2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練：二次函數(shù)中的角度問(wèn)題 （4大題型）學(xué)生版

專題08二次函數(shù)中的角度問(wèn)題(4大題型)40題專練

壓軸題密押

通用的解題思路：

1、角的數(shù)量關(guān)系處理的一般方法如下：

(1)證等角：常運(yùn)用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等、全等三角形

和相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；

(2)證二倍角：常構(gòu)造輔助圓，利用圓周角定理；

(3)證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角.

2.特殊角問(wèn)題處理的一般方法如下：

(1)運(yùn)用三角函數(shù)值；

(2)遇45°構(gòu)造等腰直角三角形；

(3)遇30°,60°構(gòu)造等邊三角形；

(4)遇90°構(gòu)造直角三角形.

壓軸題預(yù)測(cè)

題型一：角相等問(wèn)題

對(duì)于二次函數(shù)中的角相等問(wèn)題，首選方法是利用等角的三角比解決問(wèn)題(利用一線三等角模型或者拆分特

殊角來(lái)發(fā)現(xiàn)等角)，其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問(wèn)題。

二次函數(shù)中的角相等問(wèn)題比較靈活，在遇到具體問(wèn)題時(shí)具體分析，合理構(gòu)造等角，解決問(wèn)題。

1.(2024?山西太原?三模)綜合與探究

如圖1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的拋物線y=-2/+8x與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,直線/與拋物線交于A,B兩點(diǎn),已

知點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

⑴求出A,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線/的函數(shù)表達(dá)式.

(2)如圖2,若點(diǎn)M是直線/上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線O"交直線/于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為優(yōu),

求浣的最大值.

⑶如圖3,連接03,拋物線上是否存在一點(diǎn)使得/MO4=NBA0,若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（23-24九年級(jí)下?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=--2x-3與x軸交于點(diǎn)A和

點(diǎn)2,與y軸交于點(diǎn)c,頂點(diǎn)為

⑵如圖1,點(diǎn)M是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作X軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)N,求線段長(zhǎng)

度的最大值；

⑶如圖2,若點(diǎn)P在拋物線上且滿足/PCB=NCB。，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

3.(23-24九年級(jí)下?湖南永州?開(kāi)學(xué)考試)綜合與探究.

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)丫=-耳/+§*+2的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的

左側(cè))，與>軸交于點(diǎn)C,連接8C.

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)一3cp為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)。是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)。使NQCB=WC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2024?上海嘉定?二模)在平面直角坐標(biāo)系x0y(如圖)中，已知拋物線y=加+法+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,0)、3(-2,3)

兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線/.

⑴求此拋物線的表達(dá)式；

⑵已知以點(diǎn)C為圓心，半徑為CB的圓記作圓C,以點(diǎn)A為圓心的圓記作圓A,如果圓A與圓C外切，試判

斷對(duì)稱軸直線/與圓A的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶已知點(diǎn)。在>軸的正半軸上，且在點(diǎn)C的上方，如果/Br>C=/54C,請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

5.(2023?海南?模擬預(yù)測(cè))如圖1,拋物線y="2+版+。(0片0)與x軸交于A(-l,0)、3(3,0)兩點(diǎn)，與一軸交

于點(diǎn)。(。，3).直線y=x+l與拋物線交于A,。兩點(diǎn).點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

⑴求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(L4)時(shí)，求四邊形PG4D的面積；

⑶拋物線上是否存在點(diǎn)P,使N&LP=NC4D?若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑷如圖2,點(diǎn)M、N是對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MV=1,點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，求四邊形ACMV的周長(zhǎng)的

最小值.

6.(2024?上海靜安?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知拋物線關(guān)于直線尤對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,3)

和點(diǎn)2(3,0),橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)C在此拋物線上.

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)AB、BC、AC,求tan/54c的值；

⑶如果點(diǎn)尸在對(duì)稱軸右方的拋物線上，且APAC=45°,過(guò)點(diǎn)P作尸。，y軸,垂足為Q,請(qǐng)說(shuō)明ZAPQ="AC,

并求點(diǎn)P的坐標(biāo).

