獨(dú)立性檢驗課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性

8.3.2

獨(dú)立性檢驗1.分類變量

用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的一種特殊的隨機(jī)變量，稱為分類變量．分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示，例如，學(xué)生所在的班級可以用1，2，3等表示，男性、女性可以用1，0表示，等等．2.列聯(lián)表將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d復(fù)習(xí)回顧1．了解隨機(jī)變量χ2的意義．2．通過對典型案例分析，了解獨(dú)立性檢驗的基本思想和方法．學(xué)習(xí)目標(biāo)組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d

前面我們通過2×2列聯(lián)表整理成對分類變量的樣本觀測數(shù)據(jù)，并根據(jù)隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性推斷兩個分類變量之間是否有關(guān)聯(lián).對于隨機(jī)樣本而言，因為頻率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.問題情景問題情景問題1你知道法官是如何憑證據(jù)進(jìn)行判案的嗎？先做一個無罪假設(shè)找無罪假設(shè)下不可能出現(xiàn)的物證和人證。找到了，假設(shè)不成立，嫌疑人有罪。沒找到，沒有充分證據(jù)證明假設(shè)不成立，暫且認(rèn)為無罪。零假設(shè)：假設(shè)X，Y相互獨(dú)立，無關(guān)聯(lián)。找零假設(shè)下不可能發(fā)生的事件。（利用小概率原理）發(fā)生了，假設(shè)不成立，X，Y不獨(dú)立，從而證明二者有關(guān)聯(lián)。沒發(fā)生，沒有充分證據(jù)證明假設(shè)不成立，暫且認(rèn)為X，Y相互獨(dú)立。類比追問1我們是否可以類比法官判案的方式去判斷兩個分類變量X,Y是否有關(guān)聯(lián)？問題2設(shè)X和Y為定義在以Ω為樣本空間上，且取值于{0,1}的成對分類變量，如何判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián)？XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d由條件概率的定義可知，零假設(shè)H0等價于：A與B相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)AB事件A事件B事件AB由此，零假設(shè)H0等價于{X=1}和{Y=1}獨(dú)立.我們需要判斷下面的假定關(guān)系是否成立H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè)新知探究問題2設(shè)X和Y為定義在以Ω為樣本空間上，且取值于{0,1}的成對分類變量，如何判斷事件{X=1}和{Y=1}之間是否有關(guān)聯(lián)？根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的概率知識，下面的四條性質(zhì)彼此等價:

如果這4個性質(zhì)成立，則稱分類變量X和Y獨(dú)立.零假設(shè)H0：分類變量X和Y獨(dú)立②我們可以用概率語言，將零假設(shè)改述為新知探究

假定我們通過簡單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表，如下表所示.XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d②

對于隨機(jī)樣本，表中的頻數(shù)a,b,c,d都是隨機(jī)變量，而表中的相應(yīng)數(shù)據(jù)是這些隨機(jī)變量的一次觀測結(jié)果.問題3如何基于②中的四個等式及列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，對成對分類變量X和Y是否相互獨(dú)立作出推斷?新知探究問題3如何基于②中的四個等式及列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，對成對分類變量X和Y是否相互獨(dú)立作出推斷?②在零假設(shè)H0成立的條件下，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,由②中的第一個等式,可以得到由頻率估計概率，可以得到：零假設(shè)H0：分類變量X和Y獨(dú)立{X=0,Y=0}發(fā)生的頻數(shù)的期望值(預(yù)期值):E(a)

即：

的值應(yīng)該不大頻數(shù)的觀測值新知探究綜合②中的四個式子，如果零假設(shè)H0成立，下面四個量的取值都不應(yīng)該太大:零假設(shè)H0：分類變量X和Y獨(dú)立

為了平衡各式的差值的變化，構(gòu)造一個方便科學(xué)的統(tǒng)計量：新知探究概念生成卡方統(tǒng)計量XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d追問1卡方統(tǒng)計量有什么用呢？

統(tǒng)計學(xué)家建議，用隨機(jī)變量

χ2取值

的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)。

根據(jù)小概率事件在一次試驗中不大可能發(fā)生的規(guī)律，可以通過確定一個與H0相矛盾的小概率事件來實(shí)現(xiàn)，在假定H0的條件下，對于有放回簡單隨機(jī)抽樣，當(dāng)樣本容量n充分大時，統(tǒng)計學(xué)家得到了χ2的近似分布.

P(χ2≥xα)=α

我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值可以作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn).

概率值α越小，臨界值xα越大.

概念生成xαα

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗”，簡稱獨(dú)立性檢驗.

