2025年江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2025年江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分。1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A．0 B． C． D．2．（3分）DeepSeek團(tuán)隊(duì)通過收集80多萬份代碼文件，構(gòu)建了包含3500000個樣本的數(shù)據(jù)集，用于提高模型的推理能力.3500000用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．3.5×106 B．3.5×105 C．0.35×107 D．35×1053．（3分）分式方程的解是（）A．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝24．（3分）圍棋起源于中國，古代稱為“弈”．如圖是兩位同學(xué)的部分對弈圖，輪到白方落子．若白方落子后的對弈圖是中心對稱圖形，則白方落子的位置只可能是下列位置中的（）A．① B．② C．③ D．④5．（3分）小明6次射擊的成績?nèi)鐖D所示，則他的射擊成績的中位數(shù)為（）A．3.5環(huán) B．7環(huán) C．7.5環(huán) D．8環(huán)6．（3分）沿圓柱體上底面直徑截去一部分后的物體如圖所示，則它的俯視圖是（）A． B． C． D．7．（3分）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a﹣b＝﹣1，﹣1＜a+b＜0，則在下列判斷中，正確的是（）A． B． C． D．8．（3分）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函數(shù)y＝kx+1的圖象上，且y1＜1＜y2，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．x1＜x2 B．x1＞x2 C．x1+x2＝0 D．x1?x2＜0二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上9．（3分）計(jì)算：（3a）2＝．10．（3分）若m，n互為相反數(shù)，則m2+mn﹣3＝．11．（3分）如圖，在長10m、寬6m的矩形ABCD地面內(nèi)，有兩條道路，一條是寬度為1m的矩形，另一條是平行四邊形，且EF＝1m，其余部分是草坪（圖中陰影部分）．一只自由飛行的小鳥，隨機(jī)地落在該地面內(nèi)，則小鳥落在草坪上的概率是．12．（3分）蘇州磚雕是以磚作為雕刻對象的制作技藝，其特點(diǎn)是細(xì)膩精致、典雅秀氣．圖①是一塊扇面形的蘇州磚雕作品《蘭》，圖②是它的設(shè)計(jì)圖，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O，且圓心角∠O＝108°，已知OA＝100cm，OB＝40cm，則該磚雕的面積為cm2．（結(jié)果保留π）13．（3分）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距60m，在建筑物的頂部測得鐵塔底部的俯角為30°，測得鐵塔頂部的仰角為45°，則鐵塔的高度為m．（結(jié)果保留根號）14．（3分）定義：如果一個函數(shù)的圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該點(diǎn)稱為這個函數(shù)圖象的“倍值點(diǎn)”．例如，一次函數(shù)y＝x+1圖象的“倍值點(diǎn)”為（1，2）．若關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象上有唯一的“倍值點(diǎn)”，則m＝．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝64°，∠C＝36°．將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得△ADE，AE與BD相交于點(diǎn)F．當(dāng)DE∥AB時，∠AFD＝°．16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與雙曲線相交于點(diǎn)A，B，直線AO與該雙曲線在第三象限的交點(diǎn)為C，以AC為斜邊作Rt△ADC，直角頂點(diǎn)D落在第二象限．若AD平分∠BAC，△ABD的面積為4，則k＝．三、解答題：本大題共11小題，共82分。17．（5分）計(jì)算：．18．（5分）解不等式組：．19．（6分）先化簡，再求值：（），其中x1．20．（6分）如圖，已知點(diǎn)E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F，連接AC，BF，且AF＝BC．求證：四邊形ABFC為矩形．21．（6分）2024年以來，環(huán)金雞湖的10座獨(dú)具匠心、顏值頗高的驛站陸續(xù)開放運(yùn)營，迅速成為熱門打卡地．