2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓與四邊形綜合》專項檢測卷（附答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓與四邊形綜合》專項檢測卷附答案

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1.如圖，在矩形438中，AD=8,直線OE交直線A3于點(diǎn)E,交直線3C于點(diǎn)RAE=6.

⑴若點(diǎn)尸是邊AD上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)4。重合），PHLDE于點(diǎn)、H,設(shè)。P為x,四邊

形AEHP的面積為“試求y與尤的函數(shù)解析式.

（2）若AE=2EB,

①求圓心在直線8C上，且與直線OE,都相切的.。的半徑長.

②圓心在直線BC上，且與直線DE及矩形ABCD的某一邊所在直線都相切的圓共有多少個?

（直接寫出滿足條件的圓的個數(shù)即可）

2.如圖，VABC內(nèi)接于10,A5為。的直徑，CD=BC:.連接曲BD,CELDA,交

DA延長線于點(diǎn)E.

00

DD

片用圖

⑴證明：AC平分NE4B；

⑵若CD平分NACB,

①當(dāng)AB=4時，求AE的長；

②設(shè)AC=x,BC=y,直接寫出y與尤的函數(shù)關(guān)系式.

3.點(diǎn)A,M,N在。上，將沿"N折疊后，與AM交于3.

⑴若/MAN=70。，求ZA7VB的度數(shù).

(2)如圖，點(diǎn)B恰是翻折所得的中點(diǎn)，若MA=MN,求/AAW的度數(shù).

4.已知：如圖，)。過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B,且與CD邊相切于點(diǎn)E.點(diǎn)廠是與

O的交點(diǎn)，連接02,O/，■，點(diǎn)G是AB延長線上一點(diǎn)，連接尸G,且ZG+^-ZBOF=90°.

2

⑴求證：FG是。的切線；

(2)如果正方形邊長為2,求BG的長.

5.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O,ZB=ZD.

⑴求證：AD2+DC2=AC2;

(2)如圖2,在線段0cBe上分別取點(diǎn)G,H,連接AG并延長交，。于點(diǎn)E,連接A"并延

長，交。于點(diǎn)尸，連接跖，當(dāng)ZE4F=45。時，求證：ACfEF;

(3)在(2)的條件下，當(dāng)ABDC時，若DG=BH,CG=8,HC=9,求EG的長.

6.如圖，DE是。。的直徑，過。作。。的切線AD,點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，四邊形BC0E是

平行四邊形.

E

DCA

(1)求證：8C是。。的切線；

(2)已知。。的半徑為1,求圖中弧血、AD.AB所圍成的陰影部分的面積.

7.已知，AB為。的直徑，弦與交于點(diǎn)E,點(diǎn)A為弧C。的中點(diǎn).

(1)如圖1,求證：ABLCD-,

(2)如圖2,點(diǎn)F為弧BC上一點(diǎn)，連接8尸，BD,NFBA=2ZDBA,過點(diǎn)C作CG〃AB交即

于點(diǎn)G,求證：CG=^AB.

(3汝口圖3,在(2)的條件下，連接。/交OE于點(diǎn)L連接LG,若FG=4,tan/GLB=亙,

3

求線段L尸的長.

8.己知。為VABC的外接圓，。的半徑為6.

(1)如圖，是；。的直徑，點(diǎn)C是A8的中點(diǎn).

①尺規(guī)作圖：作-ACB的角平分線C。，交。于點(diǎn)O,連接8。(保留作圖痕跡，不寫作

法)：

②求50的長度.

⑵如圖，是。，。的非直徑弦，點(diǎn)C在A8上運(yùn)動，400=400=60。，點(diǎn)C在運(yùn)動的

過程中，四邊形4汨C的面積是否存在最大值，若存在，請求出這個最大值；若不存在，

請說明理由.

9.如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形ABC中AC邊上的動點(diǎn)(0o</AfiP<30。)，作的外接

圓交于點(diǎn)D.點(diǎn)E是圓上一點(diǎn)，且PD=PE，連結(jié)OE交3P于點(diǎn)斤.

(1)求證：ZADE=ZBEC；

⑵當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動時，N8FD的度數(shù)是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求乙即D的度

數(shù).

10.如圖①，矩形ABCD與以EF為直徑的半圓。在直線/的上方，線段AB與點(diǎn)從廠都在

直線/上，且AB=7,EF=10,國>5.點(diǎn)8以1個單位/秒的速度從點(diǎn)E處出發(fā)，沿射線跖

方向運(yùn)動，矩形隨之運(yùn)動，運(yùn)動時間為f秒.

圖①圖②圖③

(1)如圖②，當(dāng)f=2.5時，求半圓。在矩形ABCD內(nèi)的弧的長度；

(2)在點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，當(dāng)AD、BC都與半圓。相交時，設(shè)這兩個交點(diǎn)為G、H.連接OG、

OH,若NGO”為直角，求此時f的值.

