拓展：圓錐曲線焦點三角形問題（技巧解密+6考點+過關(guān)檢測）解析版

專題拓展：圓錐曲線焦點三角形問題

模塊一思維導圖串考點

。>模塊二方法技巧全解密-------------------------

一、焦點三角形的定義與常用性質(zhì)

1、定義：橢圓上一點與橢圓的兩個焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”。

一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立|然|+|4月|,片「+仙月「

用I之間的關(guān)系，采用整體代入的方法解決焦點三角形的面積、周長及角的有關(guān)問題

（設(shè)/々A乙為

2、常用性質(zhì)

性質(zhì)1：+閭=2a,忸制+忸閭=2。（兩個定義）

拓展：的周長為|明|+|9|+|耳聞=2a+2c

AAm的周長為|前|+1里|+忸制+忸閭=4a

性質(zhì)2：4c2=|片用2=|A4「+|A閶2_2,片上閶cos6（余弦定理）

性質(zhì)3：當A為短軸的端點時，/耳人鳥最大

推導：由性質(zhì)2得，

二」二+|伍『一4c2=（|A用+|A用『一2|的懶聞一4A=（2aL||A用-4,2=2/

C°S-2|回四-2MMi"2仙用a閭"R||A^|-1

AFAF2

?：\AF}\\AF2\<^'^^}=2a,當且僅當|四|=|A閭時，即點A是短軸端點時取等號，

\2/

2b22b2

/.cos0=

\^\\AF2\~一丁

又???y=cosd在(O,〃)上單調(diào)遞減，.?.當A為短軸的端點時，/耳46最大。

1/□

性質(zhì)2

4：SMFIF2=-|Afj||A^|sin^=/jtan-=c|yA|

當1yAi=6,即A為短軸的端點時，AA4鳥的面積最大，最大值為be

2A2?序

推導:由性質(zhì)3的推導過程得COSe=-I,：.\AE\\AFA=——,

|A^||A^|1111211+cos，

?.eo

2b22sin—cos—A

?q?sin6=Z?2-------2___2__y1tan—

?,耳6

2、cos2—。2

2

二、雙曲線的焦點三角形

1、如圖，F(xiàn)「F,是雙曲線的焦點，設(shè)P為雙曲線上任意一點，記3PF,=8,貝。居的面積5=--

C7

tan—

2

2、焦半徑公式:如圖，對于雙曲線，戶⑷=eXo+a,\PF^=ex0-a,對雙曲線，其焦半徑的范圍為［c-7篦,+<?).

3、雙曲線中，焦點三角形的內(nèi)心/的軌跡方程為x=a(-b<y<b,ywO).

證明：設(shè)內(nèi)切圓與尸月，尸乙，《心的切點分別為",N,T,則由切線長定理可得

I加閆叫，寓叫=|耳刀曬N|=|固］，因為|「耳|一|尸閭=國”|—|頊0|=寓陷一同刀=2,

|耳聞=|耳刀+國刀=2c,所以|ET|=c-a,所以點T的坐標為(。,0),所以點/的橫坐標為定值a

4、如圖，過焦點尸2的弦A3的長為乙則的周長為4m+2九

3模塊三核心考點舉一反三

考點一：焦點三角形的周長

例1.（23-24高二上?天津?月考）已知橢圓C：]+營=1，過左焦點《的直線交C于A,8兩點,

則居的周長為（）

A.12B.16C.20D.32

【答案】B

22

【解析】由土+匕=1,得標=16,得a=4,

169

所以△小犯的周長為+|你|+忸叫=|時|+忸耳|+|鉆|+忸閭=面=16.故選：B

22

【變式1-1]（23-24高二上.江西?月考）已知橢圓C:會+|^=l,A（0,-4）,B（0,4）,過A作直線PQ與C交于

P,Q兩點，則VBPQ的周長為（）

A.24B.20C.16D.12

【答案】A

【解析】由橢圓方程可知。=6力=26，則?！?-^=4,

所以A（0,T）,8（0,4）是橢圓C的焦點，

所以8P。的周長為/=|M+忸H+NQ+忸°1=4。=24.故選:A.

