2025年中考數(shù)學總復習《正方形的判定與性質(zhì)》專項檢測卷（附答案）

2025年中考數(shù)學總復習《正方形的判定與性質(zhì)》專項檢測卷附答案

學校:姓名:班級：考號：

一、單選題

1.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AZ）=6,AD.AB,BC分別與：。相切于E、F、

G三點，過點D作。的切線交2C于點切點為N,則DM的長為（）

2.如圖，正方形ABCD中，點E在8。上，DE=2BE,連接CE,過點E作EF1_CE交A3

的延長線于點R再過點尸作尸G〃CE,FG=CE,連接CG、DG,則段的值為（）

BD

4忘「屈

-----------\-J.----------

3.如圖，VABC中，/ABC=90。，AB<BC,AC的中垂線與一ABC的平分線相交點P,

與BC相交于點0，與AC相交于。，連接上4、PC.若PQ=PC,下列結(jié)論：

?PA=PC；②APAB%APQB；

@ZPAC=45°；@PB2-PQ2=BQBC.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.如圖，VABC是等腰直角三角形，ZABC=90°,。是AC的中點，連接30并延長至

使得3O=DO,連接AO和CO.①以點。為圓心，C。的長為半徑畫弧交3。于點E；②分

別以點C、E為圓心，大《CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③作射線OP交BC于點片

2

接EF.若AB=2點+2,則CF的長為（）

A.2B.y/2+lC.472-4D.^2-1

5.如圖，在四邊形ABC。中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°,AD于點E,且四邊形

ABC。的面積為8,則BE=（)

A.2B.3c.2V2D.273

6.如圖，點P的坐標為（4,4）,點A8分別在x軸，＞軸的正半軸上運動，且/AP3=90。,

連接AB,OP,下列結(jié)論：①PA=PB；②若O尸與A3的交點恰好是48的中點，則四邊形

Q4PF是正方形；③四邊形。4P3的面積為定值；④AB〉0P.其中正確的結(jié)論是（）

C.①③④D.①②④

二、填空題

9

7.如圖，在RtZkABC中，ZABC=90°f平分/ACS,A。平分外角NBA/，^AB=-,

點。到邊AB的距離是3,貝l]CD=

8.如圖，在△AC8中，ZACB=90°,AC=BC,P是射線BC上一點，將AAC尸沿AP折

疊，得到△包方，連接08.當，DPB為直角三角形時，ND4P的度數(shù)為.

9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=4日E是AB的中點，尸是邊上的一

個動點（點F不與點A,。重合）.將尸沿班所在直線翻折，點A的對應點為A,連

接AD,A'C.當一A'￡>C是等腰三角形時，AF的長為.

10.如圖，有一張長方形紙片A8CO,其中邊AB的長為2,將長方形沿對角線8D對折，折

疊后得到.血），點C的對應點為E,BE與AD交于點F,再將尸沿。尸對折，使點E

落在長方形紙片的內(nèi)部點G處，若80平分/ADG,則AD的長為.

11.如圖，在四邊形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,A￡_LBC于點E.若CD=3,

CE=5,則BC的長是.

12.如圖，邊長為4的正方形ABC。中，M,N為對角線80兩點，且MN=；BD,同E為

邊BC的中點，則AN+ME的最小值_______.

三、解答題

13.已知E是矩形A5CD對角線AC上一點(AEc^AC),連接DE,作￡F_L/)E交BC于

2

(1)如圖1,若矩形ABCD是正方形，求證：四邊形D￡FG是正方形;

(2)如圖2,己知整=：.

AB3

(I)求二二的值；

(II)過點B作交AC于點H,連接G”，求證：四邊形班6”是平行四邊形.

14.已知矩形ABCZ)中，AD=10,AB=6,尸是A。邊上一點，連接將一/WP沿著直線

3尸折疊得到△EBP.

(1)如圖1,若點E在BC邊上，AP的長為；

(2)當尸、&C三點在同一直線上時，求A尸的長；

(3)當點尸在AD邊上運動時，連接OE,求線段DE的最小值.

15.如圖1,已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE1BC,垂足為瓦GF_LCD,

垂足為

⑵探究與證明：如圖2,將正方形CEG/繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)40°＜1＜45。)，試探究線

段N與AG之間的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)拓展與運用：如圖3,正方形CEG/繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)a角(0°＜。＜45。)，當民耳尸

三點在同一條直線上時，延長CG交AD于點H,若AG=12,G8=4&,求3c的長.

