函數(shù)性質(zhì)綜合復習

重難點專題函數(shù)性質(zhì)綜合復習

一、基礎知識點：

1.單調(diào)性：

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設函數(shù)/（無）的定義域為A,區(qū)間。建4：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值無?,馬當為＜尤2時，都有了（西）＜那么就說/（%）

在區(qū)間。上是增函數(shù).

如果對于￡）內(nèi)的任意兩個自變量的值占，9,當X1＜/時，都有了（占）＜F（無2），那么就說/（無）

在區(qū)間。上是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上；

②任意兩個自變量不，了2且天|＜々；

③都有/（%!）＜/（%2）或/（%1）＞/（%2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降

的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)/（x）在區(qū)

間。上具有單調(diào)性，。稱為函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復合函數(shù)的單調(diào)性

復合函數(shù)的單調(diào)性遵從"同增異減"，即在對應的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)

層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）

函數(shù)，復合函數(shù)是減函數(shù).

2.奇偶性：

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個X,都有/（-X）=/（X）,

偶函數(shù)關于y軸對稱

那么函數(shù)/（九）就叫做偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/（%）的定義域內(nèi)任意一個X,都有f（-x）=-f（x）,

奇函數(shù)關于原點對稱

那么函數(shù)/（X）就叫做奇函數(shù)

3.周期性：

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有

F(x+T)=f(尤)，那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(元)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做f{x}的

最小正周期.

4.對稱性：

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關于x=a對稱.

⑵若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關于點(。，0)對稱.

⑶若/(x)=f(2a-x),則函數(shù)/(無)關于無=。對稱.

(4)^f(x)+f(2a-x)=2b,則函數(shù)/(尤)關于點(a，6)對稱?

二題型：

題型1【函數(shù)定義相關類型】

備注：利用函數(shù)定義域、值域、解析式的關系進行判斷

【例1】.(2324高一上?上海?期末)存在函數(shù)"X)滿足：VxeR都有()

A./(|x+l|)=x3B.=

C./(x2+1)=|x+l|D,/(x?+2x)=|x+l|

【答案】D

【解析】A：令f=|x+l|20,則x=-l土f,故/⑺=(-1±。3,顯然不滿足函數(shù)定義;

B：令r=J>0,則戶土委，故〃。=±1-1,顯然不滿足函數(shù)定義;

c：令y/+止1,則尤=±g,故〃r)=|土目+i],顯然不滿足函數(shù)定義;

D：令，=爐+2%=(元+1)2—1?—1,則％+1=±J才+1,故/(%)=|±J/+11=J/+1,滿足函數(shù)定

義.故選：D

【例2】.(2324高一?浙江?期末)存在函數(shù)〃尤)滿足對于任意xeR都有()

A./(|X-1|)=|%|+1B./(cos2x)=x2+x4

C./(cos2x)=sin2x+sinxD./(|x+11)=x2+2x+2

【答案】D

【解析】解：A./(!)=/(12-1|)=|2|+1=3,/(1)=f(|O-l|)=|0|+1=1,一個x對應兩個y,

錯誤；B./(-1)=/cos

一個x對應兩個九錯誤;

.兀叵、

c.f(0)=yIcos[2x^sin——i-sm——=----1-1

242

/(0)=fcos[2x[_?J]=sin^-^j+sin^-^j=---■一1,一個x對應兩個y,錯誤;

D.f(|尤+1|)=尤2+2X+2=(X+1)?+1,貝IJ/'(元)=爐+2工+2=f+1,正確.

故選：D.

【變式111(2324高一上,湖北宜昌?期中?多選)函數(shù)概念最早是在17世紀由德國數(shù)學家

萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利、歐拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學家柯西給出了這樣的

定義：在某些變數(shù)存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著

確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù).德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立的集合論

使得函數(shù)的概念更嚴謹.后人在此基礎上構建了高中教材中的函數(shù)定義："一般地，設A8是

兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則了,對于集合A中的每一個元素X,在集合B中都有

唯一的元素》和它對應，那么這樣的對應叫做從A到8的一個函數(shù)下列對應法則了滿足

函數(shù)定義的有()

A.=xB./(x+l)=x2+2x

C./(3=苫D./(X2+2X)=|X+1|

【答案】BCD

【解析】解：對于A中，令f=|x-2],可得x=2±f,則/⑺=2土心所以不滿足函數(shù)的定

義，所以A不正確；

對于B中，令r=*+l,則x=r-l,則/⑺=(r-l)2+2(r-l)=r-1,滿足函數(shù)的定義，所

以B正確；

對于C中，令，=:，則x=；,所以滿足函數(shù)的定義，所以c正確；

對于D中，由于函數(shù)'=1+2苫=(了+1)2-1中的每一個值，都有唯一的一個卜+1|與之對應,

所以/(x2+2x)=|x+l|滿足函數(shù)的定義，所以D正確.

