2025年中考數(shù)學幾何解題方法復習：圓中的計算（一）

第9節(jié)圓中的計算⑴

一、知識梳理

【例】如圖9-1所示直線MN交。O于點A,B,AC是直徑,AD平分NCAM交。O于點D,過點D作DE±M

N于點E.

⑴求證:DE是。O的切線；

(2)若DE=4cm,AE=3cm,求。0的半徑.

⑴證明:連接0D,如圖9-2所示

VOA=OD,

AZ1=Z2.

VAD平分NCAM,

???Z2=Z3.

AZ1=Z3.

???MN〃OD.

VDE±MN,

ADEXOD.

???DE是。O的切線.

(2)解:連接CD,如圖9-3所示

〈AC是。。的直徑，

JZADC=90°.

?.*DE±MN,DE=4cm,AE=3cm,

I.NAED=90。，

AD=yjDE2+AE2=V42+32=5(cm).

???NADC=NAED.

圖9-3

又,.?N2=N3,

???△ADC^AAED.

???絲=理，即些=3解得AC=至cm.

ADAE533

：?OA=-AC=至cm,即。O的半徑為—cm.

266

二、分層練習

萬丈高樓平地起

1.如圖9-4所示,AB是的直徑，點C在。O上,AD和過點C的切線CD互相垂直，垂足為點D.

⑴求證:ZCAD=ZCAB;

⑵若AC=8,OA=5,求CD的長.

圖9-4

2.如圖9-5所示”△ABC的邊AB是。。的直徑邊AC交。。于點D,邊BC與。O相切于點B,點E在。。上,

連接BD,BE,DE.

(1)求證：/.CBD=ZE;

(2)已知coszE=—,CD=2,求。O的半徑.

圖9-5

3.如圖9-6所示，在A/IBC中,以BC為直徑的0O交AC于點E,過點E作AB的垂線交AB于點F,交CB

的延長線于點G,且.Z.ABG=2Z.C.

⑴求證:EG是。O的切線;

A

(2)若tanzC=^,AC=8,求0O的半徑.

圖9-6

4.如圖9-7所示，在△4BC中，AC=BC,以BC為直徑作。0,交AC于點M作CDXAC交AB的延長線于

點D,過點B作。0的切線BE,交CD于點E.

⑴證明:BE=DE;

⑵若。0的半徑為5,AM=4,求DE的長.

5.如圖9-8所示,。。是△48C的外接圓,AC=呢過點A作4D||BC交。0于點D,連接CD,延長DA到點

E,連接CE,ZD=4E.

(1)求證:CE是。0的切線；

(2)若CE=8,AE=5,求。0的半徑.

圖9-8

6.如圖9-9所示,AB是。O的直徑，點C,D在。O上過點C的切線交DA的延長線于點E,且DE團CE,連接C

D,BC.

⑴求證：^DAB=24ABC;

⑵若tan/ADC=1,BC=8,求EC的長.

7.如圖9-10所示,AB為。O的直徑,AC為。O的弦，過。O外的一點D作DE團4B于點E,交AC于點F,連

接DC并延長交AB的延長線于點P,且ND=2〃,作CH回于點H.

長，交。O于點E,連接刈巳￡.若（CF=2,AF=3.

⑴求證：AADF-AAED;

⑵求FG的長;

(3)求tanZE的值.

圖9-11

9.如圖9-12所示點C在以AB為直徑的。O上，乙1CB的角平分線交0O于點D過點D作AB的平行線，

交CA的延長線于點E.

(1)求證:DE是。O的切線；

(2)若AC=6,BC=8,求DE的長度.

圖9-12

10.如圖9-13所示,。O是△A8C的外接圓，AB=AC,,過點A作AD回AB,,交。O于點D,交BC于點E,

過點B作。O的切線，交DA的延長線于點F.

(1)求證：AF=AE-,

(2)若。O的半徑為2?BE=3”求DE的長.

圖9-13

第9節(jié)圓中的計算⑴

☆萬丈高樓平地起

1.(1)證明:如圖62所示，連接OC.

CD是OO的切線，點C為切點,

ZDCO=90°.

VADXCD,

.?./ADC=9(F,AD〃OC.

ZDAC=ZACO.

VOA=OC,

A.B

o

：.ZOAC=ZACOJ[]ZCAD=ZCAB.

圖62

(2)解:如圖63所示，連接OC,BC.

：AB是。O的直徑，

ZACB=90°.

VAC=8,AB=2AO=10,

2222

ABC=yjAB-AC=V10-8=6.

ZACB=ZADC,ZCAD=ZCAB,

△ADC^AACB.圖63

-=絲，即-=工解得CD=4.8.

BCAB610

2.⑴證明:TAB是。O的直徑，

???ZADB=90°.

；?ZBAD+ZABD=90°.

?.?BC與。O相切于點B,

.,.AB±BC,ZABC=90°.

???NCBD+NABD=90。.

AZCBD=ZBAD.

BD=BD,

AZBAD=ZE.

ZCBD=ZE.

解：

coszE=—,

ZE=30°.

