河北省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級下冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

局一數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.下列說法中正確的是（）

A.銳角是第一象限角B.終邊相等的角必相等

C.小于90°的角一定在第一象限D(zhuǎn).第二象限角必大于第一象限角

【答案】A

【解析】

【分析】利用角的定義一一判定即可.

【詳解】銳角是指大于0。小于90°的角，故其在第一象限，即A正確；

選項B.終邊相等的角必相等，兩角可以相差360°整數(shù)倍，故錯誤；

選項C.小于90。的角不一定在第一象限，也可以為負(fù)角，故錯誤；

選項D.根據(jù)任意角的定義，第二象限角可以為負(fù)角，第一象限角可以為正角，此時第二象限角小于第一

象限角，故錯誤.

故選：A

1

2.已知。6R則“cosa=——“是"a=2左乃+——，左wZ”的（）

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

27r

【分析】由題意可知a=2左乃士——,k€Z,再根據(jù)充分必要條件的概念，即可得到結(jié)果

3

因為cosa二一工，解得。=2左〃土2萬

【詳解】—,keZ,

23

I27r

「?"cosa=——"是“a=2左乃+——,keZ”的必要不充分條件.

23

故選：B.

3.已知V^sin。一cos。=0，則tan28=()

A.-2A/2B.V2C.1D.272

【答案】D

1/14

【解析】

【分析】由題意求出tan。，再根據(jù)二倍角得正切公式即可得解.

【詳解】由Jlsin。一cos。=0，得tan6=---

2

9旦

故tan28=2tan，=——今=2及,

1—tai?，11

2

故選：D

4.已知某扇形的弧長為當(dāng)，圓心角為工，則該扇形的面積為()

22

717171971

A.—B.—C.—D.--

4624

【答案】D

【解析】

【分析】

由弧長公式求出r=3,再由扇形的面積公式求出答案.

3萬113萬o

【詳解】扇形的圓心角AIT%，所以r=3,則扇形的面積S=—>=—X—x3=—

0=~=—=—2224

rr2

故選：D.

08

5.設(shè)a=6，b=O.9.c=log090.8,則（）

Ac>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】利用事函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及中間值法即可比較大小.

8

【詳解】因為5=l<a=密<2=&，6=0.9°<0,9°=1,c=log090.8>log090.81=2,

所以c>a>b.

故選：A

6.將函數(shù)/(x)=sm2x的圖象向左平移77上個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)?/p>

4

原來的3倍得到y(tǒng)=g(x)的圖象，則g(x)=()

A.-3cos2xB.3cos2x

2/14

C.-3sin12x+：D.3sin12x+：

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)左加右減得到平移后的解析式，再得到伸縮變換后的解析式.

TT

【詳解】將函數(shù)/(x)=sm2x的圖象向左平移一個單位,

4

可得"sin2(x+=sin12x+]=cos2x的圖象;

再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍可得g(x)=3cos2x.

故選：B.

7.函數(shù)/(x)=/sin(ox+0)(A>0,co>0,[°|<])的部分圖象如圖所示，則的值為().

A,—逅B,—立C.—走D.-1

222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圖像，先求出A,再求出。，然后得到/(得)=夜sin(2x^|+e)=—J5,進(jìn)而求出9=1,

最后，直接求函數(shù)值即可.

【詳解】由圖得，Z=J5，二==—g=

41234

.'.T=7i=—,得0=2,

CD

所以，/(x)=V2sin(2x+cp)，

則f(—)—V2sin(2x---卜。)=—V2,

3/14

/Tl71.,,?

行---\-(p----F2ATT,左￡Z,

62

由Sl<5得,(p=-,

則/(x)=V^sin(2x+?,

所以，=0^皿兀+攵二一^^由三二一^^

故選：A.

8.十字測天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晚期的航海領(lǐng)域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位

置，如圖1所示，十字測天儀由桿48和橫檔CD構(gòu)成，并且E是。。的中點，橫檔與桿垂直并且可在桿上

滑動，十字測天儀的使用方法如下：如圖2,手持十字測天儀，使得眼睛可以從/點觀察，滑動橫檔CD使

得力,。在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線恰好經(jīng)過點。，DE的影子恰好是ZE.