7.(2024?廣西?一模)如圖，已知拋物線y=V+6x+c交x軸于A(-3,0),3(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

尸是拋物線上一點(diǎn)，連接AC、BC.

⑴求拋物線的解析式；

(2)連接OP,BP,若ZBOP=，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

⑶若NP54=NACO,直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

8.（2024?山東濟(jì)南?一模）如圖，二次函數(shù)y=x2-2mx-2m-l（m>0）.的圖象與x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)

A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F.連接

備用圖

⑴若m=1,,求8點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo);

（2）若ZACO=NCB。，求根的值；

⑶若在第一象限內(nèi)二次函數(shù)>=工2-2〃比-2〃?-1（加>0）的圖象上，始終存在一點(diǎn)P,使得ZACP=75°.i#

結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出機(jī)的范圍.

9.(2024?廣東?一模)綜合應(yīng)用.

2,4

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)>=-,尤2+耳尤+2的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8

的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P使NPCB=ZABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶如圖2,作出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸直線/,交無(wú)軸于點(diǎn)D若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M

始終位于x軸上方，作直線A0,BM,分別交/于點(diǎn)E,F,在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE+D尸的值是否為

定值？若是，請(qǐng)直接寫出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，己知4（-1,0）,5（3,0）,

C（0,3）.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)尸是拋物線上任意一點(diǎn)，若NPBC=ZACO,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，若以V、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

題型二：二倍角關(guān)系問(wèn)題

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的二倍角問(wèn)題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問(wèn)題。對(duì)于等角問(wèn)題，往往有以下解決路徑：

等角的構(gòu)造方法

（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；

（2）用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；；

（3）利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個(gè)相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構(gòu)

建數(shù)量關(guān)系；

（4）利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理。

二倍角的構(gòu)造方法

如圖，已知N。，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造2々，在BC邊上找一點(diǎn)D,使得BD=AD,

則NADC=2a.

這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來(lái)利用三角函數(shù)（一般用正切）計(jì)算就可以了

1.(2024,陜西西安?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aY+bx+2(aH0)與x軸分另IJ交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-4,0),點(diǎn)8的坐標(biāo)是(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象

限，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸，垂足為。，線段產(chǎn)。與直線AC相交于點(diǎn)E

⑴求該拋物線的解析式；

(2)連接。尸，是否存在點(diǎn)P,使得NOPD=2NC4O?若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=G^+6x+2(aH0)與x軸分別交于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(TO),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象

限，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸，垂足為。，線段尸￡>與直線AC相交于點(diǎn)E.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵連接。尸，是否存在點(diǎn)尸，使得NOPD=2NC4O?若存在，求出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2023?江蘇無(wú)錫?中考真題)己知二次函數(shù)>=上(爐+區(qū)+。)的圖像與y軸交于點(diǎn)A,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)2(4,0)

和點(diǎn)C(-l,&).

⑴請(qǐng)直接寫出6,C的值；

⑵直線8C交y軸于點(diǎn)。，點(diǎn)E是二次函數(shù)＞=￥（/+法+。圖像上位于直線48下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直

線A3的垂線，垂足為歹.

①求取的最大值；

②若AAEF中有一個(gè)內(nèi)角是ZABC的兩倍，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

4.（2024?西藏?二模）已知拋物線y=-d+6x+c與x軸交于點(diǎn)A（-l,0）和點(diǎn)8,對(duì)稱軸為直線x=l,拋物

線與y軸交于C點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

（2）如圖（甲），P是拋物線第一象限內(nèi)的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)「作叨,彳軸于。，直線8C與尸￡＞交于點(diǎn)E,當(dāng)△CEP

是以PE為底的等腰三角形時(shí)，求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖（乙），若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足NM4B=2NACO,求M的坐標(biāo).