(3)當(dāng)矩形ABC。為正方形時，連接AC,在點(diǎn)8運(yùn)動的過程中，若直線AC與半圓只有一個

交點(diǎn)，貝卜的取值范圍是

11.如圖1,直角坐標(biāo)系中，為第一象限的角平分線，48,0),3(0,6),點(diǎn)P為上

一動點(diǎn)，。為y軸上一動點(diǎn)，AP=0Q,以尸。為直徑的圓與。7相交于點(diǎn)C.

⑵求證：CP=CQ；

(3)判斷。尸、。。、0C之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

(4)如圖2,將題設(shè)條件“游二8”更換為“&=6"，以尸。為直徑的圓與4B相交于M、N

兩點(diǎn)，則的最大值為.

12.如圖，已知AB是。。中一條固定的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧ACB上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)C不與A、

8重合).

⑴如圖1,COLAS于。，交。。于點(diǎn)N,求證：ZACO=NBCD.

(2)如圖2,設(shè)AB=8,。。半徑為5,若CE平分/4CB,交。。于點(diǎn)E,四邊形ACBE的

面積是否是定值？若是定值，求出這個定值，若不是定值，求出四邊形ACBE面積的取值范

圍.

13.在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿48邊向點(diǎn)8以每秒

1cm的速度移動，同時點(diǎn)0從點(diǎn)8出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動P、Q兩點(diǎn)在

分別到達(dá)氏C兩點(diǎn)后就停止移動，設(shè)兩點(diǎn)移動的時間為f秒，回答下列問題：

3

(2)如圖2,當(dāng)t=1?秒時，試判斷VDPQ的形狀，并說明理由；

⑶如圖3,以。為圓心，尸。為半徑作Q.

①在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的r值，使。正好與四邊形。尸的一邊(或邊所在的直

線)相切？若存在，求出"直；若不存在，請說明理由；

②若(。與四邊形。PQC有三個公共點(diǎn)，請直接寫出/的取值范圍.

14.如圖1,四邊形A8CZ)內(nèi)接于ZBAZ)+2ZACZ)=180°,連接AC,BD.

(2)如圖2,3。是直徑.

①已知8C=&,AC=2&+1,求。。的半徑；

②如圖3,連接OC,若。C〃AB,AC與相交于E點(diǎn)，求的值.

15.已知AB為C。直徑，弦C。(不是直徑)交于反，CB=DB-

（2）如圖2,E為A。上一點(diǎn)，連接CE并延長CE交。于點(diǎn)G,連接。G,BN±CG,垂足

為N,求證：GN—DG=CN；

⑶如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)F在C。延長線上,DH=2DF,ZC+2ZF=90°,若C。

3

半徑為5.CN、，求線段NG的長.

參考答案

6

1.(1)y—24—x9(0<x<8)

3

⑵①滿足條件的。的半徑長為|■或6；②6個

【分析】（1）根據(jù)題意，過點(diǎn)尸作尸印于點(diǎn)進(jìn)而得出s/X",即可求出

43

DH=-x,PH=-x,利用y=S9ED-S^PHD求出即可;

（2）①分別利用若。與直線OE,A3都相切，且圓心。]在A8的左側(cè)，過點(diǎn)。?作

O￡工DF于點(diǎn)G],則可設(shè)O￡=O出=/1,根據(jù)SEDiF+SEBOi=SEBE即可得出答案，若O2

與直線DE,A3都相切，且圓心儀在A3的右側(cè)，過點(diǎn)。2作。2G2，。尸于點(diǎn)G2,則可設(shè)

02G2=CB=4，根據(jù)+SfBO、=SgBF求出即可；②利用圖形分析得出所有的可能即

可

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)P作尸//_L￡＞產(chǎn)于點(diǎn)H.

AP

在RtAE￡)中，AE=6,AD=8,

FBC

』助=加.日243加

ZPHD=ZEAD=90°,/PDH=7FDA,

:ZHDs^EAD，

.x_PHPH

43

:.DH=-x,PH=-x

55f

1692

:.SAPHD=-DHPH=—X,

62

=-X

'''y=^/\AED~^APHD^25(0<x<8).

(2)解：①ADBC,

:.AEBF^AEAD.

.EFBFBE

'^ED~AD~~AE~21

:.EF=5,BF=4,BE=3,

如下圖，若。1與直線DE,A5都相切，且圓心。1在A3的左側(cè)，過點(diǎn)。?作尸于

點(diǎn)

則可設(shè)QG]=

?S4ED[F+S叢EBO\=^/XEBF9

1,1c1…

—rx5+—rx3=—x3x4,

21212

3

解得彳=萬；

若（Q與直線AB都相切，且圓心。2在的右側(cè)，過點(diǎn)儀作。2G2，。尸于點(diǎn)G2,如

下圖:

則可設(shè)QG?=QB=0,

=x

^AFO2D_FC)?DC=-DFxO2G2,

；x(4+r,)義(6+3)=；x(10+5)x%,

3

解得4=6.綜上，滿足條件的。的半徑長為三或6

2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,

利用分類討論得出是解題關(guān)鍵.