故選：BCD.

【變式12].(2024?安徽合肥?模擬預測)存在函數(shù)/(x),對于任意xeR都成立的下列等式

的序號是.

①〃sin3x)=sinx；②/(sin3x)=%3+x2+x；③/'(x2+2)=|x+2]；④/(d+4x)=|x+2].

【答案】④

【解析】①當x=0時，"0)=0;當x=g時，八0)=與,與函數(shù)定義矛盾，不符合；

②當x=0時，/(0)=0；當x=5時，/(0)=^+(?)+|,與函數(shù)定義矛盾，不符合；

③當x=-2時，/(6)=0；當無=2時，/(6)=4,與函數(shù)定義矛盾，不符合；

④令x+2=f,所以/(產(chǎn)—4)=用，令--4=〃?e[T+oo),所以.=±J『+4，

所以/("?)=|士+4卜dm+4e[-4,+co)),所以/'(x)=Jx+4(xe[-4,+oo)),符合，

故答案為：④.

題型21單一函數(shù)的性質(zhì)綜合】

備注：利用函數(shù)的對稱性、奇偶性判斷出周期，再進行判斷

【例1】.(2324高一下?湖南懷化?期末)已知函數(shù)/(a)對任意的xeR都有

/(x)=/(x+6)+/(3),若y=/(x+2)的圖象關于直線x=—2對稱，且對于X/占,％e[0,3],

當國7々時，(為一工2){/(尤1)-/(*2)]<。，貝!]()

A./(2)=0B./(x)是奇函數(shù)

C./⑺是周期為4的周期函數(shù)D./(2023)>/(2024)

【答案】D

【解析】由y=/(x+2)的圖象關于直線％=—2對稱，知AM的圖象關于y軸對稱，

所以是偶函數(shù)，所以B錯誤.

在/(x)=f(x+6)+/(3)中,令X=—3得7(-3)=在3)+在3)=2/(3),

又/(-3)=/(3),所以/(3)=0,所以/Cr)=/(x+6),知了⑴是周期為6的周期函數(shù)，所

以C錯誤.

對于％，%€。3］,當大片馬時，(x1-x2)-［/(x1)-/(x2)］<0,

故/(x)在［0,3］上單調(diào)遞減，所以/(2)>/(3)=0,所以A錯誤.

對于D,/(2O23)=/(6x337+l)=/(l),/(2024)=/(6x337+2)=/(2),

由/Xx)在［0,3］上單調(diào)遞減,得/(1)>/(2)即/(2023)>/(2024),D正確,

故選：D

【例2】.(2324高二下?安徽?期末)已知定義域為R的函數(shù)/(x)滿足

f(-x)^f(x)+2x,/(0)=2,且y=/(x+l)-l為奇函數(shù)，則下列結論錯誤的是()

A./(1)=1B.函數(shù)y=/(x)+x為偶函數(shù)

19

C.7(2024)=-2022D.^/(;)=-150

Z=1

【答案】D

【解析】對于A,因為，=/(尤+1)-1為奇函數(shù)，

所以/(一尤+1)_1=(x+1)+1,即f(一尤+1)+/■(尤+1)=2,

令x=0,得2〃1)=2,即/⑴=1,故A正確；

對于B,令g(x)=/(x)+x,因為/(-x)=/(x)+2x,

所以g(f)=/(-%)-%=f(x)+2x-x=/(x)+x=g(x),

所以函數(shù)N=/(x)+x為偶函數(shù)，故B正確；

對于C,因為f(-x+l)+/(x+l)=2,所以/(x)+y(2-x)=2,

所以f(尤)+尤+f(2-尤)+2-尤=4,因為g(x)=/(x)+x,所以g(x)+g(2-x)=4,

由選項B知，g(x)為偶函數(shù)，所以g(2-x)=g(x-2),所以g(x)+g(x-2)=4①，

所以g(x+2)+g(x)=4②，由①②得，g(x+2)=g(尤一2),

所以g(x+4)=g(x),即g(x)是周期為4的周期函數(shù),

所以g(2024)=g(0)=/(0)=2,又因為§(2024)=/(2024)+2024,

所以7(2024)+2024=2,解得了(2024)=-2022,故C正確；

對于D,因為/(-x)=/(x)+2x,所以/'(-!)=/⑴+2=1+2=3,

所以g(-1)=/(-1)-1=3-1=2,所以g(3)=g(-l)=2,又因為f(x)+/(2-x)=2,

所以〃2)+/(0)=2,所以/(2)=。所以g(2)=f(2)+2=2,

又因為g(0)="0)=2,g⑴="1)+1=2,

由選項C知，g。)是周期為4的周期函數(shù)，

19

所以g(無)=2,xeZ,所以￡g⑺=19x2=38,

Z=1

所以〃1)+1+〃2)+2+〃3)+3+...+/(19)+19=38,

191Qf1_|_1QA1919

所以￡/?)+—x~~^=￡/(0+190=38,所以￡/(i)=38-190=-152,故D錯誤.

