實數(shù)（6考點+21題型）-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（廣東專用）

第一章數(shù)與式

第01講實數(shù)（3~6分）

A題型06化簡多重符合

A題型07相反數(shù)的應(yīng)用

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航A題型08求一個數(shù)的絕對值

A題型09化簡絕對值

A題型10絕對值非負(fù)性的應(yīng)用

02知識導(dǎo)圖?思維引航A題型11乘方運算

A題型12乘方的應(yīng)用

考點突破考法探究

03?命題點三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)

考點一實數(shù)的分類（高頻考點）A題型01用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)

A題型02求一個數(shù)的近似數(shù)

考點二實數(shù)的相關(guān)概念（高頻考點）

考點三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點）

命題點四平方根、算術(shù)平方根、立方根

考點四實數(shù)比較大小A題型01求一個數(shù)的算術(shù)平方根

A題型02利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

考點五平方根、算術(shù)平方根、立方根A題型03求估算算術(shù)平方根的取值范圍

A題型04已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

考點六實數(shù)的運算（高頻考點）

A題型05求一個數(shù)的立方根

命題點五實數(shù)的運算

04題型精研?考向洞悉

A題型01實數(shù)的運算

命題點一實數(shù)的分類

A題型01實數(shù)的分類05分層訓(xùn)練鞏固提升

A題型02無理數(shù)估值

A題型03相反意義的量

基礎(chǔ)鞏固

命題點二實數(shù)的分類能力提升

A題型01用數(shù)軸上的點表示數(shù)

A題型02數(shù)軸上兩個點的距離

A題型03根據(jù)點數(shù)軸的位置判斷正負(fù)問題

A題型04數(shù)軸上的動點問題

A題型05判斷是否為相反數(shù)

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

d

考點要求新課標(biāo)要求考直頻次命題預(yù)測

理解有理數(shù)、無理數(shù)的概念，知道10年7考實數(shù)這一考點在中考數(shù)學(xué)中

實數(shù)的分類

實數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的屬于較為簡單的一類考點，在

可以借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值近10年連續(xù)考查中考，實數(shù)的分類及相關(guān)概念

實數(shù)的相關(guān)概的意義，會求實數(shù)的相反數(shù)、絕對主要以選擇題或填空題形式

念值、倒數(shù)，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點考查，比較簡單;科學(xué)記數(shù)法、

----對應(yīng)近似數(shù)多以選擇題或填空題

利用科學(xué)記數(shù)法簡化表示非常大或10年8考形式考查，有大數(shù)和小數(shù)兩種

科學(xué)記數(shù)法、

非常小的數(shù)，了解近似數(shù)，會按問形式，有時帶“億”“萬”“千萬”

近似數(shù)

題的要求進(jìn)行簡單的近似計算等單位，做題時要仔細(xì)審題，

切忽略單位；實數(shù)的大小比較

實數(shù)比較大小靈活運用多種方法比較實數(shù)大小10年考

常以選擇題形式出現(xiàn)，常與數(shù)

平方根、算術(shù)了解平方根、算術(shù)平方根、立方根10年10考

軸結(jié)合考查；實數(shù)的運算考查

平方根、立方的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、

形式多樣，多數(shù)以解答題形式

根算術(shù)平方根、立方根

出現(xiàn)，結(jié)合絕對值、銳角三函

10年10考

掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘數(shù)、二次根式、平方根、立方

方及簡單的混合運算（以三步以內(nèi)根等知識考查.對于實數(shù)的復(fù)

實數(shù)的相關(guān)計

為主）；能運用有理數(shù)的運算解決簡習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握實數(shù)相

算

單的問題，知道有理數(shù)的運算律在關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用、實數(shù)

實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.運算法則和順序等考點.