16.如圖，將"CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到V3C尸，連接A3,AB=8,直線AE交直

線8尸于點

A

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當0。＜/。歸＜45。時，求證：AH1.BF；

(2)如圖2,當點//始終在AC的上方時.

①若NACE=15。，ZBFC=60°,AE=加時，求V3C尸的面積(用含切的式子表示).

②點P為AC邊的中點時，連接PH，直接寫出PH的最大值為；

17.四邊形A3CD是矩形，AD=mAB,X是對角線(端點除外)上的點，K在線段DC

上，HKLAH.

(1)如圖1,若m=1,求證：DA+DK=y/2DH;

AK

(2)如圖2,連接AK,求簽的值(用含根的式子表示)；

(3)如圖3,連接C",當根=g，C"=CB時，若9=4,直接寫出C”K的面積.

18.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=^AD,E,尸分別為AD,2c邊上的中點，將一

足夠大的直角三角板的直角頂點放在點E上，并繞著點E在4。下方旋轉(zhuǎn)，兩直角邊(或直

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,當三角板的一條直角邊交48于點G,另一條直角邊交8c于點H時，

求證：BG=CH.

(2)深入探究：如圖2,當三角板的一條直角邊與矩形A3。的8C邊相交于點G,另一條直

角邊交O)邊于點〃時，連接AG并延長與HF的延長線交于點M，小賢發(fā)現(xiàn)ZAMH=90°,

試說明理由.

⑶拓展探究：在(2)的條件下，若AB=5,BG=2,求GM的長度.

參考答案

題號123456

答案ADDACB

1.A

【分析】連接OE,OF,OG,ON,證明四邊形AEOF,OGBF為正方形,結(jié)合切線的性

質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到ON,設MN=MG=x,貝！］MC=4-x,結(jié)合勾股定理求出MN,即

可得到DM的長.

【詳解】解：連接OE,OF,OG,ON,

四邊形AB。為矩形,

:.ZA=ZB=ZC=90°,

AD.AB.BC分另ij與;。相切于E、F、G三點,

Z.OEA=ZOFA=ZOGB=90°,

..?四邊形OGB尸為矩形，

QOE=OF=OG,

二四邊形0G8/為正方形，

?.?矩形ABC。中，AB=4,

:.AF=BF=AE=BG=2,

AT>=6,

:.DE=4,

過點。作。的切線交BC于點切點為N,

:.DN=DE=4,MN=MG,

設MN=MG=x,

MC=6-2-x=4-x,

：.（4+%）2-（4-X）2=42,

整理得：16x=16

解得x=l,

貝UDA/的長為4+]=5,

故選：A.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵

在于熟練掌握相關知識.

2.D

【分析】過點E作垂足分別為MN,先證明，CEM%FEN(ASA),

四邊形￡FGC為正方形，過點G作GWLDC,交。C延長線于點再證明

」CGHm、CEM(AAS),設EM=BM=x,由EM8得匹=典=工，則CM=2x=CH,

CB=CD=3x,DH=5x,分別在RtADHG,RtADC2中，運用勾股定理求得。G=屆x,

BD=3^x，即可求出比值.

【詳解】解：過點E作EMLBCENLAB,垂足分別為M,N,則/EMC=NEVF=90。,

:四邊形ABCD是正方形，

/.ZABC=ZBCD=90°,ZCBD=ZABD=-ZABC=45°,DC=BC,

2

:.EM=EN,四邊形EMBN為正方形，

ZMEV=90°,

VEF1CE,

???/CEM+ZMEF=ZMEF+/FEN=90。,

???/CEM=/FEN,

???CEMqFEN(ASA),

EC=EF,

VFG//CE,FG=CE,

???四邊形EFGC為平行四邊形，

*：EF1CE,

???四邊形EFGC為矩形,

EC=EF,

???四邊形EFGC為正方形,

：.CG=CE,/ECG=90。，

過點G作GHLOC,交OC延長線于點“，

：.ZH=ZCME=90°,

同理可得：Z1=Z2,

???@"冬CEM(AAS),

.?.GH=EM,CH=CM,

VEMLBC,NCBD=45°,

：.^EM=BM=x,

VEMA.BC,/BCD=90。,

：.EMCD,

.BE_BM_1

DE~CM~29

：.CM=2x=CH,

CB=CD=3x,

DH=5x,

.?.在RtAD〃G,RtADC8中，分別由勾股定理得：DG=y/HG2+DH2=^2+(5x)2=^26x,

BD=3垃x，

.DGA/26XA/13

??茄―30」亍'

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的綜合問題，平行線分線

段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理，正確構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵.

