2025年中考數(shù)學專項復(fù)習：圓（山東專用）

專題21圓

考情聚焦

課標要求考點考向

1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、

等弧的概念;探索并掌握點與圓的位置關(guān)系?？枷蛞粓A中角的求解

2.探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對

的兩條弧。

3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，知道同?。ɑ虻?/p>

圓考向二弧長及扇形面積的求解

?。┧鶎Φ膱A周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論:圓

周角等于它所對弧上的圓心角的一半;直徑所對的圓周角是

直角，90°的圓周角所對的弦是直徑;圓內(nèi)接四邊形的對角

互補?？枷蛉龍A內(nèi)的綜合問題

4.會計算圓的弧長、扇形的面積。

,真題透視/

考點國

A考向一圓中角的求解

解題技巧

（1）圓中，一條弧所對的圓心角只有一個，所對的圓周角有無數(shù)個，靈活運用同弧所對的圓周角相等。

（2）一般若已知圓的直徑，常常結(jié)合直徑所對的角是直角構(gòu)造直角三角形。

1.（2024?濟寧）如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形A2CD的兩組對邊，延長線相交于點E,F.若/石=54。41"

/尸=43。19',則NA的度數(shù)為（）

C.41°D.40°20'

【答案】C

【分析】根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形對角互補”可得ZABC+mC=18O。，ZA+ZBCD=180°.根據(jù)三角形外角定

理可得NABC=NE+NECB,ZADC=NF+NDCF,由此可得/ECB=41°,又由NECB+NBCD=180。，

可得ZA=ZECB,即可得解.

本題主要考查了“圓的內(nèi)接四邊形對角互補”和三角形外角定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】I?四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形

ZABC+ZADC=180°,ZA+ZBCD=180°,

ZABC=ZE+ZECB,ZADC=ZF+ZDCF,

.-.ZE+ZECB+ZF+ZDCF=180°,

\-ZECB=ZDCF,ZE=54°4r,ZF=43°19,,

54°4r+43°19,+2ZECB=180°,

解得NECB=41。,

NECB+ZBCD=180°,

ZA=ZECB=41°.

故選：C

2.（2024?泰安）如圖，AB是。。的直徑，C,。是。。上兩點，BA平分NCBD,若？A850?,則NA

A.65°B.55°C.50°D.75°

【答案】A

【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)角平分線的定義得到根據(jù)

圓周角定理得到=再根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，ZABC=ZABD=-ZAOD=25°,

2

然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：：班平分NC3D，

ZABC=ZABD,

：AB是。。的直徑，？AOD50?,

ZACB=90°,ZABD=-ZAOD=25°,貝!]ZABC=25°,

2

AZA=180°-ZC-ZABC=180°-90°-25°=65°,

故選：A.

3.（2024?山東）如圖，VABC是。。的內(nèi)接三角形，若O4〃CB,ZACB=25°,則NC4B=.

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，利用圓周角定理求出NAG?

的度數(shù)，利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求出NQ4c的度數(shù)，

即可求解.

【詳解】解：連接03,

ZAOB=2ZACB=50°,

OA=OB,

ZOAB=AOBA=1(180°-ZAOB)=65°

0A//CB,

：.ZOAC=ZACB=25°,

：.ZCAB=ZOAB-ZOAC=40°,

故答案為：40°.

A考向二弧長及扇形面積的求解

解題技巧

（1）圓心角為n。，半徑為r的弧長、黑；

180

r的扇形面積S=①

（2）圓心角為n。，半徑為=-lr

3602

1.（2024?東營）習近平總書記強調(diào)，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的根和魂.東營市某學校組織開展中華

優(yōu)秀傳統(tǒng)文化成果展示活動，小慧同學制作了一把扇形紙扇.如圖，OA=20cm,OB=5cm,紙扇完全打

開后，外側(cè)兩竹條（竹條寬度忽略不計）的夾角NAOC=120。.現(xiàn)需在扇面一側(cè)繪制山水畫，則山水畫所在

紙面的面積為（）cm2.

A.一7iB.75兀C.125TID.150TI

3

【答案】c

【分析】將山水畫所在紙面的面積轉(zhuǎn)化為大小兩個扇形的面積之差即可解決問題.本題主要考查了扇形面

積的計算，熟知扇形面積的計算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題知，

272、

“。加。=120^-^-2^0=4亍00乃(曲)，

。1205625/2\

s扇…=^-=丁回)，

所以山水畫所在紙面的面積為：1萬-彳萬=125x(cm2).