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：基于小概率值α的檢驗規(guī)則:概念生成追問3

怎么看這個表呢？α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828追問3

怎么看這個表呢？例如，對于小概率值α=0.05，我們有如下的具體檢驗規(guī)則：

按α=0.1的卡方獨(dú)立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立（數(shù)學(xué)結(jié)論），可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立（實(shí)際結(jié)論）.

(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對分類變量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對立事件，故要判斷事件{X＝1}和{Y＝1}之間是否有關(guān)聯(lián)，需要判斷假定關(guān)系H0：______________________________是否成立．P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)

a＋b＋c＋d(3)臨界值：對任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使P(χ2≥xα)＝α.稱xα為α的臨界值．臨界值可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值α越小，臨界值xα越大．(4)基于小概率值α的檢驗規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2<xα?xí)r，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗”，簡稱獨(dú)立性檢驗．(5)χ2獨(dú)立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【微提醒】

χ2越小，獨(dú)立性越強(qiáng)，相關(guān)性越弱；χ2越大，獨(dú)立性越弱，相關(guān)性越強(qiáng)．[典例講評]

1．某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是(

)表1

單位：人性別成績合計不及格及格男61420女102232合計163652

表2單位：人性別視力合計好差男41620女122032合計163652

表3

單位：人性別智商合計偏高正常男81220女82432合計163652

表4

單位：人性別閱讀量合計豐富不豐富男14620女23032合計163652

A．成績 B．視力C．智商 D．閱讀量√

所以與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量[典例講評]

1．某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是(

)反思領(lǐng)悟

獨(dú)立性檢驗的基本思想類似于反證法．

要確認(rèn)“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立．

在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量χ2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理．

根據(jù)隨機(jī)變量的含義，可以通過概率P(χ2≥xα)的大小來評價該假設(shè)不合理的程度有多大，從而說明“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度有多大．

√√α

0.100.050.0250.0100.0050.001xα

2.7063.8415.0246.6357.87910.828(2)(多選)某研究所為了檢驗新開發(fā)的疫苗的預(yù)防作用，對1000名注射了疫苗的人與另外1000名未注射疫苗的人的一年的健康記錄進(jìn)行比較，并提出假設(shè)：這種疫苗不能起到預(yù)防該疾病的作用，并計算出P(χ2≥6.635)≈0.01，則下列說法不正確的是(

)A．這種疫苗能起到預(yù)防該疾病的作用的有效率為1%B．若某人未使用該疫苗，則他在半年內(nèi)有99%的可能性得該疾病C．依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗，認(rèn)為這種疫苗能起到預(yù)防該疾病的作用D．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為這種疫苗能起到預(yù)防該疾病的作用√√由P(χ2≥6.635)≈0.01可知，C，D正確，A，B都不正確．[典例講評]

2．在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的600名男性病人中，有200人禿頂，而另外750名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有150人禿頂．(1)填寫下列列聯(lián)表：是否禿頂疾病合計患心臟病患其他病禿頂不禿頂合計據(jù)表中數(shù)據(jù)估計禿頂病患中患心臟病的概率P1和不禿頂病患中患心臟病的概率P2，并用兩個估計概率判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)；20015040060060075035010001350

α

0.100.050.0250.0100.0050.001xα

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

反思領(lǐng)悟

用χ2進(jìn)行“相關(guān)的檢驗”步驟(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系．(2)計算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．[學(xué)以致用]

2．

80及80分以上80分以下合計實(shí)驗班351550對照班20m50合計5545n

α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828

(1)由表得，m＝50－20＝30，n＝55＋45＝100[典例講評]

3．某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；

α0.0250.010.005xα5.0246.6357.879教師年齡對新課程教學(xué)模式合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650

α0.0250.010.005xα5.0246.6357.879

反思領(lǐng)悟

獨(dú)立性檢驗的關(guān)注點(diǎn)(1)χ2計算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計算時要細(xì)心．(2)判斷時把計算結(jié)果與臨界值比較，其值越大，有關(guān)的可信度越高．[學(xué)以致用]

3．為了解某挑戰(zhàn)賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)系(假設(shè)每個人是否接受挑戰(zhàn)互不影響)，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下調(diào)查數(shù)據(jù)．性別挑戰(zhàn)合計接受挑戰(zhàn)不接受挑戰(zhàn)男性451560女性251540合計7030100試根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗，分析比賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)．

