2025年中考數(shù)學(xué)?？寄Ｐ蜌w納-2025年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)

查漏知識(shí)02初中數(shù)學(xué)中考?？寄Ｐ?/p>

知識(shí)點(diǎn)概覽

目錄

知識(shí)一三角形中的倒角模型..........................................2

模型1.三角形中的倒角模型之"4'字模型.......................................................2

模型2.三角形中的倒角模型之“8”字模型.......................................................2

模型3.三角形中的倒角模型之燕尾模型........................................................3

模型4.三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型.............................................3

模型5.三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型.....................................4

模型6.三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型.............................................5

模型7.三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型.........................................5

知識(shí)二全等三角形模型..............................................6

模型1.全等三角形模型之截長補(bǔ)短模型........................................................6

模型2.全等三角形模型之倍長中線模型........................................................7

模型3.全等三角形模型之一線三等角模型......................................................7

模型4.全等三角形模型之手拉手模型..........................................................8

模型5.全等三角形模型之半角模型...........................................................10

模型6.全等三角形模型之90。-90。對(duì)角互補(bǔ)型..................................................12

模型7.全等三角形模型之60。-120。對(duì)角互補(bǔ)型.................................................13

模型8.全等三角形模型a—180。-。對(duì)角互補(bǔ)型.................................................14

模型9.全等三角形模型之正方形中的十字架型................................................15

知識(shí)三相似三角形模型.............................................16

模型1.相似三角形模型之"”字模型..........................................................16

模型2.相似三角形模型之“X，字模型（“8”字模型）.............................................17

模型3.相似三角形模型之字模型（“/8”字模型）..........................................17

模型4.相似三角形模型之“母子型”模型（共邊共角模型）......................................18

模型5.相似三角形模型之一線三等角模型.....................................................19

模型6.相似三角形模型之手拉手模型.........................................................20

模型7.相似三角形模型之半角模型...........................................................21

模型8.相似三角形模型之對(duì)角互補(bǔ)模型......................................................23

模型9.相似三角形模型之矩形中的十字架型..................................................25

模型10.相似三角形模型之等邊三角形中的斜十字型...........................................26

必記核心知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)一三角形中的倒角模型

模型1.三角形中的倒角模型之“4”字模型

如圖，B、C分別是NZX4E兩邊上的點(diǎn)，連結(jié)2C,形狀類似于英文字母/,故我們把它稱為Z”字模型。

條件：如圖，在A48c中，/I、/2分別為/3、/4的外角；

結(jié)論：①Nl+N2=NN+180°；@Z3+Z4=ZD+ZE

證明：@'：Z1=ZA+ZACB，/1=//+180°-/2Zl+Z2=Z^+180°o

②在A/12C中，Z^+Z3+Z4=180°；在AADE中，ZA+ZD+ZE=1SO°：.Z3+Z4=ZD+ZEo

模型2.三角形中的倒角模型之“8”字模型

1）8字模型（基礎(chǔ)型）

條件：如圖1,AD.2C相交于點(diǎn)O,連接48、CD；結(jié)論：@ZA+ZB=ZC+ZD；②

AB+CD<AD+BC.

證明：在A48O中，ZA+ZB+ZAOB=1SO°；

在AC。。中，ZC+Zr>+ZCO￡>=180°；

ZAOB=ZCOD：.ZA+ZB=ZC+ZD；

在AXBO中，AB<AO+BO；在AC。。中，CD<CO+DO-,

：.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC；：.AB+CD<AD+BC?

2）8字模型（加角平分線）

條件：如圖2,線段NP平分/A4。，線段CP平分乙BCD；結(jié)論：2NP=/B+/D

證明：：線段/P平分/A4D,線段CP平分/BCDAZBAP=ZPAD,ZBCP=ZPCD

'：ZBCP+ZP=ZBAP+ZB①ZPAD+ZP=ZPCD+ZD②

①+②得2/尸=/3+/￡>,則/尸=；（/?+N。），即2NP=/2+/D

模型3.三角形中的倒角模型之燕尾模型

圖1圖2

基本模型：條件：如圖1,凹四邊形/5CZ）；結(jié)論：?ZBCD=ZA+ZB+ZD；@AB+AD>BC+CD.