故選：C.

2.(2024?濟寧)如圖，VABC三個頂點的坐標分別是A(L3),B(3,4),C(1,4).

O123456x

(1)將VA2C向下平移2個單位長度得△ABC-畫出平移后的圖形，并直接寫出點片的坐標；

(2)將繞點修逆時針旋轉(zhuǎn)90。得A&BCZ.畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求點G運動到點g所經(jīng)過的路徑長.

【答案】⑴作圖見解析，用(3,2)

(2)作圖見解析，兀

【分析】本題考查了作圖一平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，弧長公式，解題的關(guān)鍵熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

(1)利用平移的性質(zhì)作出對應(yīng)點，再連線即可，

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出對應(yīng)點，再連線，G運動到點C,所經(jīng)過的路徑長即為弧長即可可求解

【詳解】(1)解：4G如下圖所示：

y

由圖可知：4(3,2)；

(2)解：△4月。2如上圖所示：

G運動到點G所經(jīng)過的路徑為：=%；90。=兀

lol)lol)

3.(2024?青島)如圖，AB,C,。是0。上的點，半徑。4=3,AB=CD>ZDBC=25°,連接2D,則扇

A.—71B.—71C.-71D.—71

48212

【答案】A

【難度】0.65

【分析】本題考查了圓周角定義，扇形的面積，連接。C、0D,由圓周角定理可得NCOD=2NnBC=50。，

進而得NAO/?=NCOD=50。，再根據(jù)扇形的面積計算公式計算即可求解，掌握圓周角定理及扇形的面積計

算公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接OC、0D,則Z.COD=2NDBC=50°,

；AB=CD，

ZAOB=ZCOD=50°,

,_50x7tx32_5

一3扇形40B=而0=7兀

故選：A.

-----"C

4.（2024?日照）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,NB=120。，點。是對角線AC的中點，以點。為圓心，OA

長為半徑作圓心角為60。的扇形。麻，點D在扇形。麻內(nèi)，則圖中陰影部分的面積為（）

D.無法確定

【答案】A

【分析】連接OD，將OD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到8'.證明AMDO③ND'O（ASA）,推出

S四邊形MONO=SQDD，O>利用S陰影=S扇形EOF-S^DOD，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接O。，將OD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到OD.

D\ND'

?/ZMOD+ADON=ZNOD'+ADON=60°，

■.ZMOD=ZNODr,

,在菱形ABCD中，點。是對角線AC的中點，4=120。,

...ZADC=ZB=120°,OD1AC,

ZMDO=ZCOD=-NADC=60°,

ZDOD'=60°,

ZDD'O=60°,

Z.DUO=ZMDO=60°,

,/OD=OD,

AMDC^AW（9（ASA）,

…S四邊形MONO—S&DD，O-

???ZCDO=60°,

DO=CDcosZCDO^-CD=-AB=1,AO=CO=CDsinZCDO=—CD=—AB=43,

2222

.&g_<弋_60?ix（省了_-732_TI百

,??陰影一J扇形EO/一J四邊形MONO一）扇形EOF~>ADOD'-痛。一彳X1一'一一“'

故選：A.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積，作出輔助線，

構(gòu)造三角形全等，利用S陰影=S扇形E"-SADOD,是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?泰安）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓O'的一個直徑端點與半圓。的圓心重合，若半

圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（）

A.—TT-43B.—7tC.D.—p--

33334

【答案】A

【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面

積公式是關(guān)鍵.

如圖：連接。4,AO',作于點3得三角形AOO'是等邊三角形，求出

AB=g,S弓形AO,=S扇形A。?！猄&AOO=6,再根據(jù)s陰影-s弓形AO,+S扇形AO,O，即可解答.

【詳解】解：如圖：連接OAAO',作于點B,

：OA=O(y=AO'=2,

三角形AOO'是等邊三角形,

.-.ZAOOr=60°,OB=-OO'=1,

2

.■.AB=V22-12=A/3

607rx22-2x73x1=^-^,

S弓形AO'=S扇形A。。'-S^,

AOO360

+=

陰影=S弓形AO,+6'扇形40,0=~^~3~~3~~^'

故選：A.

6.（2024?威海）如圖，在扇形A03中，ZAOB=90°,點C是AO的中點.過點C作CE，AO交AB于點E，

垂足為點。.在扇形內(nèi)隨機選取一點P,則點尸落在陰影部分的概率是（）

BCD

4-I-I-t

【答案】B

【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形OBE的面積，即可求

解.