3.D

【分析】①直接根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可判斷①；②如圖：過P作PEJL3C,過尸作PR

垂直于9延長線于E由等量代換可得PQ=PA,可證明Rt"尸絲Rt.QPE(HL)可得

NPAF=ZPQE即ZBAP=ZBQP，再結(jié)合角平分線的定義即可判斷②；③由全等三角形的性

質(zhì)ZBAP=ZBQP、等腰三角形的性質(zhì)可得NPCQ=/PQC,進而得到/ABC+/4PC=180。,

再結(jié)合ZABC=90°可得AAPC是等腰直角三角形即可判定③；④證明四邊形PFBE是正方

形可得BE=PE,由等腰三角形的性質(zhì)可得。石=EC,然后由勾股定理可得

BP2=BE2+PE2=2PE2>PQ2=BE2+QE2,進而得至11尸32一尸。2=尸彥一便2,最后根據(jù)

平方差和等量代換即可判斷④.

【詳解】解：①:尸。是AC的垂直平分線，

APA=PC,即①正確；

②如圖：過P作PEJL3C,過尸作P尸垂直于54延長線于R

PF=PE,

?：PQ=PC,

PQ=PA,

在RtAP尸和Rt/XQPE中，

JPF=PE

[PA=PQ，

/.RtAPF^RtQPE(HL),

：.ZPAF=ZPQE,

/.NBAP=NBQP,

在，和△PQB中，

'/BAP=ZBQP

<NABP=ZQBP,

BP=BP

；..PASg一PQB(AAS),即②正確;

③：4PAB咨APQB,

：.ZBAP=ZBQP,

?：PQ=PC,

：.ZPCQ=APQC,

ZPQB+ZPQC=18Q°,

：.ZPAB+ZPCQ=1SO°,

:四邊形ABCP,

：.ZABC+ZAPC=180°,

:/AfiC=90°,

ZAPC=90°,

'：PA=PC,

...△APC是等腰直角三角形，即NR4C=45。，故③正確；

④；ZABC=90。，

，四邊形PFBE1是矩形，

PF=PE,

.,?四邊形是正方形，

/.BE=PE,

:PELBC,PQ=PC,

:.QE=EC,

:PE1BC,

BP2=BE2+PE2=2PE2,PQ2=BE2+QE2,

PB2-PQ2

=2PE2-（BE2+QE2）

=PE2-QE2

=（PE_QE）（PE+QE）

=（BE-QE）（BE+EC）

=BQBC,即④正確.

綜上，①②③④正確，正確的有4個.

故選D.

【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰

三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵.

4.A

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，角

平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)是解題的關鍵.

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四邊形AB8是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形

A38是矩形，根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形ABC。是正方形，求得

AB=BC=CD=2近+2,得至1」2￡>="45=4+2&,求得BE=BD-DE=2,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NDEF=ZDCB=90°,EF=CF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【詳解】解：是AC的中點，

，AO=CO,

DO=BO,

???四邊形ABO是平行四邊形，

/ABC=90°,

四邊形AB。是矩形，

?/AB=BC,

：.四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=2yj2+2，

BD=s/2AB=4+2y/2，

,?*DE=DC=242+2,

BE=BD—DE=2,

由作圖知，DF平分/CDB,

：.ZCDF=ZEDF,

?：DE=DC,DF=DF,

:..DEF-DCFS,

：.NDEF=NDCB=90°,EF=CF,

：.NBEF=90。,

；NEBF=45。,

/.BE=EF,

：.CF=EF=2,

故選：A.

5.C

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定，運用割補法把原四邊

形轉(zhuǎn)化為正方形，其面積保持不變是解題的關鍵.

運用割補法把原四邊形轉(zhuǎn)化為正方形，求出BE的長.

【詳解】解：過B作跳■垂直DC的延長線于點月，

則/3FC=90。，

ZASC=NCZM=90。，

四邊形是矩形，

NEBF=90°,

：.ZABE+NEBC=NCBF+ZEBC,

ZABE=NCBF；

又BF1DF,

：.ZAEB=NBFC=90°,

又AB=BC,

：.ABE密CBF(AAS),

:.BE=BF；

四邊形BEDb為正方形；

.,?四邊形ABC。的面積等于正方形3瓦加的面積，即等于8,

BE2=8,

BE=272，

故選：C.