小明和小亮計(jì)劃利用五一假期，分別從以下4座驛站中隨機(jī)選擇一個驛站打卡．（1）小明選擇打卡“金雞驛06”的概率是；（2）求小明和小亮同時選擇同一個驛站打卡的概率．（用畫樹狀圖或列表等方法說明）22．（8分）某校開展學(xué)生安全知識競賽．現(xiàn)抽取部分學(xué)生的競賽成績（滿分為100分，得分均為整數(shù)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了圖中兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，回答下列問題：（1）a＝，n＝；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）學(xué)校將對成績在90分以上（不含90分）的同學(xué)頒發(fā)獎狀．已知該校共有2000名學(xué)生，請你估計(jì)該校獲得獎狀的學(xué)生人數(shù)．23．（8分）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，盡可能減少庫存，增加盈利，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．（1）如果商場通過銷售這批襯衫每天盈利1050元，那么襯衫的單價降了多少元？（2）單價降了多少元時，銷售這批襯衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？24．（8分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且∠PAB＝∠ABC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在AB上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)E在上，且四邊形BDCE是菱形．（1）求證：AC＝DC；（2）若AB＝5，，求⊙O的直徑長；（3）過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC延長線于點(diǎn)F，若AF∥DC，求證：點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)．26．（10分）綜合與實(shí)踐：古井探秘．【了解】在中國傳統(tǒng)文化中，人們常以“井”寓意家鄉(xiāng)．在江南水鄉(xiāng)的蘇州，水井更是獨(dú)特的文化符號．圖①是蘇州平江區(qū)居民老宅的水井，該井的內(nèi)部為圓柱體形狀，圖②是該井的側(cè)面示意圖，其中AB為井口直徑，AB＝80cm，CD為水面直徑，且AB∥CD．A′B′為AB經(jīng)水面所成的虛像（A′B′與AB關(guān)于CD對稱），點(diǎn)P為觀測點(diǎn)，PA′，PB′分別與CD相交于點(diǎn)M，N．【發(fā)現(xiàn)】如圖②，當(dāng)觀測點(diǎn)P在AB上自由移動時，MN的長度是否會發(fā)生改變？如果不變，求出MN的長；如果改變，請說明理由；【探索】圖③是當(dāng)觀測點(diǎn)P在井口的上方1m處（即圖④中的PQ＝1m）時，拍攝的一張照片．量得照片中的水面直徑C′D′＝5.6cm，井口的倒影直徑M′N′＝3.3cm．請你利用示意圖④，求出井口到水面距離AC的長．27．（10分）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：折疊正方形紙片．通過紙片的折疊，可以發(fā)現(xiàn)許多有趣的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象可以用有關(guān)的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行分析、解釋，所以紙片的折疊是一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式．如圖，PQ是將正方形紙片ABCD折疊后得到的一條折痕，其中點(diǎn)P，Q分別在邊AD，CD上．（1）折疊正方形紙片ABCD，使得PA，CQ依次落在直線PQ上．請你利用無刻度直尺和圓規(guī)，在圖①中分別作出折痕PE，QF（不寫作法，保留作圖痕跡），其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AB上．設(shè)PE，QF的交點(diǎn)為O，則∠POQ＝°；（2）在（1）的條件下，折疊正方形紙片ABCD，使得BC落在直線PQ上．請你利用無刻度直尺和圓規(guī)，在圖②中作出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡），其中點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上．設(shè)MN，PE的交點(diǎn)為G，則點(diǎn)G落在正方形紙片ABCD的哪一條對稱軸上？請說明理由；（3）如圖③，已知正方形紙片ABCD的邊長為16cm，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P為邊AD的中點(diǎn)時，則隨著點(diǎn)Q位置的改變，△PAM的周長是否會發(fā)生改變？如果不變，求出△PAM的周長；如果改變，求出△PAM的周長的最小值，并求出此時折痕MN的長．

