陜西省渭南市三賢中學2024−2025學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題含答案

/陜西省渭南市三賢中學2024?2025學年高二下學期4月期中考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．設集合，則（

）A． B． C． D．2．已知向量,則ABC=A．30 B．45 C．60 D．1203．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．4．“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．5．設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．若，且為第四象限角，則的值等于A． B． C． D．7．記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．108．若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列三角式中，值為1的是（

）A． B．C． D．10．在數(shù)列中，，，下列結論正確的是（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列B．數(shù)列是等差數(shù)列C．D．數(shù)列是遞增數(shù)列11．已知函數(shù)的圖像關于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線三、填空題（本大題共3小題）12．復數(shù)的實部為．13．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調遞增.若實數(shù)滿足，則的取值范圍是.14．曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)f（x）＝（1）求a的值；（2）求f（f（2））的值；（3）若f（m）＝3，求m的值.16．已如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，平面，M，N分別是AB，PC的中點，.（1）求證：平面（2）求證：平面PCD.17．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值．18．記為數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．19．設函數(shù)x∈R，其中a,b∈R.（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；（Ⅲ）設a＞0,函數(shù)g（x）=|f（x）|,求證：g（x）在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于.

參考答案1．【答案】B【詳解】，故，故選B.2．【答案】A【詳解】試題分析：由題意，得，所以，故選A．【思維拓展】（1）平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；（2）由向量的數(shù)量積的性質知，，，因此，利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關的問題．3．【答案】D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量.由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選D.方法二：利用等差數(shù)列的性質.根據(jù)等差數(shù)列的性質，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選D.方法三：特殊值法.不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選D.4．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.5．【答案】A【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選A.6．【答案】D【詳解】∵sina=,且a為第四象限角,∴，則，故選D.7．【答案】A【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項和，，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選A.8．【答案】C【詳解】試題分析：對恒成立，故，即恒成立，即對恒成立，構造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得．故選C．【名師點睛】本題把導數(shù)與三角函數(shù)結合在一起進行考查,有所創(chuàng)新,求解的關鍵是把函數(shù)單調性轉化為不等式恒成立,再進一步轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關的問題,即注意正、余弦函數(shù)的有界性.9．【答案】ABC【詳解】A選項,，故正確.B選項，，故正確.C選項，，故正確.D選項，，故錯誤故選ABC10．【答案】BC【詳解】由，整理得，故數(shù)列是以3為首項，6為公差的等差數(shù)列，則B選項正確，A選項錯誤，由等差數(shù)列可得，所以，，則C選項正確，由通項公式可知數(shù)列是遞減數(shù)列，D選項錯誤.故選BC.11．【答案】AD【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調遞減；對B，當時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選AD．【方法總結】在進行三角函數(shù)圖象變換時,提倡“先平移,后伸縮”,但“先伸縮,后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中,所以也必須熟練掌握.無論是對x的哪種變換,切記每一種變換總是對x而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角”變化多少.12．【答案】【詳解】復數(shù)，其實部為.13．【答案】【詳解】由題意在上單調遞減，又是偶函數(shù)，則不等式可化為，則，，解得．14．【答案】【詳解】令，即，令則，令得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，因為曲線與在上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.15．【答案】（1）－2.（2）－2.（3）3【詳解】試題分析：（1）由函數(shù)定義可知一個自變量值對應一個函數(shù)值，因此可得到1＋a＝12－2×1；（2）分段函數(shù)求值時要注意自變量的值在哪一個自變量區(qū)間內(nèi)，需代入相應的函數(shù)解析式；（3）由函數(shù)值求自變量的值時需令每一個式子都等于函數(shù)值去求x的值試題解析：（1）由函數(shù)定義，得當x＝1時，應有1＋a＝12－2×1，即a＝－2.（2）由（1），得f（x）＝因為2>1，所以f（2）＝22－2×2＝0，因為0<1，所以f（f（2））＝f（0）＝0－2＝－2.（3）當m≤1時，f（m）＝m－2，此時m－2＝3得m＝5，與m≤1矛盾，舍去；當m≥1時，f（m）＝m2－2m，此時m2－2m＝3得m＝－1或m＝3.又因為m≥1，所以m＝3.綜上可知滿足題意的m的值為3.考點：函數(shù)的概念及函數(shù)求值16．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】證明：（1）取的中點，連接，，、分別是、的中點，，又面，面，所以面又面，面，所以面因為，面面面，因為面平面；（2）底面是矩形，平面，，，，平面，平面平面，平面，又，平面，、分別是、的中點，，，面平面．17．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、4,+∞，單調遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，由此可得出結果.【詳解】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：4,+∞增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、4,+∞，單調遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，解得．當時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.19．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)零點是否存在，分類討論；（Ⅱ）由題意得，計算可得.再由及單調性可得結論；（Ⅲ）實質研究函數(shù)最大值：主要比較，的大小即可，可分三種情況研究：①；②；③.試題解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分兩種情況討論：（1）當時，有恒成立，所以的單調遞增區(qū)間為.（2）當時，令，解得，或.當變化時，，的變化情況如下表：＋0－0＋單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，.（Ⅱ）證明：因為存在極值點，所以由（Ⅰ）知，且，由題意，得，即，進而.又，且，由題意及（Ⅰ）知，存在唯一實數(shù)滿足，且，因此，所以.（Ⅲ）證明：設在區(qū)間上的最大值為，表示兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論：（1）當時，，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此，所以.（2）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此.（3）當時，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此.綜上所述，當時，在區(qū)間上的最大值不小于.【名師點睛】1．求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟：（1）確定函數(shù)f（x）的定義域（定義