Z=124=1z=l

故選：D.

【變式21].(2024?重慶?模擬預測)已知“X)是定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)/(x+1)為偶函

2023

數(shù)，函數(shù)/(x+2)為奇函數(shù)，則Z/■(4=()

k=\

A.0B.1C.2D.1

【答案】A

【解析】因為函數(shù)/(x+1)為偶函數(shù)，所以"1-x)=/(l+x),函數(shù)〃x)的圖象關于直線

兀=1對稱，

又函數(shù)〃x+2)為奇函數(shù)，所以〃r+2)+/(x+2)=0,所以函數(shù)〃尤)的圖象關于(2,0)對

稱，

所以/(r+3)+/(x+l)=0,所以〃—x+3)=-/(—x+1),即/(x)=—"x+2),

所以〃x+4)=-/(x+2)=〃x),則函數(shù)的一個周期為4,

對/(-x+2)+/(x+2)=0,

令x=0,則f(2)+〃2)=0,所以42)=0,

令x=l,則43)+/⑴=。，又/(0)=〃2)=0,所以"4)=0,

/(1)+〃2)+〃3)+/(4)=0,

2023

所以￡/(%)=505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2)+/(3)=505x0+0+0+0=0.

k=\

故選：A

【變式22].(2324高二下?山東濱州?期末?多選)已知函數(shù)以x)的定義域為R,且/(x+2)-1

為奇函數(shù)，/(x+1)為偶函數(shù)，則下列結論正確的是()

A./*)的圖象關于點(2,1)對稱B.7(x)是周期為4的周期函數(shù)

2024

C./(l)+/(3)=oD.￡/伏)=2024

k=\

【答案】ABD

【解析】因為〃X+2)-1為奇函數(shù)，所以/(-x+2)-l=-/(x+2)+l,

即〃—x+2)+/(x+2)=2,則/⑺的圖象關于點(2,1)對稱，且/(2)=1,

令x=l,則/(3)+f⑴=2,故A正確，C錯誤；

又/(x+1)為偶函數(shù)，所以/(-x+l)=/(x+l),則了⑴的圖象關于直線x=l對稱，

因為/(x+4)=2-/(-x)=2-+2)=2-(2-f(-x+2))=/(-x+2)=f(x),

所以函數(shù)〃無)是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；

由對稱性可知/(4)=/(0)=42)=1,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=4,

2024

則E/(幻=506(/(1)+/(3)+/(3)+/(4))=506x4=2024,故D正確；

k=l

故選：ABD

【變式23].(2024?河南?模擬預測?多選)已知函數(shù)的定義域為R,函數(shù)

P(x)=/(l+x)—(1+力為偶函數(shù)，函數(shù)G(x)=/(2+3x)-1為奇函數(shù),則()

A.函數(shù)〃元)的一個對稱中心為(2,1)

B./(0)=-1

C.函數(shù)/(X)為周期函數(shù)，且一個周期為4

D./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=6

【答案】ABD

【解析】對A：由函數(shù)G(x)=/(2+3尤)-1為奇函數(shù)，故/(2+3力-1=-〃2-3x)+1,

SPf(2+3x)+f(2-3x)=2,gp/(2+x)+/(2-x)=2,

故函數(shù)的一個對稱中心為(2,1),故A正確；

對B：由〃2+x)+〃2-x)=2,令x=0,則〃2)+/(2)=2,即“2)=1,

由函數(shù)/(x)=/(l+x)-(l+x)為偶函數(shù)，^/(l+x)-(l+x)=/(l-x)-(l-x),

即〃l+x)=/(l—x)+2x,令尸一1,貝[|/(0)=/(2)—2=1—2=—令故B正確；

對C：由函數(shù)〃x)的一個對稱中心為(2,1),/(0)=-1,貝|〃4)=3,

即/(0戶〃4),故函數(shù)〃x)不以的4為周期，故C錯誤；

對D：由〃2+x)+〃2-x)=2,令x=l,W/(3)+/(l)=2,

由/(O)=-l,44)=3,>/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=6,故D正確.

故選:ABD.