【詳解】解：,.,ZAO3=90。，CEYAO,EDVOB

二四邊形OCDE是矩形,

?*-S^OCE=SQDE

S陰影部分=SQE+SBDE=S扇形OBE

???點。是AO的中點

:,OC=-OE=DE

2

：,sinZEOD=—=-

OE2

.,.ZEOD=30。

_30KxAO2_7ixAO2_90KXAO2_KxAO2

===

-3陰影部分=、AODE+^BDE=白扇形。BE布°五，》扇形人在=痛°~，

nxAO2

點尸落在陰影部分的概率是泊生==?

S扇形AOB兀xA0-3

4

故選：B.

7.（2024?煙臺）如圖，在邊長為6的正六邊形ABCDEF中，以點尸為圓心，以期的長為半徑作臺。，剪下

圖中陰影部分做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為.

【答案】6

【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，求圓錐的底面半徑，先求出正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，進而求出扇

形的圓心角的度數(shù)，過點A作尸，求出■的長，再利用圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，進行求

解即可.

【詳解】解：?.?正六邊形45coEb,

(6-2)-180°

:.ZBAF=ZAFE=NE=--------------=120°,AB=AF=EF=DE=6,

6

：,ZAFB=ZABF=1(180°-120°)=30°,ZEFD=ZEDF=1(180°-120°)=30°,

ZBFD=120°-2x30°=60°,

過點A作AG_L3產(chǎn)于點G,貝ij：BF=2FG=2AF-COS30°=2X6X^I=6A/3,

2

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,貝h2"=黑x66，

lot)

r—6;

故答案為：A/3.

8.(2024?山東)如圖，在四邊形458中，AD//BC,^DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以點A為圓心，

以AD為半徑作OE交A5于點以點3為圓心，以3石為半徑作所所交3C于點尸，連接FD交所于另

一點G,連接CG.

C

D

（1）求證：CG為用所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積.（結(jié)果保留萬）

【答案】（1）見解析

⑶3>/37T

-一§

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識點，證明四

邊形ABED是平行四邊形是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，證明3尸=3￡=4）=鉆=。尸，即可證明四邊形ABED是平行四邊形，再證明△班G

是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果.

（2）先求出平行四邊形的高根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可.

【詳解】（1）解：連接3G如圖，

根據(jù)題意可知：AD=AE,BE=BF

又：AB=BC,

:.CF=AE=AD,

:BC=2AD,

：,BF=BE=AD=AE=CF,

:AD//BC,

.??四邊形AB即是平行四邊形,

ZBFD=ZDAB=60°,

'：BG=BF,

△加G是等邊三角形，

：.GF=BF,

：.GF=BF=FC,

G在以BC為直徑的圓上，

/.ZBGC=90°,

，CG為4所在圓的切線.

(2)過。作于點

由圖可得：S陰影二S口ABFD~S扇AED-S扇BEG-^BFG，

在Rt%4HD中，AD=1,^DAB=60°,

：.DH=AD-sinZDAB=\=也,

22

S?=ABDH=2x立=布,

tjADrU2<

由題可知：扇形AD石和扇形5GE全等，

.__n7ir2_60?（AD）2_60x^-xl2_7i

一扇狙）一扇5GL360——360———360—

等邊三角形BFG的面積為：-GFDH=-xlx^-=^-,

2224

SS=

S陰影=nABFD-$扇-$扇BEG-.BFG~~~一

A考向三圓內(nèi)的綜合問題

1.(2024?德州)如圖，圓0。與OQ都經(jīng)過A,2兩點，點。2在。。I上，點C是AQ3上的一點，連接&C

并延長交。。2于點尸，連接AB，BC,BP.

(1)求證：ZACB=2NP

⑵若NP=30°,AB=2C.

①求0a的半徑；

②求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)①2

②2』三

3

【分析】對于（1）,連接在。。1中，先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得NAC2=/AO/，然后在

。。2中，根據(jù)圓周角定理得/尸=；乙4。/，可得答案；

對于（2）①，由/尸=30。結(jié)合（1）,可得/ACB=/AO28=60。，再連接4。1,8。一作。。LA8,可得

△40d=120。，AD=BD=：AB,進而得出NA。。=60。，然后在RtAAOQ中，根據(jù)sin60。=77r得出答

案；

對于②，先說明VAQB是等邊三角形，即可求出其面積，在。C中，求出弓形的面積，然后根據(jù)

S陰影=S扇形做5-LQB-S弓形但得出答案.