2.（1）見解析

⑵①2-&；②y=（&+l卜

【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知NC4E=NCBE>,根據(jù)等弧或同弧所對圓周角相等

得到NCDB=NCBD,NCDB=NCAB,則有NC4B=NC4E,由此即可求解；

（2）①如圖，作CF_LAB,垂足為R，可證RtCE&RtCK4（HL）,得至！=再證

一CED"CFB（AAS）,得到BF=DE,則AB=BF+AF=DE+AE=AD+AE+AE,根據(jù)AB

為<。的直徑，8平分/ACS,得到=在RtZXAOB中，由勾股定理得到AD=20,

代入計算即可求解；

②根據(jù)AB為。的直徑，CD平分NACB,得至UNACD=/BCD=45°,AD=BD,

CD=CB=y,如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)過點(diǎn)8作BN,CZ）于點(diǎn)N,貝U

△ACM,ABCN都是等腰直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的計算得到

CM=J^AC=^x,CN=^BC=J^y,再證明Rt.ADM絲Rt￡?N（AAS）,得到

AM=DN,CM=DN=與x,由CD=CN+DN=CN+CM,得到*了+［天二〉即可求

解.

【詳解】（1）證明：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知NC4T>+NCBD=180。，

又：ZG4D+ZC4E=180°,

:.NCAE=NCBD,

,?*CD=BC，

：./CDB=/CBD,

BC=BC，

：./CDB=NCAB,

:./CAB=/CBD,

：.ZCAB=ZCAEf

???AC平分NE4B；

(2)解：①如圖，作C尸，AB,垂足為尸,

VCELDA,AC平分SW(已證)，

???CE=CF,ZCED=ZCFB=90°,

在RtZXCEA與RtaCE4中，AC=AC,CE=CF,

：.Rt_CE40RtCE4(HL),

???AF=AE,

在ACED與CFB中，CE=CF,ZCED=ZCFB=90°,ZCDE=ZCBF,

???LCED均CFB(AAS),

***BF=DE,

TAB為。的直徑，

???ZACB=ZADB=90°,

丁CD平分/ACS,

???ZACD=ZBCD=45°f

：.ZBAD=ZABD=45°,

***AD=BD,

在RtZW)3中，AD2+BD2=AB2,AB=4,

??AD-2-\/2，

VAB=BF+AF=DE+AE=AD+AE+AE,即2行+2AE=4,

AE=2-血;

②;AB為。的直徑，

???ZACB=ZADB=90°,

???CO平分NAC6,

AZACD=ZBCD=45°,AD=BD,

,:CD=CB，

:.CD=CB=y,

如圖所示，過點(diǎn)A作A",CO于點(diǎn)M,過點(diǎn)5作于點(diǎn)N,

???ZCAM=90°-ZACM=45°,ZCBN=90°-ZBCN=45°,

???AACMA5CN都是等腰直角三角形，

,**cosZACM=cos450=,cosNBCN=cos45°=,AC=x,BC=y,

AC2BC2

：.CM=^AC=—x,CN=—BC=-y,

2222

ZAMD=ZADB=ZBND=90°.

：.ZADM=90°-ADAM=90°-ZBDN,

:.ADAM=ZBDN,

在RtAADM和RADBN中，

ADAM=ZBDN

</AMD=/DNB=90。,

AD=DB

ARtGBN(AAS),

???AM=DN,

/.CM=DN=—x,

2

ACD=CN+DN=CN+CM,即也y+正x=y,

2-2

解得，y=(V2+l)x.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧或等弧所對圓周角相等，直徑或半圓所對

圓周角為直徑，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，銳角三角函數(shù)的計算等知

識的綜合運(yùn)用，掌握圓與四邊形，三角形的綜合運(yùn)用，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

3.(1)40°

(2)36°

【分析】本題是圓的綜合題目，考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，

折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等

腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)將或y還原后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為連接UM、B'N,貝！|ZB'=ZMBN,ZB'+ZMAN=180°,

求出4ffiN=ZB，=110。，由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案；

(2)由(1)得NMBN=NB，,證出=由等腰三角形的性質(zhì)得出,

NMAN=NANM,設(shè)ZBMN=ZBNM=x,貝!|ZMW==ZABN=2x,在.AACV中，由

三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可；

【詳解】(1)解：將贏還原后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為8',連接笈加、B'N,如圖所示：

貝=ZB'+ZMAN=1SO°,

ZMBN=ZB'=180°-70°=110°,

.-.ZANB=ZMBN-ZMAN=110°-10°=40°；

(2)(2)由(1)得ZMBN=ZB1,

ZMBN+ZABN=1SO°,ZB'+ZMAN=180°,

:.ZABN=ZMAN,

點(diǎn)3是翻折所得立N的中點(diǎn)，

BM=BN,

:.ZBMN=ZBNM,

MA=MN,

.'.ZMAN=ZANM,

設(shè)ZAMN=ZBNM=x,則NMW=NAAM=NABN=2x,

在-4WN中，由三角形內(nèi)角和定理得：x+2x+2x=180。,

解得x=36。，

即NAACV=36。.