知識導(dǎo)圖?思維引航

題型01實數(shù)的分類

考點一實數(shù)的分類題型02越數(shù)估值

題型03相反意義的量

題型01用數(shù)軸上的點表示數(shù)

題型02數(shù)軸上兩個點的距離

題型03根據(jù)點數(shù)軸的位置判斷正負(fù)問題

題型04數(shù)軸上的動點問題

題型05判斷是否為相反數(shù)子主題

題型06化簡多重符合

考點二實數(shù)的相關(guān)概念

題型07相反數(shù)的應(yīng)用

題型08求一個數(shù)的絕對值

題型09化簡絕對值

題型10絕對值非負(fù)性的應(yīng)用

題型11乘方運算

題型12乘方的應(yīng)用

題型01用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)

考點三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)

題型02求一個數(shù)的近似數(shù)

數(shù)軸比較法

類別比較法

作差比較法

考點四實數(shù)比較大小方法

平方比較;去

倒數(shù)比輸去

作商比較法

題型01求一個數(shù)的算術(shù)平方根

題型02利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

考點五平方根、算術(shù)平方根、立方根

題型03求估算算術(shù)平方根的取值范圍

題型04已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)

題型05求一個數(shù)的立方根

考點六實數(shù)的運算題型。1實數(shù)的運算

考點突破?考法探究

考點一實數(shù)的分類（高頻考點）

1、正負(fù)數(shù)的概念：大于0的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)前面加上符號的數(shù)叫負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)前面的負(fù)號“「不能省略.0既

不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).

2、正負(fù)數(shù)的意義：表示具有相反意義的量.在一對具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個為正，則另

一個就用負(fù)表示.

3、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（本質(zhì)：能夠化為分?jǐn)?shù)的形式）.無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)

統(tǒng)稱為實數(shù).

4、實數(shù)的分類：

1）按定義分類：2）按性質(zhì)分類：

1.有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù),因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).（例：0.53（分?jǐn)?shù)形式:

—）、1.333333...（分?jǐn)?shù)形式：-）等）.

1003

2.無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù),因此無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).（例如:71,三（不是分?jǐn)?shù)）等）.

,a

3.帶根號的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).

4.對非負(fù)整數(shù)、非正整數(shù)、非負(fù)數(shù)、非正數(shù)分類時遺漏0.

針對訓(xùn)練

1.（2022?廣東東莞?三模）在-6,12,-（-5）,-|-3|,一『，。這六個數(shù)中，負(fù)數(shù)的個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】先利用相反數(shù)、絕對值和乘方的意義計算出-（-5）=5,-|-3|=-3,然后根據(jù)實數(shù)的分

類求解.

【詳解】解：-（-5）=5,-|-3|=-3,-12=-1，

所以這六個數(shù)中，負(fù)數(shù)為-6,-|-3|,-12.

故選：D.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，有理數(shù)乘方：求〃個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方.也考查了絕對值和

相反數(shù)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?廣東惠州?二模）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”.意思為今有兩數(shù)若其意

義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù).如果溫度上升3℃,記作+3℃,那么溫度下降7c記作（）

A.-3℃B.-7℃C.+3℃D.+7℃

【答案】B

【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就

用負(fù)表示.

【詳解】解：如果溫度上升3℃,記作+3℃,那么溫度下降7c記作-7℃,

故選：B.

3.（2022?廣東珠海?三模）下列各數(shù)中屬于無理數(shù)的是（）

22

A.3.14B.4C.為D.亍

【答案】C

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)

與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項.

【詳解】解：A、3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；

B、"=2是整數(shù)，是有理數(shù)，故本選項不符合題意；

C、游是無理數(shù)，故本選項符合題意；

D、學(xué)22是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；

故選C.

考點二實數(shù)的相關(guān)概念（高頻考點）

相關(guān)概念概念補充與拓展

數(shù)軸上的點與實數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系.

將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示

的數(shù)大.

數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向、

在數(shù)軸上距原點n個單位長度的點有2個.

單位長度的直線叫做

數(shù)軸中點公式：數(shù)軸上有兩點A、B分別表示的數(shù)為x,y,若C是A、

數(shù)軸.