【變式24].(2024?河南?模擬預測?多選)已知定義域為R的函數(shù)滿足下列三個條件：

①y=〃x+l)的圖象關于直線尸-1對稱；②對任意的實數(shù)x都有〃x+2)—〃x)=2〃l)；

③/(0)=2.則下列結論正確的是()

A.41)=2

B.“X)是周期函數(shù)

C.函數(shù)“X)圖象的對稱軸為％=左(左eZ)

n〃+1

D.當然=2楙eN*)時,￡/(0=￡(-1)7(0=2^

i=\z=l

【答案】BCD

【解析】由題中條件①y=〃x+l)的圖象關于直線x=T對稱，知函數(shù)y=/(x)的圖象關

于直線x=0對稱，即函數(shù)是偶函數(shù).令x=-1,代入條件②得/(-1+2)-/(-1)=2/⑴,

即/(1)一/(1)=2/(1)=0,即/(1)=0,A錯誤.

把/⑴=0代入條件②得〃尤+2)-〃%)=2〃1)=0,即〃x+2)=/(x).所以函數(shù)。(力的

一個周期為2,B正確.

由函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)可知，x=2M^eZ)是函數(shù)“X)圖象的對稱軸.

在/(x+2)=〃x)中以T代尤得〃r+2)=/(r),即/(2—2七⑺,

所以直線x=l是函數(shù)〃x)圖象的一條對稱軸.所以x=2左+1(左eZ)是〃x)圖象的對稱軸.

所以“X)圖象的對稱軸為x=M左eZ),C正確.

因為/(x)是周期為2的函數(shù)，且/⑴=0,所以

/(2m-1)=0,/(0)=/(2)=/(4)=,="2一)=2(/eZ).

所以當"=2G,eN*)時，有

X阿=/(D+/(2)+/(3)+/(4)++/(26

Z=1

=0+〃2)+0+/(4)++0+/(24=/⑵=2左，

n+1

E(-1)7(0=-/(I)+/(2)-/(3)+/(4)-+f(2k)-f(2k+1)

Z=1

=-0+/(2)-0+/(4)--0+f(2Q-0=的2)=2無,D正確.

故選:BCD.

題型3【換元法在函數(shù)性質(zhì)中的運用】

備注：換元法注意范圍不變

［例1］.（2324高一上?浙江寧波?階段練習）已知函數(shù)”X）在定義域（。,+"）上是單調(diào)函數(shù),

若對任意xe（。收））都有?、?*2,則/島卜（）

C.2023D.2024

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，令〃x）」=4>0,貝I］可得//）=2

X

即/（左）-；=左，又因為函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)，所以可得〃左）=笈+；=2,解得左=1；

KK

所以/(x)=l+L,經(jīng)檢驗滿足題意;

X

ra,,/［」一］=1+一一=2024

因此,12023)］.

2023

故選：D

【例2】.(2023下?浙江杭州?高二統(tǒng)考期末)設函數(shù)/⑺為單調(diào)函數(shù)，且xe(O,y)時，均

有力(尤)+務1,則/⑴=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】解：?函數(shù)/(X)為單調(diào)函數(shù)，且〃/(幻+2)=1,

X

.?"(x)+±為常數(shù)，不妨設f(x)+3=a,

XX

2.

則/(無)=。-一，原式化為/(a)=1,

X

2

即。--=1,解得4=2或Q=—1(舍去)，

a

2

故/(%)=2——，/./(1)=2-2=0,

x

故選：D.

【變式31].(2023上?云南楚雄?高一統(tǒng)考期末)設“可是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且

/(/(尤)—3x)=4,則()

A./(-1)=-1B./(0)=1C./(1)=2D.42)=3

【答案】B

【解析】令r=/(x)-3x,則/⑺=4,

因為/(X)是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，

所以f為常數(shù)，即/(x)=3x+t,

所以/?)=4f=4,解得7=1,

所以/(x)=3x+l,

故〃O)=1，/(T)=-2J(1)=4，〃2)=7.

故選：B

【變式32].(2023高三?全國?專題練習)已知單調(diào)函數(shù)〃x),對任意的xeR都有

f[/,(x)-2x]=6,則〃2)=

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】設f=/(x)-2x,貝lj/⑺=6,且/(x)=2x+t,

令x=1,貝!J/(力=21+1=31=6,

解得t=2,

團/(%)=2%+2,

(V(2)=2x2+2=6.

故選C.

【變式33].(2023高三?全國?專題練習)設xeR,函數(shù)〃x)單調(diào)遞增，且對任意實數(shù)x,

有/[”x)-/]=e2+l(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，貝|/(x)=

【答案】0+1

【解析】由/[〃x)-e2[=e2+l,設"--，則/(x)=r+e2,且/⑺=e2+l.

又〃x)=/+e2)令有〃/)=",故f+e2，=e2+l,顯然t=l為其中一根.

又/⑺=f+e”為增函數(shù)，故/=1為方程的,+e”=e2+l唯一解，故〃x)=e2'+L

故答案為：e2v+l.

