高中數(shù)學(xué) §3 1 2 兩條直線的平行與垂直

兩條直線的平行與垂直(3.1.2)教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直.(二)能力訓(xùn)練通過(guò)探究?jī)芍本€平行或垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)解決新問(wèn)題的能力,以及數(shù)形結(jié)合能力．(三)學(xué)科滲透通過(guò)對(duì)兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識(shí)，合作交流的學(xué)習(xí)方式,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．重點(diǎn)：兩條直線平行和垂直的條件是重點(diǎn)，要求學(xué)生能熟練掌握，并靈活運(yùn)用．難點(diǎn)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生,把研究?jī)蓷l直線的平行或垂直問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓷l直線的斜率的關(guān)系問(wèn)題．注意：對(duì)于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況,在課堂上老師應(yīng)提醒學(xué)生注意解決好這個(gè)問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程(一)先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直上一節(jié)課,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的傾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用傾斜角和斜率來(lái)表示直線相對(duì)于x軸的傾斜程度,并推導(dǎo)出了斜率的坐標(biāo)計(jì)算公式.現(xiàn)在,我們來(lái)研究能否通過(guò)兩條直線的斜率來(lái)判斷兩條直線的平行或垂直．討論:兩條直線中有一條直線沒(méi)有斜率,(1)當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；(2)當(dāng)另一條直線的斜率為0時(shí)，一條直線的傾斜角為90°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直．(二)兩條直線的斜率都存在時(shí),兩直線的平行與垂直設(shè)直線L1和L2的斜率分別為k1和k2.我們知道,兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的,而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的.所以我們下面要研究的問(wèn)題是:兩條互相平行或垂直的直線,它們的斜率有什么關(guān)系?首先研究?jī)蓷l直線互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．(借助計(jì)算機(jī),讓學(xué)生通過(guò)度量,感知α1,α2的關(guān)系)∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反過(guò)來(lái)，如果兩條直線的斜率相等:即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵兩條直線不重合，∴L1∥L2．結(jié)論:兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意:上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2;反之則不一定.下面我們研究?jī)蓷l直線垂直的情形．如果L1⊥L2，這時(shí)α1≠α2，否則兩直線平行．設(shè)α2＜α1(圖1-30)，甲圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸上方；乙圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸下方；丙圖的特征是L1與L2的交點(diǎn)在x軸上，無(wú)論哪種情況下都有α1=90°+α2．因?yàn)長(zhǎng)1、L2的斜率分別是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出:α1=90°+α2．L1⊥L2．結(jié)論:兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即注意:結(jié)論成立的條件.即如果k1·k2=-1,那么一定有L1⊥L2;反之則不一定.(借助計(jì)算機(jī),讓學(xué)生通過(guò)度量,感知k1,k2的關(guān)系,并使L1(或L2)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái),但仍保持L1⊥L2,觀察k1,k2的關(guān)系,得到猜想,再加以驗(yàn)證.轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),可使α1為銳角,鈍角等).例題例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),試判斷直線BA與PQ的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.分析:借助計(jì)算機(jī)作圖,通過(guò)觀察猜想:BA∥PQ,再通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證.(圖略)解:直線BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直線PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因?yàn)閗1=k2=0.5,所以直線BA∥PQ.例2已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明.(借助計(jì)算機(jī)作圖,通過(guò)觀察猜想:四邊形ABCD是平行四邊形,再通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證)解同上.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),試判斷直線AB與PQ的位置關(guān)系.解:直線AB的斜率k1=(6-0)/(3-(-6))=2/3,直線PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=-3/2,因?yàn)閗1·k2=-1所以AB⊥PQ.例4已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),試判斷三角形ABC的形狀.分析:借助計(jì)算機(jī)作圖,通過(guò)觀察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通過(guò)計(jì)算加以驗(yàn)證.(圖略)課堂練習(xí)P94練習(xí)1.2.課后小