6.B

【分析】本題考查了矩形的判定，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，過尸作尸”，，軸于M,PN_Lx軸于N,AB與OP交于點C,可得四邊形

MONP是矩形，進而由尸（4,4）可得四邊形MONP是正方形，得到=ON=PN=尸河=4,

ZMPN=90°,進而得到NMRB=nVR4,即可證明MPB^,NPA(ASA),得到PA=P3,

即可判斷①；由直角三角形的性質(zhì)可得3c=AC=PC=OC,可得四邊形。IPS是矩形，進

而由上4=依得到四邊形。犯8是正方形，即可判斷②；由四邊形0AP3的面積=四邊形

BONP的面積+^PNA的面積=四邊形BONP的面積+—PMB的面積=正方形PMON的面積，

即可判斷③；由。尸與A8的交點恰好是A3的中點時，四邊形Q4BB是正方形，得到AB=OP,

即可判斷④；正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過尸作尸軸于Af,PNLx軸于N,AB與OP交于點C,貝|

ZPNO=Z.PMO=90°,

?/ZMON=90°,

.,?四邊形MONP是矩形，

VP(4,4),

PN=PM=4,

四邊形MONP是正方形，

/.OM=ON=PN=PM=4,ZMPN=90。,

?/ZMPN=ZAPB=9Q。,

：.ZMPB=NNPA,

在和中，

ZMPB=ZNPA

<PM=PN,

ZPMB=ZPNA=90°

/.MPB^NPA(ASA)

:.PA=PB,故①正確；

1/OP與AB的交點恰好是AB的中點，

BC=AC,

在RtAP3中，PC是斜邊AB的中線，

PC=BC,

在Rt中，OC是斜邊AB的中線，

OC=BC,

：.BC=AC=PC=OC,

四邊形（MPF是矩形,

?/PA=PB,

，四邊形Q4PB是正方形，故②正確；

?/MPB-NPA,

四邊形（MP3的面積=四邊形30NP的面積+PM1的面積

=四邊形BONP的面積+.PMB的面積，

=正方形尸MON的面積，

=4x4,

=16,

，四邊形Q4P8的面積為定值，故③正確；

'/OP與AB的交點恰好是A3的中點時，四邊形Q4PB是正方形,

：.AB=OP,故④錯誤；

，正確的結(jié)論有①②③，

故選：B.

7.3710

【分析】過。作DELCF于E,DTfLAfi于”，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=D"=r）G,

NG=NDHB=NGBH=90,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到￡6=_86=。"=3"=?！?=3,求得

33.

AH=AB-BH=—,根據(jù)全等三角形得到AE=A/7=彳，同理CG=CE,設CB=x,根據(jù)

22

勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過。作DELCF于E,O”_LAB于H,

/）左fCD平分/4CB,AO平分外角/A4F,

G…R

:.DE=DH=DG,NG=NDHB=NGBH=90,

四邊形BGDH是正方形，

：.DG=BG=DH=BH=DE=3,

vAB=-

2f

3

/.AH=AB-BH=-,

2

在Rt與Rt中，

[DE=DH

[AD=AD9

:.RtADEmRtADH(HL),

3

/.AE=AH=—,

2

同理CG=CE,

設C5=x,

:.CG=CE=3+X9

AC=VAB2+CB2=J(|)2+x2,

解得％=6,

/.BC=6,

:.CG=9,

:.CD=JCG'+DG?=732+92=3廂，

故答案為：3M.

【點睛】本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理和角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵.

8.45°或22.5°或67.5°

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關

鍵是分類討論.分兩種情況：當ZBPD=90。時，當/次陽=90。時，根據(jù)折疊的性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：當ZBPD=9O。時，

ZACB=90°,

??.ZACP=90°,

由折疊可得：AD=ACfZADP=ZACP=90°,

??.ZBPD=ZADP=ZACP=90°,

???四邊形ACP。是矩形，

AD=AC,

矩形ACPQ是正方形，

?,.ZDAP=-ZADC=45°；

2

當NHM=90。時，

AD=AC,ZACB=90°,

??.ZB=ZCAB=45°f

由折疊可知，ZADP=ZC=90°,ZDAP=ZCAPf

AZADB=ZADP+ZPDB=180°,

「?點A、D、3共線，

??./DAP=-ZCAB=22.5°,

2

綜上所述，NDAP的度數(shù)為45?；?2.5。.