【詳解】（1）如圖所示.連接AQIC,

在OO］中，ZACB=ZAO2B,

在0。2中，NP=；/AO/,

ZACB=ZAO2B=2ZP；

(2)①，-.ZP=30°,

.-.ZACB=ZAO2B=60°.

連接過點。?作。QLAB,交AB于點D,

.■.△AO1B=120°,AD=BD=gAB=6

ZAO,D=gzAOf=60°.

,“CAD

在Rt^AO]。中，sin60=-----

AO]

即旦正,

2A。

..AOI=2,

所以0。1的半徑是2；

②?:AO2=BO2,ZAO2B=60°,

是等邊三角形，

AO,=BO、=AB=2^3.

Aq=BO1,AO2=BO?,

垂直平分AB,垂直平分AB,

.?.點nq,。?三點共線.

2

在RtAADO2中，DO2=ylAOl-AD=3,

在RtAADOi中，DO,=^AO[-AEr=1.

60;r><2

在0。2中，嬴上標點E，s=s_s=(^)_1x2A/3x3=2^-3^/3-

勺形/羽形△ADC/23602

在0。1中，S陰影=S扇形A。?—SAAO?-S弓形AEB=一—x2>/3x1-^2^-3A/3j

=%一/一2兀+3『2/-生.

33

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，勾股定理，余弦，求扇

形的面積，等邊三角形的性質(zhì)和判定，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?濰坊）（多選）如圖，。。是VABC的外接圓，AO//BC,連接CO并延長交。。于點。.分別以

點AC為圓心，以大于!AC的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點M.直線交BC于點E,連接AE,

2

下列結(jié)論一定正確的是（）

a

A.AB=ADB.AB=OE

C.ZAOD=ZBACD.四邊形AOCE為菱形

【答案】ABD

【分析】本題主要考查圓的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及菱形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的判定定理證明NOC4=NACE,證明OC=CE=Q4即可證明四邊形AOCE為菱

形，再根據(jù)圓周角定理進行判定即可.

【詳解】解：令ZCOE交于點尸，

由題意得：是AC的垂直平分線，

:.EA=EC

?.?AO=OC

:.ZAOE=ZCOE

\-OF=OF,AO=CO

.△AOF%COF

,\ZOAF=ZOCF

AO//BC.

.\ZOAF=ZACE

:.ZOCA=ZACE

AB=AD^選項A正確；

???ZOCF=/ECF,/OFC=/EFC=90°,CF=CF

:.^EFC=AOFC

:.OC=CE=OA

???AO//EC

故四邊形AOCE為菱形，選項D正確；

;AB=AD^

:.AB=AD

,?,四邊形AOCE為菱形，:.AE=OC=OD

二?四邊形AEOD為平行四邊形，

:.AD=OE

:.AB=OE,選項B正確；

ZAOD=ZOAE,故選項C錯誤;

故選ABD.

3.（2024?煙臺）如圖，是。。的直徑，VABC內(nèi)接于。。，點/為VABC的內(nèi)心，連接C/并延長交。

于點。，E是BC上任意一點，連接AD，BD,BE,CE.

⑴若NABC=25。，求NCEB的度數(shù)；

（2）找出圖中所有與D/相等的線段，并證明；

⑶若C/=2Q,DZ=yV2,求VABC的周長.

【答案】（1）115°

Q）DI=AD=BD,證明見解析

（3）30

【分析】（1）利用圓周角定理得到NACB=90。，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求NC4B=65。，然后利用圓

內(nèi)接四邊形的對角互補求解即可；

（2）連接川，由三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到內(nèi)心，ZCAI=ZBAI,ZAC1=ZBC1,然后利用圓周角定理得到

ZDAB=NDCB=ZACI,AD=BD,利用三角形的外角性質(zhì)證得/D4/=/DZA,然后利用等角對等邊可得

結(jié)論；

（3）過/分別作IF1AC,IP±BC,垂足分別為。、F、P,根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和和切線長定

理得到A2=AF,CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得CF=2=CP,AB=13,進而可求解.

【詳解】（1）解：rAB是。。的直徑,

:.ZADB=ZACB=90°,又ZABC=25°,

.?.ZG4B=9O°-25°=65°,

■:四邊形ABEC是。。內(nèi)接四邊形,

.?.ZCEB+ZG4B=180°,

NCEB=180°-ZCAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

證明：連接AL

?.?點/為VABC的內(nèi)心，

:.ZCAI=NBAI,ZACI=NBCI=-ZACB=45°,

2

-AD=BD-

ZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

:ZDAI=ZDAB+ZBAI,ZDIA=ZACI+ZCAI,

；"DAI=NDIA,

:.DI=AD=BD-,

(3)解：過/分別作/QLAB,IFLAC,IPLBC,垂足分別為。、F、P,

?.?點/為VABC的內(nèi)心，即為VA5C的內(nèi)切圓的圓心.