圖1

4.（1）見解析

⑵2

8

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）連接OE,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OEL8,過。作于推出四邊形OES

是矩形，得到3〃=FH,求得OH=CE,CH=OE,根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：四邊形A5CD是正方形，

=90°,

,川是。的直徑，

OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

又ZBOF=ZOAB+ZOBA,

ZOAB=-ZBOF,

2

ZG+-ZBOF=90°,

2

ZOAB^ZG=90°,

，ZAFG=90。，

??FG是。的切線;

(2)解:連接OE,

CO是。的切線，

???OELCD,

過。作O”13c于

則四邊形OECH是矩形，BH=FH,

OH=CE,CH=OE,

AO=OF,

OH是ZVIS尸的中位線，

OH^-AB=1,

2

設(shè)OB=OE=CH=r，

，BH=BC—CH=2—r,

OB2=BH2-^OH\

222

r=(2-r)+l,

5

??F=——,

4

AF=~,BF=2BH=2x\2--\=-,

2I4j2

ZABF=ZFBG=ZAFG=90°,

ZBAF+ZAFB=ZAFB+NBFG=9。。,

ZBAF=NBFG,

「?ABFsjBG,

.ABBF

,,一,

BFBG

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，三角形的中

位線定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識并正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.(1)見解析

(2)見解析

小16后

29

【分析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，結(jié)合已知條件得到ZB=ZD=90。，則由勾股定理

可證明m+OC=AC?;

(2)連接OE、OF,根據(jù)圓周角定理得到NE1。尸=90。，再證明AC是。的直徑，則由勾

股定理可證明AC=A/5EF;

(3)在AD上取一點(diǎn)M使DM=OG,在A8上取一點(diǎn)N使=，連接EC.貝。MDG

和是等腰直角三角形.設(shè)DG為a,則DM=DG=a,BN=BH=a,進(jìn)一步得到

CB=a+9,DC=a+8,證明四邊形ABCD為矩形，得至!JAD=3C=a+9,AB=DC=a+8,

從而求出AM=9,4V=8,設(shè)=4BAF=。,推出a+尸=45。，再證明

ZAGM=/3,AAHN=a,即可證明△AMgATiMl,利用勾股定理得到MG=NX=缶，

則'空求出4=6,則AG=3j5?,再證明sinNZMEnsinNGCE,即可求出

8y[2a

EG：住

29

【詳解】(1)證明：四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，

,\ZB+ZD=180°f

/B=/D,

:,ZB=ZD=90°f

二.在RtADC中，AD2+CD2=AC\

(2)證明：連接0￡、OF

EF=EF，

/EOF=2ZEAF,

.ZEAF=45°,

:.ZEOF=90°,

Z￡)=90°,

「?AC是:。的直徑,

,\OE=OF=-AC.

2

AC=叵EF;

E

（3）解：在AD上取一點(diǎn)Af使ZM/=OG,在A3上取一點(diǎn)N使=，連接EC.

ZB=Z￡>=90°,

AMDG和ANBH是等腰直角三角形.

「?設(shè)DG為a,

DG=BH,

:.DM=DG=a,BN=BH=a,/DMG=/DGM=/BNH=/BHN=45。，

CG=8,HC=9f

:.CB=BH+HC=a+9,DC=DG+CG=a+8,

AB//CD,ZB=ZD=90°,

二?四邊形ABC。為矩形，

AD=BC=a+9,AB=DC=a+8,

:.AM=AD-DM=9,AN=AB-BN=8,

^ZDAE=a,/BAF=/3,

ZEAF=45°,ZDAB=90°

.?.Z.DAE+ZBAF=ZDAB-ZEAF=45°,

:.a+)3=45°,

ZAGM+ZDAE=ZDMG,ZAHN+ZBAF=ZBNH,

/.ZAGM=[3,AAHN=a,

ZAGM=ZBAF,ZAHN=ZDAE,

.'.AAMG^AHNA,

MGAM

在RtJWDG和中，MD2+DG2=MG2,BN2+BH2=NH2

F/.MG=NH=y/2a

E

.缶_9

,,丁一瓦’

..〃=6,

?.在RtADG中，AD1+DG1=AG1,

/.AG=3A/29,

AC為圓。的直徑，

/.ZAEC=90°,BPZCEG=9Q°

DE=DE，

.\ZGCE=ZDAE=a

sinZDAE=sinZGCE,

.DGEG

,?前一節(jié)‘

.6EG

"3V29"8'

:.EG=卡

29

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三

角形，圓周角定理，矩形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見解析

24

【分析】(1)連接02,由四邊形3cOE是平行四邊形證明四邊形05CD是平行四邊形，再

由AO與圓相切證明四邊形QBCD是矩形即可；

(2)可根據(jù)S陰影—S四邊形05CD+SABC—S扇形。BD進(jìn)行求解.

【詳解】(1)證明：連接。2,

E

.,點(diǎn)O在DE上，OE=OD,

?四邊形3cOE是平行四邊形,

BC//OE,BC=OEf

BC//OD,BC=OD,

，四邊形Q5CD是平行四邊形,

AD與。。相切于點(diǎn)

ZOBC=9Q°,

???四邊形。5CD是矩形,

AZOBC=9Q°,

0B是。。的半徑，且比」03,

「?5C是。。的切線.