題型三：兩角和與差問(wèn)題

1.（2024?山西臨汾?一模）綜合與探究

如圖，拋物線＞=V+bx+c的圖像與尤軸交于A,3（4,0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0,2）,

花用圖

（1）求拋物線表達(dá)式及3C所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接RB,PC,求，PBC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo);

⑶若點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，^.ZOBC+ZOBM=45°,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-g/+2與x軸交于A3兩點(diǎn)，與，軸

交于點(diǎn)c；

⑵如圖2,點(diǎn)。為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接AD,取AD上一點(diǎn)尸，以AF為底向下作等腰Rt^AGb,

設(shè)。點(diǎn)橫坐標(biāo)為乙試用含f的代數(shù)式表示tan/Q4G的值為（直接填空）.

⑶如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接。尸交所于點(diǎn)。，連接C。、GQ,CQ=GQ

且CQLGQ,連接并延長(zhǎng)C尸與GO交于點(diǎn)當(dāng)t=tan（18O。-/CHG）時(shí)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo).

3.（2024?江蘇揚(yáng)州?一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y'=-x?+法+c

的頂點(diǎn)坐標(biāo)為。（-3,4）,與無(wú)軸分別交于點(diǎn)A,B.連接AC,點(diǎn)。是線段4c上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

（2）如圖1,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接AT）、CD,求△ADC面積的最大值；

⑶如圖2,在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接。。交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在線段。4上，連接OC、DF、EF,若

ZACO=ZFDO+NDFE，求點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的最大值.

4.（2024?山東泰安?一模）如圖，拋物線y=尤+。的圖象與x軸交于人，*4,0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)c（o,2）,作直線3c.

⑴求拋物線表達(dá)式及3C所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)M是拋物線上在第三象限的一個(gè)點(diǎn)，且NOBC+NO3A/=45。，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸3,PC,當(dāng)，PBC面積是△O3C面積的一半時(shí)，請(qǐng)直接寫出尸點(diǎn)

的橫坐標(biāo).

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5.（2022?湖北黃石?中考真題）如圖，拋物線y=+4與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C三點(diǎn)，P是第

一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m.

（1）A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)為,,；

⑵連接AP,交線段BC于點(diǎn)D,

pn

①當(dāng)C尸與無(wú)軸平行時(shí)，求分的值；

pr）

②當(dāng)CP與無(wú)軸不平行時(shí)，求先的最大值；

⑶連接CP,是否存在點(diǎn)P,使得乙5co+2NPCB=90。，若存在，求加的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.（2023?遼寧營(yíng)口?中考真題）如圖，拋物線丁=加+法-1（。彳0）與左軸交于點(diǎn)人（1,0）和點(diǎn)2,與y軸交于

點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)。（3,0）,過(guò)點(diǎn)8作直線軸，過(guò)點(diǎn)。作DE2CD,交直線/于點(diǎn)￡.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖，點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接CE和3尸交于點(diǎn)Q,當(dāng)黑=5時(shí).求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶在（2）的條件下，連接AC,在直線3尸上是否存在點(diǎn)尸，使得ZDEF=ZACD+NBED?若存在，請(qǐng)直

接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=辦2+法+。與X軸交于兩點(diǎn)

A（—3,0）,3（4,0）,與y軸交于點(diǎn)。（0,4）.

⑴求此拋物線的解析式；

⑵已知拋物線上有一點(diǎn)產(chǎn)(4,幾)，其中%<0,^ZCAO+ZABP=90°,求％的值;

(3)若點(diǎn)。，E分別是線段AC,AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=2CD,求CE+2BD的最小值.

8.(23-24九年級(jí)下,重慶北倍,階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aY+6x+c與x軸交于

點(diǎn)A(T,0)和點(diǎn)2,與y軸交于點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)ECM)是拋物線上一點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖1,連接8C,點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDL3C交直線8C于點(diǎn)。，求屈PD的

最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶連接CE,過(guò)點(diǎn)A作AFLCE,交CE于點(diǎn)F,將原拋物線沿射線AF方向平移近個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物

線V，點(diǎn)。為新拋物線V上一點(diǎn)，直線CQ與射線AF交于點(diǎn)G,連接GE.當(dāng)NC4E+NCGE=180。時(shí)，直

接寫出所有符合條件的點(diǎn)。的橫坐標(biāo).