【變式1-2］（23-24高二下?江蘇鹽城?月考）已知雙曲線C：4=1的左，右焦點分別為瑞，居，過F2的

169

直線與雙曲線C的右支交于A,B兩點,且|AB|=6,貝的周長為（）

A.20B.22C.28D.36

【答案】C

【解析】由題意知1aHM1=勿=8,怛耳卜網(wǎng)=2a=8,

所以|州|+忸天一|4閶-忸閶=|胡|+忸司一|相|=16,

又|一|=6,所以|明|+|明|=22,

所以滔AB的周長為|明|+|即|+|AB|=28.故選：C.

【變式1-3］（23-24高二下?河北邢臺?期中）已知匕，瑞分別是雙曲線C：/-3=1（。>0,6>0）的左、

右焦點，忸劇=2c,點尸在C的右支上，且△刊第的周長為6c,則回|=（）

A.3c-aB.3c+aC.2c—aD.2c+a

【答案】D

【解析】由雙曲線定義可知：|助|-|/里|=2a,

則三角形/月工的周長為國閭+|助|+B閶=2c+|P耳|+|P娟-2a=6c,

故歸司=2c+a.故選：D.

考點二：焦點三角形的面積

［、1例2.（23-24高二上?重慶?期末）若點P在橢圓：+<=1上，耳，居分別是橢圓的兩焦點，且

ZFtPF2=6O°,則△片尸鳥面積是（）

A.3B.逑C.拽D.工

6333

【答案】B

22

【解析】首先我們需要確定橢圓的基本參數(shù)，對于橢圓小=

故c=y/a2—b2=J4-2=y/2■

根據(jù)橢圓的定義，對于橢圓上的任意一點P(x,y)有:

\PF\l+\PF^=2a=4……①，|耳門|=2c=2應(yīng)……②

由題知/月尸8=60°……③

2*42

在△耳尸工中使用余弦定理有：\F1F11=|尸?、?1PF21-21尸印|PF21cosNFFB……④

將①②③代入④式得到：8=16-31尸￡||PF2|n|助||即|=|……⑤

現(xiàn)在我們可以計算三角形的面積：SFiPF2=l|Pf；||PF,|sin600=1x|x^=^

因此，△月產(chǎn)乙的面積是述.故選：B.

一3

22

【變式2」】⑵3高二上?陜西西安?期中）已知點尸在橢圓叫+方―。）上'點人瑞分別為

橢圓C的左、右焦點，滿足PFJPF〉的面積為12，橢圓C的焦距為8,則橢圓C的標準方程為（）

A.二+二=1B.旦+￡=1D

c尤―t-京+》1

882476124024

【答案】D

【解析】橢圓C的焦距為8,則用閭=2c=8,

由尸月，尸工，APT第的面積為12,得；|尸德|尸刃=12,即|助歸閭=24,

又陷『+|尸球=|耳圖’=64,

所以（歸國+儼閶）2=|叫「+忱區(qū)「+2歸國歸引=H2,即4/=112,a2=28,

又c=4,則〃=/-c2=i2,

則橢圓C的標準方程為W+上=1.故選：D.

22

【變式2-2］（23-24高二上.四川成都?月考）設(shè)耳，居分別是雙曲線2L一三=1的下、上焦點，尸是該雙曲

412

線上的一點，且引防|=5|尸閶，則的面積等于（）

A.12B.24C.12若D.24石

【答案】B

【解析】由雙曲線上-二=1得。=2,b=2百,c=4,

412

又3|「耳|=5|尸鳥|,且|尸耳卜|尸q=20=4,得至同尸耳卜10,|產(chǎn)司=6,

所以|P珊—|P圖2=64=（2c『=|大詞2,即叢PF居為直角三角形，

所以Sy和=；忸閶閨K|=；x6x8=24.故選：B.

