北京市第一零一中學(xué)2023−2024學(xué)年高一下學(xué)期統(tǒng)練四數(shù)學(xué)試題含答案

/北京市第一零一中學(xué)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期統(tǒng)練四數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．如圖，在長方體中，，，則（

）

A．3 B．4 C．5 D．62．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在中，若，則（

）A． B． C． D．4．如圖，某幾何體的上半部分是長方體，下半部分是正四棱錐，，，，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．5．正四面體的棱長為1，現(xiàn)將正四面體繞著旋轉(zhuǎn)，則所經(jīng)過的區(qū)域構(gòu)成的幾何體的體積為（

）A． B．C． D．6．已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．7．如圖,甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當(dāng)甲船位于處時(shí),乙船位于甲船的北偏西方向的處,此時(shí)兩船相距海里,當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時(shí)兩船相距海里,則乙船每小時(shí)航行（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里8．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則外接圓面積與面積之比的最小值為（

）．A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）9．一圓錐的側(cè)面展開圖為一圓心角為的扇形，該圓錐母線長為6，則圓錐的底面半徑為．10．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則.11．已知，且，則的最大值為．12．已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．13．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為，記四面體的表面積為，則函數(shù)的定義域?yàn)椋蛔畲笾禐?14．在中，角的對(duì)邊分別為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，滿足條件的有2個(gè)；③若是的平分線，且.則；④當(dāng)時(shí)，為直角三角形.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題（本大題共3小題）15．已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在以為球心的球面上．若球的體積為，求球心到平面的距離．16．如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且.

(1)求的長及的值；(2)若，求的周長；(3)若，求中邊上的高.17．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.

參考答案1．【答案】B【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)求解.【詳解】在長方體中，.故選B.2．【答案】A【詳解】復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為第一象限的點(diǎn).故選：A3．【答案】D【分析】由同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得，再由正弦定理可求得.【詳解】易知，由可得；利用正弦定理可得.故選D.4．【答案】B【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐的高，再根據(jù)棱柱與棱錐的體積公式即可得解.【詳解】在正四棱錐中，連接交于點(diǎn)，連接，則即為正四棱錐的高，，，所以，，所以該幾何體的體積為.故選B.5．【答案】C【分析】取棱中點(diǎn)，連接，故，進(jìn)而得形成的幾何體為兩個(gè)底面重合的圓錐，其底面圓的半徑為，頂點(diǎn)為點(diǎn)，頂點(diǎn)到底面圓的距離均為，再計(jì)算圓錐的體積即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，取棱中點(diǎn)，連接，因?yàn)檎拿骟w的棱長為1，則，所以當(dāng)正四面體繞著旋轉(zhuǎn)時(shí)，形成的幾何體為兩個(gè)底面重合的圓錐，其底面圓的半徑為，頂點(diǎn)為點(diǎn)，頂點(diǎn)到底面圓的距離均為，故所求幾何體的體積為.故選C.6．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，解得，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選A．

7．【答案】D【分析】先根據(jù)已知條件得到和的長,在利用已知條件和余弦定理求出的長即可得到結(jié)果.【詳解】連接,如圖:由已知條件得,因?yàn)榧状乃俣仁敲啃r(shí)海里,所以,則是等邊三角形,所以,因?yàn)楫?dāng)甲船位于處時(shí),乙船位于甲船的北偏西方向的處,所以,則,即,所以乙船航行的速度是海里/小時(shí),即乙船每小時(shí)航行海里.故選D.8．【答案】B【分析】由題意可得，設(shè)外接圓半徑為，則外接圓面積為，面積為，所以，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可求出答案.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，?所以，因?yàn)?，所以，所以，所以或，則或（舍去），設(shè)外接圓半徑為，,則外接圓面積為，面積為，所以，而，因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，即時(shí)，.故選B.9．【答案】2【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的性質(zhì)，結(jié)合弧長公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A錐的母線長為6，所以側(cè)面展開圖扇形的半徑為6，設(shè)該圓錐的底面半徑為，所以有.10．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，因此，又，所以.11．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面的幾何關(guān)系，將的軌跡轉(zhuǎn)化成半徑為1的圓上的點(diǎn)，則所求問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以z的軌跡可看作是半徑為1，圓心為原點(diǎn)的圓，而對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中的點(diǎn)為，所以的最大值可以看成點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離，則的最大值為．12．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因?yàn)?，即，解?【方法總結(jié)】多面體與球切、接問題的求解方法：（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；（2）若球面上四點(diǎn)構(gòu)成的三條線段兩兩垂直，且，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，根據(jù)求解；（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長；（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．13．【答案】【分析】設(shè)，取的中點(diǎn)為，連接，則,且,在中可得,取的中點(diǎn)為，連接，則,,即得到函數(shù)的定義域，由，，表示出，求出其最大值即可.【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)為，連接，則,且.在中可得.取的中點(diǎn)為，連接，則,又，所以，，則，則定義域?yàn)?，由，則(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立)所以當(dāng)時(shí)，有最大值.14．【答案】①④【分析】先用正弦定理得，再利用三角恒等變換化簡，即可判斷①；利用正弦定理即可判斷②；利用等面積法，即可判斷③；利用正弦定理得，然后利用三角形角的關(guān)系，計(jì)算出各個(gè)角的大小即可判斷④.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以，化簡可得，因?yàn)椋?，可得，，故，故①正確；對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，由①得，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又，所以，此時(shí)滿足條件的只有1個(gè)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：因?yàn)槿羰堑慕瞧椒志€，且，由①得，故，而，則，得，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，化簡可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以為直角三角形，故④正確．故選①④.【方法總結(jié)】在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有，，的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.15．【答案】到平面的距離為1【分析】計(jì)算的邊長得出所在截面圓的半徑和球的半徑，利用勾股定理計(jì)算到平面的距離.【詳解】根據(jù)題意作如下圖：

，，，，設(shè)的中心為，則平面，由正弦定理可得，，，即到平面的距離為1．16．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和得正弦公式即可求出；（2）由，可得，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解；（3）先根據(jù)三角形的面積公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，；?）因?yàn)?，所以，即，在中，由?）結(jié)合正弦定理得，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以的周長為；（3），所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，解得（舍去），所以中邊上的高為.【方法總結(jié)】已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法：先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解思路有兩種：（1）利用余弦定理求出其它角；（2）利用正弦定理（已知兩邊和其中一邊的對(duì)角）求解.若用正弦定理求解，需對(duì)角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這個(gè)問題（在上，余弦值所對(duì)的角是唯一的），故用余弦定理較好.17．【答案】(1)1(2)【分析】利用三角恒等變換整理可得，結(jié)合最小正周期分析求解；以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)最值可得.若選條件①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解；若選條件②：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解；若選條件③：利用面積公式、余弦定理可得，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，結(jié)合正弦函數(shù)分析求解.【詳解】（1）由題意可知，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以.（2）由（1）可知，因?yàn)椋瑒t，可知當(dāng)，即時(shí)，取到最大值3，即.若選