廣東省佛山市七校2023−2024學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含答案

/廣東省佛山市七校2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．2．若數(shù)列滿足，，則（

）A． B．11 C． D．3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的公比（

）A．或 B．或 C．或2 D．或34．若函數(shù)不存在極值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，（

）A．4 B．3 C．2 D．16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意恒成立，則的解集為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，且，若，則（

）A．253 B．506 C．1012 D．20248．已知函數(shù)，則（

）A．有最小值 B．有最大值C．在上是單調(diào)遞減函數(shù) D．在上不單調(diào)二、多選題（本大題共3小題）9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．10．如圖，這是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則（

）A．在處取得極大值 B．是的極小值點(diǎn)C．在上單調(diào)遞減 D．是的極小值11．已知函數(shù)，則（

）A．B．C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.13．函數(shù)的極小值點(diǎn)為．14．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，則，的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)數(shù)列滿足.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.16．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求的值；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)與曲線相切的切線方程．18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：是單調(diào)遞減數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最值；（提示：）(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，證明：．

參考答案1．【答案】C【分析】對(duì)于AC，根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)分析判斷；對(duì)于B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析判斷；對(duì)于D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的減法運(yùn)算法則分析判斷.【詳解】對(duì)于A：由正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由復(fù)合函數(shù)可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)闉槌?shù)，則，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選C.2．【答案】D【分析】探索數(shù)列的周期性，根據(jù)數(shù)列的周期性求指定項(xiàng).【詳解】因?yàn)?所以數(shù)列周期為3的數(shù)列.所以，，所以，故.故選D.3．【答案】D【分析】由，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得.由，可得，求解即可.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，則，解得或.故選.4．【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由題意可知恒成立，則，從而可求出的取值范圍.【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)不存在極值，所以在上恒成立，所以，解得，即的取值范圍是.故選A.5．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得，根據(jù)等比中項(xiàng)可得.【詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，解得.因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，所以.故選C.6．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式得解.【詳解】令，所以，故在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以的解集為.故選C.7．【答案】B【分析】將式子變形為,可得為常數(shù)列，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，故為常?shù)列，所以.由，解得.故選B.8．【答案】C【分析】求導(dǎo)數(shù)得，令，求，確定的單調(diào)性與最值即可得的正負(fù)情況，于是可得結(jié)論.【詳解】，，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即函數(shù)恒成立，故在上單調(diào)遞減，則函數(shù)無(wú)最大和最小值.故選C.9．【答案】AC【分析】根據(jù)已知代入，求得的值，可得，從而可求.【詳解】由，得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；所以，則，所以是等差數(shù)列，則，故C正確，D錯(cuò)誤.故選AC.10．【答案】AB【分析】結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象分析確定函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)與極值情況逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，故A,B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)椴皇菍?dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，所以不是的極值，故錯(cuò)誤.故選AB.11．【答案】BCD【分析】求出導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可判斷AC；設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上恒成立，判定B；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算和基本不等式可判斷D.【詳解】對(duì)于AC：由題意，則，得，所以，所以，故A錯(cuò)誤；所以，故C正確；對(duì)于B：設(shè)函數(shù)，則，令，得（舍），或，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，則在上恒成立，所以，故B正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選BCD.12．【答案】21【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以仍成等比數(shù)列.又，所以，即，所以.13．【答案】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)的情況.【詳解】，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為.故答案為：.14．【答案】【分析】根據(jù)作差即可求出，從而求出，則，令，，利用作差法判斷的單調(diào)性，即可求出.【詳解】因?yàn)棰?，所以②，②①可得，即，即，又，所以?dāng)時(shí)也成立，所以，所以，，所以，令，，則，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)稱軸為，開(kāi)口向下，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即.所以，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，即，故的最大值為.15．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）對(duì)遞推公式兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）根據(jù)（1）中所證求得，再根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而適度放縮即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列；（2）由（1）可知，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，?16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用累乘法可求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法可求得前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，，……，，所以，所以，得；?）由（1）得，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.17．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意由點(diǎn)在函數(shù)圖象上和極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)為零，即，解出即可；（2）設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的意義可得切線的斜率為，然后由切點(diǎn)在曲線上和切線上以及切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)建立方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.【詳解】（1）由題意可得，①，所以，②由①②，解得，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，在左右異號(hào)，成立；（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，①由導(dǎo)數(shù)的意義可得切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為，又點(diǎn)在切線上，所以，②聯(lián)立①②，化簡(jiǎn)消去可得，解得或1，代入函數(shù)可得切點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即，綜上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與曲線相切的切線方程為或.【思路導(dǎo)引】本題第二問(wèn)為求過(guò)點(diǎn)的切線，設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再由切點(diǎn)在切線和曲線上以及切線過(guò)定點(diǎn)聯(lián)立解出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出斜率，寫(xiě)出切線方程.18．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可得，即可求證為等差數(shù)列，即可求解，進(jìn)而可得，利用作商法即可求解；（2）根據(jù)為奇數(shù)和偶數(shù)，即可裂項(xiàng)求解.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，得.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，由，得，即.因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以.當(dāng)時(shí)，也適合該式，所以.因?yàn)?，且，所以是單調(diào)遞減數(shù)列；（2）因?yàn)?所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故19．【答案】(1)最小值，最大值(2)答案見(jiàn)詳解(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）求導(dǎo)后分析單調(diào)性可求出最值；（2）含參數(shù)的單調(diào)性討論問(wèn)題，先求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，分子為一元一次方程，直接分析即可；當(dāng)時(shí)，因式分解，討論根的大小情況，再結(jié)合函數(shù)的定義域分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)性.（3）先把不等式右邊看成數(shù)列的前項(xiàng)和，再仿寫(xiě)出，作差后求出新數(shù)列；然后不等式左邊的通項(xiàng)與右邊作差，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可求出最小值為，即可證明原不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，因?yàn)椋?，所以最大值為；?），則，①

當(dāng)時(shí)，分子為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②

當(dāng)時(shí)，分子為，令，解得，所以當(dāng)，即時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即或，又因?yàn)闀r(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，分子為