條件概率8大題型歸納【基礎+提升】【原卷】

【條件概率與全概率公式】

題型梳理I

知識講解與?？碱}型__________________________

【題型1:利用定義求條件概率】

知識講解

P(AB}

1.定義：設A、8是兩個事件，且尸(A)>0,稱P(3|A)=限—為在事件A發(fā)生的條件下事件8發(fā)

P(A)

生的條件概率。這里尸(46)表示事件A與事件8同時發(fā)生的概率。

2.理解：條件概率?(5|A)刻畫的是在已知事件A已經(jīng)發(fā)生的情況下，事件8發(fā)生的可能性大小。與無

條件概率尸(8)相比，它增加了“事件A發(fā)生”這個前提條件。

3.示例:例如，擲一枚質地均勻的骰子，樣本空間Q={L2,3,4,5,6}。設事件A="擲出偶數(shù)點”={2,4,6},

311

事件3="擲出的點數(shù)大于4"={5,6},那么AB={6},P(A)=—=—，P(AB)=-,所以

626

1

P(B|A)=:2)=￥=g。這表示在已知擲出偶數(shù)點的條件下，擲出的點數(shù)大于4的概率為g。

2

4.性質：

非負性：對于任意事件8.有P(8|A)..O.

規(guī)范性：P(O|A)=1,其中。是樣本空間。

0000

可列可加性：如果事件四,不，，紇，兩兩互斥，則尸(1)與[4)=2。(耳|4)。

Z=1Z=1

5.乘法公式：由條件概率的定義可得P(AB)=P(A)P(B|A)(當尸(A)>0時)，這就是概率的乘法公式。

該公式可以推廣到多個事件的情形，例如對于三個事件A、B、C,14P(AB)>0,有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(CIAB)

例題精選

【例題1](22-23高二下?北京延慶?期中)已知春季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為30%與20%,且

兩地同時下雨的概率為15%,則春季的一天里甲地下雨的條件下，乙地也下雨的概率為()

A.1B.-C.—D.—

24200100

【例題2](23-24高二下?重慶九龍坡?期中)拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，記4="兩次的點數(shù)均為偶數(shù)”,

3="兩次的點數(shù)之和為6"，則P(A|8)=()

【例題3】(23-24高二下?遼寧沈陽?期中)某天李老師駕車在青年大街上行駛，前方剛好有兩個紅綠燈路口，

李老師經(jīng)過第一個紅綠燈路口時是綠燈的概率為3，連續(xù)經(jīng)過這兩個紅綠燈路口時都是綠燈的概率為:?用

事件A表示“李老師經(jīng)過第一個紅綠燈路口時是綠燈”，事件B表示“李老師經(jīng)過第二個紅綠燈路口時是綠燈”,

則尸(3|A)=()

相似練習

【相似題1](24-25高三上?廣東廣州?期中)A同學和B同學參加某市青少年圍棋比賽并進入決賽，決賽采

2

取“3局2勝”制，若A同學每局獲勝的概率均為1,且每局比賽相互獨立，則在A先勝一局的條件下，A最

終能獲勝的概率是.

【相似題2](23-24高二下?天津紅橋?期末)已知甲同學在上學途中要經(jīng)過兩個路口，在第一個路口遇到紅

燈的概率為0.5,兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4,則甲同學在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個

路口遇到紅燈的概率是.

【相似題3](23-24高二下?吉林?期中)盒中裝有5個同種產(chǎn)品，其中3個一等品，2個二等品，不放回地

從中取產(chǎn)品，每次取1個，求；

(1)取兩次，兩次都取得二等品的概率；

(2)取兩次，第二次取得二等品的概率；

(3)取兩次，已知第一次取得二等品的條件下，第二次取得的是一等品的概率.

【題型2：條件概率乘法公式】

知識講解

公式形式：對于兩個事件A和8,如果P(A)>0,那么P(AB)=P(A)P(B|A)。也就是說，事件A和8

同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率乘以在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率。

公式推廣：

對于三個事件A、BC，如果尸(AB)>0,則尸(ABC)=尸(A)P(B|A)P(C|AB).