證明：連接NC并延長至點(diǎn)P；在ZU3c中，ZBCP=ZBAC+ZB；在△/CD中，ZDCP=ZCAD+ZD；

又；NBAD=/BAC+/DAC,NBCD=/BCP+/DCP；：.ZBAD+ZB+ZD=ZBCDo

延長2c交40于點(diǎn)尸；在A42。中，AB+AQ>BC+CQ；在△CD0中，CQ+QD>CD。

即：AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD,AB+AD>BC+CDQ

拓展模型1：條件：如圖2,8。平分N/8C,平分NADC；結(jié)論：ZO=1（N/+/C）。

2

證明：平分//8C,OZ）平分/4DC；：./ABO=L/ABC；ZADO=^-ZADC；

22

根據(jù)飛鏢模型：ZBOD=ZABO+ZADO+ZA=1ZABC+1ZADC+ZA；ZBCD=ZABC+ZADC+ZA；

22

2ZBOD=ZABC+ZADC+2ZA=ZBCD+ZA；即/。=,（N/+NC）。

2

模型4.三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型

1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在A48C中，N/8C和//CS的平分線8尸，CP交于點(diǎn)P；結(jié)論：/尸=90。+；//。

證明：：/4BC和//C2的平分線AP,CP交于點(diǎn)P,：.NPBC=I/4BC,/PCB=；/ACB。

；.NP=180°-(NPBC+NPCB)=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-1(180°-ZA)=90°+-ZA

222

2)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1

條件：如圖2,BP、CP平分/ABC、ZDCB,兩條角平分線相交于點(diǎn)尸；結(jié)論：2/尸=/4+/。。

證明：?:BP、CP平分/ABC、ZDCB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZDCB

22o

AZP=180°-(/PBC+/PCB)=180°-1(NABC+/DCB)=180°--(3600-ZA-ZD)=-(//+

222

ND)。即：2ZP=ZA+ZDc

3)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2

條件：如圖3,CP、DP平分/BCD、ZCDE,兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：

2ZP=ZA+ZB+Z￡-180°。

證明：；CP、DP平分/BCD、ZCDE,：.ZPCD=^ZBCD,ZPDC=^ZCDEo

；./尸=180°-(NPCD+/PDC)=180°-1(/BCD+/CDE)=180°-1(540°-ZA-ZD-ZE)=/A+

22

即：

ZD+ZE-90°o12ZP=ZA+ZoD+ZE-1SO°

模型5.三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型

圖1圖2

1)一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型

條件:如圖1,在A48C中,8尸平分N/8GCP平分N/C8的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)尸；結(jié)論：NP=g乙4.

2

證明：?:BP、CP平分N/8C、/ACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22o

ZP=ZPCD-ZPBC=L(ZACD-ZABC)=-ZA

22"

2)一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型(累計(jì)平分線)

條件：如圖2,N4=a,/ABC、//CD的平分線相交于點(diǎn)＜,的平分線相交于點(diǎn)￡,

組BC,的平分線相交于點(diǎn)寫……以此類推；結(jié)論：/匕的度數(shù)是最.

證明：?:BPi、CPi平分N4BC、ZACD,:.NPBC=；NABC,NPCD=；NACD。

：.ZPl=ZPiCD-ZPlBC=L(/ACD-NABC)=LzA=La同理：ZP2=LZP^^-a,/尸

2222222"

模型6.三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型

B

圖1圖2圖3

1)兩外角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在△48C中，BO,C。是A4BC的外角平分線；結(jié)論：/0=90。-；//.

證明：:BO、CO平分/CBE、ZBCF,：.ZOBC=-ZEBC,ZOCB^-ZBCF

22o

AZO=180°-(/OBC+/OCB)=180°-1(/EBC+/BCF)=180°-1(ZA+ZACB+ZABC+ZA)

22

=180°-1(180°+/A)=90°+-ZA

22"

2)旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)

條件：如圖2,AD平分N4BC,CD平分N/C2的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)。；結(jié)論：AD平分/

CADo

證明：如圖3,過點(diǎn)。作DALLB/、DNLAC、DHLBC,

:BD平分N/8C,CD平分/4C8的外角，

：.DH=DM,DH=DN,：.DM=DN,平分/C4。。

模型7.三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型

1)條件：如圖1,在中，AD,NE分別是的高和角平分線，結(jié)論：ND4E=g(/C-/B).

