2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：等腰三角形

2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練：

等腰三角形

一.選擇題

1.等腰三角形的兩邊分別為5c機(jī)和12cm,則它的周長(zhǎng)是（）

A.32cmB.22。m或29cm

C.22cmD.29cm

2.在△ABC和△AEC中,ZB=ZB*=30°,AB=A'B'=3f2C=AC=4,已知NC=",則NC的度數(shù)

是（）

A.30°B.n

C.n或180°-nD.30°或150°

3.如圖，在△ABC中，AB=AC=6,ZC=70°,以A3為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,

則朝的長(zhǎng)為（）

C

A0B

7142

A.-B.-7TC.TlD.—71

233

4.己知△ABC中，AC=BC=4,CZ）_LAB于點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，CD交BE于點(diǎn)0,若CE=C。,則

AB的長(zhǎng)是（）

A-------DB

A.5B.2V7C.6D.10

5.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,OE是AB的垂直平分線,若△BCE的周長(zhǎng)為18,BC=6,則AD

的長(zhǎng)為（）

A

\E

B

A.12B.8C.6D.3

6.如圖，AB//CD,M、N為直線AB上的兩點(diǎn)，連接CMMELCN于點(diǎn)E,點(diǎn)廠在CN上，連接。

CF=DF,若/EMN=70°,則/。的度數(shù)為（）

7.如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”，/E=45°,ZB=30°,AC//EF,CA=CF,連結(jié)AR

8.如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,N8AC=100°,點(diǎn)。是邊8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、

C重合），NZMC與/AC8的平分線交于點(diǎn)。，則NAOC的大小不可能是（）

A.105°B.115°C.125°D.135°

9.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC^36°,以點(diǎn)C為圓心，以為半徑作弧交AC于點(diǎn)再分

別以B,D為圓心，以大于［BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P,作射線CP交AB于點(diǎn)E,連接DE.有

以下結(jié)論4個(gè)結(jié)論：①/BCE=36°,?BC=AE,③些=史工，④必空=且士其中正確的有

AC2SpEC2

（）個(gè).

A

E,

ETC

A.1B.2C.3D.4

10.如圖，在△ABC中，AB=20cm,AC=12c〃z,點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3c加速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從

點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2c機(jī)速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)△APQ

是以尸。為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）秒.

11.如圖，在中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,將△ABC擴(kuò)充為等腰三角形AB。，使擴(kuò)充的

部分是以AC為直角邊的直角三角形，則8的長(zhǎng)為.

12.等腰三角形中，一個(gè)內(nèi)角比另一個(gè)內(nèi)角的3倍還多20。，則該等腰三角形中最小的內(nèi)角的度數(shù)

是.

13.如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC,點(diǎn)E,E在等腰三角形ABC的內(nèi)部，連接AE,EF,CF,使

ZBAE=ZAEF=60°,且CF平分/ACB.若AE=5,EF=3,貝UAB=.

14.如圖，在△ABC中，。是8C上的一點(diǎn)，AB=AD,E,尸分別是AC,8D的中點(diǎn)，EF=3,貝UAC的

長(zhǎng)是

A

15.在△ABC中，CA=C3,NACB=120°,將一塊足夠大的直角三角尺PMN(NM=90°、/MPN=30°)

按如圖所示放置，頂點(diǎn)尸在線段上滑動(dòng)，三角尺的直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,并且與C2的夾角/

PCB=a,斜邊PN交AC于點(diǎn)D.在點(diǎn)P的滑動(dòng)過(guò)程中，若APCD是等腰三角形，則夾角a的大小

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,AO_LBC于點(diǎn)。，E,尸分別是4。上的任意兩點(diǎn).若△ABC的面積為

20cm2,則圖中陰影部分的面積為cm2.

17.如圖，在△ABC中，AB^AC,N8AC=36°,過(guò)點(diǎn)A作AO〃8C,連結(jié)3D,作線段的垂直平分

線所交于點(diǎn)E,交3。于點(diǎn)足連接AF,^AF=AB,則

三.解答題

18.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。為AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)8。并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作E/〃BC交AC于點(diǎn)凡

交AB于點(diǎn)G.

(1)若BD=DE,求證：CD=DF；

(2)若BG=GE,NACB=70°,/E=25°,求/A的度數(shù).

19.在△ABC中，AB=AC.

(1)是BC上的高，AD=AE.

①如圖1,如果/54。=20°,則/EZ)C=°；

②如圖2,如果/54。=50°,則/EZ)C=0.

(2)思考：通過(guò)以上兩小題，你發(fā)現(xiàn)/54。與/EDC之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用式子表

ZK:.