更一般地，對于〃個事件&&，?，4，如果P(A&AT)>0，那么有

A?)^P(A1)P(A2IA1)P(A3IAIA2)P(A?IAAA"。

應用示例：假設有一個盒子里有3個紅球和2個白球，從中不放回地抽取兩次。設事件A為“第一次抽到

3

紅球”，事件8為“第二次抽到紅球”。那么P(A)=g,在第一次抽到紅球的情況下，盒子里剩下2個紅球

和2個白球，所以P(B\A)=-。根據(jù)乘法公式，兩次都抽到紅球的概率

4

323

P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-=-o

例題精選

【例題1】(23-24高二下.安徽安慶?期中)質監(jiān)部門對某種建筑構件的抗壓能力進行檢測，對此建筑構件實

施兩次打擊，若沒有受損，則認為該構件通過質檢.若第一次打擊后該構件沒有受損的概率為0.85,當?shù)谝?/p>

次沒有受損時第二次實施打擊也沒有受損的概率為0.80,則該構件通過質檢的概率為()

A.0.4B.0.16C.0.68D.0.17

【例題2](20-21高二?全國?課后作業(yè))設尸(A|B)=P(B|A)=；,P(A)=：,則P(B)等于()

/3

13

【例題3】(23-24高二下?江蘇宿遷?期中)己知尸(例A)=§,P(A)=《，尸(AB)等于()

相似練習

35

【相似題1](23-24高二下?河北滄州?階段練習)若尸(2)=小尸(加2)=:，則尸(AB)=()

76

5

BcD.

A.I-I-i6

【相似題2】

(20-21高二上.山東淄博?期中)盒中有4個質地，形狀完全相同的小球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃

球；現(xiàn)從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.則在此過程中沒有取到黃球的概率

為.

【相似題31(23-24高二上?全國?課后作業(yè))己知尸(A)=0.4,尸(B|A)=0.5,尸3)=0.25，則P?=.

【題型3：在古典概型中的條件概率】

知識講解

1.古典概型的定義與特點

定義：若試驗滿足以下兩個條件，則稱該試驗為古典概型。

試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個。

每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。

特點：古典概型具有有限性和等可能性這兩個關鍵特點，這使得我們可以通過計算基本事件的個數(shù)來

確定概率。

2.古典概型中條件概率的定義

在古典概型中，設事件A和8是樣本空間。中的兩個事件，且尸(A)>o,則在事件A發(fā)生的條件下，

P(AB}

事件B發(fā)生的條件概率P(B|A)定義為P(B|A)=。

尸(A)

從古典概型的角度理解，尸(AB)是事件A和8同時發(fā)生的概率，即$八13$包含的基本事件個數(shù)與樣本空

間。包含的基本事件個數(shù)之比；尸(A)是事件A發(fā)生的概率，即A包含的基本事件個數(shù)與樣本空間。包含

的基本事件個數(shù)之比。所以P(B|A)就是在A發(fā)生的條件下，8發(fā)生的概率，其值等于$人8$包含的基本事

件個數(shù)與A包含的基本事件個數(shù)之比。

3.計算方法

步驟一：確定樣本空間

明確試驗的所有可能結果，確定樣本空間。，并計算出。中基本事件的總數(shù)

步驟二：計算尸(A)和尸(AB)

分別找出事件A和事件$AB$所包含的基本事件個數(shù)，記為"(A)和"(A6)。

”(A)n(AB)

則尸⑷=P(AB)=

”(Q)〃(Q)

步驟三：計算條件概率F(B|A)

P(AB}

根據(jù)條件概率公式&網(wǎng)人)=發(fā)一，將前面計算出的尸(A)和尸(AB)代入公式，可得

n(AB)

P(B\A)=

”(A)

4.示例

例如，擲一顆質地均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。設事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點"，即4={1,3,5}；事件8

