm,則AC等于.cm.

Z￡L4C=90°,ZC=30°,AC=24,3。平分ZABC,點(diǎn)E

是A3的動點(diǎn)，點(diǎn)R是3。上的動點(diǎn)，則AF+EF的最小值為

13.如圖所示，在等邊三角形A3C中，A3邊上的高CD=15,E是CD上一點(diǎn)，現(xiàn)有一

動點(diǎn)尸沿著折線5-石-。運(yùn)動，在3E上的速度是每秒3個單位長度.在CE上的速度

是每秒6個單位長度.則點(diǎn)尸從3到C的運(yùn)動過程中最少需.秒.

14.如圖，ZAOB=30°,點(diǎn)M,N分別在邊。4,03上，且。0=2,ON=5,點(diǎn)P,

。分別在邊。3,上，則MP+PQ+QN的最小值是

15.(1)如圖1,ZVIBC與△€1)￡均為等腰直角三角形，ZACB=ZDCE^90°,猜想并

證明：線段AE、3。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

(2)在(1)的條件下，若點(diǎn)A,E,。在同一直線上，CM為△￡)(?￡中DE邊上的高，請判

斷NAZ汨的度數(shù)及線段CM,AD,3。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖2

答案以及解析

1.答案：D

解析：AC1BC,

:.ZACB=9Q°,

點(diǎn)"是A3的中點(diǎn)，

:.CM=—AB=6km,

2

故選：D.

2.答案：D

解析：ZACB=90。，ZB=30°,AB=4,

:.AC=2,ZCAC'=60°,

將ZXABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C',當(dāng)點(diǎn)C落在邊AB上,

AC=AC=2,

.?.△C4C'為等邊三角形，

：.CC'=AC=2,

故選：D.

3.答案：C

解析：連接AO,

△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，

:.AD±BC,

'''S^ABC=^BC-AD=^x4xAD=16,解得AD=8,

ER是線段AC的垂直平分線，

二點(diǎn)C關(guān)于直線ER的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

.?.AD的長為CM+VD的最小值，

：.Z\CDM的周長最短=(5+秘))+0)=4￡>+/0=8+；*4=8+2=10.

故選：C.

4.答案：C

解析：「,A3C是等邊三角形，:.AB^AC^BC,NB=60。，在“ABD和一ACE中,

AB=AC

<AD=AE,:._AB^ACE,ZACE=ZB=60°,故選C.

BD=CE

5.答案：C

解析：將△AOB繞點(diǎn)3順時針旋轉(zhuǎn)60。得神⑺，連接?！?gt;,

:.OB=OD,/8OD=60°,

CD=OA=2,

.-.△BOD是等邊三角形，

.-.OD=OB=1,OD2+OC2=12+(X/3)2=4,

CD2=22=4,

OD2+OC2=CD2,

:.ZDOC=90°,

.?.△AOB與ABOC的面積之和為Swc+%s=%”+=曰x儼+gx1x相=苧，故

選：C.

6.答案：B

解析：。是斜邊A5的中點(diǎn)，"BC為直角三角形，:.CD=BD=AD,ZkCDE1由

△CD5沿C。折疊得到，:ACDE必CDB,則CD=8D=AD=￡D,

,\ZB=ZDCB=ZDCE=ZEDC=a,ZEDC=1SO0-2a,AE//DC,

/.ZAED=ZEDC=180°-2a9ED=AD,/.ZEAD=ZAED=180°-2a,ZB=a,Z^ABC

為直角三角形，;.ZCAD^90°-a,

ZEAC=ZEAD-ZCAD=180°-2a-(90°-a)=90°-a,故選：B.

7.答案：B

解析：如圖，過點(diǎn)。作AD的延長線的垂線于點(diǎn)F

?△ABC是等邊三角形，

:.ZA=ZACB^60°,

ZACB=ZQCF,

Z.QCF=60°,

又PELAC,QFLAC,

:.ZAEP^ZCFQ^90°,

又AP=CQ,

..△AEP2△CFQ(AAS),

：.AE=CF,PE=QF,

同理可證，且△DEQ,

:.DE=DF,

：.AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE,

:.DE=-AC=-.

22

故選B.

8.答案：A

解析：如圖，過點(diǎn)E作房，4）于6,

AB=AC,A。平分44C,

.\AD±BC,BD=CD,

/.ZPDF=ZEGP=90°,EG//BC,

點(diǎn)￡是48的中點(diǎn)，

，G是A。的中點(diǎn)，

:.EG=-BD,

2

產(chǎn)是CD的中點(diǎn)，

:.DF=-CD,

2

:.EG=DF,

ZEPG=ZDPF,

:./\EGP=AfDP(AAS),

PG=PD=1.5，

.\AD=2DG=6,

△ABC的面積是24,

:.-BCAD=24,

2

/.BC-48+6=8,

:.DF=-BC=2,

4

:.EG=DF=2,

由勾股定理得：P￡=V22+1.52=2.5.