二。、F、P分別為該內(nèi)切圓與VABC三邊的切點,

:.AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

-：CI=2y[2,ZIFC=9Q°,ZACI=45°,

:.CF=CIcos450=2=CP,

.DI=AD=BD,D/=—13V2,ZADB=90°,

2

AB=^AD2+BD2=V2X—72=13,

2

「.VABC的周長為AB+AC+3C

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

二30.

【點睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)心性質(zhì)、三角形

的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答

的關(guān)鍵.

新即特訓(xùn),

一、單選題

1.（22-23九年級上?山東臨沂?期中）OR平分銳角/MON,以。為圓心以任意長為半徑畫PQ,分別交加，

OR,ON于A,B,C三點,以C為圓心，以BC長為半徑畫弧與PQ相交于異于2點的點D,連接A。，2c.下

列結(jié)論錯誤的是（）

A.AB=BCB.若04=AZ）,則ZBOC=20°

C.BC//ADD.AD=3BC

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意畫好圖形，如圖，連接OD,CD,由角平分線的定義結(jié)合圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，

判斷A；證明△AOD為等邊三角形，可判斷B；連接BO,證明=可判斷C；連接A8,可

得AD<33C,可判斷D,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接OD,CD,

,：OR平分銳角/MON,

\ZMOR^ZNOR,

AB=BC>故A不符合題意；

;由作圖可得3C=CD,

?*-CD=BC，

：.AMOR=ZNOR=ZCOD,

VOA=AD,OA=OD,

△AOD為等邊三角形，

ZAOD=60°,

AZBOC=20°,故B不符合題意；

連接8。，

AB=BC，CD=BC>

：.ZABD=NDBC,

：.BC//AD,故C不符合題意；

連接AB,

AB=BC，CD=BC，

：.AB=BC=CD,

：.AD<3BC,故D符合題意.

故選D.

【點睛】本題考查的是角平分線的定義，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，平行線的判定，兩點之間線段最短，

等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練的利用圓心角，弧，弦之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解本題的關(guān)鍵.

2.（24-25九年級上?山東荷澤?階段練習）如圖。。1的半徑是。。2的直徑，。。1的半徑。。交。。2于

B,設(shè)弧AC的長是4，弧4B的長是心那么（）

A./,>l2B./1<12

C.lA=kD.乙與4的大小不能確定

【答案】C

【分析】本題考查了弧長的公式，圓周角定理；由圓周角定理，得NAQB=2/AaB,由題意得AO|=2AQ,

再代入弧長的公式/=3,進行計算即可.

【詳解】解：如圖所示，連接8。2,

VZAO2B=2ZAQB,AOt=2AO2,lx=7rAO],12=^^-TTAO2

???1〃=]一1〃2，

故選：c.

3.（24-25九年級上?山東臨沂?期中）為了表演課本劇，需要制作如圖所示的一個圓錐形的帽子，己知圓錐

的底面半徑為2,母線長為4,則制作這個帽子所需紙板面積為（）

【分析】該題主要考查了圓錐的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐的側(cè)面積="/.

根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得圓錐形的帽子的側(cè)面積為：7rx2x4=87i,

所需紙板的面積是8兀.

故選：D.

4.（2024?山東?模擬預(yù)測）如圖，大圓柱上挖了一個小圓柱.已知大圓柱的底面和小圓柱的底面是同心圓,

O'A>O'B分別是大圓柱和小圓柱的底面半徑.若大圓柱的底面周長為8兀，OA=2A/13，小圓柱的體積為67r,

小圓柱中放一個最大的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.屈71B.C.小無D.折

【答案】A

【分析】本題考查了圓柱體積、圓錐側(cè)面積和勾股定理，根據(jù)大圓柱柱的底面周長為8兀和OA=2回可求

得圓柱的高，再結(jié)合小圓柱的體積為6?？汕蟮眯A柱的底面半徑，從而求得圓錐的母線，再根據(jù)圓錐側(cè)面

積公式解題即可.