為“出現(xiàn)的點數(shù)小于4"，即B={1,2,3)o

樣本空間。={1,2,3,4,5,6},〃(。)=6。

31

“(4)=3,所以尸(A)=_=_

62

21

AB={1,3}-n(AB)=2,所以尸(AB)=—=—。

63

1

那么在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率P(B\A)==-2-=|o從古典概型角度看,

2

在A發(fā)生的情況下，即出現(xiàn)奇數(shù)點的情況下，共有3種可能，而其中滿足8(出現(xiàn)的點數(shù)小于4)的有2種，

所以尸（B|A）=g

5.性質

非負性：對于任意事件8,有P（B|A）20。

規(guī)范性：P（Q|A）=L

n_n

可加性：如果事件耳.B2,.紇兩兩互斥，則。（|一g|4）=2%g|4）。

i=lz=l

例題精選

【例題1】（24-25高二下?河南駐馬店?階段練習）現(xiàn)有4個紅色教育基地和2個勞動實踐基地，甲、乙兩人

分別從這6個基地中各選取1個基地研學（每個基地均可重復選?。瑒t在甲、乙兩人中至少一人選擇紅色

教育基地研學的條件下，甲、乙兩人中一人選擇紅色教育基地研學、另一人選擇勞動實踐基地研學的概率

為（）

D.2

4

【例題2】（24-25高三下?福建龍巖?階段練習）某醫(yī)學院計劃從4名男生和3名女生中選派2人分別到甲、

乙兩地參加義診活動，則在派往甲地是男生的條件下，派往乙地是女生的概率是（）

2

B-Ic-7D.

【例題3】（2025高三下?天津?專題練習）石室校園，望樓漢闕，紅墻掩映，步移景異！現(xiàn)有甲、乙、丙、

丁四位校友到“文翁化蜀”、“錦水文風”、“魁星閣”、“銀杏大道”4處景點追憶石室讀書時光.若每人只去一處

景點，設事件A為“4個人去的景點各不相同”，事件8為“只有甲去了錦水文風”，則P（A）=—,

P（&忸）=.

相似練習

【相似題1］（24-25高二下?天津?階段練習）已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)從中任取兩次，每次取一

件，取后不放回.已知第一次取到的是正品，則第二次取到次品的概率為.

【相似題2](2025?河北秦皇島?一模)某大學舞蹈社有4名男生、2名女生，現(xiàn)要舉辦社團巡禮活動，擬從

這6人中抽取2人參加巡禮活動中的相應比賽，比賽有“啦啦操”“健美操”“活力燃脂操”三項，被選中的人可

以根據(jù)自身情況選擇參加比賽的項數(shù)，具體如下：

參加一項的可能性參加兩項的可能性參加三項的可能性

女生0.50.50

男生00.50.5

每參加1項比賽，社團的積分將增加100分.

(1)在抽取的2人至少有1名男生的前提下，求有女生參加比賽的概率;

【相似題3](2025高三?全國?專題練習)為迎接2024新春佳節(jié)，某地4s店特推出盲盒抽獎營銷活動中，

店家將從一批汽車模型中隨機抽取50個裝入盲盒用于抽獎，已知抽出的50個汽車模型的外觀和內飾的顏

色分布如下表所示.

紅色外觀藍色外觀

棕色內飾2010

米色內飾155

從這50個模型中隨機取1個，用A表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用8表示事件“取出的模型內飾為米

色”，求尸⑻和尸(8|A),并判斷事件A與8是否相互獨立.

【題型4：條件概率的性質及其應用】

知識講解

1.非負性

對于任意事件8,在給定事件A發(fā)生的條件下，條件概率?(6|A)的值始終大于等于0。這是因為概

率本身就是一個非負的度量，條件概率作為一種特殊的概率，也遵循這一基本性質。它表示在事件A已經(jīng)

發(fā)生的前提下，事件8發(fā)生的可能性大小，而可能性大小的取值范圍是從0到1，所以尸(B|A)之0。

2.規(guī)范性

P(O|A)=1,其中。是樣本空間。這意味著在事件A發(fā)生的條件下，樣本空間。必然會發(fā)生，因為

。包含了所有可能的結果。既然事件A已經(jīng)發(fā)生，那么在這個條件下，所有可能的情況仍然在樣本空間。

內，所以其條件概率為1，這體現(xiàn)了條件概率在這種特殊情況下的規(guī)范性。

3.可加性

n

如果事件與，B2,,紇兩兩互斥，那么「(^|g|4)=2。(g|4)。也就是說，在事件A發(fā)生的

/=1Z=1

條件下，這些兩兩互斥事件的并集的條件概率等于它們各自條件概率的和。這一性質與普通概率的可加性

類似，反映了條件概率在處理互斥事件時的基本規(guī)律。例如，在擲骰子的試驗中，設事件A為“擲出奇數(shù)