當ND=90。時，

,:AC=BC,

：.ZB=ZBAC=45°f

：.ACAD=180?！狝BAC=135°,

故答案為：45?；?2.5?；?7.5。.

9.及或2或20

【分析】分三種情況：當AO=OC,連接ED,勾股定理求得EO的長，可判斷E,A,D

三點共線，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；當A'O=A'C,證明AE4,尸是正方形，于是得到結(jié)

論；當A'C=OC時，連接EC,FC,證明點E,A,C三點共線，再用勾股定理可得答案.

【詳解】解：①當AD=OC時，連接即，如圖:

點E是48的中點，AB=4,AD=442,四邊形ABCD是矩

:.AE=2,AD=BC=472>ZA=90°,

DE=VA￡2+AD2=6?

將AAEF沿EF所在直線翻折，得到△AEF,

:.A!E=AE=2,

A：D=DC=AB=4,

,-.DE=6=AE+A'D,

二點E,A,,。三點共線，

ZA=90°,

:.ZFA'E=ZFA'D=90°,

設AF=x,則A'b=x,FD=4?-*，

在RtE4'D中，A!Dr+A!F-=DF2

42+X2=(4^-^)2,

解得：x=屈,

AF=V2;

②當AO=AC時，如圖:

AD=AC，

???點A在線段CD的垂直平分線上，

???點4在線段AB的垂直平分線上，

點E是A5的中點，

￡A'是A5的垂直平分線，

\7AEA090?,

「將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A￡F,

ZA=ZEA'F=90°,AF=FA,

二四邊形AEAN是正方形，

:.AF^AE=2-,

③當AC=DC時，連接召C,FC,如圖：

點E是A3的中點，AB=4,BC=AD=46,四邊形ABC。

是矩形，

:.BE=2,2B90?,

:.CE=y/BE2+BC2=6，

將△AEF沿EF所在直線翻折，得到AAEF,

:.AE=AE=2,

AC=DC=AB=4,

,-.CE=6=AE+AC,

.,.點E,A',C三點共線，

ZA=90°,

:.ZFA'E=ZFA'C=90°,

T^AF=X,則A/=X,FD=4逝-x，

在RtE4'C中，A'caA'T^=R?2,

在RtADPC中，F(xiàn)D2+DC2=FC2,

.-.AC2+AF2=FD2+DC2,

即42+X2=(45/2-X)2+42,

解得：尤=2立，

AF=2忘;

綜上所述，AF的長為夜或2或2近，

故答案為：萬或2或2啦.

【點睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定

和性質(zhì)，分類討論思想的運用是解題的關鍵.

10.20+2

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊問題.由矩形的性質(zhì)推出相＞〃3C,ZC=90°,由平

行線的性質(zhì)推出=由折疊的性質(zhì)得到NEaD=ND3C,NE=NC=90。，

BE=BC,ED=DC=2,DG=DE,NG=NE,判定推出ZEZ)G=90。，判

定四邊形EFG￡＞是正方形，得到_函是等腰直角三角形，求出FD=?ED=2血,據(jù)此求

解即可得到AO的長.

【詳解】解：：四邊形ABC。是矩形，

AAD//BC,ZC=90°,

NFDB=NDBC,

由折疊的性質(zhì)得到：ZFBD=ZDBC,/E=NC=90。，BE=BC,ED=DC=2,DG=DE,

2G=NE,

：.NFDB=ZFBD,

，F(xiàn)B=FD,

,/80平分/AUG,

NBDG=NFDB,

：.ZBDG=ZFBD,

：.GD//BF,

：.ZEDG+ZE=180°,

.??ZEDG=90°,

?/NG=NE=90。,

二四邊形是矩形，

?/ED=DG,

四邊形EfGD是正方形，

；?EFD是等腰直角三角形，

FD=?ED=2&，

FB=FD=2直,

BE=FB+EF=2yf2+2.

AD=BC=BE=2y/2+2.

故答案為：2應+2.

11.7

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識點，過點A作

AFLCD,交C。的延長線于點R由題意可證ABE%ADF,可得=DF=BE,

則可證四邊形AEC尸是正方形，進而即可求，熟練運用全等三角形的判定和性質(zhì)，合理添加

輔助線是解決此題的關鍵.