B兩點的中點，C所表示的數(shù)為c,則有：2c=x+y.

數(shù)軸兩點距離=數(shù)軸上右側(cè)的點所表示的數(shù)-左側(cè)的點表示的數(shù)

（簡稱大數(shù)-小數(shù)）.

若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）.

互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個點到原點的的距離相等且

位于原點的兩側(cè).

只有符號不同的兩個

正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是。.相反數(shù)

相反數(shù)數(shù)稱為互為相反數(shù).

是本身的數(shù)是0.

（a+b）的相反數(shù)是-（a+b）,（a-b）的相反數(shù)是-（a-b）或b-a.

多重符號化簡口訣：數(shù)負(fù)號個數(shù)，奇負(fù)偶正.

絕對值在數(shù)軸上表示數(shù)a的兩個正數(shù)比較，絕對值大數(shù)越大；兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小.

點到原點的距離叫做正數(shù)的絕對值是它本身；0絕對值是0;負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)

a的絕對值，記為|a|.若|a|二a（或間-a=0）,貝!JaK）,若|a|二-a（或|a|+a=0）,則agO.

若a=b或a=-b,則|a|=|b|（反之亦成立）.

若|a|+|b|=O,則a=0且b=0（a、b可以是多項式）.

幾何意義補充：|x|=|x-0|,數(shù)軸上表示x的點到原點的距離

|x-l|,數(shù)軸上表示X的點與表示1的點之間的距離

|x+2|,數(shù)軸上表示x的點與表示-2的點之間的距離

0沒有倒數(shù).

1除以一個不等于零

若a、b互為倒數(shù)，則ab=l

倒數(shù)的實數(shù)所得的商，叫

互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)）.

做這個數(shù)的倒數(shù).

倒數(shù)是本身的只有1和-1.

n個相同的因數(shù)a相負(fù)數(shù)的奇次基是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù)

乘記作an,其中a為正數(shù)的任何次事都是正數(shù).

乘方

底數(shù)，n為指數(shù)，

規(guī)定：a°=l（aM）

乘方的結(jié)果叫做鬲.

易混易錯

1.0的相反數(shù)是0,0的絕對值是0.絕對值最小的數(shù)是。.最小的自然數(shù)是0.0是最小的非負(fù)數(shù).

2.任何一個數(shù)都有且只有一個相反數(shù).任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0（或非負(fù)數(shù)）.

3.到已知點的距離相等的點有兩個，注意分類討論.此外，運用數(shù)軸可以將絕對值化為幾何問題，代數(shù)式|x-a|

的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與a所對應(yīng)的點之間的距離，代數(shù)式|x+a|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的

點與一a所對應(yīng)的點之間的距離，不可將兩者混淆.

針對訓(xùn)練

1.（2024?廣東廣州?三模）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（）

-2-1012

A.a=bB.a-b>0C.a2<b2D.|o|>\b\

【答案】C

【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，判斷式子的符號即可.

【詳解】解：由圖可知：

/.a^b,a-b<0,\c^<\b\,cr<b2,

故正確的是C選項，

故選c.

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測）有理數(shù)大小比較的歷史可以追溯到古希臘和古印度時期.下列各組有理數(shù)大小比

較，正確的是（）

1Qq

A.1<—1B.—（—0.3）<――C.——<――D.—（—5）<0

【答案】B

【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，先化簡各個數(shù)字，再比較大小即可.

【詳解】原說法錯誤，不符合題意；

B.一（-0.3）=0.3,-1=1,貝卜（一0.3）<一,說法正確；

83Rq

C.--<-y,則-原說法錯誤，不符合題意；

D.-（-5）=5>0,原說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.2和—2B.一和一（—|C.—二和一D.2和一

3V3；332

【答案】A

【分析】本題考查了相反數(shù)和絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義.根據(jù)相反數(shù)的定義即可解答.