點”，事件印為“擲出1點”，事件B2為“擲出3點”，事件B3為“擲出5點”，耳、之、鳥兩兩互斥，那

么「((耳。32。與)|4)=「(4|4)+「(52|4)+「(53|4),因為在A發(fā)生(即擲出奇數(shù)點)的條件下，

B]、鳥、居這三個事件的并集就是“擲出奇數(shù)點”這個事件本身，其概率等于這三個互斥事件在A條件

下的概率之和。

4.乘法公式

P(AB]

由條件概率的定義「(5|A)=FTJ(P(A)>0)，可變形得到乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)。

尸(A)

這個公式可以推廣到多個事件的情況，例如對于三個事件A、8、C,有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)o乘法公式在計算多個事件同時發(fā)生的概率時非常有用，它將聯(lián)合概

率轉化為條件概率和單個事件概率的乘積形式，便于通過已知的條件概率和事件概率來計算復雜事件的概

率。

例題精選

【例題1】(24-25高二上?遼寧?期末)設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=；,P(B)=1,

P(AuB)=1,則P(團4)=()

【例題2】(23-24高二下.安徽馬鞍山?期末)假設A,B是兩個事件，且P(A)>0,則下列結論

一定正確的是()

A.P(^B)P(B)=P(AB)B.P(A|B)=P(B|A)

C.P(A忸)4P(A)P⑻D.P(A|B)<P(A)

【例題3】多選題(2025?陜西寶雞?二模)已知A、B是兩個隨機事件，且0<P(A)<l,0<P(B)<l,則

下列說法正確的有（）

A.若A、8相互獨立，則P（網(wǎng)A）=P（8）

B.尸⑻2P（網(wǎng)A）恒成立

C.若“433）=「（4）+尸（3）,則尸（B|A）=O

D.若尸（網(wǎng)A）+P（網(wǎng)A）=l,則A、8相互獨立

相似練習

【相似題1］多選題（24-25高三上?湖南長沙?階段練習）已知事件A,B,C為隨機事件，且O<P（A）<1,

則（）

A.若事件8與事件C對立，則尸（網(wǎng)4）+「（C|A）=1

B.若尸（叫A）+P（C|4）=1,則事件8與事件C對立

C.若事件A與事件8獨立，則尸（網(wǎng)4）=尸（8）

D.若尸（網(wǎng)A）=P（8）,則事件A與事件8獨立

【相似題2］多選題（2024.四川成都.模擬預測）隨機事件48滿足P（A）=g,P⑻=：，6N⑻=1則

下列說法正確的是（）

A.P（AB）=P（A）P（B）B.P（AB\=-

''8

C.P（A+3）=1D.P（AB|（A+B））P（AB）=p-（A）P2（B）

【相似題3］多選題（23-24高二下.江蘇南京.階段練習）已知A萬分別為隨機事件A,8的對立事件，則下列

說法正確的是（）

A.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

B.P（B|A）+P（B|A）=1

C.若P（A）=；,尸⑻=g,P（M=P（啊，則事件A與事件B相互獨立

D.若P(A|3)=P(A),則P(3|A)=P(3)

【相似題4］（24-25高三上?江西吉安?期末）若P（A）=g,P（A\~B\=^~,則尸（8）=_____.