(2)解：連接BD,貝!JND班；=90。,

ZABD=180°-ZDBE=90°,

?四邊形O5CD是矩形，OB=OD,

.??四邊形。5CD是正方形,

/.BC=DC=OB=1,ZBOD=ZBCD=90°,

ZADB=ZCBD=45°,

ZA=ZADB=45°,

ZACB=ZADE=90°.

ZCBA=ZA=45°f

AC=BC=1,

S扇形OBD

=lxl+lxlx!-也X?X12

2360°

71

24

.371

???陰影部分的面積為9-f.

24

E

DCA

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定綜合問題和求不規(guī)則圖形的面積，解題的關(guān)鍵是證明直線

與半徑垂直，用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積，利用了平行四邊形、矩形以及正方形的判定和

性.

7.(1)見解析

(2)見解析

(3)6^2

【分析】(1)連接OC,OD,利用等弧所對的圓心角相等得到/AOC=/AOD,再根據(jù)等

腰三角形的三線合一即可證的結(jié)論；

(2)先根據(jù)(1)和圓周角定理證得NAOC=NAOD=2NO￡A,進(jìn)而證得OC〃3G,證明

四邊形O3GC是平行四邊形即可證得結(jié)論；

(3)連接OC,OD,BC,OG,過G作GM_LO3于過。作。K_L止于K,則DK=<FK,

設(shè)ZABC=a,ZABC=ZABD=a,ZAOCZAOD=2a,證明

平行四邊形OBGC是菱形和四邊形CEMG為矩形，得至"GM=CE=DE,再證明

￡>￡L^GMO(ASA),得到“=OG,/DLE=NGOM,進(jìn)而證得四邊形"GO是平行四

邊形，LG=OD,LG//OD,/GLO=NDOL=2a,GL=GB,設(shè)GM=限,則

LM=3x=BM,利用勾股定理可求得OM=2,GM=25,OG=4啦,再利用

cosZ.GOM=cosNFLB,求得LK=y/2即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖1,連接OC,OD,

:點(diǎn)A為弧CD的中點(diǎn)，

***AC=AD，

???ZAOC=ZAODf

?：OC=OD,

：.AB±CD；

(2)證明：如圖2,連接OC,OD,BC,則NAOC=NAOD=2N0BA,

*.*ZFBA=2ZDBA,

：.ZFBA=ZAOC,

：.OC//BG,

'：CG//AB,

???四邊形O5GC是平行四邊形，

CG=OB,又06=346,

CG=-AB；

圖2

(3)解：如圖3,連接OC,OD,BC,OG,過G作GM_LO5于過。作OK_LO尸于

K,則。K=F/G

設(shè)ZABC=cr,則ZABD=cr,ZAOC=ZAOD=2a,ZDCB=900-ZABC=90°-a,

：.NF=NDCB=90°—a,

?：NFBA=2ZDBA=2。,

：.ZBLF=180°-ZFBA-ZF=90°-a,

???ZBLF=/F,

???BL=BF,

'：OB=OC,

???平行四邊形O5GC是菱形，

OB=BG,

：.BL-OB=BF-BG,貝ijLO=/G=4；

9：CG//AB,

：.ZCGM=Z.GME=/CEM=90°

???四邊形CEMG為矩形，

：.GM=CE=DE,

?；OB=BG,ZGBO=2a,

：.ZGOB=g(180?！?。)=90?！猘,

???ZOGM=90°-Z.GOB=a,

?:ZCDF=Z.CBF=ZFBA-ZABC=a,

???ZOGM=ZCDFf

在，DEL和GMO中，

NLDE=/OGM

DE=GM,

ADEL=ZGMO

???,DEL^GMO(ASA),

：.DL=OG,ZDLE=/GOM,BPZFLO=ZDLE=ZGOM,

J.DL//OG,

???四邊形"GO是平行四邊形，

：.LG=OD,LG//OD,ZGLO=ZDOL=2a

:.GL=GB,

..近GM

?tan/GLB-----=------,

3LM

:.設(shè)GM=^x,貝!==

??GL=^GM2+LM2=4x，即GL=DO=BG=OB=4x，

：.OM=OB-BM=x,貝IJLO=LM—QM=2x,

2x=4,貝！J%=2,

OM=2,GM=2s,則OG=\IGM2+OM2=472，

LD=OG=472，

Z.GOM=ZFLB=90°-?,

cosZ.GOM=cosZFLB,

.LKOM口nLK_2

LOOG44V2

??LK=5/2，

FK=DK=LD+LK=4應(yīng)+五=5五,

LF=LK+FK=6-J1.

圖3

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問題,涉及等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，

垂徑定理、圓周角定理，解直角三角形，特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識,

綜合程度較高，難度較大，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識，第（3）作出合適的輔助線是解答

的關(guān)鍵.