然后，通過測量NE的長度，可計算出視線和水平面的夾角NC4。(稱為太陽高度角)，最后通過查閱地

圖來確定船員所在的位置.

Q<0、

一''太陽、'、人

D/

視”?

眼睛水平面

AC

圖1圖2K

若在一次測量中，/￡=60,橫檔CD的長度為30,則太陽高度角的正弦值為()

481315

A.—B.—C.—D.—

17171717

【答案】B

【解析】

【分析】由題意推得NE垂直平分CD,可得ZCAD=2ZCAE,于是解直角三角形可得

sinZCAE,cosZCAE的值，由二倍角正弦公式即可求得答案.

【詳解】由題意知ZE垂直平分CD,故CE=，C￡>=15,

2

在中,/￡=60,則zc=JZE2+C￡2=,6()2+152=15后

劇?“門CEV17-AE447

貝1sm/CAE=二---,cos/CAE==------，

AE17AE17

4/14

h7A/17Q

而ACAD=2NCAE,故sinZCAD=2sinZCAEcosZCAE=2x-—x——=—，

171717

Q

即太陽高度角的正弦值為一，

17

故選：B

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列化簡正確的是()

A.sin(202371-?)=sin(ZB.tan(a-2023?r)=-tana

.<1171)7兀

C.sin----\-a=-cosct=sincr

I2)D.COS

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡判斷四個選項即可.

【詳解】對于A,sin（2023兀一a）=sin（20227i+兀-a）=sin（兀一a）=sina,故A正確;

對于B,tan（a-20237r）=tana,故B錯誤;

兀）.（71

---+a=-sm——a=-coscr

對于C,2）UJ故C正確;

對于D,故D錯誤.

故選：AC.

10.下列說法錯誤的是()

A.兩個不等式/+b222ab與巴吆'J茄成立的條件是相同的

2

B.函數(shù)y=x+工的最小值是2

x

4

C.函數(shù)/(x)=sinx+----的最小值為4

smx

D.x>0,J>0,且盯=4,則x+4y的最小值是8

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合對勾函數(shù)圖象逐項分析判斷.

5/14

【詳解】對于選項A：因為/+6222的成立的條件a,beR；

"22J拓成立的條件。力20,故A錯誤；

2

對于對勾函數(shù)/(x)=》+幺(左>0)的圖象如圖所示：

結(jié)合對勾函數(shù)圖象可得函數(shù)y=x+1的值域為(-叫-2]1][2,+?),無最值，故B錯誤;

X

對于選項C：令￡=sinxw[-l,O)U(O,l],

結(jié)合對勾函數(shù)圖象可知^=2+，的值域為(-叫-5]U[5,+s),無最值，故C錯誤；

對于選項D：因為x〉0,J>0,則x+4y22dx-4y=4A=8，

當(dāng)且僅當(dāng)x=4〉=4時，等號成立,

所以x+4y的最小值是8,故D正確；

故選：ABC.

11.定義：在平面直角坐標(biāo)系xQn中，若存在常數(shù)9(?！?),使得函數(shù)/(x)的圖象向右平移。個單位長度

后,恰與函數(shù)g(x)的圖象重合，則稱函數(shù)/(X)是g(x)的“原形函數(shù)”.下列函數(shù)/(X)是g(x)的“原形函

數(shù)”的是()

A./(x)=x2-l,g(x)=x2-2xB./(x)=sinx,g(x)=cosx

x

c./(x)=lnx,g(x)=ln-D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)“原形函數(shù)”的定義逐一分析各個選項即可得出答案.

【詳解】解：由/(》)=/一1這(%)=(》—1)2—1知，將/(x)的圖象向右移動1個單位可得到g(x)的圖象,

6/14

故選項A正確；

由〃x)=sinx,g(x)=cosx=sin[x-mj知，將/(x)的圖象向右移動5個單位可得到g(x)的圖象，故選項

B正確；

X

由/(、)=山工心(幻=111^=111%—1114知，將/(X)的圖象向下移動21n2個單位可得到g(x)的圖象，故

選項C不正確；

由/⑴刊,g⑴=2[J，]丫

og]i=L1知，將/(x)的圖象向右移動logs2個單位

2U3

可得到g(x)的圖象，故選項D正確.