應(yīng)用遷移√1．在獨(dú)立性檢驗中，兩個分類變量“X與Y有關(guān)系”的可信度為99%，則隨機(jī)變量χ2的取值范圍是(

)A．[2.706，3.841) B．[3.841，6.635)C．[6.635，7.879) D．[7.879，10.828)C

對照臨界值表可知選C.3題號14則推斷“學(xué)生的性別與認(rèn)為作業(yè)量大有關(guān)”這種推斷犯錯誤的概率不超過(

)A．0.01 B．0.005C．0.05 D．0.001√

3題號142．某班主任對全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：性別大不大合計男生18927女生81523合計2624503．根據(jù)如下所示的列聯(lián)表得到如下四個判斷：①在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為患肝病與嗜酒有關(guān)；②在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為患肝病與嗜酒有關(guān)；③認(rèn)為患肝病與嗜酒有關(guān)的出錯的可能為0.001%；④沒有證據(jù)顯示患肝病與嗜酒有關(guān)．

是否嗜酒合計嗜酒不嗜酒患肝病7775427817未患肝病2099492148合計9874919965單位：人√其中正確命題的個數(shù)為(

)A．1B．2C．3D．4

4．下表是某屆某校本科志愿報名時，對其中304名學(xué)生進(jìn)入高校時是否了解所學(xué)專業(yè)的調(diào)查表：性別是否了解所學(xué)專業(yè)合計了解所學(xué)專業(yè)不了解所學(xué)專業(yè)男生63117180女生4282124合計105199304單位：人根據(jù)表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是________．(填序號)①性別與了解所學(xué)專業(yè)有關(guān)；②性別與了解所學(xué)專業(yè)無關(guān)；③女生比男生更了解所學(xué)專業(yè)．②

解決獨(dú)立性檢驗問題的基本步驟零假設(shè)先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系計算χ2套用χ2的公式求得χ2值查臨界值結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.下結(jié)論比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．1．知識鏈：(1)2×2列聯(lián)表．(2)獨(dú)立性檢驗、χ2公式．2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合．3．警示牌：對χ2的計算出現(xiàn)錯誤，對獨(dú)立性檢驗的原理不理解，不會用χ2分析問題．THANKS1．下列關(guān)于回歸分析與獨(dú)立性檢驗的說法正確的是(

)①回歸分析和獨(dú)立性檢驗沒有什么區(qū)別；②回歸分析是對兩個變量準(zhǔn)確關(guān)系的分析，而獨(dú)立性檢驗是分析兩個變量之間的不確定性關(guān)系；③回歸分析研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，獨(dú)立性檢驗是對兩個變量是否具有某種關(guān)系的一種檢驗；④獨(dú)立性檢驗可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系．A．①② B．③C．③④ D．全選回歸分析是對兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種分析，而相關(guān)關(guān)系是一種不確定關(guān)系，通過回歸分析分析兩個變量之間可能具有的相關(guān)關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗是對兩個變量之間是否具有某種關(guān)系的分析，并且可以分析這兩個變量在多大程度上具有這種關(guān)系，但不能100%肯定這種關(guān)系．故①②④錯誤，③正確．故選B.√2．對于分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2，下列說法正確的是(

)A．χ2越大，認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”的犯錯誤的概率越大B．χ2越小，認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”的犯錯誤的概率越大C．χ2越接近于0，認(rèn)為“X與Y沒有關(guān)系”的犯錯誤的概率越大D．χ2越大，認(rèn)為“X與Y沒有關(guān)系”的犯錯誤的概率越小χ2越大，認(rèn)為“X與Y沒有關(guān)系”的犯錯誤的概率越大，則“X與Y有關(guān)系”的犯錯誤的概率越?。处?越小，“X與Y有關(guān)系”的犯錯誤的概率越大．√α0.10.050.0250.010.001xα2.7063.8415.0246.63510.8283．某校為了研究學(xué)生的性別和對待某一活動的態(tài)度(支持與不支持)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗，經(jīng)計算χ2＝7.805，則所得到的統(tǒng)計學(xué)結(jié)論是：在犯錯誤的概率不大于________的前提下認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”(

)A．0.01 B．0.001C．0.99 D．0.999∵χ2＝7.805，對照表格：6.635<7.805<10.828，∴根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗，在犯錯誤的概率不大于0.01的前提下認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動有關(guān)系”，故選A．√4．某學(xué)校食堂對高三學(xué)生偏愛蔬菜還是肉類與性別的關(guān)系進(jìn)行了一次調(diào)查，根據(jù)獨(dú)立性檢驗原理，處理所得數(shù)據(jù)之后發(fā)現(xiàn)，在犯錯誤的概率不大于0.01但大于0.001的前提下認(rèn)為偏愛蔬菜還是肉類與性別有關(guān)，則χ2的觀測值可能為(

)A．χ2＝3.206 B．χ2＝6.561C．χ2＝7.869 D．χ2＝11.208α0.10.050.0250.010.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828因為犯錯誤