【變式2-3]（23-24高二上?河南南陽?期末）若橢圓（+\=1和雙曲線的共同焦點為《，居，P

是兩曲線的一個交點，則△「片心的面積值為（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】A

【解析】不妨設(shè)片為左焦點，工為右焦點，P為兩曲線在第一象限的交點，

〕叫+戶用=10

則由已知得，尸耳卜|尸周=4，1,

卡1=6

則附『+廖②=―閭）；（附=100+32=66,

-：（陽㈤「馬）^^H也『100-32：J

2

cos/PF」尸用+照266-3615

c0j片尸鳥2|尸耳-lW

P刃2x1717

__8_

則sinZFPF=《1-cos2

l2-17

11Q

所以5所得二。？7時尸用sinNGPE=/xl7x萬=4.故選：A.

考點三：焦點三角形的內(nèi)角

22

例3.（23-24高二上?山西呂梁?期中）已知瓦尸2分別是橢圓。：二+匕=1的左，右焦點，M是橢

94

圓C上一點，且叫，耳片，貝i]cosN￡Mg=()

3D.還

AB.-

-I57

【答案】A

【解析】由橢圓的方程，得月卜石,0）,^（75,0）,

因為孫，耳工，所以加卜布,先）,

524

所以+-

又加卜正,為）在橢圓C上,9-2403

即阿6=g,M用=6-|崢|=弓，

\MF.\2

所以cosNFiMF[=6高=三.故選：A.

\MF2\7

22

【變式3-1]（23-24高二上?河北唐山?期中）橢圓C:/一+匕=1的焦點為《、尸?，若點尸在C上且滿足

10075

|母;|一|尸閭=8,則△甲譙中最大角為（）.

A.60B.90C.120D.150

【答案】C

【解析】在橢圓C中，a=10,b=5y/3,則0=4儲_廿=5,

（PF-PF=8

由已知可得/"”，所以，歸娟=14,|尸詞=6,但用=10,

11

[PFX+PF2=20

所以，|尸聞>閨閶>|正囚，故在△一時中,NPF2K最大,

由余弦定理可得cos/尸耳居二|尸.|T：用=_/,

2|尸入卜忸耳|2

0</尸乙片<180,故NP&月=12。，故選：C.

2

【變式3-2]（23-24高二上?河北衡水?月考）已知耳，F(xiàn)?分別是雙曲線c：/-2L=i的左、右兩個焦點，點

一2

M在雙曲線的右支上，且|崢|+|咋|=6,則/叫此=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】由題意可得寓閭=2717^=26,

由雙曲線的定義得|摩|—|斯2|=2,而|討|+|用?\|=6,解得|町|=4,|AfF2|=2

由余弦定理得c°s〃/『平fT產(chǎn)2J⑹12

2.M7訃耳圖2x4x2指2

所以與耳=30°.故選：A.

【變式3-3](22-23高二下?貴州黔東南?期末)己知不心分別是雙曲線C：J-：=1的左、右焦點，。是

坐標原點，點P是雙曲線C上一點，且|OP|=J宿，則cosN￡P(guān)g=()

【答案】A

【解析】在雙曲線中，4=2,b=6,則0=1/+廿="

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點尸在雙曲線的右支上，貝”尸耳卜|尸耳|=4.

因為閨閭=2C=25，所以|「耳|=r+4,|叫|="

在△2/陽中，閨段2=|P周,+盧圖?一2|尸制9|cosN居

28=/+Q+4)2-+4)cos/FFB①

在△尸月月中，。是「區(qū)中點，則2Po=期+尸月，

/uum2/UUfflUULT\2

兩邊平方可得(2尸O)x=(助+尸工)，

所以40=/+?+4)2++4)cos/FFB②

所以產(chǎn)+今=940=2產(chǎn)+8/+16+2/(/+4)cos/耳尸耳，40=18+16+18cosNf；P/,

.-.cosZf；PF=1.故選：A.