815v730

【題型5：全概率公式及其應用】

知識講解

1.全概率公式的定義

n

設與，當，，紇是樣本空間。的一個劃分，即耳，與，，紇兩兩互斥，且U4=Q，且P（耳）＞0

i=l

（i=l,2,那么對于任意事件A，有尸（A）=￡P（4）P（A|5J。

i=\

2.全概率公式的直觀理解

可以將樣本空間。想象成一個大的“整體”，而四，B2,,紇是將這個“整體”分割成的〃個互

不重疊的“部分”。事件A發(fā)生的概率等于A在每個“部分”烏中發(fā)生的概率的加權和，權重就是每個“部

分”烏發(fā)生的概率尸（率）。

3.全概率公式的推導

nn

因為四，B2,,3"是樣本空間。的一個劃分，所以A=AcQ=Ac（U與）=U（Ac4）,

z=li=l

又因為用兩兩互斥，所以Acg也兩兩互斥。

根據(jù)概率的可加性，P（A）=P（［j（An4））=fP（AcBJ。

i=li=l

再由條件概率的定義尸（AcB,）=,就得到了P（A）=fP（g）P（A|耳）。

Z=1

4.全概率公式的應用步驟

第一步，確定樣本空間。和合適的劃分用，B2,,瓦，。這需要根據(jù)具體問題的背景和條件來選擇，

通常選擇那些與事件A有密切關系且容易計算概率的事件作為劃分。

第二步，計算每個用的概率尸（用）、

第三步，計算在每個Bj發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率尸（AIBJ。

第四步，將尸（耳）和P（A|瓦）代入全概率公式P（A）=XP（4）P（A|4）,計算出尸（A）。

Z=1

5.全概率公式的應用示例

例如，有兩個箱子，箱子1中有3個白球和2個紅球，箱子2中有2個白球和3個紅球?，F(xiàn)隨機選擇一

個箱子，然后從該箱子中隨機取出一個球，求取出白球的概率。

設事件A為“取出白球”，事件及為“選擇箱子1"，事件與為“選擇箱子2”。則片和不構成了樣本

空間的一個劃分，尸（片）=尸（為）=g。

3

在用發(fā)生的條件下，即從箱子1中取球，P（A|4）=g；在層發(fā)生的條件下，即從箱子2中取球，

P（A|B2）=|O

13121

根據(jù)全概率公式，P（A）=P（4）P（AI旦）+P（4）P（A|B2）=-X-+-X-=-

6.全概率公式的意義和作用

全概率公式提供了一種計算復雜事件概率的有效方法。當直接計算事件A的概率比較困難時，通過引

入合適的劃分用，B2,,Bn,將事件A分解為在不同條件下發(fā)生的子事件，然后利用已知的條件概率

和劃分的概率來計算A的概率。它將一個復雜的概率問題轉化為多個相對簡單的概率問題的組合，在實際

應用中具有廣泛的用途，如在風險評估、決策分析、可靠性分析等領域都有重要的應用。

例題精選

【例題1】（2025高三?全國?專題練習）有三個相同的箱子，分別編號123,其中1號箱內裝有1個紅球、4個

白球，2號箱內裝有2個紅球、3個白球，3號箱內裝有3個紅球，這些球除顏色外完全相同.某人等可能

從三個箱子中任取一箱并從中摸出一個球，事件4表示“取到i號箱。=1,2,3）”，事件3表示“摸到紅球”，事

件C表示“摸到白球”，則（）

A.P(B|A)=|

B.p(-4)+尸(c]4)=尸(A)

「⑻吃

CD.尸(A忸)

【例題2】多選題（2025?安徽馬鞍山?一模）甲罐中有4個紅球，2個白球，乙罐中有5個紅球，3個白球.整

個取球過程分為兩步：（1）先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，記事件4為“取出的是紅球”，事件&為“取

出的是白球"；（2）再從乙罐中隨機取出兩個球，記事件B為“取出的兩球都是紅球"，事件C為“取出的兩

球為一紅一白“，則（）

A?尸（網(wǎng)A）=（B?尸（c14）J

D

C.P（B）=—P（c）4

v727

【例題3］（2025屆寧夏銀川市、石嘴山市高三學科教學質量檢測（一模）數(shù)學試題）某中學舉辦知識競賽，

題庫中共有1000道試題，其中有500道A類題，300道B類題，200道C類題.根據(jù)以往經(jīng)驗，某同學答

對A,B,C三類試題的概率分別為80%,60%,50%.若該同學從題庫中隨機選一道試題作答，則他答對的概

率是.

相似練習

【相似題11

3

（24-25高二下?江西撫州?階段練習）小李經(jīng)常參加健身運動，他周一去健身的概率為了，周二去健身的概

率為!■,且小李周一不去健身的條件下周二去的概率是周一去健身的條件下周二去的概率的2倍，則小李

0

周一、周二都去健身的概率為.

【相似題2］（2025?四川巴中?一模）甲乙兩人進行投籃比賽，要求各投籃2次.已知甲乙兩人每次投中的概

21

率分別為：，且每人每次投中與否互不影響.

⑴求“甲第一次未投中，乙兩次都投中”的概率；

（2）求“乙獲勝”的概率.

