安徽省部分示范高中2024−2025學(xué)年高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含答案

/安徽省部分示范高中2024?2025學(xué)年高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)．若存在，使得為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．4．現(xiàn)將12個(gè)相同的小球全部放入4個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放2個(gè)小球，則不同的放法共有（

）A．24種 B．35種 C．56種 D．70種5．已知是正實(shí)數(shù)，若函數(shù)對(duì)任意恒成立，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．e6．若函數(shù)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則（）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線過焦點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率為，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多選題（本大題共3小題）9．已知，樣本數(shù)據(jù)，，則（

）A．的平均數(shù)一定等于的平均數(shù) B．的中位數(shù)一定小于的中位數(shù)C．的極差一定大于的極差 D．的方差一定小于的方差10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．的周期為B．的圖象關(guān)于對(duì)稱C．在上恰有3個(gè)零點(diǎn)D．若在上單調(diào)遞增，則的最大值為11．設(shè)，函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．若，則當(dāng)時(shí)，C．若有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D．若存在，滿足，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知具有線性相關(guān)性的變量，設(shè)其樣本點(diǎn)為，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，，則．13．在三棱錐中，平面，若，且，則三棱錐的體積的最大值為．14．已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點(diǎn)（其中在第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，若，則直線的斜率為.四、解答題（本大題共5小題）15．兩個(gè)箱子里面各有除顏色外完全相同的黑球和白球若干個(gè)，現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)抽球游戲，規(guī)則如下：先從第一個(gè)箱子中隨機(jī)抽一個(gè)小球，抽后放回，記抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率為；再從第二個(gè)箱子中隨機(jī)抽一個(gè)小球，抽后放回，記抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率為.記一次游戲后，得分總和為分.(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有人玩該游戲各一次，求恰有人游戲得分不低于分的概率.16．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．17．如圖，在四棱錐中，底面，，，，側(cè)棱與底面所成的角為，且，.(1)求；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和是中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓上的兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為橢圓上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓的公共弦為.證明：的面積為定值，并求出該定值.19．已知無窮數(shù)列滿足以下條件：①，當(dāng)時(shí)，；②若存在某項(xiàng)，則必有，使得（且）．(1)若，寫出所有滿足條件的；(2)若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)設(shè)，求正整數(shù)的最小值．

參考答案1．【答案】D【詳解】由題意，因?yàn)?，即集合是集合的子集，所?故選D.2．【答案】B【詳解】由可得，故，故選B.3．【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，存在，函數(shù)為奇函數(shù)，則或，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，則函數(shù)是偶函數(shù)，于是，解得，當(dāng)時(shí)，，C符合，ABD不符合；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，與矛盾，所以實(shí)數(shù)的值可以是.故選C.4．【答案】B【詳解】先在每個(gè)盒子中分別放入一個(gè)小球則剩余個(gè)小球，只需保證個(gè)盒子中分別再放入至少個(gè)小球，則采用隔板法可得有種放法.故選擇B.5．【答案】C【詳解】由題意可知，為增函數(shù)，為減函數(shù)，且零點(diǎn)分別為，，因?qū)θ我夂愠闪?，則函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，則的最大值為.故選C．6．【答案】B【詳解】由題意得，函數(shù)定義域?yàn)?∵，∴，∵且，∴，則，∵，∴，解得，當(dāng)時(shí)，，，不合題意，∴的取值范圍是.故選B.7．【答案】A【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，兩式相減得，整理可得，且，則，可得，即，可知等差數(shù)列的公差，當(dāng)時(shí)，則，解得；所以，可知數(shù)列為正奇數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，可得為偶數(shù)；當(dāng)時(shí)，可得為奇數(shù)；所以數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，所以.故選A.8．【答案】C【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，作軸于，由直線的斜率為，得，而，則，設(shè)點(diǎn)，令，，于是，解得，同理，因此，當(dāng)為鈍角時(shí)，同理求得，所以.故選C.9．【答案】AC【詳解】對(duì)分別求平均數(shù)，均為，故A正確；的中位數(shù)為，的中位數(shù)為，大小關(guān)系不確定，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)為：，中位數(shù)為2，故B錯(cuò)誤；的極差為，的極差為，故C正確；由，且和的平均數(shù)相等，從而，故D錯(cuò)誤．故選AC．10．【答案】BD【詳解】①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，，因此，，所以函數(shù)的圖象，如圖所示：A選項(xiàng)：因?yàn)椋蔄不正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；C選項(xiàng)：由的函數(shù)解析式以及函數(shù)圖像可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由，，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以由的圖象可知，解得，則的最大值為，故D正確；故選BD．11．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得或，，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，由上述知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，若有個(gè)零點(diǎn)，則由單調(diào)性可知必然有，解得.而當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間，，中分別各有一個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，等價(jià)于或，，故D選項(xiàng)正確.故選BCD.12．【答案】8【詳解】由題意可得：，，可知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為過樣本中心點(diǎn)，則，可得．13．【答案】/【詳解】在三棱錐中，平面，，設(shè)，則，以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，整理得，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為，面積的最大值為，三棱錐體積的最大值為，設(shè)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此，所以三棱錐體積的最大值為.14．【答案】【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，的內(nèi)切圓的圓心為，記邊上的切點(diǎn)分別為，由切線的性質(zhì)可得：，由雙曲線定義可得：，即，則，又.則，又，則，即.同理可得，的內(nèi)切圓也與軸相切于點(diǎn).連接，則與軸垂直，設(shè)圓與相切于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，記垂足為，則.設(shè)直線傾斜角為，則.在四邊形中，注意到，又四邊形內(nèi)角和為，則，在中，，，則，則直線斜率，即.15．【答案】(1)分布列見解析，(2)【詳解】（1）由題知，可能取的值為，，，.

，，，，的分布列為：故.（2）由（1）知，得分不低于分和低于分的概率均為故人玩該游戲各一次恰有人游戲得分不低于分的概率為.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．［方法四］：因?yàn)槎x域?yàn)椋?，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)椋詴r(shí)，有，即．下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，顯然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，由即可求出，解法雖稍麻煩，但是此類題，也是本題的通性通法；方法二：利用同構(gòu)思想將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法即可求出，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過先換元，令，再同構(gòu)，可將原不等式化成，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及分離參數(shù)法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范圍，再進(jìn)行充分性證明即可．17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫妫栽谄矫嫔系纳溆盀?，所以為直線與底面所成的角，因?yàn)榕c底面所成的角為，所以，又，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，，又，故，則，因?yàn)橐驗(yàn)槠矫妫矫嫠?，所以，所以?/p>

解得或（舍去），故.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向，過作垂直于平面的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，，令，得，，則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，，令，可得，，得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.18．【答案】（1）（2）證明見解析，定值為【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意知：，，解得，

所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則，且圓的方程為，即圓的方程為.

因?yàn)閳A的方程為，

將圓的方程與圓的方程作差得，

所以的方程為，

點(diǎn)到直線的距離，又因?yàn)椋缘拿娣e為為定值.19．【答案】(1)滿足條件的可能為(2)證明見解析(3)3035【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，，或，或，，，①若，則或；②若，則或；綜上所述，滿足條件的可能為；（2）先證當(dāng)正整數(shù)時(shí)，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，且，①由（1）