(3)如圖3,如果不是2C上的高，AD^AE,是否仍有上述關(guān)系？如有，請(qǐng)你寫出來(lái)，并說(shuō)明理

20.在△ABC中，ZABC=ZACB,。為線段C2上一點(diǎn)(不與C、2重合)，點(diǎn)E為射線CA上一點(diǎn)，Z

ADE=/AED.設(shè)/CDE=0.

(1)如圖1,①若NA4C=42°,/D4E=30°,則a=,0=；

②寫出a與0的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，寫出a與0的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

E

21.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：設(shè)NA4c=。(00<0<90°).現(xiàn)把小棒依次擺放在兩

圖1圖2

活動(dòng)一：如圖1所示，從點(diǎn)4開始，依次向右擺放小棒，使小棒在端點(diǎn)處互相垂直，AM2為第1根小

棒.

數(shù)學(xué)思考：

(1)小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：.(填“能”或“不能”)

(2)設(shè)AAI=AL42=A2A3,e=°.

活動(dòng)二：如圖2所示，從點(diǎn)A1開始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中4A2為第1根小棒，且4出

—AAi.

數(shù)學(xué)思考：

(3)若已經(jīng)擺放了3根小棒，則03=；(用含e的式子表示)

(4)若只能擺放4根小棒，則0的范圍是

22.在△ABC中，已知點(diǎn)。在BC上，且C￡)=CA,點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且

(1)如圖①，若N2AC=120°,AB^AC,求/D4E的度數(shù);

(2)試探求/D4E與/朋C的數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖②，若AB平分/D4E,AC_LCZ)于點(diǎn)C,求證：BE=2CD.

23.閱讀：在同一個(gè)三角形中，相等的邊所對(duì)的角相等，簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”.

例如，在△ABC中，如果A8=AC,依據(jù)“等邊對(duì)等角”可得/8=/C.

請(qǐng)運(yùn)用上述知識(shí)，解決問(wèn)題：

己知：如圖，△ABC中，于。，BE是三角形的角平分線，交于足

(1)若NABC=40°,求NAT茁的度數(shù).

(2)若AE=AF,試判斷AABC的形狀，并寫出證明過(guò)程.

24.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是中線，且。G_LCE于G,2CD=AB.

(1)求證：G是CE的中點(diǎn)；

(2)求證NB=2/BCE.

25.【數(shù)學(xué)知識(shí)】等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)非常重要.如圖①，在AABC中，AB=AC,AD是中線,

若NC=58°,則/區(qū)4。的度數(shù)為

【數(shù)學(xué)應(yīng)用】如圖②，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,AD,AG分別為△ABC和△AEF的

中線，若N8AF=110°,ZCAE=24°,求ND4G的度數(shù);

【拓展】如圖③，在△ABC和ZVIBE中，AB^AC,AB^AE,AD.AF分另ij為△ABC和ZkABE的中線,

AD與BE交于點(diǎn)、0,若/AOP=69°,則/CAE的度數(shù)為

圖①

26.在△A8C中，NABC=/AC8,點(diǎn)。在BC邊所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且始終保持/AOE

ZAED.

(1)如圖1,若/B=/C=30。，ZBAD=80°,求/C￡)E的度數(shù);

(2)如圖2,若N4BC=NAC2=70°,NCDE=15°,求NA4。的度數(shù);

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想/胡。與/CDE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

EE

圖1圖2圖3

參考答案

選擇題

題號(hào)12345678910

答案DBDBCAAACD

二.填空題

11.解：如圖1,當(dāng)AO=A8時(shí),

VZACB=90°,

：.AC±BD,

：.CD=BC=6；

圖i

如圖2,當(dāng)瓦1=5。時(shí),

圖2

VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：.AB=+BC2=V82+62=10,

：.BD=lQf

：.CD=BD-3c=10-6=4；

如圖3,當(dāng)AO=80時(shí)，設(shè)C0=x,則AO=5O=6+x,

在RtZXACZ)中，AC2+CZ)2=AZ)2,

.'.82+^—(6+x)2

7

3-

二CD=-

7

故答案為：6或4或3

12.解：設(shè)/A=x,/8=3x+20°,

①當(dāng)/A=/C為底角時(shí)，2x+(3x+20。)=180°,解得尤=32°,則/8=180°-32°-32°=116°；

故三個(gè)角的度數(shù)分別為32°,32°,116°；

②當(dāng)NB=NC為底角時(shí)，2(3x+20°)+尤=180°,解得x=20°,故三個(gè)角的度數(shù)分別為20°,80°,

80°；

③當(dāng)時(shí)，x=3x+20a,此種情況不存在；

該等腰三角形中最小的內(nèi)角的度數(shù)是32°或20°.