題型41兩個函數(shù)的性質(zhì)綜合】

備注：兩個函數(shù)分別考慮對稱性，兩個相關函數(shù)的周期一致

【例1】.(2324高二下?江蘇常州?階段練習)已知函數(shù)/(可的定義域為R,且滿足

/(x)+/(3-x)=4,/(x)的導函數(shù)為g(x),函數(shù)y=g(l+3x)—l為奇函數(shù)，則

3

+g(2024)=()

A.-3B.3C.11D.1

【答案】B

3

【解析】根據(jù)題意，，(x)滿足了(元)+『(3-尤)=4,令x可得：

/圖+小一捫/圖+/圖=4,則有/圖=2,

又由〃x)+/(3-x)=4,兩邊同時求導可得：

f'(x)-f'(3-x)=0,即g(x)=g(3-x)①,

因為函數(shù)>=g(l+3x)-l為奇函數(shù)，所以g(l-3x)-l=-[g(l+3x)-l]=-g(l+3x)+l,

即，g(l-3x)+g(l+3x)=2所以g(元)的圖象關于點(1,1)對稱，

貝IJ有g(x)+g(2-x)=2②，且g⑴=1,

聯(lián)立①②可得：g(3-x)+g(2-x)=2,變形可得g(x)+g(x+l)=2,

則有g(x+l)+g(x+2)=2,綜合可得：g(x+2)=g。)，即函數(shù)g(x)是周期為2的周期函數(shù),

所以g(2024)=g(2)=g⑴=1,故C(2024)=2+1=3.

故選：B.

【例2】.(2023?福建福州?二模)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,/(x+1)是奇函數(shù),

且/(l-x)+g(x)-2)/(x)+g(x—3)=2,則()

2020

A.〃x)為奇函數(shù)B,g(x)為奇函數(shù)C.2"k)=4。D.￡g(4)=40

k=lk=l

【答案】D

【解析】A選項，因為〃x)+g(x-3)=2,所以〃x+3)+g(x)=2,

又/(l—x)+g(x)=2,則有7?(x+3)=〃l—x),

因為/(X+1)是奇函數(shù)，所以/(x+l)=—〃l一X),

可得y(x+3)=-“X+1),即有/(x+2)=-〃x)與/(x+4)=-/(x+2),

即〃x+4)=〃x),

所以/⑺是周期為4的周期函數(shù)，故g(x)也是周期為4的周期函數(shù).

因為—/(—x)=/(x+2)且/(x+2)=—/(X).所以x)=/(x),

所以/(無)為偶函數(shù).故A錯誤，

C選項，由/(X+1)是奇函數(shù)，則/⑴=0,

因為/(x+2)=—/(x),所以/(3)=0,

X/(x+l)=-/(l-x),/(尤)是周期為4的周期函數(shù)，

故/(2)+/(4)=/(2)+〃0)=0,

20

所以￡/'傳)=5"⑴+〃2)+〃3)+〃4)]=0,所以C錯誤；

1=1

B選項，由/⑴=0得g(O)=2,故g(x)不是奇函數(shù)，所以B錯誤；

D選項，因為〃x+3)+g(x)=2,所以g(2)=2-/(5)=2-/⑴=2,

g⑴+g⑶=[2_“4)]+[2T(6)]=4-"(4)+〃2)]=4.

所以g(0)+g(l)+g(2)+g⑶=8,

20

所以⑹=5[g(0)+g⑴+g(2)+g(3)]=40,所以D選項正確

k=\

故選：D

【例3】.(2324高二下?天津北辰?階段練習)設定義在R上的函數(shù)與g(x),若

/(x+2)-g(l—x)=2,/(x)=g(x+l)+2,且g(x+l)為奇函數(shù)，設g(x)的導函數(shù)為g'(x),

則下列說法中一定正確的是()

A.是奇函數(shù)B.函數(shù)g'(x)的圖象關于點(L0)對稱

2023

c.￡g㈤=0D.點(2左,2)(其中4eZ)是函數(shù)的對稱中心

k=l

【答案】D

【解析】對于A,因為g(x+l)為奇函數(shù)，貝1Jg(l-x)=—g(x+l),

可知g(無)的圖象關于(1，。)中心對稱，令x=0,可得g(l)=-g。)，即g(l)=0，

又因為〃x)=g(x+l)+2,可得〃0)=g⑴+2=2,所以〃x)一定不是奇函數(shù)，故A錯誤;