【詳解】解：A中、2和-2互為相反數(shù)，符合題意；

B中、一［一］=3,不是互為相反數(shù)，故不符合題意；

C中、-；=：，不是互為相反數(shù)，故不符合題意；

D中、2和;不是互為相反數(shù)，不符合題意;

故選：A.

考點三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點）

相關(guān)概念概念補充與拓展

用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時，確定a,n的值是關(guān)鍵

當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，寫成axlO11的形式，其中上間<10,

等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為n1

科學(xué)記數(shù)

axion的形式,其中l(wèi)w|a|V當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，寫成axl（yn的形式，其中上同<10,

法

10,n為整數(shù).n等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)（包括小

數(shù)點前面的零）.

小技巧：1萬=1。4,1億=1萬*1萬=1。8

近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是0的，不能去掉0

近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程

度通常用精確度來表示，近一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有

近似數(shù)似數(shù)一般由四舍五入取得，的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字

四舍五入到哪位，就說這

個近似數(shù)精確到哪一位.一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)

字

易混易錯

1.含有萬、億等單位的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示時，要先還原成原數(shù)，再用科學(xué)記數(shù)法表示，最后按要求取近

似值.

2.科學(xué)記數(shù)法的表示的數(shù)axle?還成成原數(shù)時，n>0時，小數(shù)點就向右移動n位得到原數(shù)；

n<0時，小數(shù)點則向左移動|n|位得到原數(shù).

3.對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示.例如：356000（精確到萬位）的結(jié)果是3.6x105.

4.用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字.例如：4.0x104的有效數(shù)字是4,0.

針對訓(xùn)練

1.（2024.廣東?中考真題）2024年6月6日，嫦娥六號在距離地球約384000千米外上演“太空牽手”，完成

月球軌道的交會對接.數(shù)據(jù)384000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3.84xlO4B.3.84xlO5C.3.84xlO6D.38.4xl05

【答案】B

【分析】本題考查了絕對值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定。，〃的值.

根據(jù)絕對值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為ax10",其中〃的值為整數(shù)位數(shù)少1.

【詳解】解：384000大于1,用科學(xué)記數(shù)法表示為axlO”，其中。=3.84,n=5,

：.384000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.84x105,

故選：B.

2.（2023?廣東深圳?中考真題）深中通道是世界級“橋、島、隧、水下互通”跨海集群工程，總計用了320000

萬噸鋼材，320000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.32xlO6B.3.2xlO5C.3.2xlO9D.32xlO8

【答案】B

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法求解即可.

【詳解】320000=3.2xl05.

故選：B.

【點睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中14時＜10,w為整數(shù).解

題關(guān)鍵是正確確定a的值以及n的值.

3.（2023?廣東?中考真題）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機商業(yè)首航取得圓滿成功，

C919可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.186xl05B.1.86xlO5C.18.6xlO4D.186xl03

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中1＜同＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原

數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于或等于10時，

〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，w是負(fù)整數(shù).

【詳解】解：將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.86xlO'；

故選B

【點睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.

考點四實數(shù)比較大小

.夯基-必備基礎(chǔ)知識推理

實數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法:

1,數(shù)軸比較法：將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.

2.類別比較法：正數(shù)大于零；負(fù)數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.

3.作差比較法：若a,b是任意兩個實數(shù)，則

@a-b>O?a>b；②a-b=06a=b；③a-b<O0a<b

4.平方比較法：①對任意正實數(shù)a,b,若a2>b2?a>b

②對任意負(fù)實數(shù)a,b,若a?>b2ga<b

5.倒數(shù)比較法：若l/a>l/b,ab>0,則a<b

6.作商比較法：1）任意實數(shù)a,b,a/b=l?a=b

2）任意正實數(shù)a,b,a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3）任意負(fù)實數(shù)a,b,a/b>l<=>a<b,a/b<l<=>a>b

考點五平方根、算術(shù)平方根、立方根

夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

相關(guān)概

概念補充與拓展

念

如果一個正數(shù)X的平方等于a,即x2=a,那

算術(shù)平正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平

么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.記為Ya,

方根方根為0;負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根

a叫做被開方數(shù).