ZCBD=ZBAD=ZE=30°.

VCD=2,

BD=V3CD=2V3.

???AB=2BD=4V3.

；.。0的半徑為：2網(wǎng)

3.⑴證明如圖64所示，連接OE,BE.

???Z.ABG=2Z.C,Z.ABG=Z.C+Z-A,

A

：.NONA.

ABC=BA.

??.BC是。O的直徑，

???ZCEB=90°.

ACE=AE.

圖64

VCO=OB,

AOE/7AB.

VGE±AB于點F,

AEGXOE.

TOE是。0的半徑，

???EG是。O的切線.

(2)解:?「AC=8,

???CE=AE=4.

BE1

tanzc=—=

CE2

???BE=2.

??.BC=VCE2+BE2=2V5.

...C。=逐,，即。o的半徑為V5.

4.(1^"CD_LAC,

JZA+ZD=90°.

〈BE與。O相切于點B,

ACBXBE.

JZCBA+ZEBD=90°.

VAC=BC,

二?NA=NCBA.

AZEBD=ZD.

?'?BE二DE.

⑵解如圖65所示，連接MB.

VBC是。O的直徑,。O的半徑為5,

圖65

ABM±AC,AC=BC=2x5=10.

VAM=4,

MC=AC-AM=10-4=6.

???MB=y/BC2-MC2=V102-62=8.

VACXCD,

AMBDC.

JZMBC=ZBCE.

ZBMC=ZCBE=90°,

AABMC^ACBE.

...把=空即A=且，解得BE=竺.

BECBBE102

DE=BE=

2

欲窮千里目，更上一層樓

5.⑴證明:連接OC,如圖66所示

vAD\\BCf

：.ZB=ZDAB.

VZB=ZD,

???乙DAB=Z-D.

???Z-D=Z-E,

：.ZDAB=ZE.

圖66

??.AB\\EC.

???AC=BC,

點c為的中點.

voc為。o的半徑，

AOCXAB.

AOCXEC.

;oc是。。的半徑，

CE是。O的切線.

⑵解:連接OC,OB.OC交AB于點F,如圖67所示.

TAD〃:BC,由(1)知AB〃EC,

四邊形ABCE為平行四邊形.

???BC=AE=5,AB=EC=8.

VOCXAB,

i

AF=BF=-AB=4.

2

???FC=yjBC2-BF2=3.

設OO半徑的長為r,則OF=OC-FC=r-3.

在RtAOFB中，OF2+BF2=OB2,BP(r-3)2+42=產(chǎn)解得=—.

r6

6.⑴證明:如圖68所示，連接OC.

??,CE是。O的切線,

AOCXCE.

VDEXCE,

???OC〃DE.

ZDAB=ZAOC.

VZAOC=2ZABC,

JZDAB=2ZABC.

⑵解如圖69所示，連接AC.

乙ABC=Z.ADC,tanZ.ADC=-,BC=8,

'2

???tan^ABC=-=-AC=4.

BC2f

VAB是。O的直徑，

???乙ACB=90。"='AC?+BC2=4V5.

???ZACB=ZAEC,ZABC+ZBAC=90°.

VOC±CE,

*.ZOCA+ZACE=90°.

.*OA=OC,

??ZOAC=ZOCA.

\ZACE=ZABC.

*.△ACE^AABC.

絲—￡￡日口4=?,解得CE=W

AB-BC'4遮o5

7.解:⑴如圖70所示，連接OC.

?.?ZCOB=2ZA,ZD=2ZA,

???NCOB=ND.

VDE±AP,

JZDEP=90°.

???ZP+ZD=90°.

JZP+ZCOB=90°.

ZOCP=90°.

AOCXDC.

???OC為。。的半徑，

二?DC與。O相切.

(2)V由(1)可知,NOCP=9()o,NCOP二ND,

3

???3s乙COP=coszD=

5

VCHXAB,

JZCHO=90°.

設。o的半徑為r,則OH=r-2.

?..在RtACHO中，cos^HOC=—=—==解得=5.

OCr5r

；.OH=5-2=3.

由勾股定理可得CH=4.

.,.AH=AB-HB=10-2=8.

...在RtAAHC中,由勾股定理可得AC=4V5.

8.解:(1)：AB是。O的直徑，弦CD_LAB,，DG=CG.

由垂徑定理可知…AD?AC.

：.ZADF=ZAED.

,/NFAD=NDAE(公共角).

AADF^AAED.

(2)v—=1,CF=2,

：.FD=6.

???CD=DF+CF=8,CG=DG=4.

???FG=CG-CF=2.

(3)?「AF=3,FG=2,

???在4AFG中,由勾股定理可得AG=<AF2-FG2=逐，

tanzE=tanZ-ADF=—=—.

DG4

9.解:⑴如圖71所示，連接OD.

TAB是。O的直徑,CD平分NACB,

JNACD=45。.

JZAOD=2ZACD=90°.

VDE/7AB,

???(ODE=180°-乙AOD=180°-90°=90°.

圖71

又TOD為。。的半徑，

ADE是。O的切線.

⑵如圖72所示，過點A作