對于選項B：因為g(l-x)=-g(x+l),

兩邊求導得g'(l+x)-g"-x)=0,即g'(l+x)=g'(l—x),

所以g'(x)的圖象關于x=l對稱，不一定關于點(1,0)對稱，故B錯誤；

對于選項D：由〃x)=g(x+l)+2可得/(x+2)=g(x+3)+2,

S.f(x+2)-g(l-x)=2,貝!Jg(尤+3)+2—g(l-x)=2,

即g(x+3)=g(l—力，所以g(x)關于x=2對稱，即g(4—x)=g(x),

由g(l-x)=-g(x+l)15p^g(4-x)=-g(x-2),貝l|g(x)=-g(x-2),

即g(x+2)=-g(x),可得g(x+4)=-g(x+2)=g(x),可知4為g(x)的周期，

由/(x)=g(x+l)+2,可知4為〃元)的周期，

且g(x)的圖象關于(L0)中心對稱，可知/(工)的圖象關于(2,2)中心對稱，

又因為g(x)關于尤=2對稱，可知g(x)的圖象關于(3,0)中心對稱，

則/⑺關于x=1對稱，且關于(0,2)中心對稱,

結合周期性可知：點(2左,2)(其中左eZ)是函數(shù)〃元)的對稱中心，故D正確；

對于選項C：因為g(l)=0,g(x)關于尤=2對稱，則g(3)=0,

又因為g(x)的圖象關于(1，。中心對稱，則g(2)+g(4)=g(2)+美0)=0,

可得g(D+g(2)+g(3)+g(4)=0,

2023

且g(x)的周期為4,2023=4x505+3,所以±8化)=g(l)+g(2)+g(3)=g(2),

k=\

但g(2)的值不確定，故C錯誤；

故選：D.

【變式41].(2024?湖北黃岡?二模)已知函數(shù)/⑺的定義域為R,〃x)=g(x-1)+2,若函

23

數(shù)g(x)為奇函數(shù)，g(x+l)為偶函數(shù)，且"2)=1,則伏)=()

k=\

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】因為函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，所以有g(r)=-g(x),g(O)=。,

又因為g(x+l)為偶函數(shù)，所以g(x+l)=g(-x+l),g(2)=g(O)=。，

于是有g(x+2)=g(-_r)=-g(_x)ng(_r+4)=g(x),

所以函數(shù)g(x)的周期為4,因為g(x)=/(x+l)-2J(2)=l,

所以g(l)=/(l+l)-2=-l,g(3)=g(-l)=?l)=l,g(4)=g(())=。,

所以g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0,

23

于是￡g伏)=5x[g⑴+g(2)+g(3)+g(4)]+g⑴+g(2)+g(3)=O-l+O+l=O,

^=l

故選：B.

【變式42].(2324高二下?安徽馬鞍山?期末?多選)已知函數(shù)八％)是定義在R上的可導函

數(shù)，其導函數(shù)為屋元)，〃x+2)和g(2x+l)都是奇函數(shù)，*1)=1,則下列說法正確的是()

A.g(x)關于點(1,0)對稱B./(x)+/(-x)=0

2024

c.g(2025)=1D,￡/(左)=。

k=0

【答案】ABD

【解析】對于A：由g(2x+l)為奇函數(shù)，貝ljg(2x+l)+g(-2x+l)=。，

則g(x+l)+g(-尤+1)=0,即g(x)的圖象關于點(1,0)對稱，故A正確；

對于B：由g(2x+l)為奇函數(shù)，則g(2x+l)+g(-2x+l)=0,即g(x+l)+g(-x+l)=0,

即得了(工+1)-“-X+1)=°,。為常數(shù)，令x=0,即得/(l)-/(l)=c,貝iJc=0,

故/(溫+1)寸(T+1)=0,即/(x)-D(2-x)=0,^llJ/(x-2)-/(4-x)=0,

又“x+2)為奇函數(shù)，所以〃x+2)+〃r+2)=0,

即f(x)+/(4-x)=。，W/(x-2)=-/(%),^f(x-2)=-f(2-x),

故/(-x)=-f(x),即/(.)+/(-x)=0,即/(X)是奇函數(shù)，故B正確；

對于C：由于f(x)+/(4_x)=0,故"4—尤)=—/(*)=/(一尤)，即/(4+x)=〃x),

故4是Ax)的一個周期，

又廣(x)-f'(4-x)=。，即g(元)=g(4-x),所以g(x)為周期為4的周期函數(shù)，

因為g(2尤+l)+g(—2尤+1)=0,所以g(l)+g(l)=。，即g(l)=0,

所以g(2025)=g(4x506+l)=g(l)=0,故C錯誤；

對于D：因為/(%)是R上的奇函數(shù)，故/(0)=0,f(l)=1,結合/(x)-/(2-x)=0得/(2)=0,

7(3)=/(2-3)=/(-I)=-/(I)=-l,/(4)=/(0)=0,

2024

故Ef(k)=506[/(l)+/(2)+”3)+/(4)]=0,故D正確.