2025年江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BAAACDBD一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分。1．（3分）下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A．0 B． C． D．【解答】解：A、0不是無理數(shù)，不符合題意；B、是無理數(shù)，符合題意；C、不是無理數(shù)，不符合題意；D、2，不是無理數(shù)，不符合題意；故選：B．2．（3分）DeepSeek團(tuán)隊(duì)通過收集80多萬份代碼文件，構(gòu)建了包含3500000個樣本的數(shù)據(jù)集，用于提高模型的推理能力.3500000用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．3.5×106 B．3.5×105 C．0.35×107 D．35×105【解答】解：3500000＝3.5×106，故選：A．3．（3分）分式方程的解是（）A．x＝5 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝2【解答】解：1，x﹣2＝3，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解．故選：A．4．（3分）圍棋起源于中國，古代稱為“弈”．如圖是兩位同學(xué)的部分對弈圖，輪到白方落子．若白方落子后的對弈圖是中心對稱圖形，則白方落子的位置只可能是下列位置中的（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：根據(jù)圖示知，白方落子的位置只可能在①處．故選：A．5．（3分）小明6次射擊的成績?nèi)鐖D所示，則他的射擊成績的中位數(shù)為（）A．3.5環(huán) B．7環(huán) C．7.5環(huán) D．8環(huán)【解答】解：射擊成績從小到大重新排列為：6，7，7，8，9，10，∴中位數(shù)為（7+8）÷2＝7.5（環(huán)）．故選：C．6．（3分）沿圓柱體上底面直徑截去一部分后的物體如圖所示，則它的俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從上面看依然可得到兩個半圓的組合圖形，故選：D．7．（3分）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a﹣b＝﹣1，﹣1＜a+b＜0，則在下列判斷中，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵a﹣b＝﹣1且﹣1＜a+b＜0，∴b＝a+1，∴﹣1＜a+a+1＜0，∴﹣1，故選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；∵a＝b﹣1，∴﹣1＜b﹣1+b＜0，∴0，故選項(xiàng)C、選項(xiàng)D錯誤；故選：B．8．（3分）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函數(shù)y＝kx+1的圖象上，且y1＜1＜y2，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．x1＜x2 B．x1＞x2 C．x1+x2＝0 D．x1?x2＜0【解答】解：∵點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函數(shù)y＝kx+1的圖象上，且y1＜1＜y2，∴點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在y軸的異側(cè)，∴x1、x2異號，∴x1x2＜0．故選：D．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上9．（3分）計(jì)算：（3a）2＝9a2．【解答】解：（3a）2＝9a2．故答案為：9a2．10．（3分）若m，n互為相反數(shù)，則m2+mn﹣3＝﹣3．【解答】解：∵m，n互為相反數(shù)，∴m+n＝0，∴m2+mn﹣3＝m（m+n）﹣3＝0﹣3＝﹣3．故答案為：﹣3．11．（3分）如圖，在長10m、寬6m的矩形ABCD地面內(nèi)，有兩條道路，一條是寬度為1m的矩形，另一條是平行四邊形，且EF＝1m，其余部分是草坪（圖中陰影部分）．一只自由飛行的小鳥，隨機(jī)地落在該地面內(nèi)，則小鳥落在草坪上的概率是．【解答】解：∵矩形ABCD的面積為10×6＝60（m2），草坪的面積為（10﹣1）×（6﹣1）＝45（m2），∴一只自由飛行的小鳥，隨機(jī)地落在該地面內(nèi)，則小鳥落在草坪上的概率是．故答案為：．12．