2)條件：如圖2,尸為。BC的角平分線/￡的延長線上的一點(diǎn)，EDL8C于。，結(jié)論：

ZDFA=^(ZC-ZB).

AA

A

圖1圖2

1)證明：；4E平分/B4C,；.NEAC=gNB4C,

?：ZBAC=180°-ZB-ZC,：.Z￡4C=1(180o-Z5-ZC)=90o-1zS-|zC,

/.NEAD=ZEAC-ZDAC=90°-1z5-1zC-(90°-ZC)=1(ZC-Z5)；

2)證明：如圖，過A作NG,8c于G,由(2)可知：ZEAG=^(ZC-ZB),

■：AGYBC,ZAGB=90°,-：FD1BC,:.AFDC=9Q°,:.ZAGD=ZFDC,:.FD//AG,

ZAFD=ZEAG,N4FD=1(ZC-NB).

知識(shí)二全等三角形模型

模型1.全等三角形模型之截長補(bǔ)短模型

條件：4D為反12。的角平分線，ZB=2ZCo結(jié)論：AB+BD=4C。

證明：法1(截長法)：在線段NC上截取線段/夕=/2,連接。瓦

為A^BC的角平分線，：.NBAD=/B，AD,'：AD=AD,:.AABD沿AAB'D(SAS)

：.ZB=ZAB'D,BD=B'D,VZB=2ZC,：.ZAB'D=2ZC,：.ZAB'D=2ZC,：.ZB'DC=ZC,

：.B'C^B'D,：.BD=B'C,'：AB'+B'C^AC,：.AB+BD=AC.

法2(補(bǔ)短法)：延長48至點(diǎn)。使得NC=/C,連接8。。

為A^BC的角平分線，/.ZC'AD=ZCAD,\'AD=AD,:.ACAD沿ACAD(SAS)

ZC=ZC,VZ5=2ZC,:./B=2NC,：.ZBDC'=ZC,：.BC'=BD,

,：AB+BC'=AC,：.AB+BD=ACo

模型2.全等三角形模型之倍長中線模型

1）倍長中線模型（中線型）

條件：4D為反傷。的中線。結(jié)論：AABD三AECD

證明：延長40至點(diǎn)￡,使DE=4D,連結(jié)CE。

為A42C的中線，：.BD=CD,VZBDA=ZCDE,：./\ABD^AECD(SAS')

2）倍長類中線模型（中點(diǎn)型）

條件：AA8C中，。為5c邊的中點(diǎn)，￡為邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：名△EDC。

證明：延長EDDF=DE,連接CF。

?.?。為8C邊的中點(diǎn)，：.BD=DC,'：ZBDE=ZCDF,:AEDB經(jīng)4FDC（SAS）

模型3.全等三角形模型之一線三等角模型

1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：NA=ZCED=NB,AE=DE；結(jié)論：AABE*ECD,AB+CD=BC.

2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：ZDCF=ZABC=ZAED,AE=DE；結(jié)論：AABE*ECD,AB-CD=BCo

1）（同側(cè)型）證明：,:NAEC=/B+/BAE,ZB=ZAED,：.ZAEC=ZAED+ZBAE,

'：ZAEC=ZAED+ZCED,ZBAE=ZCED。

在和AECZ）中，ZB=ZC,ZBAE=ZCED,AE=ED；：.&ABE*ECD,

：.AB=EC,BE=CD,'：BC=BE+EC,：.AB+CD=BCo

2）（異側(cè)型）證明：；NDCF=N4BC,：.ZECD=ZABE,

'：ZABC=ZAEB+ZA,ZAED=ZAEB+ZCED,ZABC=ZAED,

：.ZAEB+ZA=ZAEB+ZCED,；.CED,

在A48E和ZE。中，NA=NCED,ZECD=ZABE,AE=ED；：."BE三AECD,

：.AB=EC,BE=CD,'：BC=EC-BE,：.AB-CD=BC.