8.⑴①見解析；②6夜

（2）存在，最大值為36世

【分析】（1）①根據(jù)角平分線的作圖方法畫出C。，在連接8。即可；②由點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，

得出AC=3C.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CD,AB.結(jié)合A8是。的直徑，即得出CD經(jīng)

過圓心0,即/88=90。，最后根據(jù)勾股定理求解即可.

（2）連接A3,過點(diǎn)。作于點(diǎn)E,交。于點(diǎn)C',過點(diǎn)C作CF，AB.由題意易

證，ADB為等邊三角形.根據(jù)OC'LAB,即得出DC'為。直徑，C'是A8的中點(diǎn).根據(jù)

ADB為等邊三角形，可得出48和AB邊上的高都為定值，再根據(jù)根據(jù)

S四邊舷+即得出當(dāng)CT最大時，S四邊形"8最大，此時點(diǎn)C與點(diǎn)C'重合，

即當(dāng)點(diǎn)C為A8中點(diǎn)時，S四邊形AOBC最大，此時。C為二O直徑，得出此時NA=NB=90。.易

求出ZADC=90°-ZACD=30°,結(jié)合勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出

AC=-CD=6,AD=ylCD2-AC2=673-進(jìn)而可求出S=；A。4。=184，又易證

J5CD=ACD(SSS)，得出SBCD=SACD=18^/3,從而可求出SWiflliiABCD=SBCD+SACD=36^3,

即點(diǎn)C在運(yùn)動過程中，四邊形AD3C的面積存在最大值，最大值為36VL

【詳解】(1)解：①如圖1,即為所作圖形；

D

圖1

②,??點(diǎn)。是A5的中點(diǎn)，

???AC=BC.

???C。是NAC8的平分線，

：.CD1AB.

是。的直徑，

???CO經(jīng)過圓心O,

???400=90。.

???。的半徑為6,

OB=OD=6,

BD=y/OB2+OD2=642；

(2)點(diǎn)C在運(yùn)動過程中，四邊形AD3C的面積存在最大值.

理由：如圖，連接A3,過點(diǎn)。作DC'LAB于點(diǎn)E,交:。于點(diǎn)C',過點(diǎn)C作CF1.AB.

Cc

圖2

ZACD=ZBCD=60°,

:?AD=BD，ZACB=2ZBCD=120°,

***AD=BD.

???四邊形AD5C為。內(nèi)接四邊形，

???ZADB=1800-ZACB=60°,

???ADB為等邊三角形.

,:DCLAB,

???。。'為.。直徑，。'是A5的中點(diǎn).

?"四邊形AD5C-0ABD~°ABC，

■■SmADBC=^AB-DE+^AB-CF=^AB\DE+CF).

?/ADB為等邊三角形，

A3和邊上的高都為定值，

，當(dāng)CP最大時，S四邊隔OBC最大，此時點(diǎn)C與點(diǎn)C'重合，

???當(dāng)點(diǎn)C為A8中點(diǎn)時，S四邊形MBC最大，此時。C為O直徑,

/.ZA=ZB=90°,如圖3.

圖3

V。的半徑為6,

CD=12.

,：ZADC=90°-ZACD=30°,

AC=-CD=6,

2

AD=ylCD2-AC2=673，

/.SArn=-AC-AD=-x6x6y/3=18s/3.

c22

VBD=AD,BC=AC,CD=CD,

：..BCD^ACD(SSS),

,,S.BCD~ACD~18』,

,?S四邊形ABC。=SBCD+SACD=36后，

.,.點(diǎn)C在運(yùn)動過程中，四邊形AD3C的面積存在最大值，最大值為36石.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一角平分線，勾股定理，圓周角定理的推論，垂徑定理，弧、弦、圓

心角的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng).正確作出輔助線，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解

題關(guān)鍵.

9.(1)見解析

(2)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動時，ZBED的度數(shù)不會變化，NBED的度數(shù)為60。

【分析】(1)連接PE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得=/A=/ACB=60。，再利用

同弧所對的圓周角相等可得NP￡B=NACB=60。，從而可得NA=NP￡B,然后利用等弧所

對的圓周角相等可得=從而利用AAS證明進(jìn)而可得AB=EB,

最后利用等量代換可得￡B=3C,從而可得NECB=NCEB,再利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)

以及平角定義可得=即可解答；

(2)根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得ZOEP=ZH爐，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得

ZBFD=ZPEB=60°,即可解答.

【詳解】(1)證明：連接PE,如圖所示,

c

AABC是等邊三角形，

:.AB=BC,ZA=ZACB=6Q0,

.\ZPEB=ZACB=60°f

:.ZA=ZPEB,

PD=PE，

:.NPBD=NPBE,

BP=BP,

/.AABP=AEBP(AAS),

:.AB=EB,

EB=BC,

:.ZECB=ZCEB,

四邊形瓦出。是圓內(nèi)接四邊形，

lZECB+ZEDB=180。,

ZEDB+ZADE=ISO0,

.\ZADE=ZECB,

:.ZADE=ZBEC；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)月運(yùn)動時，NBFD的度數(shù)不會變化，理由如下:

PD二PE，

:.ZDEP=ZEBP,

ZBFD=ZEBP+ZDEBf

ZBFD=ZDEP+ZDEB

=ZPEB

=60。，

.?.ZBFD的度數(shù)為60。.

