“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的運(yùn)用

【內(nèi)容摘要】本文首先概括數(shù)學(xué)思想在當(dāng)今社會(huì)和數(shù)學(xué)教學(xué)中所處的地位，然后結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，從三方面論述了“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”思想在解題中的運(yùn)用，最后，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”和“數(shù)形結(jié)合”思想的意義?！娟P(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合解題信息社會(huì)越來越多地要求人們自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來提出問題、分析問題、解決問題和評(píng)價(jià)問題，數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)新大綱明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公里、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法?！边@是加強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)列舉，它要求教師在向?qū)W生展示獲取知識(shí)、技能及解決問題的思維過程中，力求向他們滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，掌握數(shù)學(xué)最本質(zhì)的屬性，因此在教學(xué)中我有意識(shí)地把各種數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、類比思想、方程思想、分類思想等，運(yùn)用于解答數(shù)學(xué)問題中去，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。下面是我在教學(xué)實(shí)踐中，培養(yǎng)學(xué)生如何運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想解題。一、轉(zhuǎn)化（化歸）思想的運(yùn)用化歸思想即轉(zhuǎn)化思想，是一種研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的數(shù)學(xué)思想方法，也就是尋找問題的等價(jià)形式，溝通已知與未知的聯(lián)系，它是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一，也是幾何證明中思路探尋的主要手段，如綜合問題向單一問題的轉(zhuǎn)化，抽象問題向具體問題的轉(zhuǎn)化，正面問題向反面問題的轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，幾何問題向代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化等。轉(zhuǎn)化的目的是使問題的條件集中、明朗，從而使問題得到解決，所以“轉(zhuǎn)化”是問題的手段，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生和訓(xùn)練學(xué)生的轉(zhuǎn)化思維，對(duì)于優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，形成學(xué)生的辨證意識(shí)是極其重要的。1.樹立轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中，我首先向?qū)W生介紹什么是轉(zhuǎn)化思想，并運(yùn)用生活中實(shí)例或典故，如通過測量影高而確定塔高、曹沖稱象、根據(jù)竿的不同影長來確定季節(jié)和時(shí)令等加以解釋，既可給學(xué)生以直觀形象的感覺，又使學(xué)生感受轉(zhuǎn)化思想并非數(shù)學(xué)專有，在現(xiàn)實(shí)生活中也有廣闊的背景。轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)可分為三個(gè)層次，即：初期、中期、后期，就以“方程”的教學(xué)為例，初期即滲透孕育期，向?qū)W生介紹方程是由于社會(huì)發(fā)展的需要，人類的進(jìn)步而產(chǎn)生的，在方程教學(xué)中期即領(lǐng)悟形成期，著重引導(dǎo)學(xué)生把握解一元一次方程的實(shí)質(zhì)就是將原方程轉(zhuǎn)化為“X=a”的目標(biāo)形式，從而認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化思想在方程中的重要決策和導(dǎo)向作用。在方程教學(xué)后期，即應(yīng)用發(fā)展期，通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為方程問題來解決，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí)。通過教學(xué)中的不斷培養(yǎng)，使學(xué)生明確“轉(zhuǎn)化”的真諦，久而久之學(xué)生就能逐步運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解某些題。2.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題在中學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解題到處可見，如初中代數(shù)中，解二元一次方程組是通過加減消元或代入消元法，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，解高次方程是通過分解因式降次，將高次方程轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次方程，解分式方程是通過去分母或換元法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解無理方程是通過兩邊平方或換元法，將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程等;在幾何解題中，引導(dǎo)學(xué)生把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，如通常將證明線段或角相等轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，將證明等積式或比例式轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，將正多邊形的有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，經(jīng)過圖形變換將不在同一個(gè)三角形中的線段或角轉(zhuǎn)化成同一個(gè)三角形中的線段或角，通過作對(duì)角線，將平行四邊形、矩形、菱形轉(zhuǎn)化為三角形，通過作一腰或?qū)蔷€的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，作兩條高線，將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和兩個(gè)直角三角形，或延長兩腰，將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形，通過補(bǔ)割，將不規(guī)則的平面圖形轉(zhuǎn)化為三角形或特殊的四邊形等。例1、草原上兩個(gè)居民點(diǎn)A、B在河流a的同旁，一汽車從A出發(fā)到B，途中需要到河邊加水，汽車在哪一點(diǎn)加水，可使行駛的路程最短？首先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀題目，在讀懂題目后，讓學(xué)生思考：上述問題是個(gè)什么問題？應(yīng)轉(zhuǎn)化為什么？如何轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化后變成什么問題？經(jīng)過認(rèn)真分析得出，本題是個(gè)實(shí)際問題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為幾何作圖問題如下。