2025年中考數(shù)學二輪復習之圖形對稱、平移及旋轉(zhuǎn)

中考數(shù)學第二輪專題復習

圖形的對稱、平移及旋轉(zhuǎn)

1.如圖，在△ABC中，AB=2,BC=3.6,ZB=60°,將△ABC繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到△AOK,

當點8的對應點。恰好落在BC邊上時，求CD的長.

2.如圖，四邊形ABCD是邊長為16的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在邊上的點次處,

,且4C=3,求AM的長.

3.如圖，在△A8C中，ZBAC=a°,A8=AC,點。為平面上一點，連接AZ),將繞著點A逆時針旋

轉(zhuǎn)a°得到線段AE,連接DE,取。E的中點R取3c的中點G,連接。C,取OC的中點連接

FM.

(1)依題意補全圖形;

(2)猜想/GFM的度數(shù)(用含a的式子表示)，并證明.

4.如圖，將矩形紙片A8CZ)折疊，使點8與點。重合，折痕為ER點A的對應點為點G.

(1)求證：ADEG咨ADFC；

(2)若/C。尸=20°,求NA所的度數(shù).

G

5.已知，在△ABC中，AB=AC,BC=6.將△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)使點8落在直線AB上的點。處，點A

落在點E處，直線。E與直線BC相交于點尸，射線AC與射線。E相交于點P,連接AE.

(1)當AB<6時，用直尺和圓規(guī)作出圖形，并求證：①AD〃CE；②PE^=PD?PF；

(2)當點。與點A的距離為5時，求CP的長.

6.如圖，在矩形ABC。中，將直角三角形ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△轉(zhuǎn)￡點尸恰好落在對角

線AC上，F(xiàn)E交BC于點、P,AE交于點。ZDAC=30°.求證：△PQE是等邊三角形.

7.如圖1,已知△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD=2,連接AD,將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)

(0°<a<180")至AE位置，使得/D4E+/JBAC=180°.

(1)旋轉(zhuǎn)角a=度.

(2)連接BE,交AC于點?若BE平分NABC,求AE的長;

(3)如圖2,取BE的中點G,連接AG.試猜想AG與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

8.如圖，等腰Rt^ABC中，AC=BC,NACB=90°,點。為斜邊AB上一點(不與A,B重合)連接CD,

將線段C。繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至CE,連接AE.

(1)求證：^AEC冬^BDC；

(2)若ADBD=V3：1,求NAEC的度數(shù).

9.如圖，將平行四邊形紙片ABC。沿一條直線折疊，使點A與點C重合，點。落在點G處，折痕為所.

(1)求證：LEBC出AFGC；

(2)若/ECB=30°,ZA=120°,試判斷的形狀，并說明理由.

10.如圖，在△043中，04=02=2,ZAOB=90°,將△048繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角a(0°<a<90°)

得到△AO9,連接A'A,B.

(1)當a=30°時，求48的長度；

(2)當HA=AB時，求a的度數(shù).

A

11.如圖，正方形ABCD的邊長為5,點E為正方形CD邊上一動點，過點B作BPLAE于點P,將AP

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AP,連接PD.

(1)求證：PB=P'D；

(2)若。尸=1,求線段AP的長度.

12.如圖，將長方形紙片ABC。折疊，使點C與點A重合，折痕跖分別與A3、0c交于點E和點f

(1)證明：△A￡)F^AAB,E；

(2)若AO=12,0c=18,求尸的面積.

13.數(shù)學中的軸對稱就像鏡子一樣，可以展現(xiàn)出圖形對稱的美，初中常見的軸對稱圖形有：等腰三角形、

菱形、圓等.

如圖，在等腰△ABC中，AB=BC.

(1)尺規(guī)作圖：作△ABC關(guān)于直線AC對稱的△ADC(保留作圖痕跡，不寫作法);

(2)連接8。，交AC于點。，若80=2,四邊形ABC。周長為4曲，求四邊形ABC。的面積.

14.在△ABC中，ZABC<90°,將△ABC在平面內(nèi)繞點8順時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角不超過180°),得到△

DBE,其中點A的對應點為點。，連接CE,CE//AB.

(1)如圖1,試猜想NABC與NBEC之間滿足的等量關(guān)系，并給出證明;

(2)如圖2,若點。在邊8C上，DC=2,AC=V19,求AB的長.

AA

圖1圖2

15.如圖，在回ABCZ)中，AE±BC,垂足為垂足為E

(1)求證：四邊形AEC尸是矩形.