故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分.

12.已知角e終邊經(jīng)過點尸(-1,2),則=—

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可；

【詳解】已知角e終邊經(jīng)過點尸(-1,2),

?A226

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：。。，"=口7)222=一一廠sm"=/-----

g)2+225

?…cos8—sin9「

所以----------二-3,

sm3+cos0

故答案為：-3.

13.已知函數(shù)/(x)滿足y=/(x+l)-l為奇函數(shù)，則函:數(shù)/(X)的解析式可能為______________(寫出一

個即可).

【答案】/(X)=X(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義選擇函數(shù)/(X)的解析式即可

[詳解]取f(x)=x,則y=/(x+l)_l=(x+l)_l=X符合題意.

故答案為：/(x)=x.

7/14

14.設(shè)函數(shù)/(x)為定義域為R的奇函數(shù)，且/(x)=/(2—x),當(dāng)xe［O,l］時，/(x)=sinx,則函數(shù)

g(x)=cos——/(x)在區(qū)間［-5,8］上的所有零點的和為.

【答案】6

【解析】

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)是周期為4的周期函數(shù)，然后作出函數(shù)＞=cos《-與函數(shù)y=/(x)在區(qū)

間［-5,8］上的圖象，利用對稱性可求得函數(shù)y=g(x)在區(qū)間［-5,8］上的零點之和.

【詳解】由于函數(shù)y=/(x)為定義域為R的奇函數(shù)，則/(x)=/(2—x)=—/(x—2),

.?./(x+4)=—/(x+2)=/(x),所以，函數(shù)y=/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

作出函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=cos—在區(qū)間［-5,8］上的圖象，如下圖所示:

I月cos竽

由圖象可知，函數(shù)y=/(x)與函數(shù)歹=cos—在區(qū)間［-5,8］上的圖象共有6個交點,

且有3對關(guān)于直線x=l對稱，

因此，函數(shù)g(x)=cos分—/(x)在區(qū)間［—5,8］上的所有零點的和為2x3=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查函數(shù)零點之和的求解，解題時要結(jié)合圖形得出函數(shù)圖象的對稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想的

應(yīng)用，屬于中等題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

_coslO°-V3cosl00°

15.(1)計算：——/一；

vl-cos80°

、sin(g+a］一3sin(萬+a)

(2)已知sina=-2cosa,求

8/14

【答案】（1）41；（2）-1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，輔助角公式以及二倍角公式即可解出;

（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，商數(shù)關(guān)系即可解出.

[詳解】(1)coslO°-V3coslO(rcoslO。+Gsin]0。_2sin(10°+30°)_

Vl-cos80°V2sin40°-V2sin40°一一

(2)sina=-2coscr,/.tana=-2,

sinp?一3sin(%+a)

12+cosa+3sinal+3tancr1-6

則

一2sina+cosa—2tana+14+1

16.已知函數(shù)/(%)=cosx+J§sinx+1.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

JT\JTJT

(2)若g(x)=/2x+—.求函數(shù)g(x)的最值.

\6)33

【答案】（1）2k兀——,2k7r+—GZ）；

（2）最小值：1一百，最大值：3.

【解析】

【分析】用輔助角公式化簡作）解析式，根據(jù)y=/sin@x+p）+3的圖像與性質(zhì)求作）的單調(diào)增區(qū)間，求出

g（x）解析式，用整體替換法即可求其最值.

【小問1詳解】

I—.「

/（x）=cosx+V3sinx+l=2sinx+—+1,

l6J

由2k兀------<x——<2k兀H——（keZ）,

262

得2左萬-2^<x<2kjr+—（kGZ）,

33

，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為2人萬一g,2左?（左eZ）.

【小問2詳解】

9/14

g(x).2H=2sin2x+—+1.

I3j

717171

Vxe,2xH---G

3丁

當(dāng)2x+^=—工，即》=—￡時，g（x）取得最小值1—JL

333

JTTTTT

當(dāng)2x+—=—,即》=一時，g(x)取得最大值3.