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，N3FD的度數(shù)不會變化.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、

弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵.

10.⑴半圓。在矩形ABC。內(nèi)的弧的長度為三

(2)r的值為8或9

(3)12-5應(yīng)或7<fW17

【分析】(1)通過判定△MEO為等邊三角形，然后根據(jù)弧長公式求解；

(2)通過判定右向叵_的,然后利用全等三角形的性質(zhì)分析求解；

(3)當(dāng)半圓。與直線AC相切時，可求得”12-5上，此時半圓。與直線AC只有一個交

點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，可求得f=7,此時半圓。與直線AC有兩個交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)

A重合時，可求得/=17,此時半圓。與直線AC只有一個交點(diǎn)，即可得到f的取值范圍.

【詳解】(1)設(shè)8C與。，0交于點(diǎn)M

當(dāng)/=2.5時，BE=25

;EF=1O

：.OE=-EF=5

2

：.OB=2.5

：.EB=OB

在矩形ABC。中，ZABC=90°

：.ME=MO

又?：MO=EO

：.ME=EO=MO

???△MOE是等邊三角形

ZEOM=90。

._60萬x5_5?

??ME~180

即半圓。在矩形ABC。內(nèi)的弧的長度為三.

(2)連接GO,HO

DC

ZAOG+/BOH=90，

???ZAGO+ZAOG=90

NAGO=4B0H,

在〈AGO和△QB”中，

ZAGO=/BOH

<ZGAO=ZHBO

OG=OH

:?一AGO'BOH

OB=AG=2—5

AB=7

：.AE=t-7

：.AO=5-(t-7)=12-t

在RtJg中，AG2+AO2-OG2

：.(Z-5)2+(12-Z)2-52

解得：4=8,t2=9

即r的值為8或9.

(3)/=12-50或7<tW17

理由：當(dāng)半圓。與直線AC相切時，過圓心。作OP,AC于點(diǎn)尸

?.?四邊形ABCD為正方形

，/C4B=45。

又

，AOP為等腰直角三角形

則AO=0OP=5亞

BE=AB+OE-AO=l+5-5y/2=12-5y/2

貝卜=12-5血，此時半圓。與直線AC相切；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時，1=7,此時半圓。與直線AC有兩個交點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時，7=17,此時半圓。與直線AC只有一個交點(diǎn)，

則t的取值范圍為/=12-5直或7<fV17.

故答案為：t=12-5應(yīng)或70417

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式的計算，勾股定理的應(yīng)用，掌握全等

三角形的判定(一線三垂直模型)，結(jié)合勾股定理列方程是解題關(guān)鍵.

11.(1)尸(4,0)

(2)見解析

(3)OP+OQ=42OC,證明見解析

24

(4)—

【分析】(1)證得P為OA的中點(diǎn)即可得出結(jié)論；

(2)證得△PQC為等腰直角三角形，從而得出CP=CQ；

(3)連接AC,可證得一APC二.OQC,進(jìn)而得出NR4C=NQOC=45。，進(jìn)一步得出結(jié)論;

(4)設(shè)尸。的中點(diǎn)為「，連接可推出點(diǎn)廠在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動，作

。與?。相切，切點(diǎn)為/,且CD〃AB,當(dāng)「在/時，MN最大,進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)ZOCQ=ZOPQ,

ZOPQ=45°,

40。=90。，

OP=OQ,

AP=OQ,

:.OP=AP,即P為。A的中點(diǎn),

P(4,0)；

(2).PQ為直徑，

:.ZPCQ=90°,

NPOC=NPQC=45°,

尸QC為等腰直角三角形，

CQ=CP;

(3)OP+OQ=-J1OC,

證明：連接AC,

:四邊形OPCQ是圓的內(nèi)接四邊形

ZAPC=ZOQC,

在和QQC中，

AP=OQ

<ZAPC=ZOQC,

CQ=CP

^APC^OQC,

ZPAC^ZQOC=45°,

OA=yl2OC,

即OP+OQ=&OC；

（4）如圖，設(shè)尸。的中點(diǎn)為連接。

ZAOB=90,

:.OI'=-PQ=3,

2

二點(diǎn)廠在以。為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動,

設(shè)廠到的距離為d,MN=2a,

a=V32-d2，

當(dāng)r到MN的距離最小時，MN最大，

作C￡）與相切，切點(diǎn)為/,且CD〃AB,

當(dāng)/'在/時，MN最大,

連接。/并延長交MN與點(diǎn)、E,

:.OI±CD,

???OELAB,

S.=-ABOE=-OA-OB,

An0BR22

249

EI=OE-O1=——3=-,

55

MN的最大值為2〃=—；

24

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓中的圓周角、弧、弦、之間的關(guān)系，確定圓的條

件，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是結(jié)合所學(xué)知識利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問

題.