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù).

平方根做a的平方根或二次方根，即如果x2=a,那

么x叫做a的平方根.0的算術(shù)平方根為0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

正數(shù)只有一個正的立方根；。的立方根是0；負(fù)數(shù)

如果一個數(shù)的立方等于a,即x3=a,那么x只有一個負(fù)的立方根.

立方根

叫做a的立方根或二次方根

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)

常見實數(shù)的平方根與立方根:

1八22八23八24八25八26八27八28八29八210八2

149162536496481100

常見數(shù)的11八212八213八214八215八216八217八218八219八220八2

平方

121144169196225256289324361400

25八230八235八240八2

62590012251600

AA

常見數(shù)的132八33八34八35八36八37八38八39八3103

立方

1827641252163435127291000

實數(shù)的非負(fù)性及性質(zhì):

1.在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù).

2.非負(fù)數(shù)有三種形式：①任何一個實數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù)，即同對；

2

②任何一個實數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，§Pa>0;

③任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即皆出

3.非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)有最小值零；②非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

③幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都等于0

考點六實數(shù)的運算（高頻考點）

.夯基-必備基礎(chǔ)聊凝理

常見的實數(shù)運算:

運算法則特殊計算

乘方①(-a)n=ann為偶數(shù)①（T）y1n為偶數(shù)

②(-a)n=-ann為奇數(shù)②（T）n=_in為奇數(shù)

零次幕a0=l(aWO)

負(fù)整數(shù)的指數(shù)a”毛（aWO,n為正整數(shù)）a'1-(a#0)

ana

鬲

去括號①-(a-b)=-a+b或b-a

②+(a-b)=a-b

去絕對值符號①|(zhì)a-b|=a-b,a>b

②Ia-b|=0,a=b

③Ia-b|二b-a,a<b

三角函數(shù)30°45°60°

j_V2V3

sina

~2~2~

J_

cosa

2~2~~2

V3

tanc亨1V3

實數(shù)的四則運算:

1.實數(shù)的加法法則：

1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.

2.實數(shù)的減法法則：

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).

3.實數(shù)的乘方法則：

1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘;

2）任何數(shù)同0相乘，都得0.

4.實數(shù)的除法法則：

1）除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；

2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0.

5.運算順序：加和減屬于運算中的第一級運算，級別是最低的，通常放在最后面計算；乘和除屬于運算中

的第二級運算，級別中等，運算順序高于加和減；而乘方和開方則屬于第三級運算，級別較高，通常是最

優(yōu)先計算的（如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進(jìn)行運算，無論

何種運算，都要注意先定符號后運算）.

易混易錯

1.有理數(shù)的運算定律在實數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換

律、乘法結(jié)合律、乘法分配律.

2.在實數(shù)混合運算中不注意運算順序?qū)е陆Y(jié)果錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：

①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號.

題型精研?考向洞悉

命題點一實數(shù)的分類

A題型01實數(shù)的分類

1.（2024?廣東湛江?一模）下列四個數(shù)中，負(fù)整數(shù)是（）

A.2024B.-3.14C.0D.-3

【答案】D

【分析】此題考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的分類進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：在2024、-3.14、0、-3中，2024是正整數(shù)，-3.14是負(fù)分?jǐn)?shù)，0是整數(shù)，-3是負(fù)整數(shù).

故選：D.

2.（2023?廣東深圳?二模）下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.0B.——C.%D.5

3

【答案】B

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，本選項不符合題意；

B、-g是負(fù)數(shù)，本選項符合題意；

C、兀是正數(shù)，本選項不符合題意；

D、5是正數(shù)，本選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查有理數(shù)的分類.熟練掌握有理數(shù)的分類，是解題的關(guān)鍵.