(2)△FCG沿直線FG折疊，點C落在矩形AECT的對角線AC上點H處，若AE=1,EC=2,求線

段CG的長度.

16.在團ABC。中，連接AC,ZBAC=90°,將△AC。沿著對角線AC翻折，使點D落在。'處，連接

AD',AD'與BC交于E,連接

(1)試判斷四邊形A8DC的形狀，并說明理由；

(2)若EL4BC。的周長為32,sinZD=0.8,求四邊形ABD'C的面積.

17.如圖，點。是等邊△ABC內(nèi)一點，ZBOC^a.將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△AOC,

連接OD

(1)求證：△C。。是等邊三角形.

(2)當a=150°時，08=4,0c=3,求04的長.

A

第1步：有一張矩形紙片ABC。，在邊上取一點P沿B尸翻折，使點A落在矩形內(nèi)部A'處；

第2步：再次翻折矩形，使尸。與EV所在直線重合，點。落在直線外上的點。處，折痕為尸￡

翻折后的紙片如圖所示.

(1)求/8PE的度數(shù)；

(2)若AD=32aw,AB=24cm,求。E的最大值.

19.已知在正方形ABC。中，E是邊C￡)上一動點，將正方形ABC。沿著8E所在的直線折疊，點C落在

點F處，連接CF.

(1)如圖①，延長CP交于點G,判斷BE與CG的數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系，并說明理由；

B0

(2)如圖②，若E為的中點，BE與CP的交點為0,連接DRD0,求二二的值.

圖①圖②

20.如圖，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AEF連接BE,CF相交于點已知A8=AC.

(1)求證：BE=CF；

(2)若NBAC=45°,求證：四邊形尸為菱形.

F

21.如圖，在等邊△ABC中，點D,G分別為邊8C,上的點，且CD=8G.

(1)連接A。，CG.求證：AD=CG；

(2)將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至AE,連接CE交于點F.求證：AF+CD=BF.

22.如圖，在等邊△ABC中過頂點A作ADLBC,E為上任意一點，連BE,將AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)

60°,點E對應點為點?

(1)求證：AABE2AACF；

(2)連接EC,請?zhí)砑右粋€與線段相關(guān)的條件，使四邊形AECF為菱形.(不需要說明理由)

23.如圖1,在Rt^ABC中，ZABC=90,48=8,BC=6,D,E分別為邊AC,8C的中點，連接。E,

將△CQE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)如圖2,當a=2/A時，設點。的初始位置為點F,連接BEFD,求證：BC=FD.

(2)當0<a<180°,CE_LBC時，連接BD,求cos/C8￡>的值.

(3)如圖3,a>180°,連接BE,AD,交于點M,BE與CD交于點G,當G是CO的中點時，求

MD的長.

24.閱讀材料，并解決問題：

【思維指引】（1）如圖1等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求

ZAPB的度數(shù).

解決此題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時△ACP'義△ABP,連接P尸，借助

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以推導出△抬尸'是三角形；這樣利用旋轉(zhuǎn)變換，我們將三條線段出、PB、PC

轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出°；

【知識遷移】（2）如圖2,在△ABC中，ZCAB=90a,AB=AC,E、尸為上的點且/EA尸=45°,

請判斷ERBE,尸C的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【方法推廣】（3）如圖3,在△ABC中，NABC=30°,42=2,BC=3,點P為△ABC內(nèi)一點，連接

PA.PB、PC,直接寫出口4+7^58+。。的最小值.

（2）若點G為3c的中點（圖2）,其它條件不變，請?zhí)骄渴珿與EG是否垂直；

（3）將（1）中△￡>￡（7繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△￡）￡，C,如圖3所示，G為線段的

中點，F(xiàn)GLGE'嗎？請說明理由.

26.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,AB=BC,點G在線段BC上（點G不與點B,C重合），線段AG

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A。，連接。G,OELAC于點E,DE與AB交于點F.

(1)如圖1,求證：△AFD之△GCA；

(2)如圖2,連接FG,求證：FG+2AE=DF；

積.圖1圖2圖3

27.以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題的數(shù)學活動課上，同學們嘗試使用三角形紙板開展探究活動.如圖，在AABC

中，ZC=90°,AC=6,BC=8,取AB,8c中點。，E,將△ABC沿。E剪開，得到四邊形ACED和

△DEB,將△。防繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到△DFG.

【操作發(fā)現(xiàn)】

(1)若FG交BC于點求證：MF=ME.

