廣東省揭陽市2023−2024學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試卷含答案

/廣東省揭陽市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知，則的虛部為（

）A． B． C． D．72．已知由小到大排列的4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，則（

）A．5 B．6 C．7 D．83．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在平行四邊形中，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．中國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家祖沖之?祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.詳細(xì)點(diǎn)說就是，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.如圖，一個(gè)上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（

）A．24 B． C． D．7．已知，則（

）A． B．C． D．8．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，則（

）A． B．C．在上的投影向量的模為 D．與的夾角為鈍角10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若的圖象關(guān)于直線對稱，則11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（

）A． B．C．有最大值 D．函數(shù)是奇函數(shù)三、填空題（本大題共3小題）12．已知集合，則的所有元素之和為.13．若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．一個(gè)三棱錐形木料，其中底面是的等腰直角三角形，底面，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求.16．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面.(1)設(shè)分別為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值.17．某校舉辦“奮進(jìn)新征程，建功新時(shí)代”知識能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法從這兩個(gè)區(qū)間共抽取5名學(xué)生，則每個(gè)區(qū)間分別應(yīng)抽取多少人？(2)在（1）的條件下，該校決定在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的概率；(3)現(xiàn)需根據(jù)學(xué)生成績制定評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，評定成績較高的前70%的學(xué)生為良好，請根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)良好的最低分?jǐn)?shù)線.（精確到1）18．已知是定義域上的奇函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)判斷并用定義證明在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)設(shè)函數(shù)，若對任意的，，求實(shí)數(shù)的最小值.19．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出的，該問題是“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小."意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，若，求的最小值；(3)設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】，則其虛部為，故選：B.2．【答案】D【詳解】由小到大排列的4個(gè)數(shù)據(jù)1，3，4，，則，這4個(gè)數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，因?yàn)檫@4個(gè)數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，所以，解得．故選：D.3．【答案】A【詳解】由，則，故充分性成立，由，則，無法推出，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A4．【答案】C【詳解】因?yàn)闉槠叫兴倪呅危瑒t有，∴.故選：C.5．【答案】A【詳解】由于二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，對稱軸為直線，其對稱軸左側(cè)的圖象是下降的，∴，故，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.6．【答案】D【詳解】由祖暅原理，該不規(guī)則幾何體體積與正六棱臺體積相等，設(shè)該正六棱臺的上下底面積分別為，高為，則，，，故.故選：D7．【答案】C【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以，，因?yàn)榫鶠樯显龊瘮?shù)，則函數(shù)，為增函數(shù).函數(shù)，與函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖可知，.又，，所以.綜上，.故選：C8．【答案】D【詳解】，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，故，如圖所示，則的面積為，即，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合得時(shí)等號成立，所以，的最小值為．故選：D．9．【答案】AC【詳解】A：由題意可得，故A正確；B：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；C：在上的投影向量的模為，故C正確；D：與的夾角的余弦值為，所以夾角不是鈍角，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10．【答案】BCD【詳解】對A，由，最小正周期，A錯(cuò)；對B，由，即是對稱中心，B對；對C，由，則，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；對D，由題意，故，D對.故選：BCD.11．【答案】ABD【詳解】對于A：因?yàn)榍遥?，則，解得，令，則，令，，則，解得，故A正確；對于B：令，可得，即，所以，故B正確；對于C：令，且，則，可得，若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；若時(shí)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)不一定有最大值，故C錯(cuò)誤；對于D：令，可得，可得，即，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確；故選：ABD.12．【答案】【詳解】由題知，，所以，所以的所有元素之和為.故答案為：.13．【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有恒成立，即在時(shí)恒成立，所以，解得.故答案為：.14．【答案】【詳解】由是的等腰直角三角形，取的中點(diǎn)為，則，又因?yàn)榈酌?，底面，所以，，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，即就是二面角的平面角，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，又因?yàn)?，，所以，由于這個(gè)四面體是直角四面體，它可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，從而可得它的外接球半徑滿足：則三棱錐的外接球表面積為：故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，所以，所?16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，為的中點(diǎn)，所以，且為的中點(diǎn)，由為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切危?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，連接，所以為直線與平面所成角，因?yàn)闉榈冗吶切危?，所以，又平面，故，在中，因?yàn)?，所以，所以，所以直線與平面所成角的正切值為.17．【答案】(1)依次抽取人、人(2)(3)【詳解】（1）依題意，設(shè)區(qū)間中應(yīng)抽人，區(qū)間中應(yīng)抽人，得成績在區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)為：；成績在區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)為：；所以，解得，所以區(qū)間中應(yīng)抽人，區(qū)間中應(yīng)抽人.（2）由（1）得，不妨記區(qū)間中人為，區(qū)間中人為，則從中抽取2名學(xué)生（注意分先后）的基本事件為共20件，其中第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間[90,100]（記為事件）的基本事件為共12件，故，即第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的概率為.（3）由頻率分布直方圖易得，的頻率為，的頻率為，所以成績良好的最低分?jǐn)?shù)線落在區(qū)間中，不妨記為，故，解得，所以成績良好的最低分?jǐn)?shù)線為.18．【答案】(1)(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見解析(3)【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x域上的奇函數(shù)，且，所以，所以，解得，即．經(jīng)檢驗(yàn)，是奇函數(shù)，滿足題意，所以.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，當(dāng)，且，則，，∴，∴，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．當(dāng)，且，則，，∴，∴，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（3）由題意知，令，則，由（2）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸方程為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，；當(dāng)時(shí)，取得最大值，．所以，，又因?yàn)閷θ我獾?，都有恒成立，∴，即，解得，又∵，所以的取值范圍是，則實(shí)數(shù)的最小值為．19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，又，所以?/p>