k=l

故選：ABD

【變式43].(2324高二下,浙江?期中?多選)已知〃x),g(x)的定義域為R,若

/。―x)+g(x)=3,g(—2)=2,且〃x+2)為奇函數(shù)，g(x+l)為偶函數(shù)，貝!]()

A.“X)為偶函數(shù)B.g(x)為奇函數(shù)

C./(一1)=—1D.g(x)關于x=l對稱

【答案】ACD

【解析】D選項，因為/(x+2)為奇函數(shù)，所以/(-x+2)=-〃x+2),

所以函數(shù)y=/(x)關于(2,0)中心對稱,且/⑵=0,/(l-x)=-/(x+3)；

又因為g(x+l)為偶函數(shù)，所以g(l-x)=g(l+x),

所以y=g(x)關于x=l對稱，且g(x)=g(2-x),故D正確；

A選項，又因為〃l—x)+g(x)=3,用2—x替換尤，得了(x—l)+g(2-x)=3,

又因為g(x)=g(2-x),所以『(1—x)=/(x—l),

用x替換1-無，得〃x)=/(f),所以y=〃x)是R上的偶函數(shù)，故A正確；

C選項，由/(r+2)=—〃x+2),可得=—/(x+4),即〃x)=—“x+4),

/(x+4)=-/(%),所以/(x+8)=-〃x+4)=/(x),所以函數(shù)y=/(x)的周期為8,

在〃l—x)+g(x)=3中，令無=-2,則有〃3)+g(-2)=3,

又因為g(-2)=2,所以"3)=1,在f(—x+2)=-〃x+2)中，令％=1,則有"1)=-/(3)=-1,

又因為為偶函數(shù)，所以/(-1)=/(1)=-1,故C正確；

B選項，在/(l-x)+g(x)=3中，令x=0,則有〃l)+g(0)=3,又因為=所以

g(O)=4,又因為g(x)的定義域為R,所以g(x)不為奇函數(shù)，故B錯誤.

故選：ACD.

【變式44].(2324高二下?湖北宜昌?階段練習?多選)已知函數(shù)“X)與g(x)的定義域均為

R,〃x+3)+g(x)=3,—g(-l—x)=l,且g(-l)=2,g(x-l)為偶函數(shù)，則下列選

項正確的是()

A.函數(shù)g(x)的圖象關于x=-l對稱B."2)=1

2025

c.g⑵=0D.g(初=6074

k=\

【答案】ABD

【解析】對于A,g(x-l)為偶函數(shù)，.?.g(T—l)=g(x_l),

即有g(-x)=g(x-2),則g(元)的圖象關于x=-L對稱，，A正確；

對于B,〃x+3)+g(x)=3,令x=T,可得〃2)+g(-l)=3,

又g(—l)=2,.?."2)=1,正確；

對于C,f(x)-g(-l-x)=l,=.-./(x)-g(x-l)=l,

.,"(x+3)-g(x+2)=l①，/(x+1)-g(x)=l②，

將①②式分別與/(x+3)+g(x)=3聯(lián)立，化簡得：

g(x)+g(x+2)=2,/(x+l)+/(x+3)=4,

.?.g(無)+g(x+2)=2=g(x+2)+g(x+4),/(x)+〃x+2)=4=〃x+2)+/(x+4),

，g(x)=g(x+4),/(x)=f(x+4),即與g(尤)的周期均為4,

g(x)+g(x+2)=2,f(x+l)+/(x+3)=4,

，g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=4,/⑴+*2)+〃3)+〃4)=8,

又函數(shù)g(x)的圖象關于x=-L對稱，，g(O)=g(-2)=g(2),g(O)+g⑵=2,

，g(-2)=g(0)=g(2)=l,，C錯誤；

對于D,又g(-l)=2=g(3),g⑴+g(3)=2,

料9094

g⑴=0,,(%)=丁X4+g⑴=2024,

k=\4

〃l)+g(-2)=3,.?.“1)=2,.?.￡〃/)=丁x8+〃l)=4050,

k=\4

￡[/㈤+g優(yōu)"=4050+2024=6074,.-.D正確.

故選：ABD.