12.（1）見解析

⑵8<S四邊形AEBC-4。

【分析】（1）作直徑CT,連接AF,運(yùn)用圓周角定理解題即可.

（2）運(yùn)用勾股定理求出OF的值并通過S四邊形MBC=SAABE+SAABC求出面積與8的關(guān)系即可.

【詳解】（1）證明：如圖1,

FEN

圖1

作直徑C/,連接AF,

：.ZFAC=9Q°,

：.ZACO=90°-ZF,

CD1AB,

：./BDC=9。。,

：.ABCD=90°-AB,

對于AC：NF=NB，

，ZACO=NBCD；

(2)解:如圖2,

E

圖2

,?CE平分/ACB,

,,AE=BE'

?當(dāng)。點(diǎn)在AC5運(yùn)動時，ZACE=ZBCEf連接OE,

：.OE.LABf設(shè)垂足是R

AF=FB=4,

???OF7O#-AF2=3,

/.EF=OE-OF=2,

?二力形AABF八ABC?H—2H?

S四m口形Ail5c=S/AADE+SL\ADC-=—2ABEF2AB*CD2=—x8x2—x8CD=8+4*CD

...當(dāng)CD=C'b=8時，S四邊形最大為40.

??8<S四邊形AEBCV40.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理的運(yùn)用，能夠運(yùn)用圓周角定理證明角度關(guān)系，垂徑定理求

線段長度是解題關(guān)鍵.

13.(1)1秒或5秒

(2)直角三角形，理由見解析

⑶①存在，1=0或LT8+12正；②o</<6后一18

【分析】(1)由題意可知以=f,BQ=2t,從而得到尸3=67,BQ=2t,然后根據(jù)△PQB

的面積=5cm2列方程求解即可；

⑵由f=],可求得=QB=3,PB=、,CQ=9,由勾股定理可證明。。2+尸。2=尸。2,

由勾股定理的逆定理可知VDPQ為直角三角形；

(3)①當(dāng)/=0時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，此時圓。與尸￡>相切；當(dāng)C。正

好與四邊形。尸QC的。C邊相切時，由圓的性質(zhì)可知QP=QC,然后依據(jù)勾股定理列方程求

解即可；

②先求得。與四邊形DPQC有兩個公共點(diǎn)時/的值，然后可確定出f的取值范圍.

【詳解】(1)?.,當(dāng)運(yùn)動時間為/秒時，PA=t,BQ=2t,

：.PB=6-t,BQ=2t,

VAPQB的面積等于5加2,

*,?］（6-f）.2/=5,

解得：%=1，/2=5,

答：當(dāng)/為1秒或5秒時，△PBQ的面積等于5c??；

(2)VDPQ的形狀是直角三角形.

理由：?.?當(dāng)％=±3秒時，AP=3-,QB=3,

22

39

：.PB=6--=-,CQ=12—3=9,

22

在咫△PDA中，由勾股定理可知：PD2=DA2+PA2=122+=手，

117

同理：在M和吊△DC。中由勾股定理可得：Z)e2=117,PQ2=—,

~~4

-17+生=箜,

44

DQ2+PQ2=PD-,

所以VDP。的形狀是直角三角形；

(3)①(I)由題意可知圓。與A3、BC不相切，

(II)如圖1所示：當(dāng)，=。時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)8與點(diǎn)。重合，

ZDPQ=9Q°,

：.DPLPQ,

O尸為圓。的切線；

(III)當(dāng)(。正好與四邊形。尸QC的。C邊相切時，如圖2所示,

圖2

由題意可知：PB=6-t,BQ=2t,PQ=CQ=12-2t,

在RfPBQ中，由勾股定理可知：PQ1=PB-+QB2,即（6—）2+（2。2=（12-2廳,

解得：4=-18+126，t2=-18-12A/3（舍去），

綜上所述可知當(dāng)"?；騆-18+12百時，。與四邊形DPQC的一邊相切；

②(I)當(dāng)r=0時，如圖1所示：。與四邊形DPQC兩個公共點(diǎn)；

(II)如圖3所示：當(dāng)圓Q經(jīng)過點(diǎn)。時，。與四邊形。尸QC有兩個公共點(diǎn),

圖3

由題意可知：PB=6-t,BQ=2t,CQ=\2-2t,DC=6,

由勾股定理可知：DQ2=DC2+eg2=62+(12-2Z)2,PQ2=PB2+QB2=(6-+(2/)2,

VDQ=PQ,

：.DQ2=PQ2,即(6T)2+(2r『=62+(12-2r)2,

整理得：/+361-144=0,

解得：=6A/13—18,t2=—6A/T3—18(舍去)，

???當(dāng)0<f<6屈-18時，。與四邊形。PQC有三個公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了三角形的面積公式、勾股定

理以及勾股定理的逆定理，根據(jù)題意畫出圖形，求得《。與四邊形。PQC有兩個公共點(diǎn)時f

的值，從而確定出。與四邊形。PQC有三個公共點(diǎn)時/的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

14.(1)見解析

(2)①亭，②后一1

【分析】(1)、由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可知"C4=NACB,則由同圓或