漸開(kāi)線(xiàn)導(dǎo)學(xué)案

課題漸開(kāi)線(xiàn)與擺線(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程,了解擺線(xiàn)的生成過(guò)程及它的參數(shù)方程.2.學(xué)習(xí)用向量知識(shí)推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)的方法和步驟重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程，擺線(xiàn)的參數(shù)方程學(xué)習(xí)難點(diǎn)：用向量知識(shí)推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)的方法導(dǎo)學(xué)過(guò)程備注知識(shí)回顧1復(fù)習(xí)：圓的參數(shù)方程探究：把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開(kāi)，那么鉛筆會(huì)畫(huà)出一條曲線(xiàn)。這條曲線(xiàn)的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？動(dòng)點(diǎn)（筆尖）滿(mǎn)足什么幾何條件？我們可以把一條沒(méi)有彈性的繩子繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一枝鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開(kāi)，那么鉛筆畫(huà)出的曲線(xiàn)就是圓的漸開(kāi)線(xiàn)，相應(yīng)的定圓叫做基圓(如右圖).也可以使用計(jì)算機(jī)在軟件中進(jìn)行模擬漸開(kāi)線(xiàn)的圖象.通過(guò)模擬中的動(dòng)態(tài)過(guò)程理解漸開(kāi)線(xiàn)的形狀和形成原理,加深對(duì)漸開(kāi)線(xiàn)概念和含義的理解.其實(shí)質(zhì)就是直線(xiàn)在圓上滾動(dòng)時(shí)直線(xiàn)上定點(diǎn)的軌跡.二、擺線(xiàn)的概念和產(chǎn)生過(guò)程圓的擺線(xiàn)就是一個(gè)圓沿著一條定直線(xiàn)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡.我們可以在自行車(chē)輪子上噴一個(gè)白色的印記，觀(guān)察自行車(chē)在筆直的道路上運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的軌跡來(lái)理解圓的擺線(xiàn)，也可以借助教具或計(jì)算機(jī)軟件，觀(guān)察圓在直線(xiàn)上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡.圓的擺線(xiàn)又叫旋輪線(xiàn).三、圓的漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的參數(shù)方程對(duì)于圓的漸開(kāi)線(xiàn)，我們以基圓圓心O為原點(diǎn)，一條直徑所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件和向量的有關(guān)性質(zhì)可以得到圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).同樣道理，根據(jù)擺線(xiàn)上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，取定直線(xiàn)為x軸，動(dòng)點(diǎn)的其中一個(gè)位置為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何知識(shí)可得圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).四、圓的漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的參數(shù)方程中的參數(shù)φ的幾何意義根據(jù)漸開(kāi)線(xiàn)的定義和求解參數(shù)方程的過(guò)程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn)M相對(duì)于圓心的張角.如圖（1），其中的∠AOB即是角φ.顯然點(diǎn)M由參數(shù)φ唯一確定.在我們解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)單.同樣，根據(jù)圓的擺線(xiàn)的定義和建立參數(shù)方程的過(guò)程可知其中的字母r是指定圓的半徑，它決定了擺線(xiàn)的某方面的大小情況.參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開(kāi)的角度大小.如圖（2），根據(jù)參數(shù)的幾何意義也可以在解決問(wèn)題中加以引用，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.當(dāng)然這個(gè)幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其取值的具體情況.(1)(2)五、用參數(shù)方程描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特點(diǎn)有些重要但較復(fù)雜的曲線(xiàn)(例如圓的漸開(kāi)線(xiàn))，建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既復(fù)雜又不易理解，從普通方程看不出曲線(xiàn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足條件的含義.如圓的漸開(kāi)線(xiàn)的普通方程，可以根據(jù)其參數(shù)方程(φ為參數(shù))消去參數(shù)φ得到根據(jù)方程畫(huà)出曲線(xiàn)十分費(fèi)時(shí)，而利用參數(shù)方程把兩個(gè)變量x、y間接地聯(lián)系起來(lái)，常常比較容易，方程簡(jiǎn)單明確，且畫(huà)圖也不太困難.對(duì)于參數(shù)方程，我們可以根據(jù)參數(shù)的取值求出坐標(biāo)的關(guān)系，相比之下比普通方程更為直觀(guān).所以，在研究圓的漸開(kāi)線(xiàn)和圓的擺線(xiàn)時(shí)主要使用參數(shù)方程，而不去討論其普通方程.1.圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程是(φ是參數(shù)).2.圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程是(t是參數(shù)).3.圓的擺線(xiàn)就是一個(gè)圓沿著一條定直線(xiàn)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡.4.我們可以把一條沒(méi)有彈性的繩子繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開(kāi)，那么鉛筆畫(huà)出的曲線(xiàn)就是圓的漸開(kāi)線(xiàn)，相應(yīng)的定圓叫做基圓(如圖).重難突破例1．給出某漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程(φ為參數(shù)),根據(jù)參數(shù)方程可以看出該漸開(kāi)線(xiàn)的基圓半徑是_________,且當(dāng)參數(shù)φ取時(shí),對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______.例2求半徑為4的圓的漸開(kāi)線(xiàn)參數(shù)方程變式訓(xùn)練1當(dāng)，時(shí)，求圓漸開(kāi)線(xiàn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B坐標(biāo)并求出A、B間的距離。變式訓(xùn)練2求圓的漸開(kāi)線(xiàn)上當(dāng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)。例3求半徑為2的圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程變式訓(xùn)練3求擺線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)當(dāng)堂檢測(cè)1.關(guān)于漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的敘述,正確的是()A.只有圓才有漸開(kāi)線(xiàn)B.漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開(kāi)線(xiàn)D.對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同，畫(huà)出的漸開(kāi)線(xiàn)形狀就不同2.給出下列說(shuō)法：①圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程;②圓的漸開(kāi)線(xiàn)也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開(kāi)線(xiàn)問(wèn)題;③在求圓的擺線(xiàn)和漸開(kāi)線(xiàn)方程時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程;④圓的漸開(kāi)線(xiàn)和x軸一定有交點(diǎn)而且是唯一的交點(diǎn).其中正確的說(shuō)法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④3.已知圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開(kāi)線(xiàn)對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是____________，當(dāng)參數(shù)φ=時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.4.我們知道關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(xiàn)(φ為參數(shù))關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)的參數(shù)方程為_(kāi)____________-.5.已知一個(gè)圓的擺線(xiàn)方程是(φ為參數(shù))，求該圓