題型51與導數(shù)有關的性質(zhì)綜合】

備注：原函數(shù)和導函數(shù)的對稱性有關，周期性一致

【例1】.(2324高二下?安徽馬鞍山?階段練習?多選)已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)尸(x)的定

義域均為R,記g(x)=/'(x).若"%)滿足〃2+5x)=/(-5x),g(x-3)關于x=3對稱，且

g(O)=l,則()

A.g(l)=0B./(x)是奇函數(shù)

k

C.8是的一個周期

【答案】ACD

【解析】對于A選項，因為〃2+5x)=〃-5x),令f=5x,可得〃t+2)=〃T),

BP/(x+2)=/(-%),

等式“x+2)="r)兩邊求導得尸(x+2)=--(r),即g(x+2)+g(-x)=。，

所以，函數(shù)g(尤)的圖象關于點。,0)對稱，

在等式g(x+2)+g(r)=0中，令x=-L可得2g⑴=0,可得g⑴=0,A對；

對于B選項，因為函數(shù)g(x-3)的圖象關于直線x=3對稱，

所以函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=0對稱，

所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

又因為g(x)=7'(x),則/'(一X)=y'(力，

令3)=/(力+/(-無),則〃(x)=r(x)—r(T)=o,所以，從力為常值函數(shù)，

設〃(x)=〃x)+/(r)=C,其中C為常數(shù)，

當Cwo時，x)=C-〃x)T(x),此時,函數(shù)〃x)不是奇函數(shù)，B錯;

對于C選項，因為〃X)+〃T)=C,則〃x+2)+〃x)=C,

可得〃x+2)=C—〃x),

所以，f(x+4)=C-/(x+2)=C-[C-f(x)]=/(x),

顯然有f(x+8)=〃x+4)=〃x),即8是〃x)的一個周期，C對；

對于D選項，在等式/(力=〃x+4)兩邊同時求導得f\x)=/(X+4),即g(x)=g(x+4),

所以，函數(shù)g(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

因為g(x+2)+g(—x)=g(x+2)+g(x)=0,所以，g(l)=0,g[T[+gH=°'

g(2)+g(0)=g(2)+l=0,可得g(2)=T,

g[]+gHgHgH=°'g⑶=g(3-4)=g(-1),

由g(x+2)+g(-x)=g(x+2)+g(x)=O中令x=l,可得g(3)+g(-l)=O,

則g⑶=。，g(4)=g(0)=l,

所以，8出+且⑴+且圖+g⑵+且圖+8⑶+且以+8⑷

=g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=0-l+0+l=0,

2024(八8(k、

因為2024=4x506,則?彳=506/g7=0,D對.

k=\Jk=\<2J

故選：ACD.

【例2】.（2024?山東濰坊?一模?多選）已知函數(shù)〃x）及其導函數(shù)尸（x）的定義域均為R,

記g(x)=/'(x),且〃x)—/(—x)=2x,g(x)+g(2-x)=0,則()

A.g(O)=lB.y=?的圖象關于點(0,1)對稱

c.”x)+"2-x)=。D.fg(%)=7(〃eN*)

k=\'

【答案】ABD

【解析】因為/(x)-〃r)=2x,

所以f'(x)+/'(-X)=2,即g(x)+g(-x)=2,

令x=0,得g(O)=l,故A正確；

因為—x)=2x,

當為HO時，&+止*=2,所以y=的圖象關于點(0,1)對稱，故B正確；

X-xX

對于C假設Cx)+y(2-x)=0成立,

求導得廣(%)-尸(2-％)=0,

BPg(x)-g(2-x)=0,又g(x)+g(2-x)=0,

所以g(x)=。，所以g(0)=0與g(0)=l矛盾，故C錯誤；

對于D,因為g(x)+g(-x)=2,g(x)+g(2-x)=0,

所以g(2-x)-g(-x)=-2,g(0)=l,g(l)=0,g(2)=-1,所以有g("+2)-g(〃)=-2,

所以數(shù)列｛g(〃)｝的奇數(shù)項是以0為首項，-2為公差的等差數(shù)列,

數(shù)列｛g(〃)｝的偶數(shù)項是以-1為首項，-2為公差的等差數(shù)列，

又g(2)—g⑴=-1,?eN\

所以數(shù)列｛g(〃)｝是以0為首項，-1為公差的等差數(shù)列，

所以=所以故D正確.

k=\'

故選：ABD.

【例3】.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測?多選)己知函數(shù)/■(%)及其導函數(shù)尸(x)的定義域

均為R,記g(x)=f(x).若〃2x+l)與g(x+2)均為偶函數(shù)，且g⑵=2,則下列選項正

確的是()

A.g(x)是周期4的周期函數(shù)B.g(x)圖象關于點(1,0)對稱

1999

C.⑺=-2D.“X)圖象關于點(2,0)對稱

Z=1

【答案】AB

【解析】對于A、B,因為g(x+2)為偶函數(shù)，所以g(-x+2)=g(x+2),即g(x)=g(4-x),

所以函數(shù)g(x)的圖象關于x=2對稱，又/(2x+l)為偶函數(shù)，

所以〃一2尤+l)=/(2x+l),兩邊求導得—2〃-2x+l)=2/'(2x+l),

所以F(2x+l)f(-2x+l),即尸(x)=-