【詳解】過點A作A尸LCD,交CO的延長線于點孔

VZBAD=ZC=90°,AE±BC,AF±CD,

...四邊形AEC歹是矩形，

ZEAF=90°,

?/ZS4D=90°,

ZBAE+ZDAE=90°,Z.DAF+NDAE=90°,

/.ZBAE=ZDAF,

XVAB^AD,ZF=ZAEB=90°,

?.AD&ABE(AAS),

AAF=AE,DF=BE,

...四邊形AECP是正方形.

:.CE=CF=5,

?/CD=3,

：.DF=CF-CD=5-3=2=BE,

：.BC=CE+BE=5+2=1,

故答案為：7.

12.26

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，過A作好'〃初，使=過尸

作交A8于G,加，BC交BC延長線于H,連接RVf,FE,FB,即可得至U4vMp

是平行四邊形，RGB”是正方形，則4V+ME=RW+ME2￡F,當“在EP上時，AN+ME

取最小值，最小值為跖的長，再根據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】解：過A作詼〃初，使=過尸作/AB交48于G,FHLBC交BC

延長線于H,連接FM,FE,FB,

,/邊長為4的正方形ABCD,

AD=CD=BC=AB=4,ZABC=90°,ZABD=45°,

BD=VAC2+AB2=472，

：.MN=-BD=2y[2,

2

'：AF〃BD,使AF=MN,

...四邊形⑷VMF是平行四邊形，ZABD=ZFAB=45°,

：.AN=FM,MN=AF=2E

???AN+ME=FM+MENEF,

???當M在所上時，AN+M石取最小值，最小值為所的長，

??,點E為邊5C的中點，

???BE=-BC=2,

2

■:FG1AB,

：.NAGr=90。，

???ZGFA=ZFAB=45°,

：.AG=FG,

AF=2V2，

???AG=FG=2,

：.BG=AB—AG=2=FG,

V77/IBC,

???ZH=ZABH=ZFGB=90°,

???四邊形FGBH是正方形，

:.FH=BH=BG=2,

：.HE=BH+BE=2+2=4,

EF='FH2+EF2々22+42=2行,

???AN+VE的最小值為2百，

故答案為：2下.

13.(1)見解析

(2)(I)—=(II)見解析

DE5

【分析】(1)過點E作ENLBC于點M,ENLCD干點、N,先根據(jù)正方形的性質(zhì)證明四邊

形EMCN是矩形，進一步證明上￡MF凡硒D,可得EF=DE,再根據(jù)正方形的判定，即可

得證；

(2)(I)如圖，過點E作5c于點M,ENLCD于■點、N,證明AMEFS,NE。，根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)以及正切的定義，即可求解；

(II)連接。H,BE,證明DAE四BCH(ASA)得出DE=BH,進而得出3"=FG,即可

得證.

【詳解】（1）證明：如圖，過點E作石5c于點EN上CD于點、N,

圖1

/.ZBCD=90°,ZACB=ZACD,

???四邊形EMCN是矩形，

:.ZMEN=90°,

:.ZMEF+/FEN=9伊,

.EMLBC,EN【CD,ZACB=ZACD,

:.EM=EN,

EFLDE,

:./FEN+ZNED=9U,

:.ZMEF=ANED,

/EMF=/END=9伊,

:.一EMF/_END(ASA),

:.EF=DE,

四邊形DEFG是矩形，

矩形廠G是正方形；

(2)解：(I)如圖，過點片作加,雨：于點EN上CD于點N,

.??四邊形￡MQV是矩形，

:.ZMEN=90°,NE=MC

..ZMEF+/FEN=90。，

EF±DE,

:"FEN+/NED=90。，

:.ZMEF=ANED,

NEMF=/END=90。,

MEFsNED

又生=5

AB3

EFME3

DE~EN5

???ZEFG=90°

：.NEFB+NGFC=90°

又ZEFB+ZMEF=90°

：.ZMEF=ZGFC

又,：BH〃FG

：.ZGFC=ZHBF

：.ZHBC=ZMEF

■:ZMEF=/NED

又??,AD〃E7V

:.ZADE=ZDEN

：.ZADE=ZCBH

'：AD//CB

：.NDAE=NBCH

XVAD=BC

：.,DAE學rBCH(AS0

/.DE=BH,

?/ED=FG

：.BH=FG

，四邊形BFGH是平行四邊形.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，全等三角形的

性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

14.（1）6

⑵2

（3）25/34-6

【分析】（1）根據(jù)矩形，折疊的性質(zhì)可證四邊形砂是正方形，即可求解；

（2）根據(jù)折疊得到AB吟EBP,在吊中運用勾股定理得到CE=，3C2一防2=8,

設AP=￡P=x,貝!|DP=AD-AP=10—x,CP=CE+PE=8+x,在RfCDP中運用勾股定

理得到CP-=CD-+DP2,即可求解；

（3）根據(jù)題意可得，點尸在AZ）上運動時，點E在以點3為圓心，以54為半徑的圓弧上運

動，當點瓦瓦。三點共線時，DE的值最小，如圖所示，在咫ABD中運用勾股定理得到

BD7AB2+AD）=2取,由=3E即可求解.