（3分）蘇州磚雕是以磚作為雕刻對象的制作技藝，其特點(diǎn)是細(xì)膩精致、典雅秀氣．圖①是一塊扇面形的蘇州磚雕作品《蘭》，圖②是它的設(shè)計(jì)圖，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圓心O，且圓心角∠O＝108°，已知OA＝100cm，OB＝40cm，則該磚雕的面積為2520πcm2．（結(jié)果保留π）【解答】解：由題知，扇形OAD的面積為：（cm2），扇形OBC的面積為：（cm2），所以磚雕的面積為：2520π（cm2）．故答案為：2520π．13．（3分）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距60m，在建筑物的頂部測得鐵塔底部的俯角為30°，測得鐵塔頂部的仰角為45°，則鐵塔的高度為（60）m．（結(jié)果保留根號）【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，由題意得，BD＝AE＝60m，在Rt△ACE中，∠CAE＝45°，∴CE＝AE＝60m．在Rt△ADE中，tan∠DAE＝tan30°，∴DEm，∴CD＝CE+DE＝（60）m．故答案為：（60）．14．（3分）定義：如果一個函數(shù)的圖象上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該點(diǎn)稱為這個函數(shù)圖象的“倍值點(diǎn)”．例如，一次函數(shù)y＝x+1圖象的“倍值點(diǎn)”為（1，2）．若關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象上有唯一的“倍值點(diǎn)”，則m＝．【解答】解：由題意可知，（m﹣1）x2+mxm＝2x，整理得，（m﹣1）x2+（m﹣2）xm＝0，∵關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象上有唯一的“倍值點(diǎn)”，∴Δ＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）＝0且m﹣1≠0，解得m．故答案為：．15．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝64°，∠C＝36°．將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得△ADE，AE與BD相交于點(diǎn)F．當(dāng)DE∥AB時，∠AFD＝76或14°．【解答】解：如圖1，在△ABC中，∠BAC＝64°，∠C＝36°，∴∠ABC＝180°﹣64°﹣36°＝80°，∴∠ADE＝∠ABC＝80°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAD＝100°，∵AD＝AB，∴∠ADF＝40°，∵∠EAD＝∠CAB＝64°，∴∠AFD＝180°﹣40°﹣64°＝76°；如圖2，∵AB∥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝80°，∵AD＝AB，∴∠ADF＝∠ABD＝50°，∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝80°+50°＝130°，∵∠E＝∠C＝36°，∴∠AFD＝180°﹣36°﹣130°＝14°，綜上所述，∠AFD＝76°或14°，故答案為：76或14．16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與雙曲線相交于點(diǎn)A，B，直線AO與該雙曲線在第三象限的交點(diǎn)為C，以AC為斜邊作Rt△ADC，直角頂點(diǎn)D落在第二象限．若AD平分∠BAC，△ABD的面積為4，則k＝3．【解答】解：由題意，延長CD交直線AB于點(diǎn)E，連接OD、OB，分別過A、B作AG⊥x軸于G，作BH⊥x軸于H．又∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．AD⊥CE，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠AED+∠DAE＝90°．∴∠ACD＝∠AED．∴AE＝AC．∴D是CE的中點(diǎn)．∵直線關(guān)于原點(diǎn)O的對稱，反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱，∴O是AC是中點(diǎn)．∴OD∥AE．∴S△ABD＝S△ABO＝4．∵點(diǎn)A，點(diǎn)B在直線y＝﹣x+4上，∴可設(shè)A（a，﹣a+4），B（b，﹣b+4）．又∵A、B在反比例函數(shù)y上，∴a（﹣a+4）＝b（﹣b+4）＝k，S△BOHk，S△AOGk．又∵S△BOH+S梯形ABHG＝S△ABO+S△AOG，∴S梯形ABHG＝S△ABO＝4．∵S梯形ABHG（a﹣b）（b﹣4+a﹣4）＝4．∴a﹣b＝2．又∵a（﹣a+4）＝b（﹣b+4），∴a+b＝4．∴a＝3，b＝1．∴k＝a（﹣a+4）＝3×1＝3．故答案為：3．三、解答題：本大題共11小題，共82分。