【相似題3］（24-25高二下?湖北荊門?階段練習）現(xiàn)有編號為I,II,III的三個口袋，其中I號袋內裝有兩

個1號球，一個2號球與一個3號球；II號袋內裝有兩個1號球與一個3號球；III號袋內裝有三個1號球

與兩個2號球.第一次先從I號袋內隨機地取一個球，放入與球上號碼相同的口袋中，第二次從該口袋中任

取一個球，

（1）求第二次取1號球的概率；

（2）若第二次取到1號球，求它取自編號為I口袋的概率.

【相似題4］（2025?廣東深圳?模擬預測）某大學有甲、乙兩個運動場.假設同學們可以任意選擇其中一個運

動場鍛煉，也可選擇不鍛煉，一天最多鍛煉一次，一次只能選擇一個運動場.若同學們每次鍛煉選擇去甲或

乙運動場的概率均為每次選擇相互獨立.設王同學在某個假期的三天內去運動場鍛煉的次數(shù)為X,已知

X的分布列如下：(其中4>0,0<p<l)

X0123

a

Pa

P

記事件4表示王同學假期三天內去運動場鍛煉i次［=0,1,2,3),事件B表示王同學在這三天內去甲運動場鍛

煉的次數(shù)大于去乙運動場鍛煉的次數(shù).

(1)當p=g時，求尸(8)的值；

【題型6：貝葉斯公式及其應用】

知識講解

1.貝葉斯公式的定義

設四，B2,,紇是樣本空間。的一個劃分，且尸(耳)>0(z=l,2,,n),對于任意事件A，若

P(A)>0,則有尸叫A)=

白,j=1,2,，幾。

ZP(4)P(A|4)

Z=1

2.貝葉斯公式的推導

P(AnB)

由條件概率的定義可知做

n

再根據(jù)乘法公式P(Ac鳥)=P(4)P(A|鳥),以及全概率公式P(A)=XP(g)P(A|g),將其代

i=\

入上式，即可得到貝葉斯公式。

3.貝葉斯公式的直觀理解

貝葉斯公式實際上是在已知事件A發(fā)生的條件下，對導致A發(fā)生的各種原因與的概率進行重新評估。

尸(鳥)是在沒有任何額外信息時Bj發(fā)生的先驗概率，而P?lA)是在知道事件A發(fā)生后Bj發(fā)生的后驗概

率。貝葉斯公式通過利用新的信息A來更新我們對各個原因與發(fā)生概率的認識。

4.貝葉斯公式的應用步驟

第一步，確定樣本空間。和合適的劃分用，B2,,B,,這要依據(jù)具體問題的背景和條件來選擇,

通常選取與所研究事件有密切關聯(lián)且其概率容易計算的事件作為劃分。

第二步，計算每個比的先驗概率尸（瓦）。

第三步，計算在每個烏發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率尸（AI耳）。

第四步,將尸（耳）和尸（A|耳）代入貝葉斯公式fp（4）p（A|g）計算出后驗概率

1=1

P（與IA）。

5.貝葉斯公式的應用示例

例如，在一個疾病診斷的例子中，已知某種疾病在人群中的發(fā)病率為尸（。）=0。1（。表示患?。?，-

種檢測方法對患病者檢測呈陽性的概率為尸（+1。）=0.99,對未患病者檢測呈陽性的概率為

P（+1D）=0.05（方表示未患?。，F(xiàn)在有一個人檢測結果為陽性，求他實際患病的概率P（D|+）。

這里樣本空間可劃分為患病。和未患病方。已知？（。）=0.01,則P（方）=1—0.01=0.99,

P（+1￡＞）=0.99,P（+1D）=0.05

、P（D）P（+1D）0.01x0.99…八

根據(jù)貝葉斯公式，P（D+）=----------—-----h=----------------------a0.169,

P（D）P（+|D）+P（D）P（+|D）0.01x0.99+0.99x0.05

6.貝葉斯公式的意義和作用

貝葉斯公式在很多領域都有重要應用。它可以幫助我們根據(jù)新的證據(jù)或信息來更新對事件發(fā)生概率的

判斷，從而做出更合理的決策。在機器學習、數(shù)據(jù)挖掘、人工智能等領域，貝葉斯公式是貝葉斯分類器等

算法的基礎，用于根據(jù)已知的特征數(shù)據(jù)來推斷類別等未知信息。在醫(yī)學診斷、市場預測、風險評估等方面，

它也能通過不斷納入新的數(shù)據(jù)來修正先驗判斷，提高決策的準確性和可靠性。

例題精選

【例題1】（2025?廣東佛山?二模）某校元旦晚會設計了一個抽獎游戲，主持人從編號為L2,3,4四個外觀相

同的空箱子中隨機選擇一個，放入獎品，再將四個箱子關閉，即主持人知道獎品在哪個箱子.當抽獎人選

擇某個箱子后，在箱子打開之前，主持人會隨機打開一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇

以便增加中獎概率.已知甲先選擇了1號箱子，此時主持人打開2號箱子的概率為,在主持人打開2號

箱子的情況下，獎品在4號箱子的概率為.