【詳解】解：,??大圓柱的底面周長為8兀，

大圓柱的底面半徑O'A=畀=4,

2萬

???。4=2萬，

?**大圓柱的高o（y=VOA2-O'A2=6，

又,:小圓柱的體積為6兀,

，小圓柱的底面面積為寫=萬，

6

，小圓柱的底面半徑O，B羋=1,

V兀

小圓柱中放了一個最大的圓錐，

，圓錐的母線長OB=yl00,2+0'B2=737，

該圓錐的側(cè)面積為?02?萬=扃"，

故選：A.

二、多選題

5.（23-24九年級下?山東濰坊?開學考試）孫尚任在《桃花扇》中寫道：“何處瑤天笙弄，聽云鶴縹緲，玉

佩丁冬”，玉佩是我國古人身上常佩戴的一種飾品.現(xiàn)有一玉佩如圖1所示，其平面圖形可以看成扇形的一

部分（如圖2）,已知AT>〃3C,AD=2AB=2CD=2BC=4,貝!］（）

A.Z.ABC=—B.弧AD的長為—

33

C.該平面圖形的周長為6+gD.該平面圖形的面積為當-石

【答案】CD

【分析】設(shè)點。是扇形的圓心，由相似三角形的判定與性質(zhì)可知，BC是△AOD的中位線，得出

OA=OD=AD=4,證得△AOD是等邊三角形，得出/BAD=ZADC=ZAOD=60。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得

冗

出NABC=120。，利用弧長公式求得弧AD的長為4進7r而即可求得該平面圖形的周長為6+三4，利用扇

形的面積公式和三角形的面積公式即可求得該平面圖形的面積為

0

BC1

??一，

AD2

-.-AD//BC,

:.NOBC=/OAD,/OCB=NODA,

.△BOCS*OD,

OBPCBC_1

"OA~OD~AD~29

:.OB=-OA,OC=-OD,

22

，B,C分別是Q4,OD的中點，

:.OA=2AB=4,OD=2CD=4,

..OA=OD=4=AD,

.?.△AOD是等邊三角形，

:.ZBAD=ZADC=ZAOD=60°f

AD//BC,

ZABC=180?！?BAD=180?！?0。=120°,故選項A不符合題意；

A。的長為：黑/=萼，故選項B不符合題意；

lot)3

4冗4冗

該平面圖形的周長為A2+BC+CD+AD=2+2+2+7=6+3-,故選項C符合題意;

:B,C分別是0。的中點，

:.OB=-OA=-x4=2,OC=-OD=-x4=2,

2222

OB=OC,

如圖，過點。作QEL5C于點E,

貝l]NOEC=90。，CE=1flC=1x2=l,

在RtZXOEC中，根據(jù)勾股定理，可得:

OE=-CE，=《展-f=5

2

._60TIx4_8K

?扇形-360-T，

該平面圖形的面積=S扇形AOD-S^oc

=---xBCxOE

32

舉二x2x百

32

故選項D符合題意；

故選：CD.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，弧長的計

算，求組合圖形的周長，垂線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式，三角形的面積公

式，求組合圖形的面積等知識點，熟練掌握弧長的計算公式以及扇形的面積公式是正確解答的前提，求出

弧AD所對應(yīng)的圓心角和半徑是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?山東濰坊?二模）如圖，在矩形ABC。中，AB=a,AD=b（b>d）,先以點A為圓心，的長為半

徑畫弧交AD于點E；再以點。為圓心，OE的長為半徑畫弧交。C于點尸；然后以點C為圓心，CT的長

為半徑畫弧交2C于點G；最后以BG為直徑作半圓.則下列說法正確的是（）

A.四邊形BEFG為直角梯形

B.因為AB=DF+FCI所以S扇形E4B=S扇形EOF+$扇形GCF

C.不論邊長。和6的長度如何，5G=2￡>尸始終成立

D.當點尸為C。的中點時，圖中由四條圓弧構(gòu)成的圖形的周長為3萬。

【答案】AC

【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，梯形的含義，求解弧長，扇形的面積，掌握基礎(chǔ)圖形的性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.由四邊形矩形，證明NA￡B=Nr>EF=ND/E=NBG=45。，