【詳解】（1）解：：四邊形ABC。是矩形，

/.ABCD,ADBC,AB=CD=6,AD=BC=10,ZA=ZABC=ZBCD=NCZM=90。，

:將.ABP沿著直線3尸折疊得到△EBP,點E在BC邊上，

/.AP=EP,BA=BE,ZA=NBEP=90°,

ZA=ZABE=ZBEP=90°,

，四邊形ABEP是矩形，且=

，矩形ABEP是正方形，

，AP=AB=6,

故答案為：6；

（2）解：：折疊，點P、E、C三點在同一直線上，

,ABP^EBP,

AP=EP,AB=EB=6,AA=NBEP=90°,

：.ZBEC=90°f

在MBCE中，CE=4BC--BE1=71(?-62=8-

^AP=EP=x,則OP=AD—AP=10—x,CP=CE+PE=8+x,

在用CDP中，CP2=CD1+DP2,

：.(8+%)2=62+(10-%)2,

解得，x=2,

尸的長為2；

(3)解：：折疊，

:._ABP^EBP,

：.AB=EB,/BAP=/BEP=90°,

，點尸在AO上運動時，點E在以點3為圓心，以54為半徑的圓弧上運動,

當點民己￡＞三點共線時，OE的值最小，如圖所示，

在拉A即中，BD=ylAB2+AD2=V62+102=2A/34>

DE=BD-BE=2宿-6,

；?線段DE的最小值為(2衣-6).

【點睛】本題主要考查矩形與折疊的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理求線段長，最短路徑的計算方法，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關鍵.

15.⑴見解析

(2)AG=42BE，理由見解析

(3)BC=6A/5

【分析】(1)由GELBC,GF1CD,結(jié)合/BCD=90?？傻盟倪呅蜟EGP是矩形，再由

ZECG=45°,即可得證;

(2)連接CG,只需證△ACGs^gCE即可得;

證一々得生=里AH

(3)TGs’C/M――,設BC=CD=AZ)=a,知AC=J^zz,由

ACAHCrz

梨=爛得DH="CH=叵。,由半=券可得。的值，即可求得BC的

ACAH333ACCH

值.

【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，

:.ZBCD=90°,ZBCA^45°,

GE±BC,GFA.CD,

ZCEG=ZCFG=ZECF=90°,

四邊形CEGF是矩形，

VZECG=45°,ZGEC=90°,

CEG為等腰直角三角形，

:.EG=EC,

，四邊形CEGP是正方形；

（2）解：AG=41BE>

理由如下：如圖，連接GC,

:四邊形ABC。是正方形，四邊形CEGF是正方形，則AB=3C,EG=CE,

AC=y/BC2+AB2=41BC，GC=^EG-+EC1=41EC-4cB=NGCE=45。,

則ZBCE+ZACE=ZACG+AEC=45°,

:.ZBCE=ZACG,—=V2=—,

BCCE

AGCs二BEC,

;坐=阻=屈,

BEBC

AG=yflBE;

(3)解：：四邊形CEGF是正方形，

NCEF=45°,

NCEF=45。，點、B、E、F三點共線,

:.ZBEC=135°,

ACGS-BCE,

..ZAGC=ZBEC=135°,

ZAGH=ZCAH=45°,

,ZCHA=ZAHGf

AHGs-CHA,

AGGHAH

*AC-AH-CH?

設5C=CD=AD=〃，則4。=缶,

則由槳=GH/曰124近

——，得一^=^—

ACAH缶AH

21

:.AH=^a,貝!|OH=AO-AH=§a,

22

CH=y/CD+DH=卜+[.=半a,

2

1c一a

.由旭_史￡得

?,由ACCH后也a410

-----a

3

解得：a=6-j5,即BC=66.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的綜合題，正方形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定

理，解題的關鍵是掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.