3.（2024.山東濱州?模擬預(yù)測）在有理數(shù)-3,卜3|,（-3））斤斤中，負(fù)數(shù)的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.0個

【答案】A

【分析】本題考查化簡絕對值，有理數(shù)的乘方和算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)的判定，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

首先化簡絕對值，有理數(shù)的乘方和算術(shù)平方根，然后根據(jù)負(fù)數(shù)的概念求解即可.

【詳解】解：卜3|=3,（一3）2=9,盧7=3,

...負(fù)數(shù)有-3,共1個.

故選：A.

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測）-1,乃，卜4|中，有理數(shù)的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了實數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)與無理數(shù)的定義.

根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得.

【詳解】解：（正丫=2,|T=4,

根據(jù)題意可得有理數(shù)有-1,卜4|,（0丫，為無理數(shù)，

所以有理數(shù)有3個,

故選：C.

A題型02無理數(shù)估值

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）大自然是美的設(shè)計師，校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分害『’的美.如圖,

>/5-1避匚這個無理數(shù)約是（）

22

C.0.707D.0.828

【分析】本題考查了黃金分割的意義，無理數(shù)的估算.先估算得出2.2〈君<2.3,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：；2.2〈有<2.3,

???1.2<君-1<1.3，

/.0.6<<0.65，

2

觀察四個選項，選項B符合題意；

故選：B.

2.（2024?廣東云浮?一模）若用<后<”，且“3〃是兩個連續(xù)的整數(shù)，則機+〃的值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小，解題關(guān)鍵是找到與7相鄰的兩個為平方數(shù)的整數(shù).由〃〈近〈次可

求相，幾的值，再計算加+〃的值.

【詳解】解：???4v7V9,

二〃<g（的，

，2<近<3，

m<V?<n

:?m=2,〃=3,

m+n=5,

故選c

3.（2024.廣東深圳?一模）估算而xJ15+l的結(jié)果（）

A.在6和7之間B.在7和8之間C.在8和9之間D.在9和10之間

【答案】D

【分析】本題考查二次根式的運算，無理數(shù)的估算，先進(jìn)行乘法計算，再進(jìn)行無理數(shù)的估算即可得出結(jié)果.

【詳解】解：76x715+1=76x16=A/96,

TH<7%<Two，

，9〈族<10；

故選D.

A題型03相反意義的量

1.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）劉徽在《九章算術(shù)注》中有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之.”可翻譯為“今

有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù).”如果氣溫為“零上20℃”記作+20℃,那么氣溫為“零下10℃”

應(yīng)表示為（）

A.20℃B.10℃C.-1O℃D.-20℃

【答案】C

【分析】此題主要用正負(fù)數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：零上溫度記作“+”，零下溫度記作“一”，由此

求解.

【詳解】解：氣溫為“零上20℃”記作+20℃,那么氣溫為“零下10℃”應(yīng)表示為-10℃,

故選：C.

2.（2024?遼寧大連?二模）隨著商業(yè)的發(fā)展和技術(shù)的進(jìn)步，手機支付已經(jīng)成為常見的支付方式，若手機錢包

收入100元記作+100元，則T5元表示（）

A.支出15元B,收入15元C.支出115元D.收入115元

【答案】A

【分析】本題考查了運用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示兩個相反意義的量，正確理解正、負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.收

入和支出相反，如果收入為正，那么負(fù)為支出，即可解決.

【詳解】：收入10。元記作+100元，

，-15元表示支出15元，

故選：A.

3.（2024?廣東.模擬預(yù)測）點A在數(shù)軸上的位置如圖所示，則點A所表示的數(shù)的相反數(shù)是（）

-2-1~01『

1

A.2B.-2C.-D.-1

2

【答案】B

【分析】本題考查了用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、相反數(shù)，由數(shù)軸可得，點A所表示的數(shù)為2,再由相反數(shù)

的定義即可得出答案.

【詳解】解：由數(shù)軸可得，點A所表示的數(shù)為2,

???點A所表示的數(shù)的相反數(shù)是-2,

故選：B.