模型4.全等三角形模型之手拉手模型

1）雙等邊三角形型

條件：AZBC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點(diǎn)；連接BE,4D交于點(diǎn)F。

結(jié)論：①4ACD冬4BCE；②BE=AD；③NAFM=NBCM=60°；④CF平分/BFD。

證明：和△DCE均為等邊三角形，：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=60°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即：ZBCE=ZACD,:.AACD沿ABCE（SAS）,

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又,：/CMB=/AMF,：.ZAFM=ZBCM=60°,

過點(diǎn)C作。尸1/。,。。12瓦則/。。2=/。尸/=90°,又?：NCBE=NCAD,BC=AC,：.ABCQ^/\ACPCAAS）

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

2)雙等腰直角三角形型

條件：AABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點(diǎn)；連接40交于點(diǎn)M

結(jié)論：①絲△3CE；②BE=AD；③/ANM=/BCM=9Q°；④)CN平分/BND。

證明：和均為等腰直角三角形，.?.3C=/C,CE=CD,ZBCA=ZECD=9Q°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即N8C￡=N/CD,:.AACD%ABCE(SAS),

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又,：NCMB=/AMN,：.ZANM=ZBCM=9Q°,

過點(diǎn)C作CP1/2C013瓦則NCQ2=/CP/=90°，又：NCBE=NCAD,BC=AC,:ZCQmAACP(AAS)

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平濟(jì)/BND。

3)雙等腰三角形型

條件：BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD,C為公共點(diǎn)；連接BE,AD交于點(diǎn)、F。

結(jié)論：①絲△2CE；②BE=AD；?ZBCM=ZAFM；④CF平分/BFD。

證明：；NBCA=NECD,：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即/3CE=//CD,

又,；BC=4C,CE=CD,：.AACD^/\BCE(.SAS),：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

又?：/CMB=NAMF,：.ZBCM=ZAFM,

又；/CBE=NCAD,BC=AC,:ZCQ沿LACPCAAS)

.?.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平濟(jì)/BFD。

4)雙正方形形型

條件：四邊形/BCD和四邊形CER7都是正方形，C為公共點(diǎn)；連接BG,ED交于點(diǎn)、N。

結(jié)論：①△BCGgZkDCE；②BG=DE；③/BCM=/DNM=90。；④CN平分/即出。

證明：：四邊形48co和四邊形CEFG都是正方形，：.BC=AC,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°

：.ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,即/BCG=/DCE,:ZCGWXDCE（SAS）,

：.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又,：/CMB=/DMN,：.ZBCM=ZDNM=90°,

過點(diǎn)C作（7尸_/?！?。0136,則/CPD=/CP8=90°,又"：Z.CBG=/CDE,BC=DC,：.ABCQ^/\DCP（AAS）

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分/BND。

模型5.全等三角形模型之半角模型

1）正方形半角模型

條件：四邊形48co是正方形，/ECF=45。；結(jié)論：①△BCE1之△DCG；②△CE萬之△CGG③EF=BE+

DF；④A/E尸的周長=2/8；⑤CE、CF分別平分和/EFD。

證明：將△C8E繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△CDG,即△CBEgZkCDG,

AZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

是正方形，AZB=ZCDF=ZBCD=90°,BA=DA；：.ZCDG+ZCDF=180°,故尸、D、G共線。

VZECF=45°,：.ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

'：CF=CF,:.ACEF<ACGF,：.EF=GF,,：GF=DG+DF,：.GF=BE+DF,：.EF=BE+DF,

AN斯的周長=￡尸+/￡+/尸=3￡+。尸+/E+4F=4B+40=248,過點(diǎn)C作CH_LEF,則NC7ffi=90。，

?.?△C斯絲△CGE.?.CD=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用證得：ACBE當(dāng)△CHE,

：.ZHEC=ZCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、CF分別平分N2E尸和/EFD。

2）等腰直角三角形半角模型

AA

條件：AN3c是等腰直角三角形（NA4c=90。，4B=AC）,ZDAE=45°；

結(jié)論：①△B/DgZkaG；②ADAE咨AGAE；③N￡CG==90°；?DE2=BD2+EC2；

證明：將△48。繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至zMCG,即

ZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

VZDAE=45°,：.ZBAD+ZEAC=45°,：.ZCAG+ZEAC=ZGAE=45°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