【深入探索】

(2)在(1)的條件下，同學們發(fā)現(xiàn)將△。防旋轉(zhuǎn)到一些特殊位置時，可以進一步探索線段長度.

①如圖1,FG//AD,求的長；

②如圖2,若A,F,G三點共線，求Mb的長.

【拓展延伸】

(3)在△OFG旋轉(zhuǎn)的過程中，請直接寫出△口＜；面積的最大值.

AAA

1「二

GG

圖1圖2備用圖

28.在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC.。是邊AB上的動點(不與點A,B重合)，連接CD在CD

上任取一點E,將線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段所.延長小交AC于點G.

(1)如圖1,當點尸在邊AB上時，求證：/CGF=NBCD；

(2)如圖2,當點P在△ABC內(nèi)時，作點C關(guān)于直線AB的對稱點X,連接切.取切的中點M,連

接BE,BM,BH.用等式表示線段BE與的數(shù)量關(guān)系，并證明.

29.追本溯源題(1)是北師大版初中數(shù)學九年級上冊第21頁例題，請你完成解答，提煉方法后，完成題

(2).

(1)如圖1,在正方形A8CD中，E為邊上一點，尸為BC延長線上一點，且CE=CF.請問BE

與。尸之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.

方法應用：

(2)如圖2,將邊長為24的正方形ABCD沿著EF折疊，點A的對應點G恰在CD邊上，已知CG=

17,求折痕EF的長.

30.如圖，等腰直角三角形ABC中，AB=BC,/ABC=90°,點。是A2邊上的中點，點E是平面內(nèi)一

點，連接。E,將。E繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到。凡連接以，F(xiàn)E,BE.

(1)如圖1,若點E在線段AC上，AE=3EC,AB=4,求△￡>￡廠的面積；

(2)如圖2,若E點在直線BC下方，點G是AC中點，連接DG,EG,EC,若/CEF=/AFD,求

證：立AF-BE=CE；

(3)如圖3,在(2)的條件下，作點E分別關(guān)于直線8C和的對稱點M、N,連接MN,MD,ND,

當SAMDN=2sABEC時，直接寫出廠的值.

圖1圖2圖3

31.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,-2),點B的坐標為(3,0).

(1)如圖1,平移線段48到線段。C,使點A的對應點為。，點8的對應點為C,若點C的坐標為(-

2,4),則點。的坐標為；

(2)如圖2,平移線段AB到線段。C,使點C在y軸的正半軸上，點。在第二象限內(nèi).

①此時點D的橫坐標為,設點D的縱坐標為y,點C的縱坐標用y的代數(shù)式表示

為;

②連接BC,BD,若△BCD的面積為7,求點C,。的坐標；

(3)在(2)的條件下，在y軸上是否存在一點P,使△P8D與△BCD的面積之比為12：7?若存在,

圖1圖2

32.［問題提出］

(1)如圖①，△ABC、△ADE均為等邊三角形，點。、E分別在邊A3、AC上.將△AOE繞點A沿順

時針方向旋轉(zhuǎn)，連結(jié)8。、CE.在圖②中證明△AO8空

(學以致用】

(2)在(1)的條件下，當點。、E、C在同一條直線上時，求NEDB的大小.

［拓展延伸】

(3)在(1)的條件下，連結(jié)C￡).若BC=6,AD=4,直接寫出△Q8C的面積S的最大值和最小值.

圖①圖②

33.綜合與實踐

如圖1是實驗室中的一種機械裝置，2C在地面上，所在等腰直角三角形ABC是固定支架，機械臂AD

可以繞點A旋轉(zhuǎn)，同時機械臂。M可以繞點。旋轉(zhuǎn)，已知N8AC=90°,AD=6,DM=2.

(1)如圖2,把機械臂順時針旋轉(zhuǎn)90°,點。旋轉(zhuǎn)到點E處，連結(jié)。E,當/AEC=135°,

①連接C。，探究8￡與。。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

②當CE=7時，求8E的長；

(2)如圖3,機械臂A、D、M三點共線，AM//BC,此時機械臂AM順時針旋轉(zhuǎn)105°,機械臂一端

恰好落在BC邊上，標記為點N,求支架A8的長.

34.如圖1,在直角三角形紙片ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.

【數(shù)學活動】

將三角形紙片ABC進行以下操作：第一步：折疊三角形紙片ABC使點C與點A重合，然后展開鋪平,

得到折痕。E;第二步：然后將△DEC繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△。尸G,點E,C的對應點分別