16.⑴證明見解析；

⑵①的面積為(指+1)〃?；②4+20.

【分析】(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ACEZA3CH根據(jù)性質(zhì)得NCM=NC4E,又

ZCAE+ZAOC=90°,NBOH=ZAOC,則/CBF+/3OH=90。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定

理即可求證；

(2)①如圖，過C作即于點過C作。VLAH,交延長線于點N,證明

四邊形CMHN是矩形，通過性質(zhì)證明ACNtBCW(AAS),則四邊形CMHN是正方形，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△ACEZABCF,ZACB=90°,則/ACE=N8CF=15°,AE=BF=m,

AC=BC,可求出NABa=30。，然后利用30。角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得

AH=^AB=4,BH=6AH,從而求出CM=HN=48+4V=2+26，最后用面積公

式即可求解;

②取A3中點T,連接“入PT,分別求出=PT=3BC=2枝,則有

22

PH4HT+PT,即尸HW4+20，當“、T、P三點共線時，尸”有最大值4+2近.

【詳解】（1）證明：設AH與BC交于點0,

??,將ZXACE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到V5B,

Z\ACE^Z\BCF,

???ZCBF=ZCAE,

?.?ZCAE-^-ZAOC=90°,Z.BOH=ZAOC,

：./CBF+ZBOH=900,

：./OHB=90。,

:.AH±BF；

(2)解：①如圖，過。作于點M,過。作CNLAH,交E4延長線于點N,

???四邊形是矩形，

：.ZMCN=90°,

9：NAC5=90。，

???ZACN+ZACM=ZACM+/BCM=90°,

???ZACN=NBCM,

：.AC/V^BCM(AAS),

：?CM=CN,AN=BM,

???四邊形。是正方形，

：.CM=HN=HM=AH+ANf

：.BH=HM+BM=AH+AN+AN=AH+2AN,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AACE^ABCF,ZACB=90°,

：.ZACE=ZBCF=15°fAE=BF=m,AC=BC,

,//BFC=60。,

:.ZAffiC=75°,

VZACB=90°,AC=BC,

：.ZABC=ZACB=45°,

：.ZABH=30°f

由（1）得：AH±BF,

：.ZAHB=90°,

AH=-AB=4,

2

由勾股定理得：BH=^AH,

：.AH+2AN=y/3AH,即4+2AN=45

AN=2石-2,

CM=HN=AH+AN=4+2y/3-2=2+2y/3,

???VBCF的面積為方xCM=g加x（20+2）=（若+1）加；

②如圖，取AB中點T,連接HT、PT,

AC=BC=AC，

：.ABAC=45°f

由（1）得：AH±BF,

：.ZAHB=90°,

HT=-AB=4,

2

:點尸為AC邊的中點，

/.PT=-BC=2y/2,

2

,/PH<HT+FT,

PH44+2應，

當“、T、P三點共線時，PH有最大值4+20,

故答案為：4+26.

【點睛】本題主要考查了30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，矩

形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的中

位線性質(zhì)以及直角三角形的斜邊上中線等于斜邊的一半等知識，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題

的關鍵.

17.(1)見解析

⑵,療+]

m

32

⑶至

【分析】(1)作交D4的延長線于點G,由題意得四邊形ABCD是正方形，可推

出.GDH是等腰直角三角形；證VAHGmKHD,得AG=QK,即可求證；

(2)作交D4的延長線于點R,證VAHRSVKHD得AH:KH=EH:FH,可再證

YAHKKRHD得ZHAK=ZR=ZBDC=ZABD,最后證VAHK—BW得

AK:HK=BD:AD,即可求解；

(3)作CQJLBH,ST，CO,易得四邊形CBST是矩形，可證VCOQsVBCQsVBOCsv/ffiS,

根據(jù)機=；推出8<7:8:即=1:3:亞是解題關鍵.

【詳解】(1)證明：作交D4的延長線于點G,如圖所示:

*.*zn=1,

AD=AB,

???四邊形ABC。是正方形，

???ZADH=ZHDK=45°,

■:GHLDH,

???NG=45。，

???GDH是等腰直角三角形，

???HG=HD,

■:HKLAH.GHVDH,

：.ZGHD=ZAHK=90°,

:.ZAHG=ZKHDf

：.VAHG^VKHD,

AG=DK,

?*-DA+DK=DA+AG=DG=叵DH

（2）解：作位交。4的延長線于點R