,；AE=AE,：.^DAE^AGAE,:.ED=EG,：ANBC是等腰直角三角形，/.ZACB=45°,；.N￡CG=90。,

AGE1=GC1+EC1,.,.DE2=BD2+EC1；

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：A4BC是等邊三角形，AADC是等腰三角形，S.BD=CD,ZBDC=12O°,NEDF=60°；

結(jié)論：①△BOE0ZXCOG；②）叢EDFW叢GDF；③EF=BE+CF；④ANEF的周長=2/8；

⑤）DE、。尸分別平分/加卯和NEFC。

證明：將△DBE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至AOCG,即AADEgZkCDG,

；.NEDB=/GDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=12Q°,ZEDF=60°,：.ZBDE+ZCDF=6Q°,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

'：DF=DF,：.4EDF空XGDF,：.EF=GF,,：GF=CG+CF,：.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF的周長=EF+/￡+/尸=5E+CF+NE+/尸=AB+/C=2/3,

過點(diǎn)。作加//斯，DM.LGF,則

,：AEDF”XGDF,（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用證得：ADHF%LDMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可證：ZBFD=ZFED,即?！?、。產(chǎn)分別平分/8￡/和/￡尸C。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

條件：AABC是等邊三角形，NEAD=30°；

1crY

結(jié)論：①ABDA2ACFA；②ADAEQAFAE；③/ECF=120°；@0^=(-BD+EC)2+^-BD

212J

證明：將繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至A4CF,即△84DgZkCAF,

ZBAD=ZCAF,ZB=ZFCA=60°,AD=AF,BD=CF；

'：ZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC=30°,：.ZCAF+ZEAC=ZFAE=30°,：.ZDAE=ZFAE=30°,

,；AE=4E,：.ADAE^/\FAE,:.ED=EF,：A/2C是等邊三角形，AZACB=60°,：.ZECF=120°,

11V3V3

過點(diǎn)F作FH人BC,：.ZFCH=60°,NCFH=30°,CH=-CF=-BD,FH=—CF=—BD,

2222

]-\/3

在直角三角形中：m,：.。廬=（萬BD+EC）2+（BD）2

模型6.全等三角形模型之90。-90。對(duì)角互補(bǔ)型

1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）

結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=COC,③/加上=S+S

UUL.itAC(7CACCZZJ2

證明：過點(diǎn)。作6_1。。，CNLOB,:./CMD=NCNE=90。,：OC平分:.CM=CN,

又?：NAOB=/DCE=9Q。,：.ZMCN=90°,：.ZMCD=ZNCE,:.△MCDWACE；：,CD=CE,

根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形，；./CON=45。，OM=ON,

又,?OD+OE=OM-DM+ON+NE,：.OD+OE=OM+ON=2ON=也OC,

；AMCDdNCE,：.S.CD=S.CE，，SODCE=S.ONCD+S.CNE=S.ONCD+S.CMDV=-(9C2

QAONCM2

2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）

條件：如圖，已知NDCE1的一邊與/。的延長線交于點(diǎn)。，.//。3=/次為=90。，0c平分N/OA

2

結(jié)論：①CD=CE,?OE-OD=41OC,@scnF-Srnn=-OC.

ACC/ZSACC/ZJ2

證明：過點(diǎn)C^、CM_L0D,CNLOB,:.NCMD=/CNE=90。,OC^ZAOB,:.CM=CN,

又：NAOB=/DCE=90°,：.NMCN=90°,：.ZMCD=ZNCE,

：.AMCD^ANCE；：.CD=CE,MD=NE,根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形,

：.ZCON=45°,OM=ON,X*.?OE~OD=ON+NE-(DM-OM),：.OE~OD=ON+OM=2ON=42OC,

\,AMCD咨ANCE,：.S^M^S^CE，S-S=S+S~(S-S}=S+S=-OC2.

AcCCnZCrACrCnZZnJACTNVJDFACrCn/TNV\CMnrMO/△rCCnZN/VAC7MWCO72

模型7.全等三角形模型之60。-120。對(duì)角互補(bǔ)型

條件：如圖，已知N/O8=2/Z)CE=120。，0c平分//OR

2

結(jié)論：①CD=CE,?OD+OE=OC,@Srnn+SrnF=—OC.