考點四：焦點三角形的內(nèi)切圓

[^2]例4.(23-24高二上?吉林?期末)已知橢圓方程為c：]+[=l,尸為橢圓上一點，若/月尸8=90。,

「為△￡2月的內(nèi)切圓，貝什=()

A.V6-V2B.2A/2-A/6C.2行+#D.#+夜

【答案】B

【解析】

由橢圓定義及圓切線性質(zhì)知：叫+力-/L-=2應(yīng)一技故選:B

【變式4-1］（23-24高二上.全國?專題練習）已知一個離心率為長軸長為4的橢圓，其兩個焦點為耳,

F2,在橢圓上存在一個點尸，使得N耳尸鳥=60。，設(shè)△￡「耳的內(nèi)切圓半徑為r,則r的值為（）

A.eB.—C.正D.正

6323

【答案】D

【解析】因為橢圓的離心率為長軸長為4,所以a=2,c=l,

在△尸片耳中，由余弦定理得：

|耳球=|「球+|尸酸-2閥H%|.COS60=（|明+|尸閶）2_3|尸圖.|尸閭,

解得附卜熙|=4,

所以5^=||Pf；|.|P^|.sin60=*（歸用+忸閶+忻用），

—x4x^--=—rx（4+2）,解得故選：D

222'，3

2

【變式4-2］（22-23高二上?陜西咸陽?月考）己知耳，居為雙曲線x2-（=l的左，右焦點，尸為雙曲線右

支上異于頂點的任意一點，設(shè)△尸片鳥的內(nèi)切圓半徑為，，圓心為M,若|嗎|=4-r，貝〃=（）

【答案】C

【解析】設(shè)△△百鳥的內(nèi)切圓分別與尸耳，尸西切于MB,與《鳥切于"如圖,

則|PN|=|PB\,\F［N|=|居HI,|F2B|=|F2HI,

又點尸在雙曲線右支上，所以|尸耳-|尸61=2“，

故|4H|-|gH|=2。，而|耳印+|工8|=2c,

設(shè)H的坐標為（羽。）,可得：（%+。）一（。一x）=2a,解得尤=。=1,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為小則內(nèi)切圓圓心為（1/）,

又|班卜4-人即J（l+2）2+（r-0）2=4—r,解得.故選：C

O

22

【變式川823高二上.遼寧沈陽.期末）尸是雙曲線+『1右支在第一象限內(nèi)一點，小鳥分別為

其左、右焦點，A為右頂點，如圖圓C是8的內(nèi)切圓，設(shè)圓與尸片，尸月分別切于點。，E,當圓C的

面積為4兀時，直線尸耳的斜率為（）

444

A.土一B.一或0C.0D.一

333

【答案】D

【解析】由題意可知I即=1咫,|月。=|耳明怩'=優(yōu)同，

所以|尸周一|%|=（|如|+|阿|）-（|尸耳+|%卜|。耳|一年周=|四|一|明|=4,設(shè)A（x0,O）,

則（Xo+c）—（c—毛）=2。,即不=。,即A（a,0）=（2,0）,

設(shè)圓C半徑為r（r>0）,因為圓C的面積為4兀，

貝U+=4兀，即r=2,因為C4,月乙，所以C（2,2）,

\CA\2

于是29=高=13r2.

因為CK是/尸乙月的角平分線，所以

2tanZCT^A4

tanZPFF=tan（2ZC/^A）=

2X2

1-tanZCF2A3

所以tanNPK%=tan（兀一/P&K）=-tan/Pg月=g,

4

即直線P心的斜率為故選：D

考點五：焦點三角形的中位線

「、一［例5.（23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期末）焦點為耳，%的橢圓!+：=1上有一點尸，若線段尸片的中

點落在y軸上，則|尸鳥|=.

【答案】1

22

【解析】橢畤+?］的Z

由于線段尸月的中點落在y軸上，而。是線段月月的中點,

所以尸心，片鳥，所以與=及，

由回_+父=1解得尸±1,不妨設(shè)尸（0,1）,則|%=1.

42

故答案為：1

22

【變式5/】⑵3高二上.內(nèi)蒙古?期末）已知耳與分別是橢圓M:＞與=l-四的左、右焦點’P為

用上一點，尸與M的頂點不重合，48分別為期,P鳥的中點，。為坐標原點，且|。4|+|。用=3,則M的

焦距為.