【例題2】（23-24高二下?福建三明?期末）假設有兩箱零件，第一箱內裝有10件，其中有2件次品；第二箱

內裝有20件，其中有5件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機取1個零件.

（1）求取出的零件是次品的概率；

（2）已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.

【例題3］（23-24高二下.福建泉州?期中）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟

了人機自然交流的新紀元ChatGPT所用到的數(shù)學知識并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應用于

ChatGPT中.某學習小組設計了如下問題進行探究：甲和乙兩個箱子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲

箱中有3個紅球、2個白球，乙箱中有4個紅球、1個白球.

⑴從甲箱中隨機抽出2個球，在已知抽到紅球的條件下，求2個球都是紅球的概率；

（2）拋一枚質地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于4,從甲箱子隨機抽出1個球；如果點數(shù)大于等于5,從乙箱

子中隨機抽出1個球.求抽到的球是紅球的概率；

（3）在（2）的條件下，若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率.

相似練習

【相似題1］（2023?福建三明?三模）在二十大報告中，體育、健康等關鍵詞被多次提及，促進群眾體育和競

技體育全面發(fā)展，加快建設體育強國是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的一個重要目標.某校為豐富學生的課

外活動，加強學生體質健康，擬舉行羽毛球團體賽，賽制采取3局2勝制，每局都是單打模式，每隊有5名

隊員，比賽中每個隊員至多上場一次且是否上場是隨機的，每局比賽結果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、

3

乙兩隊進入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲隊種子選手M對乙隊每名隊員的勝率均為甲隊

4

其余4名隊員對乙隊每名隊員的勝率均為g.（注：比賽結果沒有平局）

⑴求甲隊最終2:1獲勝且種子選手M上場的概率；

（2）已知甲隊2:1獲得最終勝利，求種子選手M上場的概率.

【相似題2】（2023?山東濰坊.模擬預測）某校舉行“強基計劃”數(shù)學核心素養(yǎng)測評，要求以班級為單位參賽,

最終高三一班（45人）和高三二班（30人）進入決賽.決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4

個選擇題和2個填空題，乙箱中有3個選擇題和3個填空題，決賽由兩個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級

每位同學在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答，作答后放回原箱.并分別統(tǒng)計兩班級學生測評成績的相

關數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長王剛和二班班長李明進行比賽，并分別統(tǒng)計兩人的測評成績的相關數(shù)據(jù)，兩

個環(huán)節(jié)按照相關比賽規(guī)則分別累計得分，以累計得分的高低決定班級的名次.

（1）環(huán)節(jié)一結束后，按照分層抽樣的方法從兩個班級抽取20名同學，并統(tǒng)計每位同學答對題目的數(shù)量，統(tǒng)計

數(shù)據(jù)為：一班抽取同學答對題目的平均數(shù)為1,方差為1；二班抽取同學答對題目的平均數(shù)為1.5,方差為

0.25,求這20人答對題目的均值與方差；

（2）環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽取題

目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率.

【相似題3]（23-24高二下?浙江溫州?期中）有3臺車床加工同一型號的零件，第1,2,3臺加工的次品率

分別為6%,5%,4%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)之比為5：6：9,

現(xiàn)任取一個零件，求：

（1）它是第1臺機床生產(chǎn)的概率是多少？

（2）它是次品的概率是多少.

（3）若取到的這個零件是次品，那么它是哪臺機床生產(chǎn)出來的可能性最大?用具體數(shù)據(jù)說明.