17．（5分）計(jì)算：．【解答】解：＝1﹣（﹣8）﹣2+2＝1+8﹣2+1＝8．18．（5分）解不等式組：．【解答】解：，由①得，x＞﹣3，由②得，x＜2．故不等式組的解集為：﹣3＜x＜2．19．（6分）先化簡，再求值：（），其中x1．【解答】解：原式?，當(dāng)x1時，原式；20．（6分）如圖，已知點(diǎn)E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F，連接AC，BF，且AF＝BC．求證：四邊形ABFC為矩形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠CFE，∵點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝FC，∵AB∥FC，∴四邊形ABFC是平行四邊形，又∵AF＝BC，∴平行四邊形ABFC為矩形．21．（6分）2024年以來，環(huán)金雞湖的10座獨(dú)具匠心、顏值頗高的驛站陸續(xù)開放運(yùn)營，迅速成為熱門打卡地．小明和小亮計(jì)劃利用五一假期，分別從以下4座驛站中隨機(jī)選擇一個驛站打卡．（1）小明選擇打卡“金雞驛06”的概率是；（2）求小明和小亮同時選擇同一個驛站打卡的概率．（用畫樹狀圖或列表等方法說明）【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中小明選擇打卡“金雞驛06”的結(jié)果有1種，∴小明選擇打卡“金雞驛06”的概率為．故答案為：．（2）將這4座驛站分別記為A，B，C，D，列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮同時選擇同一個驛站打卡的結(jié)果有4種，∴小明和小亮同時選擇同一個驛站打卡的概率為．22．（8分）某校開展學(xué)生安全知識競賽．現(xiàn)抽取部分學(xué)生的競賽成績（滿分為100分，得分均為整數(shù)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了圖中兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，回答下列問題：（1）a＝75，n＝54；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）學(xué)校將對成績在90分以上（不含90分）的同學(xué)頒發(fā)獎狀．已知該校共有2000名學(xué)生，請你估計(jì)該校獲得獎狀的學(xué)生人數(shù)．【解答】解：（1）抽取的總?cè)藬?shù)是30÷10%＝300（人），則B組的人數(shù)是300×20%＝60（人），C組的人數(shù)是a＝300×25%＝75（人），E組的人數(shù)是300﹣30﹣60﹣75﹣90＝45（人），∴n＝360＝54，故答案為：75，54；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）估計(jì)該校成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是：2000300（人），答：估計(jì)該校獲得獎狀的學(xué)生人數(shù)是300人．23．（8分）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，盡可能減少庫存，增加盈利，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．（1）如果商場通過銷售這批襯衫每天盈利1050元，那么襯衫的單價降了多少元？（2）單價降了多少元時，銷售這批襯衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？【解答】解：（1）由題意，設(shè)襯衫的單價降了x元，根據(jù)題意，得（20+2x）（40﹣x）＝1050，∴x2﹣30x+125＝0．∴x1＝5（不符合題意，舍去），x2＝25∴襯衫的單價應(yīng)降25元．答：襯衫的單價應(yīng)降25元．（2）由題意，設(shè)單價降了x元后，∴每天盈利為y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250．∴當(dāng)x＝15時，y最大值為1250，∴單價降了15元時，銷售這批襯衫每天盈利最大，最大盈利是1250元．24．