證明：過點(diǎn)C作CM_L。。，CN±OB,:./CMD=NCNE=90。,：0C平分N/O3,:.CM=CN,

又,：/AOB=2NDCE=120。,：.ZAOB+ZDCE=1SO°,NCDO+NCEO=180°,

ZCDO+ZCDM^180°,:"MDC=/CEO,：.AMCD^/\NCE；:.CD=CE,MD=NE,

VOC^^-ZAOB,:.NCON=NCOM=60°,：.ON=OM=-OC,NC=MC=—OC.

22

又*/OE+OD=ON+NE+OM-DM,：.OE+OD=ON+OM=OC,

,**△AfCZ)=△NC￡,S/^MCD=^/^NCE，*??

2

,△COD+SACOE=SACMO—SACMD+S^CNE+SCON=^^CON+Sc=OC0

2）“等邊三角形對(duì)120。模型”（2）

條件：如圖，已知//08=2/。?！?120。，OC平分NDCE的一邊與80的延長線交于點(diǎn)。，.

結(jié)論：①CD=CE,?OD-OE=OC,@s-S=—OC2.

rnnACrnC/FC4

證明：過點(diǎn)C作CM_L。。，CNLOB,.".ZCMD=ZCNE=90°,：OC平分//OS,：.CM=CN,

又,；NAOB=2NDCE=120。,：.ZA0B+ZDCE^1SO°,ZAOB+ZMCN^13Q0,:.NDCE=NMCN=60。

：.ZDCE-ZMCE=ZMCN-ZMCE,：.ZMCD=ZNCE,：.4MCD沿4NCE；；.CD=CE,MD=NE,

丁八1百

,.?。。平分//。2,:./C0N=/COM=60°,：.ON=OM=-OC,NC=MC=—OC.

22

X,；OD-OE=OM+DM-(NE-ON),：.OD-OE=ON+OM=OC,

：MCDANCE，：5(2

^MCD^ANCE,.S^=S?S^C0D-S^C0E=S^CM0+ACW-S-SCOjV)=5cow+S^CMO=^-OC?

模型8.全等三角形模型a—1800-a對(duì)角互補(bǔ)型

1)“a對(duì)180。區(qū)模型”

條件：四邊形/BCD中，AP=BP,ZA+ZB=180°o結(jié)論：0P平分NAOB。

證明：過點(diǎn)尸作尸E_L。/,PF10B,：.ZAEP=ZBFP=90°,

：N/+/8=180°,NOAP+/PAE=180。,:.NEAP=NB。

?：AP=BP,.'.△PAE沿MBF,：.PE=PF,OP平分NN02。

注意：如下圖：①AP=BP,②N/+/2=180°,③。尸平分N402,以上三個(gè)條件可知二推一。

模型9.全等三角形模型之正方形中的十字架型

條件：1）如圖1,在正方形/BCD中，若E、尸分別是2C、CD上的點(diǎn)，AE1BF；結(jié)論：AE=BF.

證明：；四邊形/BCD是正方形，：.ZABE=ZC=90°,AB=BC,：.ZBFC+Z.CBF=^°

AELBF,；.ZAEB+NCBF=90°,:.NAEB=NBFC,：.A4BE2LBCF（SAS）,；.AE=BF。

條件：2）如圖2,在正方形/BCD中，若￡、F、G分別是BC、CD、48上的點(diǎn)，AELGF-,結(jié)論:

AE=GFo

證明：在尸C上取一點(diǎn)P,使得GB=PF,連結(jié)BP。

???四邊形N8CD是正方形，.../W/C。，.?.四邊形BPFG是平行四邊形，；.GF//AP,GF=BP,

同1）中證明，可得N￡=GF。

條件：3）如圖3,正方形48c〃中，若E、F、G、X分別是5C、CD、AB、40上的點(diǎn)，EH上GF；

結(jié)論：HE=GF。

證明：在尸C、8E上取一點(diǎn)P、Q,使得GB=PF,AH=QE,連結(jié)8尸、AQ.