【題型7：全概率公式與數(shù)列結合】

知識講解

全概率公式與數(shù)列結合的常見類型

一步轉移概率問題

例如，在一個有〃個狀態(tài)的馬爾可夫鏈中，設瑪?表示從狀態(tài)，轉移到狀態(tài)/的概率，X"表示時刻〃的

狀態(tài)。已知初始狀態(tài)x0=i,求P（X”=j）。

我們可以利用全概率公式來建立遞推關系。考慮在時刻〃-1的狀態(tài)，設&=｛X“_]=左｝,左=1,2,,n,

則P（X“=/）=￡P（X“T=k）P（X?=j\X,T=左）=￡%P（X“_1=k）。

k=\k=\

“1/—Z

令=P（X,=j）,則得到數(shù)列｛*/｝的遞推式anJ=￡Pkjan_tk,n>l,%,=F'一.。通過

k=l[U,J手I

求解這個遞推式，可以得到P（X“=j）的表達式。

產(chǎn)品抽樣檢驗問題

設有一批產(chǎn)品，其中次品率為P,每次從中隨機抽取一件，檢驗后放回?，F(xiàn)連續(xù)抽取〃次，設4表示

“第〃次抽到正品”，及表示“前左—1次抽到正品，第左次抽到次品"，左=1,2,,n.

由全概率公式可得P（4）=XP（紜）P（4J用）。因為每次抽樣是獨立的，所以P（AJ瓦）=1一2（當

k二l

左<〃時），m,|5,,）=1,p（Bk）=p（i—p）i。

〃一1八一1

則P(A“)=XP(1—P)I(1-2)+P(1-P)"TX1=(1—p)XP(1—2)I+P(1—P)1。

k=lk=l

n-\

令4=p(4),則a〃=(i—P)XP(I—P)J+P(I—p)"-，這是一個關于數(shù)列｛%｝的表達式，通過等

k=\

比數(shù)列求和公式等方法可以進一步化簡求解。

解題步驟

首先，根據(jù)問題的實際情況，確定樣本空間的劃分以及相關事件的概率。

然后，利用全概率公式建立數(shù)列的遞推關系。

最后，通過求解遞推關系，如利用累加法、累乘法、構造等比數(shù)列等方法，求出數(shù)列的通項公式，從而得

到所要求的概率。

示例

一個袋子里有3個紅球和2個白球，每次從袋子中隨機取出一個球，取出后放回。設%表示第〃次取到紅

球的概率。

第〃次取球時，考慮第九-1次的情況。若第1次取到紅球(概率為%_i),則第〃次取到紅球的概率為

33

—；若第1次取到白球(概率為1-),則第〃次取到紅球的概率為一。

55

33333

由全概率公式可得4=4TXg+(l—%T)Xw=§,n>2,又所以僅”｝是常數(shù)列，4=§，

neNJ

全概率公式與數(shù)列結合的問題需要綜合運用概率知識和數(shù)列的求解方法，通過建立遞推關系來解決概率問

題，在實際應用中具有廣泛的意義，能幫助我們分析一些具有動態(tài)過程的隨機現(xiàn)象。

例題精選

【例題1】(2023?新課標I卷?高考真題)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人

繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃

的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(>，=力.記

(3)己知：若隨機變量X,服從兩點分布，且尸(X,=l)=l-P(Xj=0)=q,/=l,2,則E

i=l

前〃次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為y,求E(y).

【例題2】（2025?四川成都?二模）北湖生態(tài)公園有兩條散步路線，分別記為路線A和路線8.公園附近的居

民經(jīng)常來此散步，經(jīng)過一段時間的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇路線A的居民第二天選擇路線A和路線8的概率

均為1;前一天選擇路線B的居民第二天選擇路線A和路線B的概率分別為g和.已知居民第一天選擇路

244

19

線A的概率為：，選擇路線B的概率為2.

（1）若有4位居民連續(xù)兩天去公園散步，記第二天選擇路線A散步的人數(shù)為y,求y的分布列及期望；

⑵若某居民每天都去公園散步，記第?天選擇路線A的概率為P,..

（i）請寫出匕+1與匕（〃eN*）的遞推關系；

,.16.nM,

(ii)設M八=-4訐?]A<----1-------F+2<((〃eN*).

取|15^,-9|'水".4M2M3

Mn+l

【例題3】（2025?湖北?二模）已知某商店出售商品A,據(jù)統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)顧客對商品A的需求量相對穩(wěn)定,

每周內對商品A的不同需求量（單位：個）與概率的數(shù)據(jù)如下：

對A的需求量0123

]_j_￡1

概率尸

8248