9.（2024■黑龍江哈爾濱?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線>="2-"-2交x軸的負(fù)

半軸于點(diǎn)A,交X軸的正半軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C,OA=OC.

（1）a=；

⑵如圖1,點(diǎn)。在第二象限的拋物線上，連接應(yīng)＞交y軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為加，線段DE的長(zhǎng)為d,

請(qǐng)直接寫出d與"，的函數(shù)解析式；

⑶如圖2,在（2）的條件下，點(diǎn)尸在第四象限的拋物線上，點(diǎn)G在第一象限的拋物線上，連接

AD,AE,BF,DF,DG,FG,DF交y軸于點(diǎn)H,若ZABD+ZBFG=NDGFAD=AE,BF+FH=DH

,求點(diǎn)G的坐標(biāo)并直接寫出直線PG的解析式.

10.（2024?黑龍江哈爾濱?二模）如圖，拋物線y=-gd+bx+10分別交無(wú)軸于點(diǎn)A和8（A在B左側(cè)），交

⑴如圖1,求6的值；

⑵如圖2,點(diǎn)尸為第一象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為乙連接AP和3尸，ABP的面積為S,求S與,之

間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量r的取值范圍）；

⑶如圖3,在（2）的條件下，5=65,直線AP和直線相交于點(diǎn)F,G為AP延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接GE,

/AED=/DEG,點(diǎn),M為GE上一點(diǎn),,連接FN、FN,肱V_L9交x軸于點(diǎn)N,BN<NE,且GM=NE,

在>軸負(fù)半軸上一點(diǎn)使ZMFN+NFEH=90。，若求點(diǎn)H的坐標(biāo).

題型四：特殊角問(wèn)題

1.(2024?安徽蕪湖?二模)如圖1,拋物線y=-(x-l『+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)5(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)8

在原點(diǎn)的右側(cè))，且08=3.在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)￡的0乂0<m<3),過(guò)點(diǎn)E作直線Ux軸，交拋物線于點(diǎn)M.

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接AM,若NM45=60。，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶如圖3,連接并延長(zhǎng)交，軸于點(diǎn)N,連接。M,記的面積為1.△MON的面積為邑，若SyS2,

求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

2.(2024?廣東東莞?一模)如圖，拋物線y=-/+2x+3交尤軸于A,8兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)C,連接AC,BC.

⑴求ABC的面積；

（2）點(diǎn)加為y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得一MBC與一ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)/的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)2不重合），且使得AR4c中有一個(gè)角是45。，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

3.（2024?福建泉州?一模）已知拋物線>-1如+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)2的左側(cè)），與

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y軸交于點(diǎn)。（0,3）,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是（4,-1）.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）經(jīng)過(guò)（0,-2）的直線/〃無(wú)軸，過(guò)點(diǎn)3作出/，/于點(diǎn)H.

①求證：A,D,8三點(diǎn)共線；

②/是拋物線上一點(diǎn)，且NMAH=45。，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

4.（2024?廣東汕頭?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系方為中，拋物線y=f+bx+c與直線/：>=履+〃?交于

A（l，l）,8兩點(diǎn)，與y軸交于C（0,5）,直線/與y軸交于點(diǎn)D

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

（2）設(shè)直線/與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為死若A黑F=：3,求直線/的解析式:

FB4

⑶若在工軸上存在一點(diǎn)P,使/AP3=90。，且AP=BP,直接寫出發(fā)的值.