【答案】2s

【解析】如圖，因點。，A8分別為百耳，尸月，尸月的中點，

故|OA|+|O邳=）忸用+；|P￡|=gx2o=3,得a=3,

則M的焦距為2，--2=2近?

故答案為：2幣.

22

【變式5-2]（23-24高二上.貴州安順?期末）已知雙曲線C:土-匕=1的左焦點為F,點尸在雙曲線C的右

916

支上，M為線段FP的中點，若M到坐標原點的距離為7,則|尸耳=（）

A.8或20B.20C.6或22D.22

【答案】B

【解析】由雙曲線方程可知，/=9,。=3,設(shè)雙曲線的右焦點為尸，

.母尸中，點機。分別是尸￡"'的中點，所以|MO|=g|尸曰=7,

則|PF[=14,又因為|PF|=|PF|+2a=14+6=20.故選:B

r22

【變式5-3]（23-24高二下?福建南安?月考）已知雙曲線C：5-*=1（。＞0/＞0）的離心率為2,C的左、

ab

右焦點分別為K，尸2,點尸在。的右支上，尸片的中點N在圓0：/+/2=02上，其中。為半焦距，則

sinZFiPF2=()

A.立B.坦C.31

D.

4248

【答案】A

【解析】連接ON,則有ON是居的中位線，

因為ON=c,所以尸工=2c

所以由雙曲線的定義可得PG=2c+2a

Ry?

因為雙曲線C：+-*=1（“>0/>0）的禺心率為2,所以c=2a

ab

所以尸耳=3c,在APRF2中由余弦定理可得cos/F\PF2二%十牝牝=-

2-3c-2c4

所以sin/甲第=也故選：A

4

考點六：焦點三角形的角平分線

'例6.（23-24高二上?山東鄒平?月考）月、瑞是橢圓c：￡+f=l的左、右焦點，點尸在橢圓C上,

2516

過耳作/的尸罵的角平分線的垂線，垂足為M,若1?！?=2,則|P￡|的長為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】如圖，延長耳加交「U的延長線于點8,

因為“PM=NBPM,FtB±PM,

所以|用Vn=|M3|,|P￡|=|PB|

又|酊|=|。工。所以0M〃耳氏|為例=2|。河|=4,

由橢圓的定義得I尸41+1尸工1=2x5=10,|尸名|=|尸耳-4,

所以|尸￡|十|「￡|一4=2義5=10,.」「月|=7.故選：C

2

【變式6-1］（23-24高二下.河南鄭州?開學考試）已知P為橢圓C:二十方=1（〃>/?>0）上的點,可,居分別

a

、.1

為橢圓。的左、右焦點，橢圓。的離心率為不一6P工的平分線交線段耳用于點。，則/=（）

2

A.2B.正C.72D.—

32

【答案】A

【解析】因為/耳尸鳥的平分線交線段于點Q，所以/月尸。=/月尸。，

I叫1西I%碎|

由正弦定理得

sinZFPQ\inZPQF

sinNPQ片l2sinZF2PQ

又因為sinNPQF]=sinZPQF2,sinZFtPQ=sinZF2PQ,

所以F產(chǎn)^制二一國四=國

\QF\'

明MPF2\2

不妨設(shè)|尸耳|=羽。(-〃,0),則閥I=2a-x,\QFi\=c-n,\QF2\=c+n,

貝1^^=匕，解得、="二1,

2a—xc+nc

a{c-ri)

所以1尸用_X_c_4=1.2?故詵:A.