（8分）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且∠PAB＝∠ABC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）根據(jù)題意：，解得：，則該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，連接AP，∵∠PAB＝∠ABC＝45°，∠AHP＝90°，∴∠APH＝45°，∴△APH是等腰直角三角形，∴PH＝AH，設(shè)P（p，p2﹣2p﹣3），則H（p，0），①當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時，如圖，則AH＝p+1，PH＝p2﹣2p﹣3，∴p2﹣2p﹣3＝p+1，解得：p＝4或p＝﹣1（與點(diǎn)A重合，舍去），∴p＝4，則p2﹣2p﹣3＝5，∴P（4，5）；②當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時，如圖，則AH＝p+1，PH＝﹣p2+2p+3，∴﹣p2+2p+3＝p+1，解得：p＝2或p＝﹣1（與點(diǎn)A重合，舍去），∴p＝2，則p2﹣2p﹣3＝﹣3，∴P（2，﹣3）；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）或（2，﹣3）．25．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在AB上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)E在上，且四邊形BDCE是菱形．（1）求證：AC＝DC；（2）若AB＝5，，求⊙O的直徑長；（3）過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC延長線于點(diǎn)F，若AF∥DC，求證：點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)．【解答】（1）證明：∵四邊形BDCE是菱形，∴EC∥AB，BE∥AD，∴，∴BE＝AC，∴四邊形ABEC為等腰梯形，∴∠CAB＝∠EBA，∵，BE∥AD，∴∠ADC＝∠EBA，∴∠ADC＝∠CAB，∴AC＝DC；（2）解：連接OB，OC，OE，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，設(shè)OE與BC交于點(diǎn)H，如圖，∵AC＝DC，CE⊥AD，∴AG＝DG，∵，cos∠BAC，∴，∴設(shè)AG＝DG＝k，則AC＝3k，∴AC＝CD＝3k．∴BD＝CD＝3k，∴AB＝AD+BD＝5k＝5，∴k＝1，∴AC＝CD＝BD＝3，AD＝2．∵四邊形BDCE是菱形，∴BE＝EC＝BD＝3，∴，∴OE⊥BC，BH＝HC，∵OB＝OC，∴∠BOE＝∠COEBOC，∵∠BACBOC，∴∠BOE＝∠COE＝∠BAC，∵，∴cos∠BOE，∵cos∠BOE，∴，∴設(shè)OH＝x，則OB＝3x，OH＝OC＝3x，∴EH＝2x．∵BH2＝OB2﹣OH2，BH2＝BE2﹣EH2，∴OB2﹣OH2＝BE2﹣EH2，∴（3x）2﹣x2＝32﹣（2x）2，∵x＞0，∴x．∴OB，∴⊙O的直徑長2OB＝3．（3）證明：∵AF為⊙O的切線，∴∠CAF＝∠ABC，∵AF∥DC，∴∠CAF＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△CAD∽△BAC，∴，∵AC＝CD＝BD，∴，∴點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)．26．（10分）綜合與實(shí)踐：古井探秘．【了解】在中國傳統(tǒng)文化中，人們常以“井”寓意家鄉(xiāng)．在江南水鄉(xiāng)的蘇州，水井更是獨(dú)特的文化符號．圖①是蘇州平江區(qū)居民老宅的水井，該井的內(nèi)部為圓柱體形狀，圖②是該井的側(cè)面示意圖，其中AB為井口直徑，AB＝80cm，CD為水面直徑，且AB∥CD．A′B′為AB經(jīng)水面所成的虛像（A′B′與AB關(guān)于CD對稱），點(diǎn)P為觀測點(diǎn)，PA′，PB′分別與CD相交于點(diǎn)M，N．【發(fā)現(xiàn)】如圖②，當(dāng)觀測點(diǎn)P在AB上自由移動時，MN的長度是否會發(fā)生改變？如果不變，求出MN的長；如果改變，請說明理由；【探索】圖③是當(dāng)觀測點(diǎn)P在井口的上方1m處（即圖④中的PQ＝1m）時，拍攝的一張照片．量得照片中的水面直徑C′D′＝5.6cm，井口的倒影直徑M′N′＝3.3cm．請你利用示意圖④，求出井口到水面距離AC的長．【解答】解：【發(fā)現(xiàn)】∵A'B'與AB關(guān)于CD對稱，AB∥CD∥A'B'，且PA'，PB'分別與CD相交于點(diǎn)M，N，∴，MN∥A'B'，∴△PMN∽△PA'B'，∴，∵AB＝A'B'＝80cm，∴MN＝40cm，即當(dāng)觀測點(diǎn)P在AB上自由移動時，MN的長度是不會發(fā)生改變，且MN＝40cm．【探索】根據(jù)題意畫圖，然后延長PQ交A'B'與點(diǎn)L，交CD于點(diǎn)K，則PL＝PQ+AC＝（100+AC）cm，PK＝PQ+2AC＝（100+2AC）cm，同上可知：△PMN∽△PA'B'，可知△PM'N'∽△PC'D'，∴，即，解得：AC＝230cm＝2.3m，即井口到水面距離AC的長2.3m．27．（10分）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：折疊正方形紙片．通過紙片的折疊，可以發(fā)現(xiàn)許多有趣的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象可以用有