故選：A.

9答案:C

解析：如圖，AC=9,AO=3,:.OC=6,

△ABC為等邊三角形，.?.ZA=NC=60。，線段OP繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段

OD,要使點(diǎn)。恰好落在3C上，則OD=O尸，ZPOD=60°,Zl+Z2+ZA=180°,

Z1+Z3+ZPOD=180°,.?.Nl+N2=120°,Zl+N3=120°,,/2=/3,在；.AOP和j.CDO

ZA=ZC,

中，Z2=Z3,:.￡^AOP=：,CDO,:.AP^CO=6M^C.

OP=CD,

10.答案：c

解析：如圖，連接BP,

AC=BC,Z4BC=30。，點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，

:.ZCAB=ZABC=30°,AD=BD,CD±AB,ZACD=ZBCD60°,

.?.CD是A3的中垂線，

:.AP=BP,且AP=PE,

：.AP=PB=PE

:.ZPAB=ZPBA,ZPEB=ZPBE,

:.ZPBA+ZPBE=APAB+ZPEB,

ZABC=ZPAD+APEC=30°,

:.ZPAB+ZPEB^3Q°

故①正確；

PA=PE，

.\ZPAE=ZPEA,

ZABC=/PAD+APEC=30°,

:.ZPAE=ZPEA^60°,

.?.△B4E是等邊三角形，

故②正確；

如圖，作點(diǎn)尸關(guān)于AB的對稱點(diǎn)P',連接P'A,P'D,

:.AP=AP',ZPAD=ZP'AD,

△B4E是等邊三角形，

:.AE=AP,

:.AE=AP',

ACAD=ZCAP+ZPAD=30°,

2ZCAP+2ZPAD=60°,

ZCAP+ZPAD+ZP/AD=600-APAC,

.-.ZP'AC^ZEAC,

AC=AC,

AP'AC^AEACfSAS),

:.CP'=CE,

?點(diǎn)P、P關(guān)于A3對稱，即PP_LAB,且PD=PZ>,

CD±AB,

:CP、D、P共線，

：.CE=CP'=CP+PD+DP=CP+2PD,

:.PD=g(CE—CP),

若AC=CE+DP,

則OP=AC—CE,

因為AC—CE與g(CE-CP)不一定相等，

故③錯誤；

過點(diǎn)A作AFL5C,在BC上截取CG=CP,

CG=CP,ZBCD=60°,

.?.△CPG是等邊三角形，

:.NCGP=NPCG=60。,

..NECP=NGPB=120。，

又EP=PB,ZPEB=ZPBE,

.-.△MCE^ABGE(AAS)，

:.CE=GB,

AC=BC=BG+CG=EC+CP,

^CB=|CBXAF=1(EC+CP)XAF=|ECXAF+|CPXAD=S四邊形隹〃,

…S四邊形AECP=S^ABC,故④正確，

所以其中正確的結(jié)論是①②④.

故選：C.

11.答案:6

解析：CD平分ZACfi,

:.ZACD=ZDCB,

DEHBC,

:./EDC=/DCB,

:.ZEDC=ZACD,

/.ED=EC=3cm,

AE=3cm,

/.AC=AE+EC-6cm,

故答案為：6.

12.答案：12

解析：在射線3c上取一點(diǎn)E',使得BE=BE.過點(diǎn)A作AH，3C于

在Rt^ACH中，ZAHC=9Q°,AC=24,ZC=30°,

AH=-AC=12,

2

3。平分ZABC,

ZFBE=ZFBE',

BE=BE,BF=BF,

：.Z\FBE^Z\FBE'(SAS),

FE=FE',

:.AF+FE=AF+FE',

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A,F,E共線且與AH重合時，AF+產(chǎn)E的值最小,

最小值=12,

故答案為12.

13.答案：5

解析：過點(diǎn)3作3尸，AC于交CD于E,如下圖所示,

A

△ABC是等邊三角形，CD±AB,

:.ZACB=6Q°,CD平分NAC3

:.ZDCA=3Q°,

ZBFC=9Q°,

:.EF=-CE,

2

P沿著折線5—E—C運(yùn)動的時間=與+華=+=+=

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)斯，AC時，P沿著折線5-石-C運(yùn)動的時間最短，

BF、CD是等邊三角形的高，

:.BF=CD=15,

二點(diǎn)尸從3到C的運(yùn)動過程中最少需』xl5=5（秒）.

3

故答案為5.

14.答案：如

解析：作M關(guān)于。3的對稱點(diǎn),作N關(guān)于。4的對稱點(diǎn)N',連接ON',如圖所

示：

連接MN,即為MP+PQ+QN的最小值.

根據(jù)軸對稱的定義可知：ZN'OQ=/