\QF{\c-nc-nce

22

【變式6-2]（23-24高二上?福建廈門?月考）如圖所示，已知耳，B是橢圓「亍+（=1的左右焦點，尸是

橢圓上任意一點，過歹2作/耳尸乙的外角的角平分線的垂線，垂足為。，則點。的軌跡方程為（）

+了11

D.y1=4x

4

【答案】A

【解析】延長￡。,與耳尸的延長線交于點“，連接。Q,

由PQ是/耳P&外角的角平分線，且

在，「月〃中，|「乙|=|正加|且。為線段8M的中點

又。為線段月入的中點，

由三角形的中位線：[0Q|=；|百M|=g（|尸耳|+1PF21）,

根據(jù)橢圓的定義得：|「用+|尸居|=4,則|。0=2,

點。的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓，點。的軌跡方程:

【變式6-3]（22-23高二上?江蘇南通?月考）橢圓C:[+]=l的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過冗作傾斜

角為1?的直線交橢圓于點“（”在X軸的上方），連接“，再作耳的角平分線/,點名在/上的投

影為點N,則ON（其中。為坐標原點）的長度為（）

A.立B.1C.3D.1

222

【答案】D

【解析】由題知。=3,Z?=逐,c=2,

因為M在橢圓上，所以|M耳|+|""|=2。=6,

^\MFl\=m,\MF2\=6-m,

jrS

在中，由余弦定理得（6-m）2=〃/+4?-2x4x〃?xcoS],解得機=5,

57

所以，|嗎|=孑，|姐|=?,

延長入N交"居于"，

因為/是/居”的角平分線，點F?在/上的投影為點，

所以N是你的中點，"I,

因為。是月耳的中點，

所以O(shè)N=；|班|=；（|吟一|"耳|）=m）=；.故選：D

3模塊四小試牛刀過關(guān)測-------------------------------

一、單選題

22

1.（23-24高二上?江西撫州?月考）橢圓弓+告=1的兩個焦點分別為6,工，點〃在橢圓上運動，則△回心

的周長為（）

A.6B.2qC.8D.10

【答案】D

22

【解析】由二+匕=1,得4=9,/=5,

59

則a=3,b=6,c=J/-3=2、所以閨耳|=2c=4,

因為點M在橢圓上運動，所以|町|+|叫|=2〃=6,

所以△町居的周長為1M|+|咋|+|4閭=6+4=10,故選：D

丫2

2.（23-24高二上?四川德陽?期末）設(shè)耳、F,是橢圓C：土+y2=i的兩個焦點，點尸在C上，若工為

4

直角三角形，則心的面積為（）

A.WB.6C.6或1D.1或W

22

【答案】D

【解析】由已知。=2力=1,。=6,若是直角三角形，則直角頂點可能是點尸，

ZF\PF。=/閨P|+|P閶=4,閨呼+儼閭2=|6閶2=]2,

（|￡P(guān)|+|P用）2=|用#+|桃「+2用刊p國=16,二.出?歸用=2

SPF}F2=;閨川*=1;

若△「耳耳是直角三角形，則直角頂點可能是焦點月（或FQ為直角頂點,

此時|尸肉=）=；（或閘|=,），s曄亞.故選：D.

—x2^X—=

2a222

22

3.（23-24高二上.重慶?月考）已知橢圓C：二+匕=1的左、右焦點分別為尸2,點M在橢圓。上，當

259

的面積最大時，內(nèi)切圓半徑為（）

4

A.3B.2C1D.

7

【答案】D

22_________

【解析】因為橢圓為無"+方~=1,所以〃=5,b=3,c=1a2-b?=4,

當△叫工的面積最大時，點M在橢圓C的短軸頂點,

不妨設(shè)點M為橢圓C的上頂點,

點。為坐標原點，△町工內(nèi)切圓半徑為廣,

貝1岬|=|叫|=5,|^|=8,\OM\=39

因為S,"2=g（|摩I+M聞+閨引）r=J取即。M，所以廠=￡故選:

22

4.（22-23高二上.廣東?月考）已知橢圓C:2+方=1（?”>0）,耳，%是橢圓C的左、右焦點，焦距為2c,

M是橢圓C上一點，/是/的外角平分線，過尸?作/的垂線，垂足為尸，則|0外=（）

A.2aB.bC.cD.a

【答案】D

【解析】延長鳥尸交片M的延長線于點N,如圖所示:

，加叫為等腰三角形，可=|MN|,且P為鳥N的中點，

又\MF}\+\MF2\=2a,.-.|MF；|+|ACV|=|^|=2a,

尸為BN的中點，尸為片工的中點，==a.故選：D.