故答案為：32°或20°.

13.解：延長(zhǎng)C尸交A8于點(diǎn)G,延長(zhǎng)斯交A8于點(diǎn)￡?,

...△AOE是等邊三角形，ZEDA=60°,

：.AE^AD^ED^5,

VEF=3,

：.DF=2,

由條件可知A8=2AG,ZCGB=90°,

；./DFG=90°-ZADE^30°,

：.DG=|DF=1,

：.AG=AD-DG=5-1=4,

.?.A8=2AG=8,

故答案為：8.

14.解：如圖，連結(jié)AR

,：AB^AD,尸是BD的中點(diǎn)，

：.AF±BD,

由題意可得可得：EF=3,

：.AC^2EF^6,

故答案為：6.

15.解：是等腰三角形，

ZPC￡)=120°-a,ZCPD=30°,

①當(dāng)尸C=P。時(shí)，

:./PCD=/PDC=180；30°=75°,即120°-a=75°,

.\Za=45°；

②當(dāng)尸O=C。時(shí)，△PC。是等腰三角形，

：.ZPCD=ZCPD=3Q°,即120°-a=30°,

.*.a=90°；

③當(dāng)PC=CD時(shí)，是等腰三角形，

：.ZCDP=ZCPD=30°,

.,.ZPCD=180°-2X30°=120°,

即120°-a=120°,

；.a=0°,

此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合，點(diǎn)。和A重合，

綜合所述：當(dāng)是等腰三角形時(shí)，a=45°或90°或0°.

故答案為：45°或90°或0°.

16.解：?.?在△ABC中，AB=AC,AO_LBC于點(diǎn)。，

:.BD=CD,

".S^BEF—S^CEF,

,S>ABC~20cm2,

11

???陰影部分面積為5s△ABC=-x20=10(cm2),

故答案為：10.

17.解：VZBAC=36°,AB=AC,

???NABC=NC=*x(180°-ZBAC)=^x(180°-36°)=72°,

U：AD//BC,

:?/D=/DBC,

???EF垂直平分A。，

：.FA=FD,

：.ZFAD=ZD,

：.ZAFB=ND+NEW=2ND

9

：AF=ABf

：.ZABF=NAFB=2/D,

：.ZABC=ZABF+ZDBC=2ZD^-ZD=3ZD=72°,

???/。=24。,

故答案為：24.

三.解答題(共9小題)

18.(1)證明：9：EF//BC,

：.NE=NCBD,

在△BCD和△EFQ中，

Z.CBD="

BD=DE,

/BDC=乙EDF

???△BCDmAEFD(ASA),

：.CD=DF；

(2)解：?；BG=GE,

：.ZGBE=ZE=25°,

由(1)知NE=NQ5Z)=25°,

AZABC=ZGBE+ZCBD=50°,

ZA=180°-ZABC-ZACB=180°-50°-70°=60°.

19.解：(1)①在△ABC中，AB=AC,是上的高，

：.ZBAD=ZCADf

'：ZBAD=20°,

：.ZBAD=ZCAD=20°,

VAD=AE,

ZADE=ZAED=^°,

???A0是BC上的高，

：.ZEDC=90°-ZADE=10°.

故答案為：10；

②???在AA3c中，AB=AC,AO是BC上的高，

：.ZBAD=ZCADf

9：ZBAD=40°,

：.ZBAD=ZCAD=40°,

'：AD=AE,

：.ZADE=ZAED=70°,

：.ZEDC=20°.

故答案為：20；

(2)ZEDC=^ZBAD.

故答案為：ZEDC=^ZBAD；

(3)仍成立，理由如下：

VAD=AE,

ZADE=NAED,

：.ZBAD+ZB=ZADC=ZADE-i-ZEDC=ZAED+ZEDC=(NEDC+NC)+ZEDC

=2NEDC+/C,

^：AB=AC,

:?/B=/C,

1

NBAD=2/EDC,即ZEDC=^ZBAD.