3212

17.已知函數(shù)/（x）=J§"sin°xcosox-cos2Ox+g（?！?）,為，/是函數(shù)/（*）的零點，且,2-西|的

一冗

最小值為一.

2

（I）求。的值;

(II)設(shè)a,￡n,若/(；&+2]=：3，15%亮，求cos（a-6）的值.

25212

【答案】(I)0=1(II)cos(a-^)=—

65

【解析】

【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式整理出/（村=5也2。%一￡,根據(jù)周期求得。；（II）根據(jù)

/（X）解析式可求解出cosa,sin￡；再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出Sina,cos尸；代入兩角和差余弦公

式求得結(jié)果.

1A-1+cos2a)x1

【詳解】(I)/(x)=V3sincos<yx—cos2coxH———sin2a)x-----------------F—

2222

=顯萬

~~1sin2Gx--cos2cox=sin|2Gx--

26

二=工，即7=?=女

???|x2-xj的最小值為］

222。

(II)由(I)知：/(%)=sin(2x—?

1n2TTn713

—a+—二sina+---二---s-i-n-aH—二COS6Z二—

233625

10/14

.'.sin^=—

13

又sin?=1,cos〃=^|

/.cos(a_B)=cosacos/+sinasin'=—xb—x——=——

51351365

【點睛】本題考查三角函數(shù)解析式的求解及應(yīng)用問題，關(guān)鍵是考查學(xué)生對于二倍角公式、輔助角公式、同

角三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和差公式的掌握情況，考查學(xué)生的運算能力，屬于常規(guī)題型.

1夕

18.已知函數(shù)/(x)=下-尸+3.

(1)若2=2,求不等式/(x)〉0的解集；

(2)若對Vxe[-1,2],關(guān)于x的不等式/(x)zo恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

【答案】(1)(-oo,-log23)u(0,+oo)

(2)卜叫6]

【解析】

【分析】(1)令Z=進(jìn)行換元，先解關(guān)于，的一元二次不等式，然后再解指數(shù)不等式可得;

1?

⑵換元轉(zhuǎn)化為V,ep2/-2"+3'。恒成立問題’然后參變分離’利用基本不等式可解.

【小問1詳解】

/(*)$-±+3=113出+3,

設(shè)/=,得g?)=/_24+3.

當(dāng)2=2時，/(x)〉0,即g(。=r—41+3〉。，

解得/>3,或/<1,即〉3,或<1,

解得x<-log23或x>0.

故2=2時，不等式/(x)>0的解集為(―。,—log23)u(0,+。).

【小問2詳解】

11/14

當(dāng)xe[—1,2]時，

故Vxe[-1,2],不等式/（x）?0恒成立，等價于V/e1,2/—24+320恒成立.

由〃_22/+320，可得彳<50+：]，則XW]I'+l]'

因為,>0,所以:行=6,當(dāng)且僅當(dāng)/=6ey,2時取等號，

2（t）2]4」

所以:=百，即24道.

2It/min

故實數(shù)幾的取值范圍為卜”,6].

19.某工廠有甲、乙兩個生產(chǎn)車間，其污水瞬時排放量V（單位：m3/h）關(guān)于時間/（單位：h）的關(guān)系

均近似地滿足函數(shù)歹=/sin（&+e）+b（4>0,①>0,-兀<"<0）,其圖象如圖所示.

（2）若甲車間先投產(chǎn)，1小時后乙車間再投產(chǎn)，求該廠兩個車間都投產(chǎn)/（/20）時刻的污水瞬時排放量;

（3）由于受工廠污水處理能力的影響，環(huán)保部門要求該廠的兩個車間任意時刻的污水排放量之和不超過

6m3/h，若甲車間先投產(chǎn)，為滿足環(huán)保要求，乙車間比甲車間至少需推遲多少小時投產(chǎn)？

【答案】（1）j=-2cos|r+2（r>0）

（2）^=-2V3cos^|r+-^J+4,（r>0）

（3）為滿足環(huán)保要求，乙車間至少需比甲車間推遲2小時投產(chǎn).

【解析】

【分析】（1）由圖可得4仇利用周期公式可求出。