NBEF=180°-2x45°=90°=ZEFG，證明PG〃苑，可判定A,求解BG=2b-2a,DE=2{b-a）=2b-2a,

b業(yè)c主=。90兀/12?90泌2]\290兀（。一6『1/.2

可判定C,表水S扇形版,=不才=13,S序物期=不才=彳兀S-a）'S扇形DEF=—通一=?。?。一6），

131

可判定B,證明。尸=b=-C￡>,可得bDE=DF=CF=-a,再結(jié)合弧長公式可判定D；

222

【詳解】解：???四邊形ABC。矩形,

：.ZA=ZD=ZC=90°,

AB=a,AD=b,

由作圖可知：AB=AE=a,DF=DE=b-a,CG=CF,

.-.DC=AB=a,BC=AD=b,ZAEB=ZDEF=ZDFE=ZCFG=45°,

CF=DC-DF=2a-b,Z.BEF=180°-2x45°=90°=Z,EFG,

CG=CF=2a—b,FG//BE,BG=BC-CG=b-（2a-b）='2b-2a,

而2c與跖不平行，

.?.四邊形BEFG為直角梯形，故A符合題意；

---AB=DF+FC,

2

?90兀。?12c90nb1,$90兀（。一6?1,,.2

扇形EAB-360_I兀°，_360-4~a，S扇形DEF=茄。=-7i（2a-Z＞），

??S扇形￡4B*S扇形瓦）"+,扇形GCF＞故B不付合題思；

,/BG=BC-CG=b—（2a—b）=2b—2a,

DE=2（b—a）=2b—2a,

:.BG=2DE,故C符合題意；

:點尸為CD的中點，

...DF=CF=-CD,

2

b—a=-a,

2

b=—a,

2

DE=DF=CF=-a

2

...四條圓弧構(gòu)成的圖形的周長為90儂%兀T”「go兀。

FZX1=-Tta-\——71Q+7TQ=Z716Z

180----------180--------180-----22

故D不符合題意；

故選：AC

三、填空題

7.（2024?山東淄博?一模）如圖，用若干個正方形拼成一個大矩形，然后在每個正方形中以邊長為半徑繪

制［圓弧，這些圓弧連起來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契螺旋線”.若圖中最大的矩形面積

為416,則這段“斐波那契螺旋線”的長度為.

【分析】設(shè)最小的兩個正方形的邊長為。，則最大的矩形的長為13a,寬為8a,根據(jù)題意列方程得到最小正

方形的邊長，然后根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論.本題考查了弧長的計算，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟

練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)最小的兩個正方形的邊長為“，

???每個正方形中以邊長為半徑繪制;圓弧，這些圓弧連起來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契

螺旋線”

a+a-2a,2a+a-3a,2a+3a-5a,5a+3a=8。

?*.8a+a+a+3a—13a

則最大的矩形的長為13。，寬為8a,

根據(jù)題意得，13ax8a=416,

解得a=2（負值舍去），

這段“斐波那契螺旋線”的長度為2萬+2萬+3乃+5乃+8]=20萬，

故答案為：20%.

8.（24-25九年級上?山東淄博?階段練習）如圖，半徑為2的0。1和。儀的圓心C，。2都在線段A8上，02

還在0Q上，兩圓交點為C,過點C作CDA3于點E交。。于點。，則“48的大小為。，AD

的長為.

【答案】302月

【分析】連接AC,AD,CO-CO2.由垂徑定理得EC=ED,進而得AC=AZ),再證明ACaa是等邊

三角形，得NABC=/CO2a=60。，證AADC是等邊三角形，利用勾股定理及30度直角三角形的性質(zhì)即

可得解.

【詳解】解：如圖，連接AC,AD,CO,,CO2.

EC=ED,

/.AC=AD,

?/COX=OXO2=COi=2,

???ACO02是等邊三角形，

ZADC=ZCO2Ot=60°,

,/CDLAB,CO】=002=CQ=2

EOX=EO2=1,CE=ED=^3,

,/ZADC=ZCO2O]=60°,AC^AD

△ADC是等邊三角形，

ZDAB=|ZCAD=30°,AD=CD=25

故答案為：30,2G.

【點睛】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，30度直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.(23-24九年級上?山東淄博?期末)如圖，點A,C均在半徑為50的。。上，點8是0。內(nèi)一點，AB1CB

于點B.若A8=6,8C=2,O3=.