方法技巧

判斷一個數(shù)是有理數(shù)或無理數(shù)的方法

關(guān)鍵：1.有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，而無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)的形式.

2.判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如46是有理數(shù)，而不是無理數(shù).

常見的無理數(shù)：

①開方開不盡的數(shù)，如：&、V5等.

②有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數(shù)，如5%，3+兀，口等.

③具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（兩個1之間依次增加1個0）.

④某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.

A題型01用數(shù)軸上的點表示數(shù)

1.（2024.廣東佛山.一模）如圖，數(shù)軸上的點A,B,C,。表示的數(shù)與互為相反數(shù)的是（）

3

ABCD

__I_____I______I■I■I>

-3101

"T3

A.AB.BC.CD.D

【答案】D

【分析】本題主要考查了相反數(shù)和數(shù)軸.根據(jù)相反數(shù)的定義和數(shù)軸的定義即可得出答案.

【詳解】解：的相反數(shù)是（，

表示的數(shù)與-工互為相反數(shù)的是點D.

3

故選：D.

2.（2023?四川自貢?中考真題）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2023,OA=OB,則點8表示的數(shù)是（）

BOA

---1--------1--------1--->

02023

11

A.2023B.-2023C.——D.--------

20232023

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義求解即可.

【詳解】解；：數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2023,OA=OB,

：.OB=2023,

.?.點8表示的數(shù)是-2023,

故選：B.

【點睛】本題考查數(shù)軸上點表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點的特征是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東惠州?模擬預(yù)測）如圖，在數(shù)軸上，點A、3分別表示。、b,且a+6=0,若|。-4=6,

則點A表示的數(shù)為（）

______II,

AB①

A.-3B.0C.3D.-6

【答案】A

【分析】由=6結(jié)合A、2表示的數(shù)互為相反數(shù)，即可得出A,2表示的數(shù)

【詳解】解：'：a+b=G

:.A,3兩點對應(yīng)的數(shù)互為相反數(shù)，

b=—a,

V\a-b\=6fa<0

.二|a—Z?|=|?！ā?,

/.—2a=6

解得：a=—3,

???點A表示的數(shù)為-3,

故選：A.

【點睛】本題考查了絕對值，相反數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程-Q-4=6.

4.（2022?廣東潮州?一模）如圖，數(shù)軸上有三個點，A點表示的數(shù)為2,3點表示的數(shù)為J7,且AB=AC,

則點。表示的數(shù)的整數(shù)部分為（）

-----1-------1------------1--------?

CAB

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用數(shù)軸上兩點的距離求出AC=AB=V7-2,進(jìn)而求得點C表示的數(shù)，再利用無理數(shù)的估算求

解即可.

【詳解】解：由題意，得4。=43=近-2,

..?點C表示的數(shù)為2-（6-2）=4-6,

：2<g<3，BP-3<-/l<-2,

二1<4-g<2，

...點C表示的數(shù)的整數(shù)部分為1,

故選：A.

A題型02數(shù)軸上兩個點的距離

1.（2024?廣東河源二模）點。、A、B、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，點。為原點，AO=\,CO=2AB,

若點3所表示的數(shù)為b,則點C所表示的數(shù)為（）

BAOC

~b0決

A.-2b+2B.-2b-2C.2b-2D.2b+2

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)軸，先根據(jù)圖形得到30=-6,表示出AB=30-AO=-6-1,再根據(jù)CO=2AB得

出答案即可，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：點。、A、B、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，點O為原點，AO=1,CO=2AB,點3所

表示的數(shù)為b,

/.BO=-b,AB=BO-AO=-b-1,

'：CO=2AB,

：.CO=2（-b-1）=-2b-2,

...點C所表示的數(shù)=-2b-2,

故選：B.

2.（2024?廣東揭陽.一模）一個光點沿數(shù)軸從點A向左移動了4個單位長度到達(dá)點3,若點3表示的數(shù)是-2,

則點A所表示的數(shù)是（）

A.-5B.5