5.（2024?河北邯鄲?一模）【建立模型】（1）如圖1,點(diǎn)2是線段C。上的一點(diǎn)，ACIBC,AB±BE,EDLBD,

垂足分別為c,B,D,AB=BE.求證：ACBWBDE；

【類比遷移】（2）如圖2,一次函數(shù)y=3x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)8,將線段A3繞點(diǎn)B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到8C、直線AC交x軸于點(diǎn)D

①點(diǎn)C的坐標(biāo)為;

②求直線AC的解析式；

【拓展延伸】（3）如圖3,拋物線y=d-3x-4與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交

于點(diǎn)C,已知點(diǎn)。（0,-1）,連接8Q,拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得tan/MBQ=；,若存在，直接寫出點(diǎn)M

的橫坐標(biāo).

6.（2024?安徽滁州?一模）已知拋物線丁=-爐+（2〃+1b+3幾+1交x軸于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)3,交y軸于點(diǎn)C

⑴求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,已知點(diǎn)P是位于3C上方的拋物線上的一點(diǎn)，作尸M43C,垂足為求線段長(zhǎng)度的最大

值；

⑶如圖2,已知點(diǎn)。是第四象限拋物線上一點(diǎn)，ZAC0=45°,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

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7.(2023?四川自貢?中考真題)如圖，拋物線y=-§V+6x+4與x軸交于A(_3,0),B兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)

c.

⑴求拋物線解析式及8,C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)。坐標(biāo)；

⑶該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得ZACE=45。，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.(2024?山西大同?一模)綜合與探究

如圖，拋物線y=-2》-6與X軸交于點(diǎn)A和3,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，交y軸于點(diǎn)C,作直線BC.

⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC的表達(dá)式；

DE5

（2）當(dāng)點(diǎn)。在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接0D交BC于點(diǎn)E,若二=；7，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

0E12

⑶拋物線上是否存在點(diǎn)E使得4CF=15。？若存在，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.（2024?山東濟(jì)南?一模）如圖，拋物線y=++bx-百（。/0）與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)8,與y軸交

于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)。(1,0),過(guò)點(diǎn)8作直線軸，過(guò)點(diǎn)。作OE，C￡>,交直線/于點(diǎn)E.

⑴求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，直線3尸與DE交于點(diǎn)。，當(dāng)案=；時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)凡使得ZDEF=75。，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.(2024?山東濟(jì)南?一模)如圖，二次函數(shù)y=x2-2mx-2m-l(m>0).的圖象與x軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)

A在點(diǎn)2的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，其對(duì)稱軸與線段3C交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F.連接

AC、BD.

⑴若m=1,,求B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若NACO=NCBZ）,求機(jī)的值；

⑶若在第一象限內(nèi)二次函數(shù)y=非-2"比-2〃?-1（機(jī)>0）的圖象上，始終存在一點(diǎn)P,使得NAC尸=75。.請(qǐng)

結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出機(jī)的范圍.

11.（2024?山東棗莊?一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=依2+汝+2與％軸交于兩點(diǎn)A1：,0

B（點(diǎn)A在8左邊），交y軸于C,點(diǎn)尸（3。是拋物線上一點(diǎn).

圖1圖2

⑴求拋物線的關(guān)系式；

(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)使MA+MC的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶如圖2,拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使NQC尸=45。？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.(2024?黑龍江大慶?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-f+bx+c與無(wú)軸交于點(diǎn)

8與y軸交于點(diǎn)C(0,3),對(duì)稱軸為x=l,點(diǎn)P,。在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為m2m(/n>0),連接

BC,CP,CQ,PQ,BQ.

⑴求此拋物線的解析式；

（2）當(dāng)N"Q=90。時(shí)，求機(jī)的值，并直接寫出△BCQ的面積；

⑶設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分（包括點(diǎn)C和點(diǎn)P）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為小，在點(diǎn)C與

點(diǎn)。之間部分（包括點(diǎn)C和點(diǎn)。）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為也.當(dāng)色-4=相時(shí)，直接寫出/"的

值.

13.（2023?湖南郴州?中考真題）已知拋物線y=#+bx+4與x軸相交于點(diǎn)A（l,0）,B（4,0）,與>軸相交

于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式；