；四邊形28CD是正方形，.?./5//CD,.?.四邊形是平行四邊形，；.6尸//8尸，GF=BP,

同理可證得：四邊形ZQEH是平行四邊形，.?./。////，AQ=HF,同1）中證明，可得HE=GF。

知識(shí)三相似三角形模型

模型1.相似三角形模型之“N”字模型

“/，，字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾

這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似。

①字模型②反””字模型③同向雙“N”字模型④內(nèi)接矩形模型

圖1圖2

圖4

_ADAEDE

①””字模型條件：如圖1,DE//BC；結(jié)論：Z\ADEsAABCo—=—=—。

ABACBC

口ADAEDE

證明：?.?Z）E〃5C,:./ADE=NABC,NAED=/ACB,：.AADE^^\ABC：.—=一=—。

fABACBC

②反字模型條件：如圖2,ZAED=ZB；結(jié)論：AADE^=—=—0

ACABBC

口、…ADAEDE

證明:???N/￡D=N5,AZA=ZA（公共角）：.AADE^^ACB,：.—=一=—。

fACABBC

③同向雙””字模型條件：如圖3,EF//BC；

結(jié)論：AAEFsAABC,AAEGS^ABD,AAGFsAADC0電=的=里。

BDCDAD

證明：?.?M〃5C,:?NAEF=/ABC,/AFE=NACB,：.AAEF^AABC,

4DAEDE

同理可證：AAEGs^ABD,AAGF^AADC,：.—=一=—=

ABACBC

④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4,A48C的內(nèi)接矩形。斯G的邊EF在8c邊上，D、G分別在/8、NC邊

上，且結(jié)論：AADG^AABC,AADN^AABM,AAGN^/\ACM^DG_AN_ANn

BCABAM

證明：：D￡FG是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^/\ABC,

同理可證：AADN^AABM,AAGN^AACM,;.DG_=AN_=AN_

BCABAM

模型2.相似三角形模型之“X，字模型（“8”字模型）

“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)

三角形相似.

①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型

①“8，，字模型

-ABOA0B

條件：如圖1,AB//CD；結(jié)論：AAOBsACODo——=——=一。

CDOCOD

.ABOAOB

證明/.Z^=ZC,/B=/D,:.AAOBs^COD,：.—=—=—。

CDOCOD

②反“8”字模型

…，，皿，…ABOAOB

條件：如圖2,NA=/D；結(jié)論：AAOBsADOC=——=——=---

CDODOC

ABOAOB

證明：=ZAOB=ZDOC,（對(duì)頂角）：.AAOB^ADOC,：.—=—=—。

CDODOC

③平行雙“8”字模型

條件：如圖3,AB//CD；結(jié)論：任=些=理。

DFCFCD

證明：：/2〃C￡>,；.NA=/D,ZAEO=ZDFO,：.AAEO^/\DFO,

同理可證：ABEOsACFO,AABCmDCO,:.處=法=理。

DFCFCD

④斜雙“8”字模型

條件：如圖4,/1=/2；結(jié)論：AAOD^^BOC,AAOB^/\DOC^^3^Z4,,

證明：：/l=N2,（對(duì)頂角），：.AAOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,BPAO:DO=BO:CO；

ZAOB=ZDOC（對(duì)頂角），:.AAOBsADOC,；./3=/4。

模型3.相似三角形模型之“小，字模型（“N8”字模型）

①一””+“8”模型②兩“N”+“8”模型（反向雙字模型）③四””+“8”模型

①一””+“8，，模型條件：如圖1,DE//BC；

結(jié)論：AADEsAABC,/XDEF^ACBF,=也=9=些=吧=理。

ABACBCFCBF

ADAEDE

證明：：O￡〃8C,：.NADE=/ABC,/AED=/ACB,：./^ADE^AABC,：.—=—=—。

ABACBC

'：DE//BC,：.ZFDE=ZFCB,ZDEF=ZCBF,：.ADEF^'/\CBF,:.唯=尤=%。

BCFCBF

.AD_AEDE_DF_FE

?,瓦一前一正一五一而。

②兩“N”+“8”模型條件：如圖2,DE//AF//BC；

結(jié)論：ADAFS^DBC,△CAFSACED,=_L=J_+J_。

AFBCDE

證明：/〃BC,ZDAF=ZB,ZDFA=ZDCB,：./\DAF^^DBC,：.吧=也。

DCBC

'：DE//AF,：.ZCAF=ZE,ZCFA=ZCDE,:.△CAFs^CED,:.殳=空。

CDDE

兩式相加得到：里+竺=王+更，即1=王+迎，故_L=L+L。

DCDCBC