已知：線段a和它同側(cè)的兩點(diǎn)A、B求作：點(diǎn)C，使C在直線a上，并且AC+BC最小運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題，總能把特殊化為一般，未知化為已知，復(fù)雜化為簡單，實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，在解題中，既培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)，又提高了學(xué)生的思維能力。3.注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，轉(zhuǎn)化不僅是必要的，而且是必須的，但是轉(zhuǎn)化應(yīng)注意條件的變化，即等價(jià)性的問題，轉(zhuǎn)化分為“等價(jià)轉(zhuǎn)化”和“非等價(jià)轉(zhuǎn)化”，等價(jià)轉(zhuǎn)化不會(huì)影響問題的解決，問題在非等價(jià)轉(zhuǎn)化上，其中“非等價(jià)轉(zhuǎn)化”應(yīng)有相應(yīng)的補(bǔ)救措施：把多余的去掉，把漏掉的補(bǔ)上，解決這一問題的關(guān)鍵是對(duì)轉(zhuǎn)化過程的“非等價(jià)性”持以足夠的重視，如解分式方程、無理方程會(huì)出現(xiàn)增根，其根本原因是在去分母時(shí)，兩邊都乘以最簡公分母或在兩邊平方時(shí)，將未知數(shù)的范圍擴(kuò)大，也就是轉(zhuǎn)化不等價(jià)所致，只有通過驗(yàn)根來補(bǔ)救，從而產(chǎn)生了不適合原方程根的情況，即增根。二、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想就是通過在數(shù)與形之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或者把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使幾何問題能用代數(shù)方法來研究，使代數(shù)和幾何模型具有鮮明的直觀性，即通過形中尋數(shù)，數(shù)中尋形的途徑，使問題易解。數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)是難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！本褪菍?duì)數(shù)形結(jié)合思想重要性的高度評(píng)價(jià)。讓學(xué)生了解這種思想，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。1.樹立數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，首先可運(yùn)用生活中直觀形象的實(shí)例向?qū)W生加以解釋，如高樓大廈的建筑、房屋的裝修、各種車輛的制造與設(shè)計(jì)圖紙的數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的思想在現(xiàn)實(shí)生活中比比皆是。在數(shù)軸的教學(xué)中，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，即利用數(shù)軸把抽象的數(shù)與形象的數(shù)軸結(jié)合起來，使每一個(gè)數(shù)變得生動(dòng)、直觀，如數(shù)軸可把任意數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)定義與幾何意義緊密結(jié)合，即把絕對(duì)值的代數(shù)定義用幾何來解釋，并從直觀的幾何圖形中抽象出數(shù)量關(guān)系。函數(shù)及其圖象一章是初中代數(shù)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，內(nèi)容較多，且較為復(fù)雜，在平面直角坐標(biāo)系的教學(xué)中，讓學(xué)生體會(huì)到平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的，通過坐標(biāo)系這座橋梁，把抽象的有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)聯(lián)系起來，即可使幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，又可使代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。通過教學(xué)中的不斷培養(yǎng)，使學(xué)生能逐步運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題。2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題大量的幾何問題的解決離不開代數(shù)運(yùn)算，而代數(shù)學(xué)科中很多概念、性質(zhì)、公式、公里、定理都有其幾何背景，一些代數(shù)問題可借助于幾何方法解決，如課本勾股定理的證明，是通過做8個(gè)全等的直角三角形和三個(gè)邊長分別為直角三角形三邊長的正方形，把它們拼成兩個(gè)一樣的正方形，通過計(jì)算面積相等，從而得證。利用代數(shù)方法解幾何題的也很多，如幾何教科書中對(duì)定理“如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似”的證明就是用代數(shù)的方法給出的，這一方法比較直觀自然。還有不少問題通過數(shù)形結(jié)合的方法，使解題過程簡單易解，如可由坐標(biāo)系中的圖象求函數(shù)的解析式，而由函數(shù)的解析式可畫出函數(shù)的圖象，通過二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，可求出一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根和一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集，可以判斷a、b、c及判別式△的符號(hào)，而又a、b、c及△的符號(hào)可以畫出二次函數(shù)在直角坐標(biāo)系的大致圖象。例2、二次函數(shù)有最小值-8，當(dāng)x≤-1時(shí)，y隨x的增大而減小，且-3<x<1時(shí)，y<0，求二次函數(shù)的解析式。<=""p="">由題意結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，-8），而-3<x<1時(shí)，y<0，得出其圖象與x軸交于兩點(diǎn)（-3，0）和（1，0），故可設(shè)所求函數(shù)解析式為y=a（x+3）（x-1），再把（-1，-8）代入上式得：a=2，從而求出二次函數(shù)的解析式，此題只要把所給函數(shù)與圖象結(jié)合起來考慮，就很容易地解出來。<=""p="">例3、中考題，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，下列說法正確的是：（A）a、b互為相反數(shù)（B）b的倒數(shù)大于0（C）b的絕對(duì)值大于0（D）b大于a本題從數(shù)軸觀察可知b<-1，即得│b│>0，所以本題答案是（C）。此題只要分析圖形后，可立即得出答案，使學(xué)生贏得較多的時(shí)間，達(dá)到簡潔、迅速的目的。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科基本而又重要的思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，能充分發(fā)揮形象思維的優(yōu)勢，以數(shù)思形，數(shù)形結(jié)合，既可開辟解題捷徑，又有利用多層次多角度展開思維品質(zhì)的訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。3.注意數(shù)形結(jié)合的圖形利用數(shù)形結(jié)合思想解題，所作圖形只是草圖，由于受作圖習(xí)慣的影響，已知條件的局限，可能會(huì)出現(xiàn)作圖誤差過大，而不能準(zhǔn)確地反映圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，這樣會(huì)左右解題思路，導(dǎo)致出錯(cuò)或無法解出。例4、等腰三角形的底角等于15度，腰長為2a，求腰上的高。此題通過分析可知，該等腰三角形是一個(gè)鈍角三角形，腰上的高在其延長線上，若按習(xí)慣畫成銳角等腰三角形，作出腰上的高，則很難解出?？傊囵B(yǎng)科學(xué)的研究方法和思維方法，是素質(zhì)教育的重要內(nèi)