20.解：⑴如圖(1),

@VZBAC=42°,ZACB=ZABC,

1800-42°

AZABC=ZACB=2=69°,

VZ￡)AE=30o,NADE=/AED,

：.ZADE=ZAED=15°,

,/ZAED是△O￡C的一個(gè)外角,

：.ZAED=/EDC+/ACB,

：.ZEDC=ZAED-ZACB=15°-69°=6°,

即0=6。,

a=ZBAC-ZDAE=42°-30°=12°；

故答案為：12。，6°；

②a=20,理由是：

設(shè)N5AC=x,ZDAE=yf則。=工-乃

ZACB=ZABCf

180°-x

：.ZACB=

-2-

ZADE=NAED,

：.ZAED=嗎-丫,

18tx

.?1P=ZA￡D-/ACB=I',-'-^-=爰=另

.,.a=2p；

(2)如圖(2),20=180°+a,理由是：

設(shè)NBAC=x,ZDAE=y,

a=x-(180°-y)=x-180°+y,

?.,ZACB=ZABC,

180°-x

：.ZACB=

-2-

?.,ZADE=NAED,

：.ZAED=180°~y,

ZEDB是△EQC的一個(gè)外角,

ZEDB=ZAED+ZACB,

.,.180。-p=180°~y+180°~x,

，2F=x+y,

.'.2p=180°+a.

21.解：(1)???根據(jù)已知條件NBAC=e(0°<0<90°)小棒兩端能分別落在兩射線上,

???小棒能繼續(xù)擺下去，

故答案為：能；

(2)???A1A2=A2A3,AL42_LA2A3,

ZA2AIA3=45°,

AZA42AI+6=45°,

VAIA2=AAI,

NA42Al=NA=8,

???0=4504-2=22.5°；

(3)VAIA2=A4I,

ZAIAA2=ZAA2A1=0,

ZA2AIA3=0I=0+0=20,

即61=29,

同理可得：02=30,03=40,

故答案為：40；

(4)由題意得：產(chǎn)<90。，

(5。>90°

.?.18°W0<22.5°,

故答案為:18°W9V22.5。.

22.(1)解:VZBAC=120°,AB=AC,

1

：.ZC=ZABC=^(180°-ZBAC)=30°,

VCZ)=CA,

：.ZCAD=ZCDA=^(180°-ZC)=75°,

：.ZBAD=ZBAC-ZCA￡>=45°,

'：BE=BA,

：.ZE=ZBAEf

'：ZABC=NE+NBAE=2NBAE,

：.2ZBAE=30°,

：.ZBAE=15°,

ZDAE=ZBAE+ZBAD=15°+45°=60°；

(2)解：NDAE與NBA。的數(shù)量關(guān)系是：ZBAC=2ZDAE,理由如下:

u

：CD=CAf

???設(shè)NCW=NCD4=a,

,:BE=BA,

設(shè)NE=N3AE=B，

???ZABD=NE+N8AE=2B，

ZCDA=ZABD^ZDAB,

：.ZDAB=ZCDA-ZABD=a-20,

：.ZBAC=ZDAB+ZCAD=a-2p+a=2(a-p),

又丁ZDAE=ZBAE+ZDAB=p+a-20=a-0,

：.ZBAC=2ZDAE；

(3)證明：TAB平分ND4E,

???設(shè)N3AE=NRW=e,

?；BE=BA,

：.NE=NBAE=B,

：.ZABD=ZE+ZBAE=29,

,:CD=CA,AC.LCD,

???△CAD是等腰直角三角形，

AZACD=45°,

又丁ZACD=ZABD-^-ZBAD=3Q,

.'.30=45°,

???8=15°,

AZABD=2Q=30°,

在RtZXABC中，ZABD=30°,

：.BA=2CA,

?:CD=CA,BE=BA,

；?BE=2CD.

23.解：(1)9：AD±BC,

ZADB=90°,

VZABC=40°,BE平分/ABC,

1

AZDBF=JZABC=20°,

：.ZBFD=90°-20°=70°,

ZAFE=ZBFD=70°；

(2)*：AE=AF,

：./AEF=/AFE,

???ZABE=/DBE,NAFE=/BFD,

AZBAE=180°-ZABE-ZAEB,ZBDF=1SO°-/DBF-NBFD,

；?NBAE=NBDF=90°,

：.AABC是直角三角形.

24.證明：(1)連接。E,

TCE是△ABC的中線,

"■△ABD的中線,

,?*AD是高，

AZADB=90°,

1

：.DE=BE/AB,

?「CE是中線，

：.AB=2BE,

9

：2CD=ABf

:.DC=BE,

：.DC=DE,

VDG±CE,

???CE=EG,

即G是CE的中點(diǎn)；

(2)?：DE=BE,

；?/B=/EDB,

?：DC=DE,

：?NDEC=NDCE,

：.NEDB=2/BCE,

：.ZB=2ZBCE.

f

25.解：【數(shù)學(xué)知識(shí)】：AB=ACfAO是中線，ZC=58°,

：.ZB=ZC=58°,ADLBC,

：.ZB-^ZBAD=9Q°,

：.ZBAD=32°,

故答案為：32。；

【數(shù)學(xué)應(yīng)用】*：AB=ACfAE