22

5.（23-24高二上.湖南益陽?期末）己知片，耳是雙曲線q：?-匕=1（機>0）的左、右焦點，點P在雙曲線

C上，PF^PF.,且S即弓=8,則小的值為（）

A.25/2B.4C.5D.8

【答案】D

【解析】不妨設(shè)點尸在雙曲線的左支，且歸耳|=/>0,又0=2,所以歸閶=/+4,

因為阿_L%,且5曄=8,所以夕（/+4）=8,解得f=26-2,

所以戶胤=2?-2,|產(chǎn)國=2出+2,

在直角三角形尸片瑞中，由勾股定理有（24=4（/+4）=（2君-2?+（2石+2『=48,

解得相=8.故選：D.

6.（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）已知雙曲線￡-亡=1的左，右焦點分別為居,乙,尸為雙曲線右支上一點，

且的中點M在以。為圓心，。月為半徑的圓上，則|尸巴卜（）

A.6B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】依題意得，=16,1?=20,;.c2=36,從而c=6.

且|OM|=|OE|=c=6,

由M是尸B的中點，。是用耳的中點得，|P耳|=2|加上12.

尸在雙曲線的右支上，

:.\PF1\-\PF2\=2a=8,因止匕|尸閱=12—8=4,故選：B.

二、多選題

7.（23-24高二上.遼寧沈陽?月考）己知尸為雙曲線'->2=1右支上的一個動點（不經(jīng)過頂點），工,F2

分別是雙曲線的左、右焦點，g的內(nèi)切圓圓心為/,過F?做耳尸/,垂足為A,下列結(jié)論正確的是

（）

A./的橫坐標為2

U△尸/g2A/5+5

C.|3=2D.

S△歷為5

【答案】ABC

【解析】雙曲線的實半軸長〃=2'半焦距-逐'

設(shè)△尸月月的內(nèi)切圓在尸片，PF2,月耳上的切點分別為切點TO,O）,

顯然2a=歸娟-|尸園=照用一|叫|=|有|一|叫|=2￡=4,即7=2,

而/T,月鳥，則/的橫坐標為2,A正確；

》（盧周一|尸引）

設(shè)△產(chǎn)/陽的內(nèi)切圓半徑為r,則2PIF、-SPIFa2245

2/忑r，13正確;

q

延長巴人交月用于E點，由K4平分/耳尸工，PA±AF2f得|尸工|=|尸El,A為尸2石的中點,

因此2|。4|=,周=忙耳卜|尸引=4,即有|Q4k2,C正確;

g（|P娟+］尸鳥|+舊國）_戶用+。曰+|耳目24+2。_2逐+5

S

P6B

>七一,D錯誤.故選：ABC

S

22

8.（23-24高二下?四川成都?開學考試）已知橢圓C.+?=1的左，右焦點分別為片，B，點尸是橢圓c

上的任意一點，則（）

A.\PFi\+\PF2\+\F1F2\=4s/2+4B.1尸片川長力的最大值為8夜

C.IPK+P^I的最小值為4D.尸￡?"的最大值為4

【答案】ACD

22

【解析】對于A中，由橢圓。?上】，可得a=2A/2,b=2,則c=Ra2—b2=2，

根據(jù)橢圓的定義，可得怛川+1P段+忸閭=2a+2c=40+4,所以A正確；

對于B中，由|必|+|「耳|=2a=4及，可得|「用歸耳歸附川明=8,

\/

當且僅當|尸耳卜|尸耳|=20時取等號，所以B錯誤；

對于C中，設(shè)P(2&cos6,2sin6),可得尸耳=(-2-2&cosa-2sin。)，P瑪=(2-2夜cos8,-2sin9),

則||=732cos20+16sin26>=A/16COS26>+16e[4,4及]，所以C正確；

對于D中，由C項，可得尸￡=8cos29-4+4sin29=4cos29e[0,4],所以D正確,故選：ACD.

三、填空題

9.(23-24高二上?安徽安康?期中)已知橢圓工+[=1的