【答案】V26

【分析】連接OAAC,OC,過點。作ODLAC于點。，作于點E,延長交。。于點尸，連接

OF,CF,先求出AZ)=Ji。，00=2710,再證出△?！?-"如，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得.=4,然

后利用勾股定理求出OE=5,最后在RtA^OE中，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：如圖，連接OAAC,OC,過點。作ODLAC于點。，作于點E,延長A3交。。于

點、F,連接ORC尸，

貝1JQA=OC=O尸=50，

:.ZAOD=-ZAOC,

2

AB=6,BC=2,AB±CB,

AC=^AB2+BC2=2^0，

:.AD=-AC=y/lO,

2

:.OD=y/o^-AD2=2而，

由圓周角定理得：ZCFB=^ZAOC,

2

：.ZCFB=ZAOD,

在ACEB和△AOD中，

fZCFB=ZAOD

[ZCBF=ZADO^90°'

.△CFBSAAOD,

,BF_BCBF2

'^OD~~AD，2^-V10，

解得BF=4,

：.AF=AB+BF=10,

:.AE=-AF=5,

2

=5,BE=AB-AE=1,

則在Rt^BOE中，OB=y/OE2+BE2=726，

故答案為：^26.

【點睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識，通過作輔助線,

構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵.

10.（23-24九年級上?山東威海?期末）將0A的劣弧網(wǎng)>沿弦80折疊、剛好落在半徑AD的中點C處，已

知CD=2,則3C=.

【答案】2屈

【分析】設(shè)折疊后的BC所在圓的圓心為。，的直徑為OE,連接AB,BE,過點B作斯，DE于尸，

先求出AC=CD=2,AB=AE=AD=2CD=4,則CE=AE+AC=6,再根據(jù)折疊，得出。A與。。是等圓，根

據(jù)圓周角定理，得出BE=BC，從而得出BE=BC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF=EF=；CE=3,從而

求得AF=1,然后利用勾股定理求出班長，即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)折疊后的BC所在圓的圓心為。，0A的直徑為￡>E,連接A3,BE,過點B作加'

是半徑AD的中點，CD=2,

AC=CD=2,AB=AE=AD=2CD=4,

：.CE=AE+AC=6

,/將0A的劣弧80沿弦BD折疊,

，OA與。。是等圓，

ZBDE=ZBDC

BE=BC

：.BE=BC

BF±DE

：.CF=EF=-CE=3,ZAFB=/BFE=90°,

2

AF=CF-AC=3-2=1,

在RSAFB中，由勾股定理，得BF=dAB2—AF?=J42—儼=后,

在Rt△班廠中，由勾股定理，^BE=yjBF2+EF2=J(V15)2+32=2A/6,

：.BC=BE=246,

故答案為：2指.

【點睛】本題考查圓周角定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，弦、弧的關(guān)系，勾股定理.正確作出輔

助線和證明3E=8C是解題的關(guān)鍵.

11.（24-25九年級上?山東臨沂?階段練習）已知AC是。。的直徑，AB,BC是。。的弦，點。在內(nèi)

運動且滿足=當AB=6,BC=4,連接CD,則線段CD長度的最小值為.

【答案】2

【分析】本題考查圓周角定理的推論，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，取AB的中點P,連接PO,

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NASC=90。，然后得到NADB=90。，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊得一半可得如=3,即可得到當點尸,2C在同一條直線上時，線段CD的值最小，然后利用勾股定

理解題即可.

【詳解】解：如圖，取4B的中點P,連接尸￡）,

???AC是。。的直徑，

,-.ZABC=90°,

ZDAB=ZDBC,ZABD+ZDBC=ZABC=90°,

:.ZABD+ZDAB^9Q0,

ZADB^90°.

,點P為ZB的中點，

:.PD=-AB=PB=3,

2

當點P,RC在同一條直線上時，線段CD的值最小，

在RGP3c中，由勾股定理，得PC=JPB?+BC23+42=5,

:.CD=PC—PD=5—3=2,

故答案為：2.

12.（2024?山東聊城?一模）A8是。。的直徑，D,尸分別是直徑A3和弦AC上的兩個動點，已知NC4B=15。,

AB=4,則線段PD+P3的最小值是

【分析】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，軸對稱-最短路線問題.連接BC,

延長到M,使。0=BC,連接尸M,AM,由圓周角定理得到NACB=90。，由線段垂直平分線的性質(zhì)

得到AM=AB=4,PM=PB,由等腰三角形的性質(zhì)得到ZBAM=2Za4C=2xl5o=30。，由三角形三邊關(guān)系

定理得到尸+當時，尸M+PD最小，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出

MD=^AM=2,即可得到PD+PS的最小值是2.

【詳解】解：連接2C,延長BC到M,使CW=3C,連接RW,AM,MD,

.〔AC垂直平分,

：.AM=AB=4,PM=PB,

ZBAM=2ZBAC=2x15°=30°,

-：PM+PD>MD,

當〃。最小時，PAf+PD